安徽省阜阳市红旗中学2024-2025学年高二上学期9月初开学摸底考数学试题

这是一份安徽省阜阳市红旗中学2024-2025学年高二上学期9月初开学摸底考数学试题，共14页。试卷主要包含了已知集合，则，设，则“”是“”的，已知，若，则实数的值为，已知复数，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.请在答题卡上作答.
第I卷（选择题共58分）
一､选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题所给四个选项中，只有一项是符合题意的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.设，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.设是三条不同的直线，是三个不同的平面，下列四个命题中错误的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
4.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷8次，得到的点数分别为，则这8个点数的中位数为4的概率为（ ）
A. B. C. D.
5.已知，若，则实数的值为（ ）
A. B. C.3 D.
6.已知平面向量和满足在上的投影向量为，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数，若互不相等，且，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.在中，为上一点且满足，若，则的外接圆半径为（ ）
A. B. C.1 D.
二､多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9.已知复数，下列说法正确的是（ ）
A.若，则为纯虚数
B.若，则互为共轭复数
C.若，则在复平面内对应的点的集合为以原点为圆心，1为半径的圆
D.若，则
10.把函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数是一个奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A.的最小正周期为
B.
C.当时，的值域为
D.若方程在区间上恰有六个不等实根，则实数的取值范围为
11.如图，为棱长为2的正方体表面上的一个动点，则（ ）
A.当在平面内运动时，四棱锥的体积是定值
B.当在直线上运动时，与所成角的取值范围为
C.使得直线与平面所成的角为的点的轨迹长度为
D.若为棱的中点，当在底面内运动，且平面时，的最小值为
第II卷（非选择题共92分）
三､填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
12.已知向量，则向量与的夹角余弦值为__________.
13.如图1是古希腊数学家阿基米德的墓碑图文，碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个球，圆柱的底面直径和高都等于这个球的直径，相传这个图形表达了阿基米德最引以自豪的发现.如图2是这个图形的示意图，那么图2中圆锥与球的表面积的比值为__________.
14.定义在上的函数满足，且关于对称，当时，，则__________.
四､解答题：本大题共5个小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13分）
为鼓励青年大学生积极参与暑期社会实践，某高校今年暑假组织返乡大学生积极参与了当地的暑假社区儿童托管服务.现抽样调查了其中100名大学生，统计他们参加社区托管活动的时间（单位：小时），并将统计数据制成如图所示的频率分布直方图.另外，根据参加社区托管活动的时间从长到短按3：4：3的比例分别被评为优秀､良好､合格.
（1）求的值，并估计该校学生在暑假中参加社区托管活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）试估计至少参加多少小时的社区托管活动，方可以被评为优秀.
16.（15分）
已知锐角的三个角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若，求周长的取值范围.
17.（15分）
如图1，矩形中，为边上的一点.现将沿着折起，使点到达点的位置.
（1）如图2，若为边的中点，点为线段的中点，求证：平面；
（2）如图3，设点在平面内的射影落在线段上.
①求证：平面；
②当时，求直线与平面所成的角的余弦值.
18.（17分）
设函数.
（1）判断函数的奇偶性，并讨论其单调性（不需证明单调性）；
（2）求证：；
（3）若在区间上的最小值为，求的值.
19.（17分）
对于集合和常数，定义：为集合相对的的“正弦标准差”.
（1）若集合，求相对的的“正弦标准差”；
（2）若集合，是否存在，使得相对任何常数的“正弦标准差”是一个与无关的定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
2023级高二上学期9月初开学摸底考
数学（人教A版）参考答案
一､选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题所给四个选项中，只有一项是符合题意的.
1.C 由题意得，，则，那么.故选C.
2.A 由题意得，，即；当时，反之不成立.故选A.
3.B 若与可能相交.故选B.
4.D 由题意得，当时，8个点数的中位数为3.5；当时，8个点数的中位数为4；当时，8个点数的中位数为4.5，则8个点数的中位数为4的概率为.故选D.
5.C 因为，解得或，因为，所以，则.故选C.
6.A 因为在上的投影向量为，所以，则在上的投影向量为.故选A.
7.C 作出函数的图象如图所示.不妨设，我们可以得到，且，则，由函数性质可知，当时，，故的取值范围为.故选C.
8.D 解法一：由题意得，，则.
，解得
.又，则，
.
由，
，
得，即，
那么，解得.故选D.
解法二：如图，作于点.由题意得，，
则，可以得到.
，解得.
又，则.进一步有，
.在中，，则.
在中，，可以得到，所以，那么
，解得.故选D.
二､多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
注：双选答对1个给3分，三选答对1个给2分，答对2个给4分.
9.AC 对于A，设，则，故A正确；对于B，取，那么，但不是共轭复数，故B错误；对于C，设在复平面内的点为，由知，点在以为圆心，1为半径的圆上，故C正确；对于D，取，则，故D错误.故选AC.
10.BCD
又是一个奇函数，则，因为，所以，则的最小正周期为，故A错误；，故B正确；当时，，则，所以，故C正确；因为，所以，令，则，若方程在区间上恰有六个不等实根，则，解得，故D正确.故选BCD.
11.ACD 对于A，四棱锥定底（底面）定高（棱长），其体积为定值，故A正确；对于B，如图1，因为，故与所成角即为或其补角，由题意与所成角为，故B错误；对于C，如图2，因为平面平面，所以直线与平面所成的角与直线与平面所成的角相等，连接，则，那么点的轨迹为以为圆心，为半径的圆弧以及线段和，可以求得轨迹长度为，故C正确；对于D，如图3，分别取棱的中点，则平面平面，那么的轨迹即为线段，则的最小值为，故D正确.故选ACD.
三､填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
12.0
由题意得，，故与的夹角余弦值为0.
13.
设球半径为，则圆锥的表面积为，球的表面积为，故圆锥与球的表面积之比为.
14.
由题意得，，令，则，可以得出函数图象关于直线对称，又关于对称，可以得出函数图象关于原点中心对称，故函数是周期函数，周期为4.又当时，，且，故可以得出.进而.
那么
.
四､解答题：本大题共5个小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13分）
（1）由题意得，，解得.
因为，
所以可以估计该校学生在暑假中参加社区托管活动的时间的平均数约为38.25小时.
（2）由题意得，因为，
那么第70百分位数位于之间.
设第70百分位数为，则，解得.
故至少参加42小时的社会实践活动，方可被评为优秀.
16.（15分）
（1）因为，
所以，
即，
即，
即，
又，故，即，
因为，所以.
（2）由（1）得，，则.
由正弦定理，得.
所以
因为且，则，
故，所以，
所以周长的取值范围为.
17.（15分）
（1）证法一：
如图，取中点，连接.
因为为边的中点，所以且，
又分别为的中点，则且，
故且，所以为平行四边形，所以.
又平面平面，所以平面.
证法二：
如图2，取中点，连接.
因为为边的中点，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以.
又平面平面，所以平面.
同理，平面.
又平面平面，所以平面平面.
又平面，所以平面.
（2）①由题意得，平面，则.
又，所以平面.
②连接，因为平面，所以直线与平面所成的角为.
在中，，
在中，，
在中，，所以，
即直线与平面所成的角的余弦值为.
18.（17分）
（1）由题意得，函数的定义域为，且，所以函数为奇函数.
在上单调递增.
（2）
.
（3）
设，则，且，
那么函数转化.
当即时，，解得.
当即时，，解得（舍）.
当即时，，解得.
综上，或.
19.（17分）
（1）由题意得，.
（2）假设存在符合条件的，那么
.
要使是一个与无关的定值，应有成立.
则，整理得
又，则，那么
又，那么，
即，
即，即.
因为，所以，所以，解得.
因为，所以.
综上，当时，对任意常数的“正弦标准差”是一个定值，定值为.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
B
D
C
A
C
D
题号
9
10
11
答案
AC
BCD
ACD