人教版七年级数学下册举一反三专题11.5期末复习之选择压轴题八大题型总结(学生版+解析)(七年级下册)

这是一份人教版七年级数学下册举一反三专题11.5期末复习之选择压轴题八大题型总结(学生版+解析)(七年级下册)，共42页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc27362" 【题型1 与平行线有关的多拐点问题】 PAGEREF _Tc27362 \h 1
\l "_Tc15443" 【题型2 平行线中的旋转问题】 PAGEREF _Tc15443 \h 2
\l "_Tc9171" 【题型3 平行线中的多结论问题】 PAGEREF _Tc9171 \h 3
\l "_Tc16715" 【题型4 平面直角坐标系中的规律探究】 PAGEREF _Tc16715 \h 5
\l "_Tc30381" 【题型5 实际问题与二元一次方程（组）】 PAGEREF _Tc30381 \h 6
\l "_Tc20499" 【题型6 一元一次不等式组的整数解问题】 PAGEREF _Tc20499 \h 7
\l "_Tc11885" 【题型7 一元一次不等式组的新定义问题】 PAGEREF _Tc11885 \h 8
\l "_Tc3629" 【题型8 实数中的规律探究】 PAGEREF _Tc3629 \h 8
【题型1 与平行线有关的多拐点问题】
【例1】（2024七年级·河北唐山·期末）如图，已知AB∥CD，EF⊥AB于点E，∠AEH=∠FGH=20°，∠H=50°，则∠EFG的度数是（ ）
A．120°B．130°C．140°D．150°
【变式1-1】（2024七年级·浙江杭州·期末）如图所示，若AB∥EF，用含α、β、γ的式子表示x，应为（ ）
A．α+β+γB．β+γ−αC．180°−α−γ+βD．180°+α+β−γ
【变式1-2】（2024七年级·山东烟台·期末）如图AB1//CBn，则∠1+∠2+∠3+…+∠n=（ ）
A．540°B．180°nC．180°(n-1)D．180°(n+1)
【变式1-3】（2024七年级·重庆九龙坡·期末）如图，AB∥CD，点E在CD上，点G，F，I在AB，CD之间，且GE平分∠CEF，BI平分∠FBH，GF∥BI．若∠BFE=52°，则∠G的度数为（ ）．
A．112°B．114°C．116°D．118°
【题型2 平行线中的旋转问题】
【例2】（2024七年级·山西大同·期末）如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF=100°，CD与AB在直线EF异侧．若∠DCF=60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为（ ）时，CD与AB平行．（ ）
A．4秒B．10秒C．40秒D．4或40秒
【变式2-1】（2024七年级·贵州六盘水·期末）如图，李师傅将木条AB和AC固定在点A处，在木条AB上点O处安装一根能旋转的木条OD．李师傅用量角仪测得∠A=70°，木条OD与AB的夹角∠BOD=82°，要使OD∥AC，木条OD绕点O按逆时针方向至少旋转（ ）
A．12°B．18°C．22°D．24°
【变式2-2】（2024七年级·重庆巴南·期末）一副三角板按如图所示叠放在一起，若固定△AOB，将△ACD绕着公共顶点A，按顺时针方向旋转α0°<α<180°，当△ACD的一边与△AOB的某一边平行时，相应的旋转角α的值不可能是（ ）
A．135°B．105°C．75°D．45°
【变式2-3】（2024七年级·河北沧州·期末）为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动30°，B灯每秒转动10°，B灯先转动2秒，A灯才开始转动，当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是（ ）
A．1或6秒B．8.5秒C．1或8.5秒D．2或6秒
【题型3 平行线中的多结论问题】
【例3】（2024七年级·湖南长沙·期末）如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD=∠D，∠B=∠D，EF∥HC，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG=∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC，则下列结论：①AD∥BC；②GK平分∠AGC；③∠DGH=37°；④∠MGK的角度为定值且定值为16°，其中正确结论的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【变式3-1】（2024七年级·重庆北碚·期末）如图，已知AB∥CD，∠BEH=∠CFG，EI、FK分别为∠AEH、∠CFG的角平分线，FK⊥FJ，则下列说法正确的有（ ）个．
①EH∥GF
②∠CFK=∠H
③FJ平分∠GFD
④∠AEI+∠GFK=90°
A．4B．3C．2D．1
【变式3-2】（2024七年级·重庆北碚·期末）如图，AB∥CD，点E，P在直线AB上（P在E的右侧），点G在直线CD上，EF⊥FG，垂足为F，M为线段EF上的一动点，连接GP，GM，∠FGP与∠APG的角平分线交与点Q，且点Q在直线AB，CD之间的区域，下列结论：①∠AEF+∠CGF＝90°；②∠AEF+2∠PQG＝270°；③若∠MGF＝2∠CGF，则3∠AEF+∠MGC＝270°；④若∠MGF＝n∠CGF，则∠AEF+1n+1∠MGC＝90°．正确的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【变式3-3】（2024七年级·江苏宿迁·期末）如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB//CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE=α，∠DCE=β．下列各式：①α+β，②α−β，③β−a，④360°−α−β，∠AEC的度数可能是（ ）
A．②③B．①④C．①③④D．①②③④
【题型4 平面直角坐标系中的规律探究】
【例4】（2024七年级·湖北荆州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A1,1,B−1,1,C−1,−2,D1,−2，点P，Q同时从点A出发，沿长方形ABCD的边作环绕运动，点P按逆时针方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点Q按顺时针方向以每秒3个单位长度的速度匀速运动，则第2024秒P，Q两点相遇地点的坐标是（ ）
A．−1,−1B．1,−1C．0,−2D．−1,1
【变式4-1】（2024七年级·重庆·期末）如图，已知A11,1，A22,−1，A34,4，A46,−4，A57,1，A68,−1，A710,4，A812,−4……，按这样的规律，则点A2023的坐标为（ ）

A．3032,−1B．3034,4C．3036,4D．3031,1
【变式4-2】（2024·山东·期末）如图，在平面直角坐标系中，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，△A7A8A9，…，都是等腰直角三角形，且点A1，A3，A5，A7，A9的坐标分别为A1(3,0)，A3(1,0)，A5(4,0)，A7(0,0)，A9(5,0)，依据图形所反映的规律，则A102的坐标为（）
A．（2，25）B．（2，26）C．（52，−532）D．（52，−552）
【变式4-3】（2024七年级·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一只蚂蚁从原点O出发向右移动1个单位长度到达点P1；然后逆时针转向90°移动2个单位长度到达点P2；然后逆时针转向90°，移动3个单位长度到达点P3；然后逆时针转向90°，移动4个单位长度到达点P4；…，如此继续转向移动下去．设点Pn（xn，yn），n＝1，2，3，…，则x1+x2+x3+…+x2021＝（ ）
A．1B．﹣1010C．1011D．2021
【题型5 实际问题与二元一次方程（组）】
【例5】（2024七年级·浙江温州·期末）我们知道自行车一般是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎，假设前轮行驶5000公里报废，后轮行驶3000公里报废，如果在自行车行驶若干公里后，将前后轮进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶（ ）公里．
A．4000B．3750C．4250D．3250
【变式5-1】（2024七年级·福建福州·期末）用如图①中的长方形和正方形纸板为侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒（图2中两个盒子朝上的一面不用纸板）．现在仓库里有m张长方形纸板和n张正方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则m+n的值有可能是（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
【变式5-2】（2016·湖南常德·期末）某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天，已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则这一段时间有（ ）
A．9天B．11天C．13天D．22天
【变式5-3】（2024七年级·浙江嘉兴·期末）小明去文具店购买了笔和本子共5件，已知两种文具的单价均为正整数且本子的单价比笔的单价贵．在付账时，小明问是不是27元，但收银员却说一共48元，小明仔细看了看后发现自己将两种商品的单价记反了．小明实际的购买情况是（ ）
A．1支笔，4本本子B．2支笔，3本本子
C．3支笔，2本本子D．4支笔，1本本子
【题型6 一元一次不等式组的整数解问题】
【例6】（2024七年级·武汉·期末）若存在一个整数m，使得关于x，y的方程组3x+2y=4m+5x−y=m−1的解满足x+4y≤3，且让不等式5x−m>0x−4<−1只有3个整数解，则满足条件的所有整数m的和是（ ）
A．12B．6C．−10D．−14
【变式6-1】（2024七年级·重庆·期末）从－2，－1,0,1,2，3，5这七个数中，随机抽取一个数记为m，若数m使关于x的不等式组x>m+2−2x−1≥4m+1无解，且使关于x的一元一次方程（m－2）x＝3有整数解，那么这六个数所有满足条件的m的个数有（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式6-2】（2024七年级·重庆巴南·期末）若整数a使关于x的不等式组x+12≤2x+56x−2>a至少有4个整数解，且使关于x，y的方程组ax+2y=0x+y=6的解为正整数，那么所有满足条件的整数a的值的和是( )．
A．－3B．－4C．－10D．－14
【变式6-3】（2024七年级·重庆北碚·期末）若关于x的不等式组−2x−2−x<2k−x2≥−12+x最多有2个整数解，且关于y的一元一次方程3y−1−2y−k=7的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为（ ）
A．13B．18C．21D．26
【题型7 一元一次不等式组的新定义问题】
【例7】（2024七年级·重庆沙坪坝·期末）新定义：对非负实数x用“四舍五入”的法则精确到个位的值记为x，下列说法正确的个数为（ ）
①π=3（π为圆周率）：
②如果x−1=5，则实数x的取值范围为5.5≤x<6.5．
③若x≤x，则x+0.5−x=1
④满足x=87x的所有x的值有且只有五个．
A．1B．2C．3D．4
【变式7-1】（2024七年级·湖北·期末）定义x表示不大于x的最大整数，如：3.2=3、−3.2=−4，3=3．则方程x+2=2x所有解的和为（ ）
A．32B．52C．72D．92
【变式7-2】（2024七年级·福建泉州·期末）对于任意实数a、b定义一种新运算：a⊕b＝ab－a－b＋2．例如，2⊕6＝12－2－6＋2＝6．请根据上述定义解决问题：若m＜（3⊕x）＜5，并且这个关于x的不等式组的解集中只有2个整数解，那么m的取值范围是（ ）
A．−1【变式7-3】（2024七年级·浙江舟山·期末）定义运算：对于实数a,b,c，mida,b,c=b(a>b>c)．例如mid1,2,3=2，mid−1,2,−3=−1，mid1,2,2=2．若mid−x−3,x+2,12x−1=k，对于某个确定的k，有且只有一个x使等式成立，则k的取值范围是（ ）
A．k>−12或k<−53B．−6C．−53−12或k<−4
【题型8 实数中的规律探究】
【例8】（2024七年级·广西贵港·期末）在求1+6+62+63+64+65+66+67+68+69的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：S=1+6+62+63+64+65+66+67+68+69……①
然后在①式的两边都乘以6，得：6S=6+62+63+64+65+66+67+68+69+610……②
②-①得6S−S=610−1，即5S=610−1，所以S=610−15.
得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把“6”换成字母“a”(a≠0且a≠1)，能否求出1+a+a2+a3+a4+...+a2018的值?你的答案是
A．a2018−1a−1B．a2019−1a−1C．a2018−1aD．a2019−1
【变式8-1】（2024七年级·浙江温州·期末）一列数a1， a2， a3，…… an，其中a1=﹣1， a2=11−a1， a3=11−a2，……， an=11−an−1，则a1×a2×a3×…×a2017=（ ）
A．1B．-1C．2017D．-2017
【变式8-2】（2024七年级·安徽合肥·期末）观察下列等式：
11×2=1−12，
12×3=12−13，
13×4=13−14，
…
1n(n+1)=1n−1n+1
将以上等式相加得到
11×2+12×3+13×4+⋯+1n(n+1)=1−1n+1．
用上述方法计算：11×3+13×5+15×7+⋯+199×101其结果为（ ）
A．50101B．49101C．100101D．99101
【变式8-3】（2024七年级·福建三明·期末）读一读：式子“1+2+3+4+⋯+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为n=1100n，这里“Σ”是求和符号．通过对以上材料的阅读，计算n=120221nn+1的值为（ ）
A．20212022B．20222023C．20232022D．20222021
专题11.5 期末复习之选择压轴题八大题型总结
【人教版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc27362" 【题型1 与平行线有关的多拐点问题】 PAGEREF _Tc27362 \h 1
\l "_Tc15443" 【题型2 平行线中的旋转问题】 PAGEREF _Tc15443 \h 5
\l "_Tc9171" 【题型3 平行线中的多结论问题】 PAGEREF _Tc9171 \h 11
\l "_Tc16715" 【题型4 平面直角坐标系中的规律探究】 PAGEREF _Tc16715 \h 18
\l "_Tc30381" 【题型5 实际问题与二元一次方程（组）】 PAGEREF _Tc30381 \h 22
\l "_Tc20499" 【题型6 一元一次不等式组的整数解问题】 PAGEREF _Tc20499 \h 24
\l "_Tc11885" 【题型7 一元一次不等式组的新定义问题】 PAGEREF _Tc11885 \h 27
\l "_Tc3629" 【题型8 实数中的规律探究】 PAGEREF _Tc3629 \h 30
【题型1 与平行线有关的多拐点问题】
【例1】（2024七年级·河北唐山·期末）如图，已知AB∥CD，EF⊥AB于点E，∠AEH=∠FGH=20°，∠H=50°，则∠EFG的度数是（ ）
A．120°B．130°C．140°D．150°
【答案】C
【分析】如图，过点H作HM∥AB，过点F作FM∥AB，根据平行线的性质定理进行解答即可．
【优尖升-详解】解：如图，过点H作HM∥AB，过点F作FN∥AB，
∴∠1=∠2=20°，∠7+∠6=180°，
∵EF⊥AB，
∴∠7=90°，
∴∠6=90°，
∵AB∥CD， HM∥AB， FN∥AB，
∴HM∥CD， FN∥CD，
∴∠3=∠4，∠CGF=∠5，
∵∠EHG=∠2+∠3，∠2=20°，∠EHG=50°
∴∠3=30°，
∴∠4=30°，
∵∠FGH=20°，
∴∠CGF=∠4+∠FGH=30°+20°=50°，
∴∠5=∠CGF=50°，
∴∠EFG=∠6+∠5=90°+50°=140°．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握判定与性质定理，正确作出辅助线是解题的关键．
【变式1-1】（2024七年级·浙江杭州·期末）如图所示，若AB∥EF，用含α、β、γ的式子表示x，应为（ ）
A．α+β+γB．β+γ−αC．180°−α−γ+βD．180°+α+β−γ
【答案】C
【分析】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，推出AB∥CD∥MN∥EF，根据平行线的性质得出α+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=γ，求出∠BCD=180°-α，∠DCM=∠CMN=β-γ，即可得出答案．
【优尖升-详解】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，
∵AB∥EF，
∴AB∥CD∥MN∥EF，
∴α+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=γ，
∴∠BCD=180°-α，∠DCM=∠CMN=β-γ，
∴x=∠BCD+∠DCM=180°−α−γ+β，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力．
【变式1-2】（2024七年级·山东烟台·期末）如图AB1//CBn，则∠1+∠2+∠3+…+∠n=（ ）
A．540°B．180°nC．180°(n-1)D．180°(n+1)
【答案】C
【分析】根据题意，作DB2//AB1，EB3//AB1，FB4//AB1，由两直线平行，同旁内角互补，即可求出答案．
【优尖升-详解】解：根据题意，作DB2//AB1，EB3//AB1，FB4//AB1，
∵AB1//CBn，
∴∠1+∠B1B2D=180°，∠DB2B3+∠B2B3E=180°，∠EB3B4+∠B3B4F=180°，……
∴∠1+∠B1B2D+∠DB2B3+∠B2B3E+∠EB3B4+∠B3B4F=180°×3，……
∴∠1+∠2+∠3+⋯+∠n=180°×(n−1)；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是正确作出辅助线，熟练运用两直线平行同旁内角互补进行证明．
【变式1-3】（2024七年级·重庆九龙坡·期末）如图，AB∥CD，点E在CD上，点G，F，I在AB，CD之间，且GE平分∠CEF，BI平分∠FBH，GF∥BI．若∠BFE=52°，则∠G的度数为（ ）．
A．112°B．114°C．116°D．118°
【答案】C
【分析】如图，过F作FT∥AH，可设∠ABF=∠BFT=x，由AB∥CD，可设∠TFE=∠CEF=2y，设∠HBF=2z，而BI平分∠HBF，可得∠HBI=∠FBI=z，可得z−y=64，由∠FBI+∠BFG=180°，可得∠GFE=180°−∠FBI−∠BFE=128°−z，∠G=180°−∠GFE−∠GEF 可得答案．
【优尖升-详解】解：如图，过F作FT∥AH，
∴设∠ABF=∠BFT=x，
∵AB∥CD，
∴FI∥CD，
∴设∠TFE=∠CEF=2y，
∵EG平分∠CEF，
∴∠CEG=∠FEG=y，
设∠HBF=2z，而BI平分∠HBF，
∴∠HBI=∠FBI=z，
∵∠BFE=52°，
∴x+2y=52，
由平角的定义可得：x+2z=180，
∴2z−2y=128，即z−y=64，
∵BI∥FG，
∴∠FBI+∠BFG=180°，
∴∠GFE=180°−∠FBI−∠BFE=180°−52°−z=128°−z，
∴∠G=180°−∠GFE−∠GEF
=180°−y−128°+z
=52°+64°
=116°．
故选C．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的定义，作出适当的辅助线构建平行线是解本题的关键．
【题型2 平行线中的旋转问题】
【例2】（2024七年级·山西大同·期末）如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF=100°，CD与AB在直线EF异侧．若∠DCF=60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为（ ）时，CD与AB平行．（ ）
A．4秒B．10秒C．40秒D．4或40秒
【答案】D
【分析】分情况讨论：①AB与CD在EF的两侧，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；③CD旋转到与AB都在EF的左侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．
【优尖升-详解】解：分三种情况：
如图①，AB与CD在EF的两侧时，
∵∠BAF=100°，∠DCF=60°，
∴∠ACD=180°−60°−6t°=120°−6t°，∠BAC=100°−t°，
要使AB∥CD，则∠ACD=∠BAC，
即120°−6t°=100°−t°，
解得t=4；
此时180°−60°÷6=20，
∴0②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，
∵∠DCF=360°−6t°−60°=300°−6t°，∠BAC=100°−t°，
要使AB∥CD，则∠DCF=∠BAC，
即300°−6t°=100°−t°，
解得t=40，
此时360°−60°÷6=50，
∴20③CD旋转到与AB都在EF的左侧时，
∴∠DCF=6t°−(180°−60°+180°)=6t°−300°，∠BAC=t°−100°，
要使AB∥CD，则∠DCF=∠BAC，
即6t°−300°=t°−100°，
解得t=40，
此时t>50，
而40<50，
∴此情况不存在．
综上所述，当时间t的值为4秒或40秒时，CD与AB平行．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况讨论．
【变式2-1】（2024七年级·贵州六盘水·期末）如图，李师傅将木条AB和AC固定在点A处，在木条AB上点O处安装一根能旋转的木条OD．李师傅用量角仪测得∠A=70°，木条OD与AB的夹角∠BOD=82°，要使OD∥AC，木条OD绕点O按逆时针方向至少旋转（ ）
A．12°B．18°C．22°D．24°
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据OD'∥AC，运用两直线平行，同位角相等，求得∠BOD'=∠A，即可得到∠DOD'的度数，即旋转角的度数．
【优尖升-详解】解：∵OD'∥AC，
∴∠BOD'=∠A=70°，
∴∠DOD'=∠BOD−∠BOD'=82°−70°=12°，
∴木条OD绕点O按逆时针方向至少旋转12°，
故选：A．
【变式2-2】（2024七年级·重庆巴南·期末）一副三角板按如图所示叠放在一起，若固定△AOB，将△ACD绕着公共顶点A，按顺时针方向旋转α0°<α<180°，当△ACD的一边与△AOB的某一边平行时，相应的旋转角α的值不可能是（ ）
A．135°B．105°C．75°D．45°
【答案】B
【分析】本题考查平行线的判定与性质，要分类讨论，不要漏掉一种情况，也可实际用三角板操作找到它们之间的关系；再计算．
【优尖升-详解】由题意可得旋转角α=∠BAD
分5种情况讨论：
（1）当AC∥OB时，∠CAB+∠B=180°，则∠CAB=135°
此时α=∠CAB−∠CAD=135°−90°=45°；
（2）当AD∥OB时，∠DAB+∠B=180°，则α=∠DAB=135°
（3）当DC∥OB时，∠DEB+∠B=180°，则∠DEB=135°
此时α=∠DAB=∠DEB+∠CDA=135°+30°=165°；
（4）当DC∥AB时，α=∠DAB=∠CDA=30°，
（5）当DC∥AO时，∠CAB+∠B=180°，则∠CAB=135°
此时α=∠DAB=∠CAB−∠CAD=135°−60°=75°；
∴相应的旋转角α的值不可能是105°，
故选：B．
【变式2-3】（2024七年级·河北沧州·期末）为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动30°，B灯每秒转动10°，B灯先转动2秒，A灯才开始转动，当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是（ ）
A．1或6秒B．8.5秒C．1或8.5秒D．2或6秒
【答案】C
【分析】设A灯旋转的时间为t秒，求出t的取值范围为0【优尖升-详解】解：设A灯旋转的时间为t秒，
A灯光束第一次到达AN所需时间为180°30°=6秒，B灯光束第一次到达BQ所需时间为180°10°=18秒，
∵B灯先转动2秒，A灯才开始转动，
∴0由题意，分以下三种情况：
①如图，当0∴∠MAM'=30°t,∠PBP'=10°(t+2)，
∵MN//PQ,AM'//BP'，
∴∠MAM'=∠1,∠PBP'=∠1，
∴∠MAM'=∠PBP'，即30°t=10°(t+2)，
解得t=1，符合题设；
②如图，当6∴∠MAM'=180°−30°(t−6)=360°−30°t,∠PBP'=10°(t+2)，
∵MN//PQ,AM'//BP'，
∴∠MAM'+∠2=180°,∠PBP'+∠2=180°，
∴∠MAM'=∠PBP'，即360°−30°t=10°(t+2)，
解得t=8.5符合题设；
③如图，当12∴∠MAM'=30°(t−12)=30°t−360°,∠PBP'=10°(t+2)，
同理可得：∠MAM'=∠PBP'，即30°t−360°=10°(t+2)，
解得t=19>16，不符题设，舍去；
综上，A灯旋转的时间为1秒或8.5秒，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的几何应用等知识点，正确求出时间t的取值范围，并据此分三种情况讨论是解题关键．
【题型3 平行线中的多结论问题】
【例3】（2024七年级·湖南长沙·期末）如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD=∠D，∠B=∠D，EF∥HC，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG=∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC，则下列结论：①AD∥BC；②GK平分∠AGC；③∠DGH=37°；④∠MGK的角度为定值且定值为16°，其中正确结论的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【分析】根据平行线的判定定理得到AD∥BC，故①正确；由平行线的性质得到∠AGK=∠CKG，等量代换得到∠AGK=∠CGK，求得GK平分∠AGC；故②正确；根据题意列方程得到∠FGA=∠DGH=37°，故③正确；设∠AGM=α，∠MGK=β，得到∠AGK=α+β，根据角平分线的定义即可得到结论．
【优尖升-详解】解：∵∠EAD=∠D，∠B=∠D，
∴∠EAD=∠B，
∴AD∥BC，故①正确；
∴∠AGK=∠CKG，
∵∠CKG=∠CGK，
∴∠AGK=∠CGK，
∴GK平分∠AGC；故②正确；
∵∠FGA的余角比∠DGH大16°，
∴90°-∠FGA-∠DGH=16°，
∵∠FGA=∠DGH，
∴90°-2∠FGA=16°，
∴∠FGA=∠DGH=37°，故③正确；
设∠AGM=α，∠MGK=β，
∴∠AGK=α+β，
∵GK平分∠AGC，
∴∠CGK=∠AGK=α+β，
∵GM平分∠FGC，
∴∠FGM=∠CGM，
∴∠FGA+∠AGM=∠MGK+∠CGK，
∴37°+α=β+α+β，
∴β=18.5°，
∴∠MGK=18.5°，故④错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，对顶角性质，一元一次方程，正确的识别图形是解题的关键．
【变式3-1】（2024七年级·重庆北碚·期末）如图，已知AB∥CD，∠BEH=∠CFG，EI、FK分别为∠AEH、∠CFG的角平分线，FK⊥FJ，则下列说法正确的有（ ）个．
①EH∥GF
②∠CFK=∠H
③FJ平分∠GFD
④∠AEI+∠GFK=90°
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】如图，延长EH交CD于M，由AB∥CD，可得∠BEH=∠EMC，由∠BEH=∠CFG，可得∠EMC=∠CFG，EH∥GF，进而可判断①的正误；由EI、FK分别为∠AEH、∠CFG的角平分线，则∠AEI=∠HEI=12∠AEH，∠CFK=∠GFK=12∠CFG，如图，过I作IP∥AB，则IP∥CD，有∠EIP=∠AEI=12∠AEH，∠PIF=∠CFK=∠GFK=12∠CFG，根据∠EIP=180°−∠HEI−∠BEH=180°−12∠AEH−∠BEH，可得∠EIF=∠EIP+∠PIF=180°−12∠AEH−∠BEH+12∠CFG =90°，可得∠AEI+∠GFK=∠EIF=90°，进而可判断④的正误；由FK⊥FJ，可知∠KFJ=90°，∠GFK+∠GFJ=90°，由∠CFK+∠KFJ+∠DFJ=180°，可得∠DFJ=180°−∠CFK−∠KFJ=90°−∠CFK=∠GFJ，进而可判断③的正误；由EH∥GF，可知∠H=∠G，由于GH与FK的位置关系不确定，可知∠GFK与∠G的大小关系不确定，则∠CFK=∠H不一定成立，进而可判断②的正误，进而可得答案．
【优尖升-详解】解：如图，延长EH交CD于M，
∵AB∥CD，
∴∠BEH=∠EMC，
∵∠BEH=∠CFG，
∴∠EMC=∠CFG，
∴EH∥GF，
∴①正确，故符合要求；
∵EI、FK分别为∠AEH、∠CFG的角平分线，
∴∠AEI=∠HEI=12∠AEH，∠CFK=∠GFK=12∠CFG，
如图，过I作IP∥AB，
∴IP∥CD，
∴∠EIP=∠AEI=12∠AEH，∠PIF=∠CFK=∠GFK=12∠CFG，
∵∠EIP=180°−∠HEI−∠BEH=180°−12∠AEH−∠BEH，
∴∠EIF=∠EIP+∠PIF=180°−12∠AEH−∠BEH+12∠CFG
=180°−12∠AEH−∠BEH+12∠BEH
=180°−12∠AEH+∠BEH
=90°
∴∠AEI+∠GFK=∠EIP+∠PIF=∠EIF=90°，
∴④正确，故符合要求；
∵FK⊥FJ，
∴∠KFJ=90°，∠GFK+∠GFJ=90°，
∵∠CFK+∠KFJ+∠DFJ=180°，
∴∠DFJ=180°−∠CFK−∠KFJ=90°−∠CFK=90°−∠GFK=∠GFJ，
∴FJ平分∠GFD，
∴③正确，故符合要求；
∵EH∥GF，
∴∠H=∠G，
∵GH与FK的位置关系不确定，
∴∠GFK与∠G的大小关系不确定，
∴∠CFK=∠H不一定成立，
∴②错误，故不符合要求；
∴正确的共有3个，
故选B．
【点睛】本题考查了两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；角平分线，两直线平行，同旁内角互补等知识．解题的关键在于对平行线的判定与性质的熟练掌握与灵活运用．
【变式3-2】（2024七年级·重庆北碚·期末）如图，AB∥CD，点E，P在直线AB上（P在E的右侧），点G在直线CD上，EF⊥FG，垂足为F，M为线段EF上的一动点，连接GP，GM，∠FGP与∠APG的角平分线交与点Q，且点Q在直线AB，CD之间的区域，下列结论：①∠AEF+∠CGF＝90°；②∠AEF+2∠PQG＝270°；③若∠MGF＝2∠CGF，则3∠AEF+∠MGC＝270°；④若∠MGF＝n∠CGF，则∠AEF+1n+1∠MGC＝90°．正确的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【分析】①过点F作FH∥AB，利用平行线的性质以及已知即可证明；
②利用角平分线的性质以及平行线的性质得到∠3=2∠2，∠CGF+2∠1+∠3=180°，结合①的结论即可证明；
③由已知得到∠MGC＝3∠CGF，结合①的结论即可证明；
④由已知得到∠MGC＝(n+1)∠CGF，结合①的结论即可证明．
【优尖升-详解】解：①过点F作FH∥AB，如图：
∵AB∥CD，∴AB∥FH∥CD，
∴∠AEF=∠EFH，∠CGF=∠GFH，
∵EF⊥FG，即∠EFG=∠EFH+∠GFH=90°，
∴∠AEF+∠CGF=90°，故①正确；
②∵AB∥CD，PQ平分∠APG，GQ平分∠FGP，
∴∠APQ=∠2，∠FGQ=∠1，
∴∠3=∠APQ+∠2=2∠2，
∠CGF+∠FGQ+∠1+∠3=∠CGF+2∠1+∠3=180°，
即2∠1=180°-2∠2-∠CGF，
∴2∠2+2∠1=180°-∠CGF，
∵∠PQG=180°-(∠2+∠1)，
∴2∠PQG=360°-2(∠2+∠1)= 360°-(180°-∠CGF)= 180°+∠CGF，
∴∠AEF+2∠PQG=∠AEF+180°+∠CGF=180°+90°=270°，故②正确；
③∵∠MGF＝2∠CGF，
∴∠MGC＝3∠CGF，
∴3∠AEF+∠MGC＝3∠AEF+3∠CGF＝3(∠AEF+∠CGF)= 3×90°＝270°；
3∠AEF+∠MGC＝270°，故③正确；
④∵∠MGF＝n∠CGF，
∴∠MGC＝(n+1)∠CGF，即∠CGF=1n+1∠MGC，
∵∠AEF+∠CGF=90°，
∴∠AEF+1n+1∠MGC＝90°，故④正确．
综上，①②③④都正确，共4个，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识点，作辅助线求得∠AEF+∠CGF=90°，是解此题的关键．
【变式3-3】（2024七年级·江苏宿迁·期末）如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB//CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE=α，∠DCE=β．下列各式：①α+β，②α−β，③β−a，④360°−α−β，∠AEC的度数可能是（ ）
A．②③B．①④C．①③④D．①②③④
【答案】D
【分析】由题意根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可．
【优尖升-详解】解：（1）如图1，由AB∥CD，可得∠AOC=∠DCE1=β，
∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C，
∴∠AE1C=β-α．
（2）如图2，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1=∠BAE2=α，∠2=∠DCE2=β，
∴∠AE2C=α+β．
（3）如图3，由AB∥CD，可得∠BOE3=∠DCE3=β，
∵∠BAE3=∠BOE3+∠AE3C，
∴∠AE3C=α-β．
（4）如图4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4=360°，
∴∠AE4C=360°-α-β．
（5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得∠AEC=α-β或β-α．
综上所述，∠AEC的度数可能为β-α，α+β，α-β，360°-α-β，即①②③④．
故选：D．
【点睛】本题主要考查平行线的性质的运用，解题时注意两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等以及分类讨论．
【题型4 平面直角坐标系中的规律探究】
【例4】（2024七年级·湖北荆州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A1,1,B−1,1,C−1,−2,D1,−2，点P，Q同时从点A出发，沿长方形ABCD的边作环绕运动，点P按逆时针方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点Q按顺时针方向以每秒3个单位长度的速度匀速运动，则第2024秒P，Q两点相遇地点的坐标是（ ）
A．−1,−1B．1,−1C．0,−2D．−1,1
【答案】B
【分析】求出长方形的周长，确定两点相遇所需时间，找到相遇的点的坐标，进而抽象出相应规律，即可得出结果．
【优尖升-详解】解：∵A1,1,B−1,1,C−1,−2,D1,−2，
∴AD=BC=3,AB=CD=2，
∴长方形的周长为2×2+3=10，
∴P,Q每次相遇需要的时间为：10÷2+3=2秒，即点P每运动4个单位长度，两点相遇，
∴第一次相遇的点的坐标为：−1,−1，
第二次相遇的点为：1,−1，
第三次相遇的点为：−1,1，
第四次相遇的点为：0,−2，
第五次相遇的点为：A1,1；
⋯
每5次一个循环，
∵2024÷2÷5=202⋯2，
∴第2024秒P，Q两点相遇地点的坐标是1,−1；
故选B．
【点睛】本题考查点的规律探究．解题的关键是确定两点相遇所需时间，以及相遇时点的坐标规律．
【变式4-1】（2024七年级·重庆·期末）如图，已知A11,1，A22,−1，A34,4，A46,−4，A57,1，A68,−1，A710,4，A812,−4……，按这样的规律，则点A2023的坐标为（ ）

A．3032,−1B．3034,4C．3036,4D．3031,1
【答案】B
【分析】先找到点的规律，然后计算解题即可．
【优尖升-详解】由题可知，每四个点纵坐标重复一次，横坐标向左平移6个单位长度，
∴2023÷4=505⋯3，
则A2023的横坐标为：505×6+4=3034，纵坐标为4，
故选B．
【点睛】本题考查坐标的规律问题，解题的关键是找到点的坐标规律．
【变式4-2】（2024·山东·期末）如图，在平面直角坐标系中，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，△A7A8A9，…，都是等腰直角三角形，且点A1，A3，A5，A7，A9的坐标分别为A1(3,0)，A3(1,0)，A5(4,0)，A7(0,0)，A9(5,0)，依据图形所反映的规律，则A102的坐标为（）
A．（2，25）B．（2，26）C．（52，−532）D．（52，−552）
【答案】B
【分析】由题意根据图形可知脚码除以4余1与3的点在x轴上，余2的点在第一象限内，没有余数的在第四象限内，再观察其坐标数的规律便可得解．
【优尖升-详解】解：根据题意可得，A2的坐标（2，1），
A6的坐标（2，2），
A10的坐标（2，3），
…，
∵102=25×4+2，
∴A102的纵坐标为（102+2）÷4=26，
∴A102的坐标（2，26）．
故选：B．
【点睛】本题考查点的坐标规律的变化，仔细观察图形，先确定点A102是属于脚码除以4，余数为2的点，在第一象限的点，再确定这些点它的横坐标都为2不变，纵坐标为（n+2）÷4．
【变式4-3】（2024七年级·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一只蚂蚁从原点O出发向右移动1个单位长度到达点P1；然后逆时针转向90°移动2个单位长度到达点P2；然后逆时针转向90°，移动3个单位长度到达点P3；然后逆时针转向90°，移动4个单位长度到达点P4；…，如此继续转向移动下去．设点Pn（xn，yn），n＝1，2，3，…，则x1+x2+x3+…+x2021＝（ ）
A．1B．﹣1010C．1011D．2021
【答案】A
【分析】根据各点横坐标数据得出规律，进而得出x1+x2+…+x8；经过观察分析可得每4个数的和为−2，把2020个数分为505组，求出x2021=1011，即可得到相应结果．
【优尖升-详解】解：根据平面坐标系结合各点横坐标得出：x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8的值分别为：1，1，−2，−2，3，3，−4，−4；
∴x1+x2+…+x8=−4，
∵x1+x2+x3+x4=1+1−2−2=−2，
x5+x6+x7+x8=3+3−4−4=−2，
…，
x97+x98+x99+x100=−2，
…，
∴x1+x2+…+x2020=−2×(2020÷4)=−1010，
∵x2021=1011，
∴x1+x2+x3+…+x2021=1，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了点的坐标特点，解决本题的关键是分析得到4个数相加的规律．
【题型5 实际问题与二元一次方程（组）】
【例5】（2024七年级·浙江温州·期末）我们知道自行车一般是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎，假设前轮行驶5000公里报废，后轮行驶3000公里报废，如果在自行车行驶若干公里后，将前后轮进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶（ ）公里．
A．4000B．3750C．4250D．3250
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出两个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，一对新轮胎交换位置前走了x公里，交换位置后走了y公里，根据交换前磨损总量和交换后的磨损总量相等，可列出方程组，解方程组即可．
【优尖升-详解】解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，
则安装在前轮的轮胎每行驶1公里磨损量为k5000，安装在后轮的轮胎每行驶1公里的磨损量为k3000，
设一对新轮胎交换位置前走了x公里，交换位置后走了y公里，
由题意得：kx5000+ky3000=kky5000+kx3000=k，
两式相加，得kx+y5000+kx+y3000=2k，
解得：x+y=3750，
故选：B．
【变式5-1】（2024七年级·福建福州·期末）用如图①中的长方形和正方形纸板为侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒（图2中两个盒子朝上的一面不用纸板）．现在仓库里有m张长方形纸板和n张正方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则m+n的值有可能是（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
【答案】A
【分析】设做竖式的无盖纸盒为x个，横式的无盖纸盒y个，由所需长方形纸板和正方形纸板的张数列出方程组，再由x、y的系数表示出m+n并判断m+n为5的倍数，然后选择答案即可．
【优尖升-详解】解：设做竖式的无盖纸盒为x个，横式的无盖纸盒为y个，
根据题意得：4x+3y=mx+2y=n，
整理得：m+n＝5（x+y），
∵x、y都是正整数，
∴m+n是5的倍数，
∵2020、2021、2022、2023四个数中只有2020是5的倍数，
∴m+n的值可能是2020．
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式5-2】（2016·湖南常德·期末）某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天，已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则这一段时间有（ ）
A．9天B．11天C．13天D．22天
【答案】B
【优尖升-详解】解：根据题意设有x天早晨下雨，这一段时间有y天，有9天下雨，
即早上下雨或晚上下雨都可称之为当天下雨，
①总天数﹣早晨下雨=早晨晴天；
②总天数﹣晚上下雨=晚上晴天；
列方程组y−x=7y−(9−x)=6，
解得x=4y=11，
所以一共有11天，
故选B．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用．
【变式5-3】（2024七年级·浙江嘉兴·期末）小明去文具店购买了笔和本子共5件，已知两种文具的单价均为正整数且本子的单价比笔的单价贵．在付账时，小明问是不是27元，但收银员却说一共48元，小明仔细看了看后发现自己将两种商品的单价记反了．小明实际的购买情况是（ ）
A．1支笔，4本本子B．2支笔，3本本子
C．3支笔，2本本子D．4支笔，1本本子
【答案】A
【分析】设购买了笔x件，购买了本子(5-x)件，本子的单价为a元，笔的单价为b元，分类讨论解方程即可．
【优尖升-详解】解：设购买了笔x件，购买了本子(5-x)件，本子的单价为a元，笔的单价为b元，列方程组得 bx+a(5−x)=48ax+b(5−x)=27，
当x=1时，原方程组为b+4a=48a+4b=27，解得a=11b=4，符合题意；
当x=2时，原方程组为2b+3a=482a+3b=27，解得a=18b=−3，不符合题意，舍去；
当x=3时，原方程组为3b+2a=483a+2b=27，解得a=−3b=18，不符合题意，舍去；
当x=4时，原方程组为4b+a=484a+b=27，解得a=4b=11，不符合题意，舍去；
故选：A．
【点睛】本题考查了含参数的二元一次方程组的应用，解题关键是理解题意，找出等量关系，列出方程组，分类讨论解方程组．
【题型6 一元一次不等式组的整数解问题】
【例6】（2024七年级·武汉·期末）若存在一个整数m，使得关于x，y的方程组3x+2y=4m+5x−y=m−1的解满足x+4y≤3，且让不等式5x−m>0x−4<−1只有3个整数解，则满足条件的所有整数m的和是（ ）
A．12B．6C．−10D．−14
【答案】D
【分析】根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出m的取值范围，再进行求解即可．
【优尖升-详解】解：3x+2y=4m+5①x−y=m−1②，
①+②×2，得：5x=6m+3，
解得x=6m+35，
①−②×3，得：5y=m+8，
解得y=m+85，
∵x+4y≤3，
∴6m+35+4(m+8)5≤3，
解得m≤﹣2，
解不等式5x−m>0，得：x>m5，
解不等式x−4<−1，得：x<3，
∵不等式组只有3个整数解，
∴−1≤m5<0，
解得−5≤m<0，
∴−5≤m≤−2，
∴符合条件的整数m的值的和为−5−4−3−2=−14，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组，求不等式的整数解等知识点，掌握解方程组和不等式组的方法是解题的关键．
【变式6-1】（2024七年级·重庆·期末）从－2，－1,0,1,2，3，5这七个数中，随机抽取一个数记为m，若数m使关于x的不等式组x>m+2−2x−1≥4m+1无解，且使关于x的一元一次方程（m－2）x＝3有整数解，那么这六个数所有满足条件的m的个数有（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】不等式组整理后，根据无解确定出m的范围，进而得到m的值，将m的值代入检验，使一元一次方程的解为整数即可．
【优尖升-详解】解：解：不等式组整理得：x>m+2x⩽−2m−1，
由不等式组无解，得到m+2⩾−2m−1，
解得：m⩾−1，
即m=−1，0，1，2，3，5；
当m=-1时，一元一次方程（m－2）x＝3解为x=-1，符合题意；
当m=0时，一元一次方程（m－2）x＝3解为x=-1.5，不合题意；
当m=1时，一元一次方程（m－2）x＝3解为x=-3，符合题意；
当m=2时，一元一次方程（m－2）x＝3无解，不合题意；
当m=3时，一元一次方程（m－2）x＝3解为x=3，符合题意；
当m=5时，一元一次方程（m－2）x＝3解为x=1，符合题意．
故选：D
【点睛】本题考查根据不等式组的解集确定字母取值及一元一次方程解法，理解好求不等式组的解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”是解题关键．
【变式6-2】（2024七年级·重庆巴南·期末）若整数a使关于x的不等式组x+12≤2x+56x−2>a至少有4个整数解，且使关于x，y的方程组ax+2y=0x+y=6的解为正整数，那么所有满足条件的整数a的值的和是( )．
A．－3B．－4C．－10D．－14
【答案】D
【分析】根据不等式组求出a的范围，然后再根据关于x，y的方程组ax+2y=0x+y=6的解为正整数得到a−2=−6或−12，从而确定所有满足条件的整数a的值的和．
【优尖升-详解】解：x+12⩽2x+56x−2>a，
不等式组整理得：x⩽2x>a+2，
由不等式组至少有4个整数解，得到a+2<−1，
解得：a<−3，
解方程组ax+2y=0x+y=6，得x=−12a−2y=6aa−2，
又∵关于x，y的方程组ax+2y=0x+y=6的解为正整数，
∴a−2=−6或−12，
解得a=−4或a=−10，
∴所有满足条件的整数a的值的和是−14．
故选：D．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，学生的计算能力以及推理能力，解题的关键是根据不等式组以及二元一次方程组求出a的范围，本题属于中等题型．
【变式6-3】（2024七年级·重庆北碚·期末）若关于x的不等式组−2x−2−x<2k−x2≥−12+x最多有2个整数解，且关于y的一元一次方程3y−1−2y−k=7的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为（ ）
A．13B．18C．21D．26
【答案】B
【分析】分别求出不等式组的解集，一元一次方程的解，根据题意，求出符合条件的所有整数k，再将它们相加，即可得出结果．
【优尖升-详解】解：由−2x−2−x<2k−x2≥−12+x，可得：x>23x≤k+13，
∵关于x的不等式组−2x−2−x<2k−x2≥−12+x最多有2个整数解，
∴23∵不等式组的整数解最多时为：1，2，
∴k+13<3，解得：k<8；
解3y−1−2y−k=7，得：y=10−2k，
∵方程的解为非正数，
∴10−2k≤0，解得：k≥5，
综上：5≤k<8，
符合条件的k的整数值为：5,6,7，和为5+6+7=18；
故选B．
【点睛】本题考查由不等式组的解集和方程的解的情况求参数的值．正确的求出不等式组的解集和方程的解，是解题的关键．
【题型7 一元一次不等式组的新定义问题】
【例7】（2024七年级·重庆沙坪坝·期末）新定义：对非负实数x用“四舍五入”的法则精确到个位的值记为x，下列说法正确的个数为（ ）
①π=3（π为圆周率）：
②如果x−1=5，则实数x的取值范围为5.5≤x<6.5．
③若x≤x，则x+0.5−x=1
④满足x=87x的所有x的值有且只有五个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据四舍五入法则及不等式的性质依次判断计算即可．
【优尖升-详解】解：①∵π=3.14≈3
∴π=3（π为圆周率），正确，符符合题意；
②x−1=5，
∴4.5≤x−1<5.5，
∴5.5≤x<6.5，正确，符合题意；
③∵x≤x，
∴x的小数部分小于0.5，（四舍）
∴x+0.5的小数部分大于0.5，（五入）
则x+0.5−x=1，正确，符合题意；
④设87x=k，k为整数，
∴x=78k，
∴k−0.5≤78k∴0≤k≤4，
∴k=0,1,2,3,4，
x=0,78,74,218,72，
∴x=87x的所有x的值有且只有五个，符合题意；
故选：D．
【点睛】题目主要考查近似数的求法及不等式的性质，理解题干中的近视数的求法是解题关键．
【变式7-1】（2024七年级·湖北·期末）定义x表示不大于x的最大整数，如：3.2=3、−3.2=−4，3=3．则方程x+2=2x所有解的和为（ ）
A．32B．52C．72D．92
【答案】C
【分析】令x=n，代入原方程可得n+2=2x，解方程并由题意可得x≤x【优尖升-详解】解：令x=n，代入原方程可得n+2=2x，
解得x=n+22，
由题意可得x≤x∴n≤n+22∵n为整数，
∴n=1或2，
当n=1时，x=32，
当n=2时，x=2，
则方程x+2=2x所有解的和为32+2=72．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了对新定义的理解、解一元一次方程以及不等式的应用，正确根据新定义得出x的取值是解题关键．
【变式7-2】（2024七年级·福建泉州·期末）对于任意实数a、b定义一种新运算：a⊕b＝ab－a－b＋2．例如，2⊕6＝12－2－6＋2＝6．请根据上述定义解决问题：若m＜（3⊕x）＜5，并且这个关于x的不等式组的解集中只有2个整数解，那么m的取值范围是（ ）
A．−1【答案】D
【分析】根据题干中的定义求出（3⊕x），再由关于x的不等式组的解集中只有2个整数解即可得到答案．
【优尖升-详解】∵（3⊕x）=3x−3−x+2=2x−1
∴m<2x−1<5只有两个整数解，
∵2x−1<5∴x<3
∴这两个解为2、1，
将x=1与x=0代入2x-1，
∴−1≤m<1．
故选;D．
【点睛】本题考查新定义与一元一次不等式的整数解，正确理解新定义、掌握一元一次不等式的解法时关键．
【变式7-3】（2024七年级·浙江舟山·期末）定义运算：对于实数a,b,c，mida,b,c=b(a>b>c)．例如mid1,2,3=2，mid−1,2,−3=−1，mid1,2,2=2．若mid−x−3,x+2,12x−1=k，对于某个确定的k，有且只有一个x使等式成立，则k的取值范围是（ ）
A．k>−12或k<−53B．−6C．−53−12或k<−4
【答案】A
【分析】本题考查新定义运算，分情况讨论，列出不等式组，根据不等式组的解的情况进行判断取值范围即可．
【优尖升-详解】由题意可知,分三种情况：
①若−x−3≥x+2≥12x−1,则x≤−52,对于某个确定的k,有且只有一个x使等式成立,
∴k=−x−3>−52;②若x+2≥−x−3≥12x−1,则−53≤x≤−2,对于某个确定的k,有且只有一个x使等式成立,∴k=−x−3<−53；③若12x−1≥−x−3≥x+2,则−2≤x≤−12,对于某个确定的k,有且只有一个x使等式成立,k=x+2≥−12 ，
综上可知， k的取值范围是k≥−12或k<−53；
故选：A．
【题型8 实数中的规律探究】
【例8】（2024七年级·广西贵港·期末）在求1+6+62+63+64+65+66+67+68+69的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：S=1+6+62+63+64+65+66+67+68+69……①
然后在①式的两边都乘以6，得：6S=6+62+63+64+65+66+67+68+69+610……②
②-①得6S−S=610−1，即5S=610−1，所以S=610−15.
得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把“6”换成字母“a”(a≠0且a≠1)，能否求出1+a+a2+a3+a4+...+a2018的值?你的答案是
A．a2018−1a−1B．a2019−1a−1C．a2018−1aD．a2019−1
【答案】B
【分析】首先根据题意，设M=1+a+a2+a3+a4+…+a2014，求出aM的值是多少，然后求出aM-M的值，即可求出M的值，据此求出1+a+a2+a3+a4+…+a2019的值是多少即可．
【优尖升-详解】∵M=1+a+a2+a3+a4+…+a2018①，
∴aM=a+a2+a3+a4+…+a2014+a2019②，
②-①，可得aM-M=a2019-1，
即（a-1）M=a2019-1，
∴M= a2019−1a−1.
故选B.
【点睛】考查了整式的混合运算的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
【变式8-1】（2024七年级·浙江温州·期末）一列数a1， a2， a3，…… an，其中a1=﹣1， a2=11−a1， a3=11−a2，……， an=11−an−1，则a1×a2×a3×…×a2017=（ ）
A．1B．-1C．2017D．-2017
【答案】B
【优尖升-详解】因为a1=﹣1,所以a2=11−a1=11−（−1）=12,a3=11−a2=11−12=2,a4=11−a3=11−2=−1,通过观察可得:a1,a2,a3,a4……的值按照﹣1,12,2三个数值为一周期循环,将2017除以3可得672余1,所以a2017的值是第673个周期末第一个数值﹣1,因为每个周期三个数值的乘积为:
−1×12×2=−1,所以a1×a2×a3×…×a2017=−1672×−1=−1,故选B.
【变式8-2】（2024七年级·安徽合肥·期末）观察下列等式：
11×2=1−12，
12×3=12−13，
13×4=13−14，
…
1n(n+1)=1n−1n+1
将以上等式相加得到
11×2+12×3+13×4+⋯+1n(n+1)=1−1n+1．
用上述方法计算：11×3+13×5+15×7+⋯+199×101其结果为（ ）
A．50101B．49101C．100101D．99101
【答案】A
【分析】由上述规律可知，11×3=13=12(1−13) ，13×5=115=12(13−15)，15×7=135=12(15−17)，同理199×101=12(199−1101) ，然后将各式相加后即可求解．
【优尖升-详解】由题意可知：11×3+13×5+15×7+⋯+199×101
=12×(1−13)+12×(13−15)+12×(15−17)+⋯+12×(199−1101)
=12×(1−13+13−15+15−17⋯+199−1101)
=12×(1−1101)
=12×100101
=50101．
故选：A．
【点睛】本题考查的是实数的计算规律，此题为积化和差题型，有一定的难度，弄明白了计算规律就容易求解．能够理解题意，看懂运算规律，并能运用规律求解是前提，解决此类题型的关键是会裂项相消．
【变式8-3】（2024七年级·福建三明·期末）读一读：式子“1+2+3+4+⋯+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为n=1100n，这里“Σ”是求和符号．通过对以上材料的阅读，计算n=120221nn+1的值为（ ）
A．20212022B．20222023C．20232022D．20222021
【答案】B
【分析】根据求和公式写出分数的和的形式，根据分数的性质计算即可．
【优尖升-详解】n=120221nn+1
=11×2+12×3+13×4+⋯+12020×2021+12021×2022+12022×2023
=1−12+12−13+13−14+⋯+12020−12021+12021−12022+12022−12023
=1−12023
=20222023
故选：B
【点睛】本题考查的是数字的变化类问题，根据题意写出分数的和的形式、并正确进行分解是解题的关键．