初中人教版（2024）22.1.1 二次函数课时练习

这是一份初中人教版（2024）22.1.1 二次函数课时练习，共22页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc30447" 【题型1 识别二次函数】 PAGEREF _Tc30447 \h 1
\l "_Tc17101" 【题型2 由二次函数的定义求参数的值】 PAGEREF _Tc17101 \h 2
\l "_Tc30982" 【题型3 由二次函数的定义求参数的取值范围】 PAGEREF _Tc30982 \h 2
\l "_Tc20050" 【题型4 二次函数的一般形式】 PAGEREF _Tc20050 \h 2
\l "_Tc22070" 【题型5 判断二次函数的关系式】 PAGEREF _Tc22070 \h 3
\l "_Tc6180" 【题型6 列二次函数关系式（销售问题）】 PAGEREF _Tc6180 \h 4
\l "_Tc12988" 【题型7 列二次函数关系式（几何图形问题）】 PAGEREF _Tc12988 \h 5
\l "_Tc14907" 【题型8 列二次函数关系式（增长率、循环问题）】 PAGEREF _Tc14907 \h 6
【知识点1 二次函数的概念】
一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二
次函数的一般形式．
【题型1 识别二次函数】
【例1】（2023春·广西河池·九年级统考期末）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y=3x−1B．y=x3+2C．y=x−22−x2D．y=x4−x
【变式1-1】（2023·内蒙古锡林郭勒盟·校考模拟预测）下列函数中，不是二次函数的是（ ）
A．y=x(x−1)B．y=2x2−1C．y=−x2D．y=(x+5)2−x2
【变式1-2】（2023春·浙江嘉兴·九年级校考期中）有下列函数：
①y=5x-4；②y=23x2−6x；③y=2x3-8x2+3；④y=38 x2−1；⑤y=3x2−1x−2；
其中属于二次函数的是 ___________（填序号）．
【变式1-3】（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）下列函数中，是二次函数的有（ ）
①y=1−2x2，②y=1x2，③y=3x1−3x，④y=(1−2x)(1+2x)
A．1个B．2个C．3个D．4个
【题型2 由二次函数的定义求参数的值】
【例2】（2023春·河南洛阳·九年级统考期末）已知函数y=(m+1)x|m|+1+4x−5是关于x 的二次函数，则一次函数y=mx−m的图像不经过第_______象限．
【变式2-1】（2023春·吉林长春·九年级校联考期末）若函数y=m−2x2+5x+6是二次函数，则有（ ）
A．m≠0B．m≠2C．x≠0D．x≠2
【变式2-2】（2023春·北京西城·九年级北京十四中校考期中）已知函数y=mxm2−2m+2+m−2，若它是二次函数，则函数解析式为___________．
【变式2-3】（2023春·山东济南·九年级期末）若函数y=mxm2+m+2+4是二次函数，则m的值为（ ）
A．0或−1B．0或1C．−1D．1
【题型3 由二次函数的定义求参数的取值范围】
【例3】（2023春·四川遂宁·九年级校考期中）已知函数y=(m2-2)x2+(m+2)x+8．若这个函数是二次函数，求m的取值范围__________________
【变式3-1】（2023·浙江·九年级假期作业）若函数y=m+1x2+2x+1是二次函数，则常数m的取值范围是（ ）
A．m=−1B．m>−1C．m<−1D．m≠−1
【变式3-2】（2023·全国·九年级假期作业）关于x的函数y=a−bx2+1是二次函数的条件是（ ）
A．a≠bB．a=bC．b=0D．a=0
【变式3-3】（2023春·河北承德·九年级阶段练习）若函数y=−2(x−1)2+(a−1)x2为二次函数，则a的取值范围为（ ）
A．a≠0B．a≠1C．a≠2D．a≠3
【题型4 二次函数的一般形式】
【例4】（2023·北京·九年级统考期中）已知关于x的函数y=（m﹣1）xm+（3m+2）x+1是二次函数，则此解析式的一次项系数是（ ）
A．﹣1B．8C．﹣2D．1
【变式4-1】（2023春·新疆乌鲁木齐·九年级校考期末）把y＝(3x-2)(x＋3)化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为________．
【变式4-2】（2023·上海·九年级假期作业）下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项．
(1)y=−12+3x2；
(2)y=x−34−2x+2x2；
(3)s=5t2+t+3；
(4)y=x2−3x−6．
【变式4-3】（2023春·全国·九年级专题练习）如果二次函数y=a1x2+b1x+c1 （a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2 （a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1与a2互为相反数，b1与b2相等，c1与c2互为倒数，那么称这两个函数为“亚旋转函数”．请直接写出函数y=−x2+3x−2的“亚旋转函数”为_________．
【知识点2 列二次函数关系式】
(1)理解题意：找出实际问题中的已知量和変量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言；
(2)分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式；
(3)列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示的函数的形式.
【题型5 判断二次函数的关系式】
【例5】（2023春·北京西城·九年级北京市第三十五中学校考开学考试）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=10，动点M、N分别从A、C两点同时出发，点M从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长的速度移动，点N从点C开始沿CB向点B以每秒2个单位长的速度移动．设运动的时间为t，点M、C之间的距离为y，△MCN的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系，一次函数关系B．正比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，正比例函数关系D．一次函数关系，二次函数关系
【变式5-1】（2023春·九年级课时练习）下列关系中，是二次函数关系的是（ ）
A．当距离S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系；
B．在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系；
C．圆的面积S与圆的半径r之间的关系；
D．正方形的周长C与边长a之间的关系；
【变式5-2】（2023春·湖北宜昌·九年级校联考期中）下列选项描述的y与x之间的关系是二次函数的是（ ）
A．正方体的体积y与棱长x之间的关系
B．某商品在6月的售价为30元，7月和8月连续两次降价销售，平均每月降价的百分率为x，该商品8月的售价y与x之间的关系
C．距离一定时，汽车匀速行驶的时间y与速度x之间的关系
D．等腰三角形的顶角度数y与底角度数x之间的关系
【变式5-3】（2023春·北京昌平·九年级校考期中）如图，线段AB=5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段AB运动至点B，以点A为圆心，线段AP长为半径作圆．设点P的运动时间为t，点P，B之间的距离为y，⊙A的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是_________________，_________________．（填“正比例函数”或“一次函数”或“二次函数”）
【题型6 列二次函数关系式（销售问题）】
【例6】（2023春·九年级课时练习）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售为x元，则可卖出（350-10x）件商品，那么商品所赚钱y元与售价x元的函数关系为（ ）
A．y=−10x2−560x+7350B．y=−10x2+560x−7350
C．y=−10x2+350xD．y=−10x2+350x−7350
【变式6-1】（2023春·全国·九年级专题练习）王大爷生产经销一种农副产品，其成本价为20元每千克．市场调查发现,该产品每天的销售量w(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系:w=−2x+60．若这种产品每天的销售利润为y(元).求y与x之间的函数关系式．
【变式6-2】（2023·浙江·九年级假期作业）商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价上涨1元，则每星期就会少卖10件．每件商品的售价上涨x元（x元为正整数），每星期销售的利润为y元，则x与y的函数关系式为（ ）
A．y=10200−10xB．y=20010+x
C．y=50+x200−10xD．y=10+x200−10x
【变式6-3】（2023·全国·九年级专题练习）某农户要改造部分农田种植蔬菜，经调查，平均每亩改造费用是900元，添加辅助设备费用（元）与改造面积（亩）的平方成正比，比例系数为18，每亩种植蔬菜还需种子、人工费用600元，若每亩蔬菜年销售额为7000元，设改造农田x亩，改造当年收益为y元，则y与x之间的数量关系可列式为（ ）
A．y=7000x−900x+18x+600xB．y=7000x−900x+18x2+600x
C．y=7000−900x+18x2+600xD．y=7000x−900x+18x2+600
【题型7 列二次函数关系式（几何图形问题）】
【例7】（2023春·山东青岛·九年级统考期末）如下图所示，在一幅长80cm、宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为ycm2，金色纸边的宽为xcm，则y与x之间的函数关系式是_________________．
【变式7-1】（2023春·全国·九年级统考期末）如图，等腰梯形的周长为60，底角为30°，腰长为x，面积为y，试写出y与x的函数表达式．
【变式7-2】（2023春·浙江·九年级统考期中）为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）.若设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym².则y与x之间的函数关系式是 ，自变量x的取值范围是 ；
【变式7-3】（2023春·九年级课时练习）图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，则第n个叠放的图形中，小正方体木块总数m与n的解析式是______．
【题型8 列二次函数关系式（增长率、循环问题）】
【例8】（2023·上海·九年级假期作业）一台机器原价为50万元，如果每年的折旧率是xx>0，两年后这台机器的价格为y万元，则y与x之间的函数关系式为_____．
【变式8-1】（2023春·九年级单元测试）有一个人患流感，经过两轮传染后共有y人患了流感，每轮传染中，平均一个人传染了x人，则y与x之间的函数关系式为___ .
【变式8-2】（2023春·辽宁大连·九年级统考期中）已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为________．
【变式8-3】（2023春·九年级课时练习）某工厂2015年产品的产量为100吨，该产品产量的年平均增长率为x（x＞0），设2015，2016，2017这三年该产品的总产量为y吨，则y关于x的函数关系式为（ ）
A．y＝100（1﹣x）2
B．y＝100（1+x）
C．y＝100(1+x)2
D．y＝100+100（1+x）+100（1+x）2
专题22.1 二次函数【八大题型】
【人教版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc30447" 【题型1 识别二次函数】 PAGEREF _Tc30447 \h 1
\l "_Tc17101" 【题型2 由二次函数的定义求参数的值】 PAGEREF _Tc17101 \h 3
\l "_Tc30982" 【题型3 由二次函数的定义求参数的取值范围】 PAGEREF _Tc30982 \h 4
\l "_Tc20050" 【题型4 二次函数的一般形式】 PAGEREF _Tc20050 \h 6
\l "_Tc22070" 【题型5 判断二次函数的关系式】 PAGEREF _Tc22070 \h 7
\l "_Tc6180" 【题型6 列二次函数关系式（销售问题）】 PAGEREF _Tc6180 \h 10
\l "_Tc12988" 【题型7 列二次函数关系式（几何图形问题）】 PAGEREF _Tc12988 \h 11
\l "_Tc14907" 【题型8 列二次函数关系式（增长率、循环问题）】 PAGEREF _Tc14907 \h 14
【知识点1 二次函数的概念】
一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二
次函数的一般形式．
【题型1 识别二次函数】
【例1】（2023春·广西河池·九年级统考期末）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y=3x−1B．y=x3+2C．y=x−22−x2D．y=x4−x
【答案】D
【分析】根据二次函数的定义对各选项进行逐一分析即可，注意C、D两项化简完后再判断．
【详解】解：A、y=3x−1是一次函数，不符合题意；
B、y=x3+2中，x的次数是3，不是二次函数，不符合题意；
C、y=x−22−x2可化为y=−4x+4是一次函数，不符合题意；
D、y=x4−x可化为y=4x−x2，是二次函数，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数的定义，一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，熟练掌握其定义是解决此题的关键．
【变式1-1】（2023·内蒙古锡林郭勒盟·校考模拟预测）下列函数中，不是二次函数的是（ ）
A．y=x(x−1)B．y=2x2−1C．y=−x2D．y=(x+5)2−x2
【答案】D
【分析】二次函数要求化简后有二次项，根据二次函数的定义回答即可．
【详解】A、函数化简为y=x2−x，是二次函数，本选项不符合题意；
B、是二次函数，本选项不符合题意；
C、是二次函数，本选项不符合题意；
D、函数化简为y=10x+25，没有二次项，不是二次函数，本选项符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．
【变式1-2】（2023春·浙江嘉兴·九年级校考期中）有下列函数：
①y=5x-4；②y=23x2−6x；③y=2x3-8x2+3；④y=38 x2−1；⑤y=3x2−1x−2；
其中属于二次函数的是 ___________（填序号）．
【答案】②④
【分析】根据二次函数的定义判断即可．
【详解】解：②y=23x2−6x；④y=38 x2﹣1符合二次函数的定义，属于二次函数；
①y=5x﹣4是一次函数，不属于二次函数；
③y=2x3﹣8x2+3自变量的最高次数是3，不属于二次函数；
⑤y=3x2−1x−2的右边不是整式，不属于二次函数．
综上所述，其中属于二次函数的是②④．
故答案为：②④．
【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
【变式1-3】（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）下列函数中，是二次函数的有（ ）
①y=1−2x2，②y=1x2，③y=3x1−3x，④y=(1−2x)(1+2x)
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0），逐一判断即可．
【详解】解：①y=1−2x2，是二次函数；
②y=1x2，不符合二次函数的定义，不是二次函数；
③y=3x1−3x，整理后是二次函数；
④y=(1−2x)(1+2x)，整理后是二次函数；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
【题型2 由二次函数的定义求参数的值】
【例2】（2023春·河南洛阳·九年级统考期末）已知函数y=(m+1)x|m|+1+4x−5是关于x 的二次函数，则一次函数y=mx−m的图像不经过第_______象限．
【答案】二
【分析】先根据二次函数的定义得到m+1=2，m+1≠0，解得m=1，然后根据一次函数的性质进行判断．
【详解】∵函数y=(m+1)x|m|+1+4x−5是关于x 的二次函数，
∴m+1=2且m+1≠0，
解得：m=1，
∴一次函数y=mx−m的图像经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故答案为：二
【点睛】本题考查了二次函数的定义以及一次函数的性质，求得m=1是解题的关键．
【变式2-1】（2023春·吉林长春·九年级校联考期末）若函数y=m−2x2+5x+6是二次函数，则有（ ）
A．m≠0B．m≠2C．x≠0D．x≠2
【答案】B
【分析】直接根据二次函数的定义解答即可．
【详解】解：由题意得，m−2≠0，
解得m≠2．
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解题的关键．
【变式2-2】（2023春·北京西城·九年级北京十四中校考期中）已知函数y=mxm2−2m+2+m−2，若它是二次函数，则函数解析式为___________．
【答案】y=2x2
【分析】由函数y=mxm2−2m+2+m−2是二次函数，可得m2−2m+2=2且m≠0，从而可得答案．
【详解】解：∵函数y=mxm2−2m+2+m−2是二次函数，
∴m2−2m+2=2且m≠0，
当m2−2m+2=2时，
解得：m1=0，m2=2，
综上：m=2，
∴函数解析式为y=2x2，
故答案为：y=2x2．
【点睛】本题考查的是二次函数的定义，一元二次方程的解法，掌握“二次函数的定义”是解本题的关键．
【变式2-3】（2023春·山东济南·九年级期末）若函数y=mxm2+m+2+4是二次函数，则m的值为（ ）
A．0或−1B．0或1C．−1D．1
【答案】C
【分析】利用二次函数定义可得m2+m+2=2，且m≠0，再解即可．
【详解】解：由题意得：m2+m+2=2，且m≠0，
解得：m=−1或m=0且m≠0，
故m=−1，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般地，我们把形如y=ax²+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．
【题型3 由二次函数的定义求参数的取值范围】
【例3】（2023春·四川遂宁·九年级校考期中）已知函数y=(m2-2)x2+(m+2)x+8．若这个函数是二次函数，求m的取值范围__________________
【答案】m≠2且m≠-2
【分析】根据二次函数的定义，即可得不等式m2-2≠0，解不等式即可求得．
【详解】解：∵函数y=(m2-2)x2+(m+2)x+8是二次函数，
∴m2-2≠0，
解得m≠±2，
故答案为：m≠2且m≠-2．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握和运用二次函数的定义是解决本题的关键．
【变式3-1】（2023·浙江·九年级假期作业）若函数y=m+1x2+2x+1是二次函数，则常数m的取值范围是（ ）
A．m=−1B．m>−1C．m<−1D．m≠−1
【答案】D
【分析】根据二次函数的定义即可得到答案．
【详解】解：∵函数y=m+1x2+2x+1是二次函数，
∴m+1≠0，
∴m≠−1，
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的二次项系数不等于0是解题关键．
【变式3-2】（2023·全国·九年级假期作业）关于x的函数y=a−bx2+1是二次函数的条件是（ ）
A．a≠bB．a=bC．b=0D．a=0
【答案】A
【分析】根据二次函数的定义，直接求解即可得到答案；
【详解】解：∵y=a−bx2+1是二次函数，
∴a−b≠0，
解得：a≠b，
故选A．
【点睛】本题考查二次函数的条件，二次函数二次项系数不为0．
【变式3-3】（2023春·河北承德·九年级阶段练习）若函数y=−2(x−1)2+(a−1)x2为二次函数，则a的取值范围为（ ）
A．a≠0B．a≠1C．a≠2D．a≠3
【答案】D
【详解】试题分析：由原函数解析式得到：y=−2(x−1)2+(a−1)x2=(a−3)x2+4x−2．∵函数y=−2(x−1)2+(a−1)x2为二次函数，∴a−3≠0，解得a≠3．故选D．
考点：二次函数的定义．
【题型4 二次函数的一般形式】
【例4】（2023·北京·九年级统考期中）已知关于x的函数y=（m﹣1）xm+（3m+2）x+1是二次函数，则此解析式的一次项系数是（ ）
A．﹣1B．8C．﹣2D．1
【答案】B
【分析】根据二次函数的一般形式为y=ax2+bx+ca≠0，其中二次项系数a≠0，且二次项指数为2求解即可.
【详解】∵y=m−1xm+3m+2x+1是二次函数，∴m−1≠0，m=2，即m=2,m≠1，∴此解析式的一次项系数是3m+2=3×2+2=8，故本题正确答案为B选项.
【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的一般形式为y=ax2+bx+ca≠0，其中二次项系数a≠0，且二次项指数为2是解决本题的关键.
【变式4-1】（2023春·新疆乌鲁木齐·九年级校考期末）把y＝(3x-2)(x＋3)化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为________．
【答案】1
【分析】先将其化为一般式，即可求出一次项系数和常数项，从而求出结论．
【详解】解：y＝(3x-2)(x＋3)=3x2＋7x-6
∴一次项系数为7，常数项为-6
∴一次项系数与常数项的和为7＋（-6）=1
故答案为：1．
【点睛】此题考查的是二次函数的一般式，掌握二次函数的一般形式是解题关键．
【变式4-2】（2023·上海·九年级假期作业）下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项．
(1)y=−12+3x2；
(2)y=x−34−2x+2x2；
(3)s=5t2+t+3；
(4)y=x2−3x−6．
【答案】(1)是，二次项是3x2、一次项系数是0、常数项是−12；
(2)不是；
(3)是，二次项是5t2、一次项系数是1、常数项是3；
(4)不是
【分析】根据二次函数的概念求解即可．
【详解】（1）是二次函数，二次项是3x2、一次项系数是0、常数项是−12；
（2）y=x−34−2x+2x2=−2x2+10x−12+2x2=10x−12，不含二次项，故不是二次函数；
（3）是二次函数，二次项是5t2、一次项系数是1、常数项是3；
（4）y=x2−3x−6中−3x不是整式，故不是二次函数．
【点睛】本题考查二次函数的概念，二次项系数、一次项系数、常数项的概念，解题的关键是掌握以上知识点．形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函数叫做二次函数，其中ax2叫做二次项、b叫做一次项系数、c是常数项．
【变式4-3】（2023春·全国·九年级专题练习）如果二次函数y=a1x2+b1x+c1 （a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2 （a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1与a2互为相反数，b1与b2相等，c1与c2互为倒数，那么称这两个函数为“亚旋转函数”．请直接写出函数y=−x2+3x−2的“亚旋转函数”为_________．
【答案】y=x2+3x−12
【详解】解：∵－1的相反数是1，－2的倒数是−12，∴函数y=−x2+3x−2的“亚旋转函数”为y=x2+3x−12．故答案为y=x2+3x−12．
【知识点2 列二次函数关系式】
(1)理解题意：找出实际问题中的已知量和変量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言；
(2)分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式；
(3)列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示的函数的形式.
【题型5 判断二次函数的关系式】
【例5】（2023春·北京西城·九年级北京市第三十五中学校考开学考试）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=10，动点M、N分别从A、C两点同时出发，点M从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长的速度移动，点N从点C开始沿CB向点B以每秒2个单位长的速度移动．设运动的时间为t，点M、C之间的距离为y，△MCN的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系，一次函数关系B．正比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，正比例函数关系D．一次函数关系，二次函数关系
【答案】D
【分析】求出y与t，S与t满足的函数关系式，再根据函数的类型进行判断即可．
【详解】解：由题意得，AM＝t，CN＝2t，
∴MC＝AC−AM＝5−t，
即y＝5−t，
∴S＝12MC•CN＝5t−t2，
因此y是t的一次函数，S是t的二次函数，
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数、二次函数，理解一次函数、二次函数的意义是正确解答的前提，求出y与t，S与t的函数关系式是正确判断的关键．
【变式5-1】（2023春·九年级课时练习）下列关系中，是二次函数关系的是（ ）
A．当距离S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系；
B．在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系；
C．圆的面积S与圆的半径r之间的关系；
D．正方形的周长C与边长a之间的关系；
【答案】C
【详解】A.路程=速度×时间,所以当路程一定时,汽车行驶的时间t与速度v之间是一次函数的关系;
B.弹簧的长度y是随着物体的质量x增大而增长的,是一次函数关系;
C.圆的面积=πr2,所以圆的面积S与圆的半径r之间是二次函数关系;
D. 正方形的周长C=边长a×4, 故C与边长a之间是一次函数关系；
故选C.
点睛：本题主要考查的是二次函数的定义，根据题意列出函数关系式是解题的关键.
【变式5-2】（2023春·湖北宜昌·九年级校联考期中）下列选项描述的y与x之间的关系是二次函数的是（ ）
A．正方体的体积y与棱长x之间的关系
B．某商品在6月的售价为30元，7月和8月连续两次降价销售，平均每月降价的百分率为x，该商品8月的售价y与x之间的关系
C．距离一定时，汽车匀速行驶的时间y与速度x之间的关系
D．等腰三角形的顶角度数y与底角度数x之间的关系
【答案】B
【分析】根据题意分别列出各项中的y与x之间的关系，进行判断即可；
【详解】解：A、正方体的体积y与棱长x之间的关系为：y=x3 ，y与x不是二次函数关系，不符合题意；
B、该商品8月的售价y与x之间的关系为：y=30(1−x)2 ，y与x是二次函数关系；符合题意；
C、距离一定时，汽车匀速行驶的时间y与速度x之间成反比例关系，不符合题意；
D、等腰三角形的顶角度数y与底角度数x之间成一次函数关系，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的表达形式；熟练根据题意列出相对应的函数表达式是解题的关键．
【变式5-3】（2023春·北京昌平·九年级校考期中）如图，线段AB=5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段AB运动至点B，以点A为圆心，线段AP长为半径作圆．设点P的运动时间为t，点P，B之间的距离为y，⊙A的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是_________________，_________________．（填“正比例函数”或“一次函数”或“二次函数”）
【答案】 一次函数 二次函数
【分析】根据题意列出函数关系式，即可判断函数的类型．
【详解】解：根据题意得：y=5−t，因此属于一次函数关系，
S=πt2，属于二次函数关系．
故答案为：①一次函数；②二次函数．
【点睛】本题考查了函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
【题型6 列二次函数关系式（销售问题）】
【例6】（2023春·九年级课时练习）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售为x元，则可卖出（350-10x）件商品，那么商品所赚钱y元与售价x元的函数关系为（ ）
A．y=−10x2−560x+7350B．y=−10x2+560x−7350
C．y=−10x2+350xD．y=−10x2+350x−7350
【答案】B
【分析】商品所赚钱=每件的利润×卖出件数，把相关数值代入即可求解．
【详解】解：每件的利润为（x-21），
∴y=（x-21）（350-10x）
=-10x2+560x-7350．
故选B．
【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解决本题的关键是找到总利润的等量关系，注意先求出每件商品的利润．
【变式6-1】（2023春·全国·九年级专题练习）王大爷生产经销一种农副产品，其成本价为20元每千克．市场调查发现,该产品每天的销售量w(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系:w=−2x+60．若这种产品每天的销售利润为y(元).求y与x之间的函数关系式．
【答案】y=−2x2+100x−1200
【分析】利用单价利润×总销售量=总利润.
【详解】y=x−20w=x−20−2x+60=−2x2+100x−1200.
∴y=−2x2+100x−1200.
【变式6-2】（2023·浙江·九年级假期作业）商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价上涨1元，则每星期就会少卖10件．每件商品的售价上涨x元（x元为正整数），每星期销售的利润为y元，则x与y的函数关系式为（ ）
A．y=10200−10xB．y=20010+x
C．y=50+x200−10xD．y=10+x200−10x
【答案】D
【分析】先求出销售量与x的关系，再根据利润=（售价−进价）×销售量列出y关于x的关系即可得到答案．
【详解】解：设每件商品的售价上涨x元，则销售量为200−10x件，
∴y=60+x−50200−10x=x+10200−10x，
故选D．
【点睛】本题主要考查了列函数关系式，正确理解题意是解题的关键．
【变式6-3】（2023·全国·九年级专题练习）某农户要改造部分农田种植蔬菜，经调查，平均每亩改造费用是900元，添加辅助设备费用（元）与改造面积（亩）的平方成正比，比例系数为18，每亩种植蔬菜还需种子、人工费用600元，若每亩蔬菜年销售额为7000元，设改造农田x亩，改造当年收益为y元，则y与x之间的数量关系可列式为（ ）
A．y=7000x−900x+18x+600xB．y=7000x−900x+18x2+600x
C．y=7000−900x+18x2+600xD．y=7000x−900x+18x2+600
【答案】B
【分析】设改造农田x亩，根据题意可求出改造的x亩农田的总成本和总销售额，再根据收益=总销售额-总成本，即可列出方程．
【详解】设改造农田x亩，则总成本为900x+18x2+600x，总销售额为7000x，
∴可列方程为y=7000x−900x+18x2+600x．
故选B．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．
【题型7 列二次函数关系式（几何图形问题）】
【例7】（2023春·山东青岛·九年级统考期末）如下图所示，在一幅长80cm、宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为ycm2，金色纸边的宽为xcm，则y与x之间的函数关系式是_________________．
【答案】y=4x2+260x+4000
【分析】由于整个挂画为长方形，用x分别表示新的长方形的长和宽，然后根据长方形的面积公式即可确定函数关系式．
【详解】解：由题意可得：y=(80+2x)(50+2x)
=4x2+260x+4000．
故答案为：y=4x2+260x+4000．
【点睛】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是根据题意，找到所求量的等量关系，此题主要利用了长方形的面积公式解题．
【变式7-1】（2023春·全国·九年级统考期末）如图，等腰梯形的周长为60，底角为30°，腰长为x，面积为y，试写出y与x的函数表达式．
【答案】s=﹣12x2+15x（0＜x＜60）
【分析】作AE⊥BC，在Rt△ABE中，求出AE=12AB=12x，利用梯形的周长可得出AD+BC的值，代入梯形面积公式即可得出y与x的函数表达式．
【详解】作AE⊥BC，
在Rt△ABE中，∠B=30°，
则AE=12AB=12x，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AD+BC=60-AB-CD=60-2x，
∴S=12（AD+BC）×AE=12（60-2x）×12x=-12x2+15x（0＜x＜60）．
【点睛】本题考查了根据实际问题抽象二次函数关系式的知识，掌握梯形的面积公式及等腰梯形的性质是解答本题的关键．
【变式7-2】（2023春·浙江·九年级统考期中）为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）.若设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym².则y与x之间的函数关系式是 ，自变量x的取值范围是 ；
【答案】y=−12x2+20x，0＜x≤25
【分析】根据矩形的面积公式列出关于二次函数解析式；根据墙长、x、y所表示的实际意义来确定x的取值范围．
【详解】由题意得：
y＝x•40−x2＝−12x2+20x，自变量x的取值范围是0＜x≤25．
故答案是：y＝−12x2+20x， 0＜x≤25
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据题意建立二次函数模型是解题的关键.
【变式7-3】（2023春·九年级课时练习）图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，则第n个叠放的图形中，小正方体木块总数m与n的解析式是______．
【答案】m=2n2−n
【分析】图（1）中只有一层，有（4×0＋1）一个正方形，图（2）中有两层，在图（1）的基础上增加了一层，第二层有（4×1＋1）个．图（3）中有三层，在图（2）的基础长增加了一层，第三层有（4×2＋1），依此类推出第n层正方形的个数，即可推出当有n层时总的正方形个数．
【详解】解：经分析，可知：第一层的正方形个数为（4×0＋1），
第二层的正方形个数为（4×1＋1），
第三层的正方形个数为（4×2＋1），
……
第n层的个数为：[4×（n−1）＋1]，
第n个叠放的图形中，小正方体木块总数m为：
1＋（4×1＋1）＋（4×2＋1）＋…＋[4×（n−2）＋1]＋[4×（n−1）＋1]
＝1＋4×1＋1＋4×2＋1＋…＋4×（n−2）＋1＋4×（n−1）＋1
＝n＋4（1＋2＋3＋…＋n−2＋n−1）
＝n＋4×(1+n−1)(n−1)2
＝n＋2n（n−1）
＝2n2−n．
即：m=2n2−n．
故答案为：m=2n2−n
【点睛】本题解题关键是根据图形的变换总结规律，由图形变换得规律：每次都比上一次增加一层，增加第n层时小正方形共增加了4（n−1）＋1个，将n层的小正方形个数相加即可得到总的小正方形个数．
【题型8 列二次函数关系式（增长率、循环问题）】
【例8】（2023·上海·九年级假期作业）一台机器原价为50万元，如果每年的折旧率是xx>0，两年后这台机器的价格为y万元，则y与x之间的函数关系式为_____．
【答案】y=501−x2
【分析】根据题意列出函数解析式即可．
【详解】解：∵一台机器原价为50万元，每年的折旧率是xx>0，两年后这台机器的价格为y万元，
∴y与x之间的函数关系式为y=501−x2．
故答案为：y=501−x2．
【点睛】本题主要考查了列二次函数关系式，解题的关键是理解题意，掌握两年后价格=原价×1−x2．
【变式8-1】（2023春·九年级单元测试）有一个人患流感，经过两轮传染后共有y人患了流感，每轮传染中，平均一个人传染了x人，则y与x之间的函数关系式为___ .
【答案】y=x2+2x+1
【详解】试题解析：第一轮流感后的人数为1+x,
第二轮流感后的人数为1+x+x(x+1)=x2+2x+1.
∴y=x2+2x+1.
y与x之间的函数关系式为:y=x2+2x+1.
故答案为y=x2+2x+1.
【变式8-2】（2023春·辽宁大连·九年级统考期中）已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为________．
【答案】m=12n2−12n
【分析】根据n个球队都要与除自己之外的n−1球队个打一场，因此要打nn−1场，然而有重复一半的场次，即可求出函数关系式．
【详解】解：根据题意，得m=n(n−1)2=12n2−12n，
故答案为： m=12n2−12n．
【点睛】本题考查了函数关系式，理解题意是解题的关键．
【变式8-3】（2023春·九年级课时练习）某工厂2015年产品的产量为100吨，该产品产量的年平均增长率为x（x＞0），设2015，2016，2017这三年该产品的总产量为y吨，则y关于x的函数关系式为（ ）
A．y＝100（1﹣x）2
B．y＝100（1+x）
C．y＝100(1+x)2
D．y＝100+100（1+x）+100（1+x）2
【答案】D
【分析】直接表示出2016年，2017年的产量进而得出y关于x的函数关系式．
【详解】解：设2015，2016，2017这三年该产品的总产量为y吨，则y关于x的函数关系式为：y＝100+100（1+x）+100（1+x）2．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，正确表示出2017年的产量是解题关键．