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人教版（2024）八年级上册11.3.1 多边形同步测试题
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这是一份人教版（2024）八年级上册11.3.1 多边形同步测试题，共37页。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc24084" 【题型1 多边形对角线的有关计算】 PAGEREF _Tc24084 \h 1
\l "_Tc18668" 【题型2 求不规则图形的内角和】 PAGEREF _Tc18668 \h 2
\l "_Tc2910" 【题型3 求多边形的外角】 PAGEREF _Tc2910 \h 3
\l "_Tc8971" 【题型4 多边形的割角问题】 PAGEREF _Tc8971 \h 4
\l "_Tc18215" 【题型5 多边形内角和（外角和）与平行线的综合运用】 PAGEREF _Tc18215 \h 5
\l "_Tc16600" 【题型6 多边形内角和（外角和）与角平分线的综合运用】 PAGEREF _Tc16600 \h 6
\l "_Tc27490" 【题型7 多边形内角和与外角和的综合应用】 PAGEREF _Tc27490 \h 7
\l "_Tc2018" 【题型8 多边形内角和与外角和的实际应用】 PAGEREF _Tc2018 \h 8
【知识点1 多边形的相关概念】
（1）平面内，由一些线段 首尾顺次相接 所 组成的封闭图形，叫做多边形.
（2）各个角都相等,各条边都相等的多边形，叫做正多边形.
（3）连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
（4）从一个n边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个n边形分割成（n-2）个三角形，共有12n（n﹣3）条对角线
【题型1 多边形对角线的有关计算】
【例1】（2023春·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）已知从n边形的一个顶点出发共有4条对角线；从m边形的一个顶点出发的所有对角线把m边形分成7个三角形；正t边形的边长为6，周长为48，求代数式mn+1t的值．
【变式1-1】（2023春·河南郑州·八年级校考期末）一个正八边形，从它的一个顶点可引出m条对角线，并把这个正八边形分成n个三角形，则m+n= ．
【变式1-2】（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期末）多边形的一个顶点处的所有对角线把多边形分成了11个三角形，则经过这一点的对角线的条数是 条．
【变式1-3】（2023春·山东聊城·八年级校联考期末）某中学八年级数学课外兴趣小组在探究：“n边形(n>3)共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格，请在表格中的横线上填上相应的结果：
应用得到的结果解决以下问题：
①求十二边形有多少条对角线？
②过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2023吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由．
【知识点2 多边形的内角和与外角和】
（1）n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．
（2）在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.
【题型2 求不规则图形的内角和】
【例2】（2023春·山西吕梁·八年级统考期中）数学活动课上，小明一笔画成了如图所示的图形，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数为（ ）
A．360°B．540°C．720°D．无法计算
【变式2-1】（2023春·江苏扬州·八年级统考期中）如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= 度．
【变式2-2】（2023春·江苏·八年级期中）如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN，则∠1+∠2的度数为 ．
【变式2-3】（2023春·福建泉州·八年级统考期末）如图，若正五边形ABCDE和长方形AFCG按如图方式叠放在一起，则∠EAG的度数为 °．
【题型3 求多边形的外角】
【例3】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考期中）如图，在由等边三角形、正方形和正五边形组合而成的图形中，∠3＝60°，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．39°B．40°C．41°D．42°
【变式3-1】（2023春·福建泉州·八年级泉州五中校考期中）如图，五边形ABCDE中，∠A=125°，则∠1+∠2+∠3+∠4的度数是 ．
【变式3-2】（2023春·江苏·八年级期末）如图，七边形ABCDEFG中，EF，BA的延长线相交于点P，若∠ABC ，∠BCD ，∠CDE ，∠DEF 的外角的度数和为230°，则∠P的度数为（ ）
A．40°B．45°C．50°D．55°
【变式3-3】（2023春·湖北黄冈·八年级校考开学考试）凸n边形恰好只有三个内角是钝角，这样的多边形边数n的最大值是（ ）
A．7B．6C．5D．4
【题型4 多边形的割角问题】
【例4】（2023春·山东烟台·八年级统考期末）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1440°．则原来多边形的边数是 ．
【变式4-1】（2023春·吉林长春·八年级统考期末）如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是 ．
【变式4-2】（2023春·河北保定·八年级统考期末）在一个凸n边形的纸板上切下一个三角形后，剩下一个内角和为1080°的多边形，则n的值为 ．
【变式4-3】（2023春·新疆·八年级新疆师范大学附属中学校考期中）如图，沿着虚线将四边形纸片剪成两部分，如果所得两个图形的内角和相等，则符合条件的剪法是（ ）
A．①②B．①③C．②④D．③④
【题型5 多边形内角和（外角和）与平行线的综合运用】
【例5】（2023春·江苏徐州·八年级统考期中）如图，将四边形纸片ABCD的右下角向内折出△EC'F，恰好使C'E∥AB，C'F∥AD，若∠B+∠D=220°，则∠A= ．
【变式5-1】（2023春·广东汕尾·八年级校考期中）如图，直线l1,l2分别经过正六边形ABCDEF的顶点A、B，且l1∥l2，若∠1＝α，则∠2＝ ．（用含α的代数式表示）
【变式5-2】（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）如图，将透明直尺叠放在正五边形之上，若正五边形有两个顶点在直尺的边上，且有一边与直尺的边垂直．则∠α＝ °．
【变式5-3】（2023春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∠ABC、∠ADC的平分线分别交CD、AB于点E、F，EG∥AB．
(1)∠1与∠2有怎样的数量关系? 为什么?
(2)若∠A＝100°，∠1＝42°，求∠CEG的度数．
【题型6 多边形内角和（外角和）与角平分线的综合运用】
【例6】（2023春·江苏苏州·八年级苏州草桥中学校考期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD、∠ADC的平分线交于点P，∠ABC、∠DCE的平分线交于点Q，若∠P−∠Q=25°，则∠ABC+∠BCD= °．
【变式6-1】（2023春·江苏宿迁·八年级校考期中）如图，四边形ABCD中，∠B=104°，∠C=120°，AO、DO分别平分∠BAD和∠CDA，EO⊥AO，则∠EOD＝
【变式6-2】（2023春·江苏无锡·八年级统考期末）在四边形ABCD中，∠A=90°，∠ABC、∠ADC的平分线分别交直线CD、AB于点E、F．
(1)如图1，若∠C=90°，求证：EB∥DF；
(2)如图2，若线段DF、EB交于点P，∠BPF=20°，求∠C的度数．
【变式6-3】（2023春·山西临汾·八年级统考期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
已知“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，那么五边形的外角与内角之间又有什么关系呢？
如图1，在五边形ABCDE中，∠1,∠2是它的两个外角，则∠1+∠2=∠A+∠B+∠C−180°．下面是该结论的证明过程（部分）：
∵五边形的内角和为540°，
∴∠A+∠B+∠C+∠3+∠4=540°．
……
(1)按照上面的证明思路，完成证明的剩余部分．
(2)知识应用：如图2，在五边形ABCDE中，EF,DF分别是∠DEH和∠EDG的平分线，若∠A+∠B+∠C=320°，求∠F的度数；
(3)拓展提升：如图3，∠C=∠E=90°,∠ABH=23∠ABF,∠GFH=23∠BFG，∠H=140°，则∠D=_______．
【题型7 多边形内角和与外角和的综合应用】
【例7】（2023春·河南周口·八年级校联考期中）解决多边形问题：
(1)一个多边形的内角和是外角和的3倍，它是几边形？
(2)小华在求一个多边形的内角和时，重复加了一个角的度数，计算结果是1170°，这个多边形是几边形？
【变式7-1】（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级校考期中）已知一个多边形的内角和与外角和的和为1080°，且这个多边形的各个内角都相等.求这个多边形的每个外角度数.
【变式7-2】（2023春·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期末）一多边形的每一个内角都等于它相邻外角的4倍，则该多边形的内角和是（ ）
A．360°B．900°C．1440°D．1800°
【变式7-3】（2023春·江苏南京·八年级统考期末）阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题：
(1)“多边形内角和为2020°”，为什么不可能？
(2)明明求的是几边形的内角和？
(3)多加的那个外角为多少度？
【题型8 多边形内角和与外角和的实际应用】
【例8】（2023春·贵州铜仁·八年级统考期中）如图，奇奇先从点A出发前进4m，向右转15°，再前进4m，又向右转15°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了（ ）
A．24mB．48mC．64mD．96m
【变式8-1】（2023春·山东聊城·八年级统考期末）如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以2cm为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为 cm2.
【变式8-2】（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，图1是一盏可折叠台灯，图2为其平面示意图，底座AO⊥OE于点O，支架AB,BC为固定支撑杆，∠BAO是∠CBA的两倍，灯体CD可绕点C旋转调节．现把灯体CD从水平位置旋转到CD'置（如图2中虚线所示），此时，灯体CD'所在的直线恰好垂直支架AB，且∠BCD−∠DCD'=123°，则∠DCD'= ．
【变式8-3】（2023春·山东济南·八年级统考期末）如图1，小红沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，小红每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度．
(1)该五边形广场ABCDE的内角和是 度；
(2)她跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是 度；
(3)如图2，小红参加“全民健身，共筑健康中国”活动，从点A起跑，绕湖周围的小路跑至终点E，若MA∥EN，且∠1+∠2=200°，求行程中小红身体转过的角度的和（图∠3+∠4+∠5的值）．多边形的边数
4
5
6
…
n
从多边形的一个顶点出发
1
2
______
…
______
多边形对角线的总条数
2
______
______
…
______
专题11.5 多边形及其内角和【八大题型】
【人教版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc24084" 【题型1 多边形对角线的有关计算】 PAGEREF _Tc24084 \h 1
\l "_Tc18668" 【题型2 求不规则图形的内角和】 PAGEREF _Tc18668 \h 4
\l "_Tc2910" 【题型3 求多边形的外角】 PAGEREF _Tc2910 \h 7
\l "_Tc8971" 【题型4 多边形的割角问题】 PAGEREF _Tc8971 \h 9
\l "_Tc18215" 【题型5 多边形内角和（外角和）与平行线的综合运用】 PAGEREF _Tc18215 \h 11
\l "_Tc16600" 【题型6 多边形内角和（外角和）与角平分线的综合运用】 PAGEREF _Tc16600 \h 15
\l "_Tc27490" 【题型7 多边形内角和与外角和的综合应用】 PAGEREF _Tc27490 \h 20
\l "_Tc2018" 【题型8 多边形内角和与外角和的实际应用】 PAGEREF _Tc2018 \h 23
【知识点1 多边形的相关概念】
（1）平面内，由一些线段 首尾顺次相接 所 组成的封闭图形，叫做多边形.
（2）各个角都相等,各条边都相等的多边形，叫做正多边形.
（3）连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
（4）从一个n边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个n边形分割成（n-2）个三角形，共有12n（n﹣3）条对角线
【题型1 多边形对角线的有关计算】
【例1】（2023春·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）已知从n边形的一个顶点出发共有4条对角线；从m边形的一个顶点出发的所有对角线把m边形分成7个三角形；正t边形的边长为6，周长为48，求代数式mn+1t的值．
【答案】8
【分析】根据题意，由多边形的性质：从n边形的一个顶点出发能引出(n−3)条对角线，能分成(n−2)个三角形，分别求出n，m的值，再由正多边形的性质求出t，然后代入式子即可求解．
【详解】解：因为从n边形的一个顶点出发共有4条对角线，
所以n=7．
因为从m边形的一个顶点出发的所有对角线把m边形分成7个三角形，
所以m=9．
因为正t边形的边长为6，周长为48，
所以t=48÷6=8，
所以代数式mn+1t=9×7+18=8．
【点睛】本题主要考查了多边形的性质，理解并掌握多边形的相关性质是解题关键．
【变式1-1】（2023春·河南郑州·八年级校考期末）一个正八边形，从它的一个顶点可引出m条对角线，并把这个正八边形分成n个三角形，则m+n= ．
【答案】11
【分析】过八边形的一个顶点可以引出5条对角线，过八边形的一个顶点画出所有的对角线，可以将这个八边形分成6个三角形，据此求得m,n的值，继而即可求解．
【详解】解：过八边形的一个顶点可以引出5条对角线，过八边形的一个顶点画出所有的对角线，可以将这个八边形分成6个三角形，
∴m+n=5+6=11，
故答案为：11．
【点睛】本题考查了多边形的对角线，掌握过多边形的一个顶点的对角线条数为n−3是解题的关键．
【变式1-2】（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期末）多边形的一个顶点处的所有对角线把多边形分成了11个三角形，则经过这一点的对角线的条数是 条．
【答案】10
【分析】可根据多边形过一个顶点的对角线与分成的三角形的个数的关系列方程求解．
【详解】设多边形有n条边，
则n−2=11，解得n=13.
故这个多边形是十三边形．
故经过这一点的对角线的条数是13−3=10.
故答案为：10．
【点睛】此题考查了多边形的对角线，多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点的所有对角线有(n−3)条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成(n−2)个三角形．
【变式1-3】（2023春·山东聊城·八年级校联考期末）某中学八年级数学课外兴趣小组在探究：“n边形(n>3)共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格，请在表格中的横线上填上相应的结果：
应用得到的结果解决以下问题：
①求十二边形有多少条对角线？
②过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2023吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由．
【答案】填表：n−3 5 9 nn−32；①54；②可以为2023，这个多边形的边数1014
【分析】根据题意求出相应数据，填表即可；
①由表格探求的n边形对角线总条数公式：n(n−3)2得出最终结果；
②从n边形的一个顶点出发可引(n−3)条对角线，这些对角线分多边形所得的三角形个数为(n−2)，据此求解．
【详解】解：填表如下：
故答案为：3，n−3，5，9 nn−32；
①把n=12代入nn−32得，12×12−32=54．
∴十二边形有54条对角线．
②能．
由题意得，n−3+n−2=2023，
解得n=20282=1014．
∵多边形的边数n是正整数，
∴过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可以为2023，这个多边形的边数1014．
【点睛】本题考查n边形对角线公式，过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数，掌握对角线数量形成的规律，熟练应用规律是解题关键．
【知识点2 多边形的内角和与外角和】
（1）n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．
（2）在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.
【题型2 求不规则图形的内角和】
【例2】（2023春·山西吕梁·八年级统考期中）数学活动课上，小明一笔画成了如图所示的图形，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数为（ ）
A．360°B．540°C．720°D．无法计算
【答案】B
【分析】根据五边形的内角和是540°，可求∠A+∠B+∠C+∠D+∠1=540°，又由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠1=∠E+∠2，∠2=∠F+∠G，从而求出所求的角的和．
【详解】解：如图，
在五边形ABCDH中：∠A+∠B+∠C+∠D+∠1=540°，
∵∠1=∠E+∠2，∠2=∠F+∠G，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形外角的性质及五边形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．
【变式2-1】（2023春·江苏扬州·八年级统考期中）如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= 度．
【答案】540
【分析】把∠E+∠F转化成∠1+∠2，然后根据五边形的内角和公式计算求解即可．
【详解】解：如图，
由题意知，∠E+∠F=∠1+∠2，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ∠A+∠B+∠C+∠D+∠1+∠2+∠G，
∵∠A+∠B+∠C+∠D+∠1+∠2+∠G是五边形的内角和，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠1+∠2+∠G=5−2×180°=540°，
故答案为：540．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，五边形内角和．解题的关键在于将∠E+∠F转化为∠1+∠2．
【变式2-2】（2023春·江苏·八年级期中）如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN，则∠1+∠2的度数为 ．
【答案】210°
【分析】根据多边形的内角和定理可求得∠B+∠C+∠D+∠E=510°，∠1+∠2+∠B+∠C+∠D+∠E=6−2×180°=720°，进而可求解．
【详解】解：∵∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=5−2×180°=540°，∠A=30°，
∴∠B+∠C+∠D+∠E=510°，
∵∠1+∠2+∠B+∠C+∠D+∠E=6−2×180°=720°，
∴∠1+∠2=720°−510°=210°，
故答案为：210°
【点睛】本题主要考查多边形的内角和外角，掌握多边形的内角和定理是解题的关键．
【变式2-3】（2023春·福建泉州·八年级统考期末）如图，若正五边形ABCDE和长方形AFCG按如图方式叠放在一起，则∠EAG的度数为 °．
【答案】36
【分析】先求出正五边形的内角和，可得出每个内角的度数，利用三角形的外角得出∠FAB=∠ABC−∠AFC，再求出∠BAG=∠FAG−∠FAB，即可得到答案．
【详解】解：∵正五边形ABCDE内角和为：5−2×180°=540°，
∴∠EAB=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEA=540°5=108°，
∵长方形AFCG中，∠AFC=∠FCG=∠CGA=∠GAF=90°，
∴∠FAB=∠ABC−∠AFC=108°−90°=18°，
∴∠BAG=∠FAG−∠FAB=90°−18°=72°，
∴∠EAG=∠EAB−∠BAG=108°−72°=36°，
故答案为：36．
【点睛】本题考查多边形的内角和，三角形的外角，正确理解题意是解题的关键．
【题型3 求多边形的外角】
【例3】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考期中）如图，在由等边三角形、正方形和正五边形组合而成的图形中，∠3＝60°，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．39°B．40°C．41°D．42°
【答案】D
【分析】利用外角和360°减去等边三角形的一个内角的度数，减去正方形的一个内角的度数，减去正五边形的一个内角的度数，然后减去∠3即可求得
【详解】等边三角形的内角的度数是60°，正方形的内角度数是90°，
正五边形的内角的度数是：15（5-2）×180°=108°，
则∠1+∠2=360°-60°-90°-108°-∠3=42°．
故选D．
【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，熟知正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数是解答此题的关键
【变式3-1】（2023春·福建泉州·八年级泉州五中校考期中）如图，五边形ABCDE中，∠A=125°，则∠1+∠2+∠3+∠4的度数是 ．
【答案】305°
【分析】根据补角的性质，得∠5；再根据多边形外角和的性质计算，即可得到答案．
【详解】如图，延长EA，∠5=180°−∠A=55°
∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°−∠5=305°
故答案为：305°．
【点睛】本题考查了多边形的知识；解题的关键是熟练掌握补角、多边形外角和的性质，从而完成求解．
【变式3-2】（2023春·江苏·八年级期末）如图，七边形ABCDEFG中，EF，BA的延长线相交于点P，若∠ABC ，∠BCD ，∠CDE ，∠DEF 的外角的度数和为230°，则∠P的度数为（ ）
A．40°B．45°C．50°D．55°
【答案】C
【分析】如图，根据多边形的外角和等于360°，得∠5+∠6+∠7=360°−230°=130° ,根据三角形外角的性质，得∠8=∠6+∠7，那么∠5+∠8=130°．根据三角形内角和定理，得∠P=180°−∠5+∠8=50°．
【详解】解：如图．
由题意得：∠1+∠2+∠3+∠4=230°，
∴∠5+∠6+∠7=360°−230°=130°，
∵∠8=∠6+∠7，
∴∠5+∠8=130°，
∴∠P=180°−∠5+∠8=50°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查多边形的外角、多边形的外角和等于360°、三角形外角的性质、三角形内角和定理，熟练掌握多边形的外角、多边形的外角和等于360°、三角形外角的性质、三角形内角和定理是解决本题的关键．
【变式3-3】（2023春·湖北黄冈·八年级校考开学考试）凸n边形恰好只有三个内角是钝角，这样的多边形边数n的最大值是（ ）
A．7B．6C．5D．4
【答案】B
【分析】由题意知在n边形的外角中恰好有3个锐角，则其余（n－3）个外角是直角或钝角，而n个外角中最多只能有4个直角或3个钝角，而4个直角已不可能，所以n－3≤3，由此即得答案.
【详解】解：因为n边形恰好只有三个内角是钝角，所以在n边形的外角中恰好有3个锐角，所以其余（n－3）个外角是直角或钝角，又由于n边形的外角和是360°，其n个外角中最多只能有4个直角或3个钝角，而4个直角显然已不可能，所以n－3≤3，解得n≤6，即n的最大值为6.
故选B.
【点睛】本题考查了多边形的内角、外角的概念与外角和，从多边形的外角的角度入手分析是解题的关键.
【题型4 多边形的割角问题】
【例4】（2023春·山东烟台·八年级统考期末）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1440°．则原来多边形的边数是 ．
【答案】9或10或11
【分析】先根据多边形的内角和公式n−2⋅180°求出截去一个角后的多边形的边数，再分情况说明求得原来多边形的解．
【详解】解：设多边形截去一个角的边数为n，根据题意得：
n−2⋅180°=1440°
∴n=10
又∵截去一个角后的多边形的边可以增加1、不变、减少1，
∴原多边形的边数为9或10或11．
【点睛】本题考查的是多边形的内角和公式，本题的易错点在于忽略考虑截去一个角后多边形的边数可以不变、增加或者减少．
【变式4-1】（2023春·吉林长春·八年级统考期末）如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是 ．
【答案】180°或360°或540°
【详解】分析: 剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，根据多边形的内角和定理即可求解.
详解: n边形的内角和是（n-2）•180°，
边数增加1，则新的多边形的内角和是（4+1-2）×180°=540°，
所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是（4-2）×180°=360°，
所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是（4-1-2）×180°=180°，
因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°．
故答案为540°或360°或180°.
点睛：本题主要考查了多边形的内角和的计算公式，理解：剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，是解决本题的关键.
【变式4-2】（2023春·河北保定·八年级统考期末）在一个凸n边形的纸板上切下一个三角形后，剩下一个内角和为1080°的多边形，则n的值为 ．
【答案】7或8或9
【分析】根据多边形的内角和公式列方程求出切下一个三角形后多边形的边数，再分新多边形的边数比原多边形的边数增加1，减少1，不变三种情况求解．
【详解】解：设切下一个三角形后多边形的边数x，
由题意得，（x﹣2）×180°＝1080°，
解得x＝8，
所以，n＝8﹣1＝7，
n＝8+1＝9，
或n＝x＝8．
故答案为：7或8或9．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角与外角，难点在于熟悉切下一个三角形后多边形边数与原多边形的边数有三种情况.
【变式4-3】（2023春·新疆·八年级新疆师范大学附属中学校考期中）如图，沿着虚线将四边形纸片剪成两部分，如果所得两个图形的内角和相等，则符合条件的剪法是（ ）
A．①②B．①③C．②④D．③④
【答案】B
【分析】根据多边形内角和定理逐一判断即可得答案．
【详解】三角形内角和为180°，四边形内角和为360°，五边形内角和为（5-2）×180°=540°，
①剪开后的两个图形是四边形，它们的内角和都是360°，符合条件，
②剪开后的两个图形是五边形和三角形，它们的内角和分别是540°和180°，不符合条件，
③剪开后的两个图形都是三角形，它们的内角和是180°，符合条件，
④剪开后的两个图形是三角形和四边形，它们的内角和分别是180°和360°，不符合条件，
∴符合条件的剪法是①③，
故选：B．
【点睛】本题考查多边形的内角和定理，多边形内角和=（n-2）×180°（n≥3）；熟练掌握多边形内角和公式是解题关键．
【题型5 多边形内角和（外角和）与平行线的综合运用】
【例5】（2023春·江苏徐州·八年级统考期中）如图，将四边形纸片ABCD的右下角向内折出△EC'F，恰好使C'E∥AB，C'F∥AD，若∠B+∠D=220°，则∠A= ．
【答案】70°
【分析】根据平行线的性质得到∠D=∠C'FC，∠B=∠C'EC，根据四边形内角和得到∠C'+∠C'FC+∠C'EC+∠C=360°，再根据折叠的性质得到∠C'=∠C，从而得到∠C=70°，最终求出∠A=70°．
【详解】解：∵C'E∥AB，C'F∥AD，
∴∠D=∠C'FC，∠B=∠C'EC，
∵∠B+∠D=220°，
∴∠C'FC+∠C'EC=220°，
∵∠C'+∠C'FC+∠C'EC+∠C=360°，
∴∠C'+∠C=140°，
∵∠C'=∠C，
∴∠C=70°，
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∴∠A=70°，
故答案为：70°．
【点睛】本题考查平行线的性质和四边形内角和，解题的关键是熟知四边形的内角和等于360度．
【变式5-1】（2023春·广东汕尾·八年级校考期中）如图，直线l1,l2分别经过正六边形ABCDEF的顶点A、B，且l1∥l2，若∠1＝α，则∠2＝ ．（用含α的代数式表示）
【答案】α﹣60°
【分析】根据正六边形ABCDE的内角是120°得出∠3，再利用l1∥l2得出∠4，最后用平角减∠4和正六边形ABCDE的一个内角即可得出∠2．
【详解】解：∵正六边形ABCDE的一个内角是120°，
∴∠3＝120°﹣∠1＝120°﹣α
又∵l1∥l2，
∴∠4＝∠3＝120°﹣α，
∴∠2＝180°﹣120°﹣∠4＝180°﹣120°﹣（120°﹣α）＝α﹣60°，
故答案为：α﹣60°．
【点睛】本题考查正多边形的内角，平行线的性质等知识，正确的计算和定理的应用是解题的关键．
【变式5-2】（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）如图，将透明直尺叠放在正五边形之上，若正五边形有两个顶点在直尺的边上，且有一边与直尺的边垂直．则∠α＝ °．
【答案】54
【分析】如图，标注字母，先求解正五边形的内角∠D，∠DCB的大小，再利用平行线的性质及角的和差求解∠DCE，再利用三角形的内角和求解∠DEC，从而利用平行线的性质可得答案．
【详解】解：如图，标注字母，
由题意得：AB∥EC，∠D=∠DCB=540°5=108°，∠ABC=90°，
∴∠ECB=180°−90°=90°，∠DCE=108°−90°=18°，
∴∠DEC=180°−∠D−∠DCE=54°，
∵AB∥EC，
∴∠α=∠DEC=54°．
故答案为：54．
【点睛】此题考查了平行线的性质，正多边形的内角和，三角形的内角和，解题的关键是掌握利用平行线结合内角和定理进行计算．
【变式5-3】（2023春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∠ABC、∠ADC的平分线分别交CD、AB于点E、F，EG∥AB．
(1)∠1与∠2有怎样的数量关系? 为什么?
(2)若∠A＝100°，∠1＝42°，求∠CEG的度数．
【答案】(1)∠1与∠2互余
(2)4°
【分析】（1）根据四边形的内角和为360°以及补角的定义可得∠ABC+∠ADC=180°，再根据角平分线的定义以及平行线的性质即可得出∠1+∠2=90°；
（2）根据∠A与∠C互补可得∠C的度数，根据∠1与∠2互余可得∠2的度数，根据平行线的性质可得∠ABE的度数，然后根据三角形的内角和以及角的和差关系计算即可．
【详解】（1）∠1与∠2互余．
∵四边形ABCD的内角和为360°，∠A与∠C互补，
∴∠ABC+∠ADC=360°-180°=180°，
∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，
∴∠1＝12∠ADC，∠ABE＝12∠ABC，
∵EG∥AB，
∴∠2=∠ABE，
∴∠1+∠2=12∠ADC+12∠ABC＝90°，
即∠1与∠2互余．
（2）∵∠A=100°，∠1=42°，
∴∠C=80°，∠2=48°，
∴∠ABE=∠CBE=48°，
∴∠BEC=180°-48°-80°=52°，
∴∠CEG=52°-48°=4°．
【点睛】本题考查了四边形的内角和、余角和补角的定义；弄清角之间的互余、互补关系是解题的关键．
【题型6 多边形内角和（外角和）与角平分线的综合运用】
【例6】（2023春·江苏苏州·八年级苏州草桥中学校考期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD、∠ADC的平分线交于点P，∠ABC、∠DCE的平分线交于点Q，若∠P−∠Q=25°，则∠ABC+∠BCD= °．
【答案】115°
【分析】根据角平分线的定义，以及多边形的内角和性质，设∠BAP =∠DAP=α，∠ADP=∠CDP=β，从而分别表示出∠P与∠Q，再结合已知条件推出2α+2β的度数，从而确定出结论即可．
【详解】解：∵AP平分∠BAD，DP平分∠CDA，
∴∠BAP=∠DAP，∠ADP=∠CDP，
设∠BAP =∠DAP=α，∠ADP=∠CDP=β，
∴∠P=180°-α-β，
∵BQ平分∠ABC，CQ平分∠DCE，
∴∠ABQ=∠CBQ，∠DCQ=∠ECQ，
∴∠Q=180°-∠CBQ-∠BCQ
=180°-12∠ABC-∠DCB-∠DCQ
=180°-12∠ABC-∠DCB-12∠DCE，
=180°-12∠ABC-∠DCB-12（180°-∠DCB）
=90°-12（∠ABC+∠DCB）
∵∠ABC+∠DCB=360°-（∠BAD+∠ADC）=360°-2α-2β，
∴∠Q=90°-12（360°-2α-2β）=α+β-90°，
∵∠P−∠Q=25°，
∴180°-α-β-（α+β-90°）=25°，
∴2α+2β=245°，
∴∠ABC+∠BCD=360°-2α-2β=360°-245°=115°，
故答案为：115°．
【点睛】本题考查多边形的内角和性质，角平分线的定义等，理解基本性质，能够从复杂图形中表示出相应角度是解题关键．
【变式6-1】（2023春·江苏宿迁·八年级校考期中）如图，四边形ABCD中，∠B=104°，∠C=120°，AO、DO分别平分∠BAD和∠CDA，EO⊥AO，则∠EOD＝
【答案】22°
【分析】由四边形内角和可求得∠BAD+∠ADC =136°，继而根据角平分线的定义可得∠OAD+∠ODA=68°，再由三角形内角和定理求出∠AOD的度数，由∠AOE=90°，根据∠EOD=∠AOD-∠AOE即可求得答案.
【详解】∵四边形ABCD中，∠B=104°，∠C=120°，
∴∠BAD+∠ADC=(4-2)×180°-∠B-∠C=136°，
又AO、DO分别平分∠BAD和∠CDA，
∴∠OAD+∠ODA=12∠BAD+12∠ADC=12×136°=68°，
∴∠AOD=180°-∠OAD-∠ODA=180°-68°=112°，
又∵EO⊥AO，∴∠AOE=90°，
∴∠EOD=∠AOD-∠AOE=112°-90°=22°，
故答案为22°.
【点睛】本题考查了四边形的内角和、三角形内角和定理、角平分线的定义、角的和差等，熟练掌握相关内容是解题的关键.
【变式6-2】（2023春·江苏无锡·八年级统考期末）在四边形ABCD中，∠A=90°，∠ABC、∠ADC的平分线分别交直线CD、AB于点E、F．
(1)如图1，若∠C=90°，求证：EB∥DF；
(2)如图2，若线段DF、EB交于点P，∠BPF=20°，求∠C的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠C=130°
【分析】（1）根据四边形内角和、角平分线的性质即可推导出∠CEB=∠CDF，即可证得结论；
（2）根据四边形CDPB的内角和、角平分线的性质即可推导出∠ADC+∠ABC=2∠CDP+2∠CBP=400°−2∠C，再由四边形ABCD的内角和列出关于∠C的方程，即可求得∠C的度数．
（1）
在四边形ABCD中，∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，
又∵∠A=90°，∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵EB平分∠ABC、DF平分∠ADC，
∴∠CBE=12∠CBA,∠CDF=12∠CDA，
∴∠CBE+∠CDF=12∠CBA+12∠CDA=90°，
在Rt△ECB中，∠CEB+∠CBE=90°，
∴∠CEB=∠CDF，
∴EB∥DF；
（2）
在四边形CDPB中，∠CDP+∠CBP+∠C+∠DPB=360°，
又∵∠BPF=20°，
∴∠DPB=160°，
∴∠CDP+∠CBP+∠C=200°，
∵EB平分∠ABC、DF平分∠ADC，
∴∠ADC=2∠CDP,∠ABC=2∠CBP，
∴∠ADC+∠ABC=2∠CDP+2∠CBP=400°−2∠C，
∵在四边形ABCD中，∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，∠A=90°，
∴90°+∠C+400°−2∠C=360°，
∴∠C=130°．
【点睛】此题考查了四边形内角和、角平分线的性质、平行线的判定，掌握以上知识是解题的关键．
【变式6-3】（2023春·山西临汾·八年级统考期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
已知“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，那么五边形的外角与内角之间又有什么关系呢？
如图1，在五边形ABCDE中，∠1,∠2是它的两个外角，则∠1+∠2=∠A+∠B+∠C−180°．下面是该结论的证明过程（部分）：
∵五边形的内角和为540°，
∴∠A+∠B+∠C+∠3+∠4=540°．
……
(1)按照上面的证明思路，完成证明的剩余部分．
(2)知识应用：如图2，在五边形ABCDE中，EF,DF分别是∠DEH和∠EDG的平分线，若∠A+∠B+∠C=320°，求∠F的度数；
(3)拓展提升：如图3，∠C=∠E=90°,∠ABH=23∠ABF,∠GFH=23∠BFG，∠H=140°，则∠D=_______．
【答案】(1)见解析
(2)∠F=110°
(3)120°
【分析】（1）由五边形的内角和为540°得到∠A+∠B+∠C+∠3+∠4=540°．由邻补角定义得到∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180°，则∠1+∠2+∠3+∠4=360°，两式相减得到∠A+∠B+∠C−∠1+∠2=180°，即可得到结论；
（2）∠A+∠B+∠C=320°，由（1）可得，∠DEH+∠EDG=140°，由角平分线定义得到∠DEF=12∠DEH,∠EDF=12∠EDG，则∠DEF+∠EDF=70°，由三角形内角和定理即可得到∠F的度数；
（3）由三角形内角和定理得到∠HBF+HFB=40°，由∠ABH=23∠ABF,∠GFH=23∠BFG得到∠HBF=13∠ABF,∠HFB=13∠BFG，得到∠ABF+∠BFG=120°，由（1）得∠ABF+∠BFG=∠C+∠E+D−180°，又由∠C=∠E=90°,即可得到∠D的度数．
【详解】（1）∵五边形的内角和为540°，
∴∠A+∠B+∠C+∠3+∠4=540°．
∵∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°，
∴∠A+∠B+∠C−∠1+∠2=180°，
∴∠A+∠B+∠C−180°=∠1+∠2；
（2）∵∠A+∠B+∠C=320°，
∴由（1）可得，∠DEH+∠EDG=320°−180°=140°，
∵EF平分∠DEH,DF平分∠EDG，
∴∠DEF=12∠DEH,∠EDF=12∠EDG，
∴∠DEF+∠EDF=12∠DEH+∠EDG =12×140°=70°，
∵∠DEF+∠EDF+∠F=180°，
∴∠F=180°−70°=110°；
（3）∵∠H=140°，∠HBF+HFB+∠H=180°，
∴∠HBF+HFB=180°−∠H=40°，
∵∠ABH=23∠ABF,∠GFH=23∠BFG，
∴∠HBF=13∠ABF,∠HFB=13∠BFG，
∴∠ABF+∠BFG=3∠HBF+3∠HFB=3∠HBF+∠HFB=120°，
由（1）得∠ABF+∠BFG=∠C+∠E+D−180°，
∵∠C=∠E=90°,
∴∠D=∠ABF+∠BFG+180°−∠C−∠E=120°+180°−90°−90°=120°．
故答案为：120°
【点睛】此题考查了多边形内角和、几何图形中的角度计算、三角形内角和定理、角平分线的相关计算等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
【题型7 多边形内角和与外角和的综合应用】
【例7】（2023春·河南周口·八年级校联考期中）解决多边形问题：
(1)一个多边形的内角和是外角和的3倍，它是几边形？
(2)小华在求一个多边形的内角和时，重复加了一个角的度数，计算结果是1170°，这个多边形是几边形？
【答案】(1)八边形
(2)八边形
【分析】（1）根据多边形的内角和公式、多边形的外角和等于360°建立方程，解方程即可得；
（2）设这个多边形是n边形，重复加的一个角的度数为x，则0°【详解】（1）解：设这个多边形是n边形，
由题意得：180°n−2=3×360°，
解得n=8，
答：这个多边形是八边形．
（2）解：设这个多边形是n边形，重复加的一个角的度数为x，则0°由题意得：180°n−2+x=1170°，
解得x=1530°−180°n，
则0°<1530°−180°n<180°，即1530°−180°n>0°1530°−180°n<180°，
解得152∵n为正整数，
∴n=8，
答：这个多边形是八边形．
【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和、一元一次不等式组的应用，正确建立方程和不等式组是解题关键．
【变式7-1】（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级校考期中）已知一个多边形的内角和与外角和的和为1080°，且这个多边形的各个内角都相等.求这个多边形的每个外角度数.
【答案】60°.
【分析】由多边形的外角和为360°，得到多边形的内角和，然后计算得到每个外角的度数.
【详解】解：∵多边形的外角和为360°，
∴多边形的内角和为：1080°−360°=720°，
∴180°(n−2)=720°，
解得：n=6，
∴每个外角度数：360°÷6=60°.
【点睛】本题考查了多边形的内角和以及外角和，正确理解任何多边形的外角和都是360°是关键．
【变式7-2】（2023春·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期末）一多边形的每一个内角都等于它相邻外角的4倍，则该多边形的内角和是（ ）
A．360°B．900°C．1440°D．1800°
【答案】C
【分析】设每一个外角都为x，则相邻的内角为4x，然后根据“邻补角和为180°”列方程求得外角的大小，然后再根据多边形外角和定理求得多边形边数，最后运用多边形内角和公式求解即可．
【详解】解：设每一个外角都为x，则相邻的内角为4x，
由题意得，4x+x＝180°，
解得：x＝36°，
多边形的外角和为360°，
360°÷36°＝10，
所以这个多边形的边数为10，
则该多边形的内角和是：（10﹣8）×180＝1440°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了多边形内角和相邻外角的关系、多边形的外角和、多边形内角和等知识点，掌握多边形的外角和为360°是解答本题的关键．
【变式7-3】（2023春·江苏南京·八年级统考期末）阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题：
(1)“多边形内角和为2020°”，为什么不可能？
(2)明明求的是几边形的内角和？
(3)多加的那个外角为多少度？
【答案】(1)见解析
(2)十三边形
(3)40°
【分析】（1）根据多边形内角和公式判断即可；
（2）根据多边形内角和公式判断即可；
（3）由（2）即可得出答案．
【详解】（1）由多边形内角和180°n−2可知，多边形内角和是180的倍数，而2020不是180的倍数，故不可能是多边形内角和．
（2）由多边形内角和180°n−2可知，2020÷180=11……40，所以n−2=11，所以n=13
故多边形是十三边形．
（3）由（2）计算可知余数为40°，所以多加的外角为40°．
【点睛】本题考查了多边形内角和公式，熟记多边形内角和180°n−2是解题的关键．
【题型8 多边形内角和与外角和的实际应用】
【例8】（2023春·贵州铜仁·八年级统考期中）如图，奇奇先从点A出发前进4m，向右转15°，再前进4m，又向右转15°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了（ ）
A．24mB．48mC．64mD．96m
【答案】D
【分析】由题意可知奇奇所走的路线为正多边形，根据多边形的外角和定理即可求出答案．
【详解】解：∵奇奇从A点出发最后回到出发点A时正好走了一个正多边形，
∴根据外角和定理可知正多边形的边数为n=360°÷15°=24，
则一共走了24×4=96米．
故选D．
【点睛】本题主要考查了多边形外角和定理的应用，解题的关键是判断出奇奇所走的路线为正多边形，牢记任何一个多边形的外角和都是360°，正多边形的每一个外角都相等．
【变式8-1】（2023春·山东聊城·八年级统考期末）如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以2cm为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为 cm2.
【答案】4π
【详解】∵多边形的外角和为360°，
∴SA1+SA2+…+SAn=S圆=π×22=4π（cm2）．
故答案为：4π．
【变式8-2】（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，图1是一盏可折叠台灯，图2为其平面示意图，底座AO⊥OE于点O，支架AB,BC为固定支撑杆，∠BAO是∠CBA的两倍，灯体CD可绕点C旋转调节．现把灯体CD从水平位置旋转到CD'置（如图2中虚线所示），此时，灯体CD'所在的直线恰好垂直支架AB，且∠BCD−∠DCD'=123°，则∠DCD'= ．
【答案】38°
【分析】根据平行线的性质和四边形的内角和解答即可．
【详解】解：延长OA交CD于点F，延长D'C交AB于点G，
∵ AO⊥OE，
∴∠AOE=90°，
∵CD∥OE，
∴∠AFC=∠AOE=90°，
∴OA⊥CD，
∵AO⊥OE，D'C⊥AB，
∴∠AGC=∠AFC=90°，
∴∠GCF+∠GAF=180°，
∵∠DCD'+∠GCF=180°，
∴∠DCD'=∠GAF，
∴∠BAO=180°−∠DCD'，
∴∠B=12(180°−∠DCD')，
∵∠BCD−∠DCD'=123°，
∴∠BCD=∠DCD'+123°，
在四边形ABCF中，有∠GAF+∠B+∠BCD+∠AFC=360°，
∴∠DCD'+12(180°−∠DCD')+∠DCD'+123°+90°=360°，
解得：∠DCD'=38°，
故答案为：38°．
【点睛】此题考查平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质和四边形内角和等于360度．
【变式8-3】（2023春·山东济南·八年级统考期末）如图1，小红沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，小红每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度．
(1)该五边形广场ABCDE的内角和是 度；
(2)她跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是 度；
(3)如图2，小红参加“全民健身，共筑健康中国”活动，从点A起跑，绕湖周围的小路跑至终点E，若MA∥EN，且∠1+∠2=200°，求行程中小红身体转过的角度的和（图∠3+∠4+∠5的值）．
【答案】(1)540
(2)360
(3)160°
【分析】（1）根据五边形内角和求解即可；
（2）跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和；
（3）延长NE交AB于点F，再在五边形FBCDE中计算即可．
【详解】（1）五边形广场ABCDE的内角和5−2×180°=540°，
故答案为：540；
（2）∵跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和，
∴跑步方向改变的角度的和是360度，
故答案为：360；
（3）延长NE交AB于点F
∵MA∥EN
∴∠1=∠6
∵∠1+∠2=200∘
∴∠6+∠2=200∘
∵在五边形FBCDE中∠6+∠3+∠4+∠5+∠2=360∘
∴∠3+∠4+∠5=160∘
【点睛】考查了多边形内角与外角，关键是熟练掌握多边形的外角和等于360度的知识点．多边形的边数
4
5
6
…
n
从多边形的一个顶点出发
1
2
______
…
______
多边形对角线的总条数
2
______
______
…
______
多边形的边数
4
5
6
…
n
从多边形的一个顶点出发
1
2
3
…
n−3
多边形对角线的总条数
2
5
9
…
nn−32
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc24084" 【题型1 多边形对角线的有关计算】 PAGEREF _Tc24084 \h 1
\l "_Tc18668" 【题型2 求不规则图形的内角和】 PAGEREF _Tc18668 \h 2
\l "_Tc2910" 【题型3 求多边形的外角】 PAGEREF _Tc2910 \h 3
\l "_Tc8971" 【题型4 多边形的割角问题】 PAGEREF _Tc8971 \h 4
\l "_Tc18215" 【题型5 多边形内角和（外角和）与平行线的综合运用】 PAGEREF _Tc18215 \h 5
\l "_Tc16600" 【题型6 多边形内角和（外角和）与角平分线的综合运用】 PAGEREF _Tc16600 \h 6
\l "_Tc27490" 【题型7 多边形内角和与外角和的综合应用】 PAGEREF _Tc27490 \h 7
\l "_Tc2018" 【题型8 多边形内角和与外角和的实际应用】 PAGEREF _Tc2018 \h 8
【知识点1 多边形的相关概念】
（1）平面内，由一些线段 首尾顺次相接 所 组成的封闭图形，叫做多边形.
（2）各个角都相等,各条边都相等的多边形，叫做正多边形.
（3）连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
（4）从一个n边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个n边形分割成（n-2）个三角形，共有12n（n﹣3）条对角线
【题型1 多边形对角线的有关计算】
【例1】（2023春·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）已知从n边形的一个顶点出发共有4条对角线；从m边形的一个顶点出发的所有对角线把m边形分成7个三角形；正t边形的边长为6，周长为48，求代数式mn+1t的值．
【变式1-1】（2023春·河南郑州·八年级校考期末）一个正八边形，从它的一个顶点可引出m条对角线，并把这个正八边形分成n个三角形，则m+n= ．
【变式1-2】（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期末）多边形的一个顶点处的所有对角线把多边形分成了11个三角形，则经过这一点的对角线的条数是 条．
【变式1-3】（2023春·山东聊城·八年级校联考期末）某中学八年级数学课外兴趣小组在探究：“n边形(n>3)共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格，请在表格中的横线上填上相应的结果：
应用得到的结果解决以下问题：
①求十二边形有多少条对角线？
②过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2023吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由．
【知识点2 多边形的内角和与外角和】
（1）n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．
（2）在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.
【题型2 求不规则图形的内角和】
【例2】（2023春·山西吕梁·八年级统考期中）数学活动课上，小明一笔画成了如图所示的图形，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数为（ ）
A．360°B．540°C．720°D．无法计算
【变式2-1】（2023春·江苏扬州·八年级统考期中）如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= 度．
【变式2-2】（2023春·江苏·八年级期中）如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN，则∠1+∠2的度数为 ．
【变式2-3】（2023春·福建泉州·八年级统考期末）如图，若正五边形ABCDE和长方形AFCG按如图方式叠放在一起，则∠EAG的度数为 °．
【题型3 求多边形的外角】
【例3】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考期中）如图，在由等边三角形、正方形和正五边形组合而成的图形中，∠3＝60°，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．39°B．40°C．41°D．42°
【变式3-1】（2023春·福建泉州·八年级泉州五中校考期中）如图，五边形ABCDE中，∠A=125°，则∠1+∠2+∠3+∠4的度数是 ．
【变式3-2】（2023春·江苏·八年级期末）如图，七边形ABCDEFG中，EF，BA的延长线相交于点P，若∠ABC ，∠BCD ，∠CDE ，∠DEF 的外角的度数和为230°，则∠P的度数为（ ）
A．40°B．45°C．50°D．55°
【变式3-3】（2023春·湖北黄冈·八年级校考开学考试）凸n边形恰好只有三个内角是钝角，这样的多边形边数n的最大值是（ ）
A．7B．6C．5D．4
【题型4 多边形的割角问题】
【例4】（2023春·山东烟台·八年级统考期末）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1440°．则原来多边形的边数是 ．
【变式4-1】（2023春·吉林长春·八年级统考期末）如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是 ．
【变式4-2】（2023春·河北保定·八年级统考期末）在一个凸n边形的纸板上切下一个三角形后，剩下一个内角和为1080°的多边形，则n的值为 ．
【变式4-3】（2023春·新疆·八年级新疆师范大学附属中学校考期中）如图，沿着虚线将四边形纸片剪成两部分，如果所得两个图形的内角和相等，则符合条件的剪法是（ ）
A．①②B．①③C．②④D．③④
【题型5 多边形内角和（外角和）与平行线的综合运用】
【例5】（2023春·江苏徐州·八年级统考期中）如图，将四边形纸片ABCD的右下角向内折出△EC'F，恰好使C'E∥AB，C'F∥AD，若∠B+∠D=220°，则∠A= ．
【变式5-1】（2023春·广东汕尾·八年级校考期中）如图，直线l1,l2分别经过正六边形ABCDEF的顶点A、B，且l1∥l2，若∠1＝α，则∠2＝ ．（用含α的代数式表示）
【变式5-2】（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）如图，将透明直尺叠放在正五边形之上，若正五边形有两个顶点在直尺的边上，且有一边与直尺的边垂直．则∠α＝ °．
【变式5-3】（2023春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∠ABC、∠ADC的平分线分别交CD、AB于点E、F，EG∥AB．
(1)∠1与∠2有怎样的数量关系? 为什么?
(2)若∠A＝100°，∠1＝42°，求∠CEG的度数．
【题型6 多边形内角和（外角和）与角平分线的综合运用】
【例6】（2023春·江苏苏州·八年级苏州草桥中学校考期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD、∠ADC的平分线交于点P，∠ABC、∠DCE的平分线交于点Q，若∠P−∠Q=25°，则∠ABC+∠BCD= °．
【变式6-1】（2023春·江苏宿迁·八年级校考期中）如图，四边形ABCD中，∠B=104°，∠C=120°，AO、DO分别平分∠BAD和∠CDA，EO⊥AO，则∠EOD＝
【变式6-2】（2023春·江苏无锡·八年级统考期末）在四边形ABCD中，∠A=90°，∠ABC、∠ADC的平分线分别交直线CD、AB于点E、F．
(1)如图1，若∠C=90°，求证：EB∥DF；
(2)如图2，若线段DF、EB交于点P，∠BPF=20°，求∠C的度数．
【变式6-3】（2023春·山西临汾·八年级统考期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
已知“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，那么五边形的外角与内角之间又有什么关系呢？
如图1，在五边形ABCDE中，∠1,∠2是它的两个外角，则∠1+∠2=∠A+∠B+∠C−180°．下面是该结论的证明过程（部分）：
∵五边形的内角和为540°，
∴∠A+∠B+∠C+∠3+∠4=540°．
……
(1)按照上面的证明思路，完成证明的剩余部分．
(2)知识应用：如图2，在五边形ABCDE中，EF,DF分别是∠DEH和∠EDG的平分线，若∠A+∠B+∠C=320°，求∠F的度数；
(3)拓展提升：如图3，∠C=∠E=90°,∠ABH=23∠ABF,∠GFH=23∠BFG，∠H=140°，则∠D=_______．
【题型7 多边形内角和与外角和的综合应用】
【例7】（2023春·河南周口·八年级校联考期中）解决多边形问题：
(1)一个多边形的内角和是外角和的3倍，它是几边形？
(2)小华在求一个多边形的内角和时，重复加了一个角的度数，计算结果是1170°，这个多边形是几边形？
【变式7-1】（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级校考期中）已知一个多边形的内角和与外角和的和为1080°，且这个多边形的各个内角都相等.求这个多边形的每个外角度数.
【变式7-2】（2023春·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期末）一多边形的每一个内角都等于它相邻外角的4倍，则该多边形的内角和是（ ）
A．360°B．900°C．1440°D．1800°
【变式7-3】（2023春·江苏南京·八年级统考期末）阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题：
(1)“多边形内角和为2020°”，为什么不可能？
(2)明明求的是几边形的内角和？
(3)多加的那个外角为多少度？
【题型8 多边形内角和与外角和的实际应用】
【例8】（2023春·贵州铜仁·八年级统考期中）如图，奇奇先从点A出发前进4m，向右转15°，再前进4m，又向右转15°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了（ ）
A．24mB．48mC．64mD．96m
【变式8-1】（2023春·山东聊城·八年级统考期末）如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以2cm为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为 cm2.
【变式8-2】（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，图1是一盏可折叠台灯，图2为其平面示意图，底座AO⊥OE于点O，支架AB,BC为固定支撑杆，∠BAO是∠CBA的两倍，灯体CD可绕点C旋转调节．现把灯体CD从水平位置旋转到CD'置（如图2中虚线所示），此时，灯体CD'所在的直线恰好垂直支架AB，且∠BCD−∠DCD'=123°，则∠DCD'= ．
【变式8-3】（2023春·山东济南·八年级统考期末）如图1，小红沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，小红每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度．
(1)该五边形广场ABCDE的内角和是 度；
(2)她跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是 度；
(3)如图2，小红参加“全民健身，共筑健康中国”活动，从点A起跑，绕湖周围的小路跑至终点E，若MA∥EN，且∠1+∠2=200°，求行程中小红身体转过的角度的和（图∠3+∠4+∠5的值）．多边形的边数
4
5
6
…
n
从多边形的一个顶点出发
1
2
______
…
______
多边形对角线的总条数
2
______
______
…
______
专题11.5 多边形及其内角和【八大题型】
【人教版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc24084" 【题型1 多边形对角线的有关计算】 PAGEREF _Tc24084 \h 1
\l "_Tc18668" 【题型2 求不规则图形的内角和】 PAGEREF _Tc18668 \h 4
\l "_Tc2910" 【题型3 求多边形的外角】 PAGEREF _Tc2910 \h 7
\l "_Tc8971" 【题型4 多边形的割角问题】 PAGEREF _Tc8971 \h 9
\l "_Tc18215" 【题型5 多边形内角和（外角和）与平行线的综合运用】 PAGEREF _Tc18215 \h 11
\l "_Tc16600" 【题型6 多边形内角和（外角和）与角平分线的综合运用】 PAGEREF _Tc16600 \h 15
\l "_Tc27490" 【题型7 多边形内角和与外角和的综合应用】 PAGEREF _Tc27490 \h 20
\l "_Tc2018" 【题型8 多边形内角和与外角和的实际应用】 PAGEREF _Tc2018 \h 23
【知识点1 多边形的相关概念】
（1）平面内，由一些线段 首尾顺次相接 所 组成的封闭图形，叫做多边形.
（2）各个角都相等,各条边都相等的多边形，叫做正多边形.
（3）连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
（4）从一个n边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个n边形分割成（n-2）个三角形，共有12n（n﹣3）条对角线
【题型1 多边形对角线的有关计算】
【例1】（2023春·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）已知从n边形的一个顶点出发共有4条对角线；从m边形的一个顶点出发的所有对角线把m边形分成7个三角形；正t边形的边长为6，周长为48，求代数式mn+1t的值．
【答案】8
【分析】根据题意，由多边形的性质：从n边形的一个顶点出发能引出(n−3)条对角线，能分成(n−2)个三角形，分别求出n，m的值，再由正多边形的性质求出t，然后代入式子即可求解．
【详解】解：因为从n边形的一个顶点出发共有4条对角线，
所以n=7．
因为从m边形的一个顶点出发的所有对角线把m边形分成7个三角形，
所以m=9．
因为正t边形的边长为6，周长为48，
所以t=48÷6=8，
所以代数式mn+1t=9×7+18=8．
【点睛】本题主要考查了多边形的性质，理解并掌握多边形的相关性质是解题关键．
【变式1-1】（2023春·河南郑州·八年级校考期末）一个正八边形，从它的一个顶点可引出m条对角线，并把这个正八边形分成n个三角形，则m+n= ．
【答案】11
【分析】过八边形的一个顶点可以引出5条对角线，过八边形的一个顶点画出所有的对角线，可以将这个八边形分成6个三角形，据此求得m,n的值，继而即可求解．
【详解】解：过八边形的一个顶点可以引出5条对角线，过八边形的一个顶点画出所有的对角线，可以将这个八边形分成6个三角形，
∴m+n=5+6=11，
故答案为：11．
【点睛】本题考查了多边形的对角线，掌握过多边形的一个顶点的对角线条数为n−3是解题的关键．
【变式1-2】（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期末）多边形的一个顶点处的所有对角线把多边形分成了11个三角形，则经过这一点的对角线的条数是 条．
【答案】10
【分析】可根据多边形过一个顶点的对角线与分成的三角形的个数的关系列方程求解．
【详解】设多边形有n条边，
则n−2=11，解得n=13.
故这个多边形是十三边形．
故经过这一点的对角线的条数是13−3=10.
故答案为：10．
【点睛】此题考查了多边形的对角线，多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点的所有对角线有(n−3)条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成(n−2)个三角形．
【变式1-3】（2023春·山东聊城·八年级校联考期末）某中学八年级数学课外兴趣小组在探究：“n边形(n>3)共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格，请在表格中的横线上填上相应的结果：
应用得到的结果解决以下问题：
①求十二边形有多少条对角线？
②过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2023吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由．
【答案】填表：n−3 5 9 nn−32；①54；②可以为2023，这个多边形的边数1014
【分析】根据题意求出相应数据，填表即可；
①由表格探求的n边形对角线总条数公式：n(n−3)2得出最终结果；
②从n边形的一个顶点出发可引(n−3)条对角线，这些对角线分多边形所得的三角形个数为(n−2)，据此求解．
【详解】解：填表如下：
故答案为：3，n−3，5，9 nn−32；
①把n=12代入nn−32得，12×12−32=54．
∴十二边形有54条对角线．
②能．
由题意得，n−3+n−2=2023，
解得n=20282=1014．
∵多边形的边数n是正整数，
∴过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可以为2023，这个多边形的边数1014．
【点睛】本题考查n边形对角线公式，过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数，掌握对角线数量形成的规律，熟练应用规律是解题关键．
【知识点2 多边形的内角和与外角和】
（1）n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．
（2）在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.
【题型2 求不规则图形的内角和】
【例2】（2023春·山西吕梁·八年级统考期中）数学活动课上，小明一笔画成了如图所示的图形，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数为（ ）
A．360°B．540°C．720°D．无法计算
【答案】B
【分析】根据五边形的内角和是540°，可求∠A+∠B+∠C+∠D+∠1=540°，又由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠1=∠E+∠2，∠2=∠F+∠G，从而求出所求的角的和．
【详解】解：如图，
在五边形ABCDH中：∠A+∠B+∠C+∠D+∠1=540°，
∵∠1=∠E+∠2，∠2=∠F+∠G，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形外角的性质及五边形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．
【变式2-1】（2023春·江苏扬州·八年级统考期中）如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= 度．
【答案】540
【分析】把∠E+∠F转化成∠1+∠2，然后根据五边形的内角和公式计算求解即可．
【详解】解：如图，
由题意知，∠E+∠F=∠1+∠2，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ∠A+∠B+∠C+∠D+∠1+∠2+∠G，
∵∠A+∠B+∠C+∠D+∠1+∠2+∠G是五边形的内角和，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠1+∠2+∠G=5−2×180°=540°，
故答案为：540．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，五边形内角和．解题的关键在于将∠E+∠F转化为∠1+∠2．
【变式2-2】（2023春·江苏·八年级期中）如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN，则∠1+∠2的度数为 ．
【答案】210°
【分析】根据多边形的内角和定理可求得∠B+∠C+∠D+∠E=510°，∠1+∠2+∠B+∠C+∠D+∠E=6−2×180°=720°，进而可求解．
【详解】解：∵∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=5−2×180°=540°，∠A=30°，
∴∠B+∠C+∠D+∠E=510°，
∵∠1+∠2+∠B+∠C+∠D+∠E=6−2×180°=720°，
∴∠1+∠2=720°−510°=210°，
故答案为：210°
【点睛】本题主要考查多边形的内角和外角，掌握多边形的内角和定理是解题的关键．
【变式2-3】（2023春·福建泉州·八年级统考期末）如图，若正五边形ABCDE和长方形AFCG按如图方式叠放在一起，则∠EAG的度数为 °．
【答案】36
【分析】先求出正五边形的内角和，可得出每个内角的度数，利用三角形的外角得出∠FAB=∠ABC−∠AFC，再求出∠BAG=∠FAG−∠FAB，即可得到答案．
【详解】解：∵正五边形ABCDE内角和为：5−2×180°=540°，
∴∠EAB=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEA=540°5=108°，
∵长方形AFCG中，∠AFC=∠FCG=∠CGA=∠GAF=90°，
∴∠FAB=∠ABC−∠AFC=108°−90°=18°，
∴∠BAG=∠FAG−∠FAB=90°−18°=72°，
∴∠EAG=∠EAB−∠BAG=108°−72°=36°，
故答案为：36．
【点睛】本题考查多边形的内角和，三角形的外角，正确理解题意是解题的关键．
【题型3 求多边形的外角】
【例3】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考期中）如图，在由等边三角形、正方形和正五边形组合而成的图形中，∠3＝60°，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．39°B．40°C．41°D．42°
【答案】D
【分析】利用外角和360°减去等边三角形的一个内角的度数，减去正方形的一个内角的度数，减去正五边形的一个内角的度数，然后减去∠3即可求得
【详解】等边三角形的内角的度数是60°，正方形的内角度数是90°，
正五边形的内角的度数是：15（5-2）×180°=108°，
则∠1+∠2=360°-60°-90°-108°-∠3=42°．
故选D．
【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，熟知正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数是解答此题的关键
【变式3-1】（2023春·福建泉州·八年级泉州五中校考期中）如图，五边形ABCDE中，∠A=125°，则∠1+∠2+∠3+∠4的度数是 ．
【答案】305°
【分析】根据补角的性质，得∠5；再根据多边形外角和的性质计算，即可得到答案．
【详解】如图，延长EA，∠5=180°−∠A=55°
∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°−∠5=305°
故答案为：305°．
【点睛】本题考查了多边形的知识；解题的关键是熟练掌握补角、多边形外角和的性质，从而完成求解．
【变式3-2】（2023春·江苏·八年级期末）如图，七边形ABCDEFG中，EF，BA的延长线相交于点P，若∠ABC ，∠BCD ，∠CDE ，∠DEF 的外角的度数和为230°，则∠P的度数为（ ）
A．40°B．45°C．50°D．55°
【答案】C
【分析】如图，根据多边形的外角和等于360°，得∠5+∠6+∠7=360°−230°=130° ,根据三角形外角的性质，得∠8=∠6+∠7，那么∠5+∠8=130°．根据三角形内角和定理，得∠P=180°−∠5+∠8=50°．
【详解】解：如图．
由题意得：∠1+∠2+∠3+∠4=230°，
∴∠5+∠6+∠7=360°−230°=130°，
∵∠8=∠6+∠7，
∴∠5+∠8=130°，
∴∠P=180°−∠5+∠8=50°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查多边形的外角、多边形的外角和等于360°、三角形外角的性质、三角形内角和定理，熟练掌握多边形的外角、多边形的外角和等于360°、三角形外角的性质、三角形内角和定理是解决本题的关键．
【变式3-3】（2023春·湖北黄冈·八年级校考开学考试）凸n边形恰好只有三个内角是钝角，这样的多边形边数n的最大值是（ ）
A．7B．6C．5D．4
【答案】B
【分析】由题意知在n边形的外角中恰好有3个锐角，则其余（n－3）个外角是直角或钝角，而n个外角中最多只能有4个直角或3个钝角，而4个直角已不可能，所以n－3≤3，由此即得答案.
【详解】解：因为n边形恰好只有三个内角是钝角，所以在n边形的外角中恰好有3个锐角，所以其余（n－3）个外角是直角或钝角，又由于n边形的外角和是360°，其n个外角中最多只能有4个直角或3个钝角，而4个直角显然已不可能，所以n－3≤3，解得n≤6，即n的最大值为6.
故选B.
【点睛】本题考查了多边形的内角、外角的概念与外角和，从多边形的外角的角度入手分析是解题的关键.
【题型4 多边形的割角问题】
【例4】（2023春·山东烟台·八年级统考期末）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1440°．则原来多边形的边数是 ．
【答案】9或10或11
【分析】先根据多边形的内角和公式n−2⋅180°求出截去一个角后的多边形的边数，再分情况说明求得原来多边形的解．
【详解】解：设多边形截去一个角的边数为n，根据题意得：
n−2⋅180°=1440°
∴n=10
又∵截去一个角后的多边形的边可以增加1、不变、减少1，
∴原多边形的边数为9或10或11．
【点睛】本题考查的是多边形的内角和公式，本题的易错点在于忽略考虑截去一个角后多边形的边数可以不变、增加或者减少．
【变式4-1】（2023春·吉林长春·八年级统考期末）如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是 ．
【答案】180°或360°或540°
【详解】分析: 剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，根据多边形的内角和定理即可求解.
详解: n边形的内角和是（n-2）•180°，
边数增加1，则新的多边形的内角和是（4+1-2）×180°=540°，
所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是（4-2）×180°=360°，
所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是（4-1-2）×180°=180°，
因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°．
故答案为540°或360°或180°.
点睛：本题主要考查了多边形的内角和的计算公式，理解：剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，是解决本题的关键.
【变式4-2】（2023春·河北保定·八年级统考期末）在一个凸n边形的纸板上切下一个三角形后，剩下一个内角和为1080°的多边形，则n的值为 ．
【答案】7或8或9
【分析】根据多边形的内角和公式列方程求出切下一个三角形后多边形的边数，再分新多边形的边数比原多边形的边数增加1，减少1，不变三种情况求解．
【详解】解：设切下一个三角形后多边形的边数x，
由题意得，（x﹣2）×180°＝1080°，
解得x＝8，
所以，n＝8﹣1＝7，
n＝8+1＝9，
或n＝x＝8．
故答案为：7或8或9．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角与外角，难点在于熟悉切下一个三角形后多边形边数与原多边形的边数有三种情况.
【变式4-3】（2023春·新疆·八年级新疆师范大学附属中学校考期中）如图，沿着虚线将四边形纸片剪成两部分，如果所得两个图形的内角和相等，则符合条件的剪法是（ ）
A．①②B．①③C．②④D．③④
【答案】B
【分析】根据多边形内角和定理逐一判断即可得答案．
【详解】三角形内角和为180°，四边形内角和为360°，五边形内角和为（5-2）×180°=540°，
①剪开后的两个图形是四边形，它们的内角和都是360°，符合条件，
②剪开后的两个图形是五边形和三角形，它们的内角和分别是540°和180°，不符合条件，
③剪开后的两个图形都是三角形，它们的内角和是180°，符合条件，
④剪开后的两个图形是三角形和四边形，它们的内角和分别是180°和360°，不符合条件，
∴符合条件的剪法是①③，
故选：B．
【点睛】本题考查多边形的内角和定理，多边形内角和=（n-2）×180°（n≥3）；熟练掌握多边形内角和公式是解题关键．
【题型5 多边形内角和（外角和）与平行线的综合运用】
【例5】（2023春·江苏徐州·八年级统考期中）如图，将四边形纸片ABCD的右下角向内折出△EC'F，恰好使C'E∥AB，C'F∥AD，若∠B+∠D=220°，则∠A= ．
【答案】70°
【分析】根据平行线的性质得到∠D=∠C'FC，∠B=∠C'EC，根据四边形内角和得到∠C'+∠C'FC+∠C'EC+∠C=360°，再根据折叠的性质得到∠C'=∠C，从而得到∠C=70°，最终求出∠A=70°．
【详解】解：∵C'E∥AB，C'F∥AD，
∴∠D=∠C'FC，∠B=∠C'EC，
∵∠B+∠D=220°，
∴∠C'FC+∠C'EC=220°，
∵∠C'+∠C'FC+∠C'EC+∠C=360°，
∴∠C'+∠C=140°，
∵∠C'=∠C，
∴∠C=70°，
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∴∠A=70°，
故答案为：70°．
【点睛】本题考查平行线的性质和四边形内角和，解题的关键是熟知四边形的内角和等于360度．
【变式5-1】（2023春·广东汕尾·八年级校考期中）如图，直线l1,l2分别经过正六边形ABCDEF的顶点A、B，且l1∥l2，若∠1＝α，则∠2＝ ．（用含α的代数式表示）
【答案】α﹣60°
【分析】根据正六边形ABCDE的内角是120°得出∠3，再利用l1∥l2得出∠4，最后用平角减∠4和正六边形ABCDE的一个内角即可得出∠2．
【详解】解：∵正六边形ABCDE的一个内角是120°，
∴∠3＝120°﹣∠1＝120°﹣α
又∵l1∥l2，
∴∠4＝∠3＝120°﹣α，
∴∠2＝180°﹣120°﹣∠4＝180°﹣120°﹣（120°﹣α）＝α﹣60°，
故答案为：α﹣60°．
【点睛】本题考查正多边形的内角，平行线的性质等知识，正确的计算和定理的应用是解题的关键．
【变式5-2】（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）如图，将透明直尺叠放在正五边形之上，若正五边形有两个顶点在直尺的边上，且有一边与直尺的边垂直．则∠α＝ °．
【答案】54
【分析】如图，标注字母，先求解正五边形的内角∠D，∠DCB的大小，再利用平行线的性质及角的和差求解∠DCE，再利用三角形的内角和求解∠DEC，从而利用平行线的性质可得答案．
【详解】解：如图，标注字母，
由题意得：AB∥EC，∠D=∠DCB=540°5=108°，∠ABC=90°，
∴∠ECB=180°−90°=90°，∠DCE=108°−90°=18°，
∴∠DEC=180°−∠D−∠DCE=54°，
∵AB∥EC，
∴∠α=∠DEC=54°．
故答案为：54．
【点睛】此题考查了平行线的性质，正多边形的内角和，三角形的内角和，解题的关键是掌握利用平行线结合内角和定理进行计算．
【变式5-3】（2023春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∠ABC、∠ADC的平分线分别交CD、AB于点E、F，EG∥AB．
(1)∠1与∠2有怎样的数量关系? 为什么?
(2)若∠A＝100°，∠1＝42°，求∠CEG的度数．
【答案】(1)∠1与∠2互余
(2)4°
【分析】（1）根据四边形的内角和为360°以及补角的定义可得∠ABC+∠ADC=180°，再根据角平分线的定义以及平行线的性质即可得出∠1+∠2=90°；
（2）根据∠A与∠C互补可得∠C的度数，根据∠1与∠2互余可得∠2的度数，根据平行线的性质可得∠ABE的度数，然后根据三角形的内角和以及角的和差关系计算即可．
【详解】（1）∠1与∠2互余．
∵四边形ABCD的内角和为360°，∠A与∠C互补，
∴∠ABC+∠ADC=360°-180°=180°，
∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，
∴∠1＝12∠ADC，∠ABE＝12∠ABC，
∵EG∥AB，
∴∠2=∠ABE，
∴∠1+∠2=12∠ADC+12∠ABC＝90°，
即∠1与∠2互余．
（2）∵∠A=100°，∠1=42°，
∴∠C=80°，∠2=48°，
∴∠ABE=∠CBE=48°，
∴∠BEC=180°-48°-80°=52°，
∴∠CEG=52°-48°=4°．
【点睛】本题考查了四边形的内角和、余角和补角的定义；弄清角之间的互余、互补关系是解题的关键．
【题型6 多边形内角和（外角和）与角平分线的综合运用】
【例6】（2023春·江苏苏州·八年级苏州草桥中学校考期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD、∠ADC的平分线交于点P，∠ABC、∠DCE的平分线交于点Q，若∠P−∠Q=25°，则∠ABC+∠BCD= °．
【答案】115°
【分析】根据角平分线的定义，以及多边形的内角和性质，设∠BAP =∠DAP=α，∠ADP=∠CDP=β，从而分别表示出∠P与∠Q，再结合已知条件推出2α+2β的度数，从而确定出结论即可．
【详解】解：∵AP平分∠BAD，DP平分∠CDA，
∴∠BAP=∠DAP，∠ADP=∠CDP，
设∠BAP =∠DAP=α，∠ADP=∠CDP=β，
∴∠P=180°-α-β，
∵BQ平分∠ABC，CQ平分∠DCE，
∴∠ABQ=∠CBQ，∠DCQ=∠ECQ，
∴∠Q=180°-∠CBQ-∠BCQ
=180°-12∠ABC-∠DCB-∠DCQ
=180°-12∠ABC-∠DCB-12∠DCE，
=180°-12∠ABC-∠DCB-12（180°-∠DCB）
=90°-12（∠ABC+∠DCB）
∵∠ABC+∠DCB=360°-（∠BAD+∠ADC）=360°-2α-2β，
∴∠Q=90°-12（360°-2α-2β）=α+β-90°，
∵∠P−∠Q=25°，
∴180°-α-β-（α+β-90°）=25°，
∴2α+2β=245°，
∴∠ABC+∠BCD=360°-2α-2β=360°-245°=115°，
故答案为：115°．
【点睛】本题考查多边形的内角和性质，角平分线的定义等，理解基本性质，能够从复杂图形中表示出相应角度是解题关键．
【变式6-1】（2023春·江苏宿迁·八年级校考期中）如图，四边形ABCD中，∠B=104°，∠C=120°，AO、DO分别平分∠BAD和∠CDA，EO⊥AO，则∠EOD＝
【答案】22°
【分析】由四边形内角和可求得∠BAD+∠ADC =136°，继而根据角平分线的定义可得∠OAD+∠ODA=68°，再由三角形内角和定理求出∠AOD的度数，由∠AOE=90°，根据∠EOD=∠AOD-∠AOE即可求得答案.
【详解】∵四边形ABCD中，∠B=104°，∠C=120°，
∴∠BAD+∠ADC=(4-2)×180°-∠B-∠C=136°，
又AO、DO分别平分∠BAD和∠CDA，
∴∠OAD+∠ODA=12∠BAD+12∠ADC=12×136°=68°，
∴∠AOD=180°-∠OAD-∠ODA=180°-68°=112°，
又∵EO⊥AO，∴∠AOE=90°，
∴∠EOD=∠AOD-∠AOE=112°-90°=22°，
故答案为22°.
【点睛】本题考查了四边形的内角和、三角形内角和定理、角平分线的定义、角的和差等，熟练掌握相关内容是解题的关键.
【变式6-2】（2023春·江苏无锡·八年级统考期末）在四边形ABCD中，∠A=90°，∠ABC、∠ADC的平分线分别交直线CD、AB于点E、F．
(1)如图1，若∠C=90°，求证：EB∥DF；
(2)如图2，若线段DF、EB交于点P，∠BPF=20°，求∠C的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠C=130°
【分析】（1）根据四边形内角和、角平分线的性质即可推导出∠CEB=∠CDF，即可证得结论；
（2）根据四边形CDPB的内角和、角平分线的性质即可推导出∠ADC+∠ABC=2∠CDP+2∠CBP=400°−2∠C，再由四边形ABCD的内角和列出关于∠C的方程，即可求得∠C的度数．
（1）
在四边形ABCD中，∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，
又∵∠A=90°，∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵EB平分∠ABC、DF平分∠ADC，
∴∠CBE=12∠CBA,∠CDF=12∠CDA，
∴∠CBE+∠CDF=12∠CBA+12∠CDA=90°，
在Rt△ECB中，∠CEB+∠CBE=90°，
∴∠CEB=∠CDF，
∴EB∥DF；
（2）
在四边形CDPB中，∠CDP+∠CBP+∠C+∠DPB=360°，
又∵∠BPF=20°，
∴∠DPB=160°，
∴∠CDP+∠CBP+∠C=200°，
∵EB平分∠ABC、DF平分∠ADC，
∴∠ADC=2∠CDP,∠ABC=2∠CBP，
∴∠ADC+∠ABC=2∠CDP+2∠CBP=400°−2∠C，
∵在四边形ABCD中，∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，∠A=90°，
∴90°+∠C+400°−2∠C=360°，
∴∠C=130°．
【点睛】此题考查了四边形内角和、角平分线的性质、平行线的判定，掌握以上知识是解题的关键．
【变式6-3】（2023春·山西临汾·八年级统考期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
已知“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，那么五边形的外角与内角之间又有什么关系呢？
如图1，在五边形ABCDE中，∠1,∠2是它的两个外角，则∠1+∠2=∠A+∠B+∠C−180°．下面是该结论的证明过程（部分）：
∵五边形的内角和为540°，
∴∠A+∠B+∠C+∠3+∠4=540°．
……
(1)按照上面的证明思路，完成证明的剩余部分．
(2)知识应用：如图2，在五边形ABCDE中，EF,DF分别是∠DEH和∠EDG的平分线，若∠A+∠B+∠C=320°，求∠F的度数；
(3)拓展提升：如图3，∠C=∠E=90°,∠ABH=23∠ABF,∠GFH=23∠BFG，∠H=140°，则∠D=_______．
【答案】(1)见解析
(2)∠F=110°
(3)120°
【分析】（1）由五边形的内角和为540°得到∠A+∠B+∠C+∠3+∠4=540°．由邻补角定义得到∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180°，则∠1+∠2+∠3+∠4=360°，两式相减得到∠A+∠B+∠C−∠1+∠2=180°，即可得到结论；
（2）∠A+∠B+∠C=320°，由（1）可得，∠DEH+∠EDG=140°，由角平分线定义得到∠DEF=12∠DEH,∠EDF=12∠EDG，则∠DEF+∠EDF=70°，由三角形内角和定理即可得到∠F的度数；
（3）由三角形内角和定理得到∠HBF+HFB=40°，由∠ABH=23∠ABF,∠GFH=23∠BFG得到∠HBF=13∠ABF,∠HFB=13∠BFG，得到∠ABF+∠BFG=120°，由（1）得∠ABF+∠BFG=∠C+∠E+D−180°，又由∠C=∠E=90°,即可得到∠D的度数．
【详解】（1）∵五边形的内角和为540°，
∴∠A+∠B+∠C+∠3+∠4=540°．
∵∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°，
∴∠A+∠B+∠C−∠1+∠2=180°，
∴∠A+∠B+∠C−180°=∠1+∠2；
（2）∵∠A+∠B+∠C=320°，
∴由（1）可得，∠DEH+∠EDG=320°−180°=140°，
∵EF平分∠DEH,DF平分∠EDG，
∴∠DEF=12∠DEH,∠EDF=12∠EDG，
∴∠DEF+∠EDF=12∠DEH+∠EDG =12×140°=70°，
∵∠DEF+∠EDF+∠F=180°，
∴∠F=180°−70°=110°；
（3）∵∠H=140°，∠HBF+HFB+∠H=180°，
∴∠HBF+HFB=180°−∠H=40°，
∵∠ABH=23∠ABF,∠GFH=23∠BFG，
∴∠HBF=13∠ABF,∠HFB=13∠BFG，
∴∠ABF+∠BFG=3∠HBF+3∠HFB=3∠HBF+∠HFB=120°，
由（1）得∠ABF+∠BFG=∠C+∠E+D−180°，
∵∠C=∠E=90°,
∴∠D=∠ABF+∠BFG+180°−∠C−∠E=120°+180°−90°−90°=120°．
故答案为：120°
【点睛】此题考查了多边形内角和、几何图形中的角度计算、三角形内角和定理、角平分线的相关计算等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
【题型7 多边形内角和与外角和的综合应用】
【例7】（2023春·河南周口·八年级校联考期中）解决多边形问题：
(1)一个多边形的内角和是外角和的3倍，它是几边形？
(2)小华在求一个多边形的内角和时，重复加了一个角的度数，计算结果是1170°，这个多边形是几边形？
【答案】(1)八边形
(2)八边形
【分析】（1）根据多边形的内角和公式、多边形的外角和等于360°建立方程，解方程即可得；
（2）设这个多边形是n边形，重复加的一个角的度数为x，则0°
由题意得：180°n−2=3×360°，
解得n=8，
答：这个多边形是八边形．
（2）解：设这个多边形是n边形，重复加的一个角的度数为x，则0°
解得x=1530°−180°n，
则0°<1530°−180°n<180°，即1530°−180°n>0°1530°−180°n<180°，
解得152
∴n=8，
答：这个多边形是八边形．
【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和、一元一次不等式组的应用，正确建立方程和不等式组是解题关键．
【变式7-1】（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级校考期中）已知一个多边形的内角和与外角和的和为1080°，且这个多边形的各个内角都相等.求这个多边形的每个外角度数.
【答案】60°.
【分析】由多边形的外角和为360°，得到多边形的内角和，然后计算得到每个外角的度数.
【详解】解：∵多边形的外角和为360°，
∴多边形的内角和为：1080°−360°=720°，
∴180°(n−2)=720°，
解得：n=6，
∴每个外角度数：360°÷6=60°.
【点睛】本题考查了多边形的内角和以及外角和，正确理解任何多边形的外角和都是360°是关键．
【变式7-2】（2023春·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期末）一多边形的每一个内角都等于它相邻外角的4倍，则该多边形的内角和是（ ）
A．360°B．900°C．1440°D．1800°
【答案】C
【分析】设每一个外角都为x，则相邻的内角为4x，然后根据“邻补角和为180°”列方程求得外角的大小，然后再根据多边形外角和定理求得多边形边数，最后运用多边形内角和公式求解即可．
【详解】解：设每一个外角都为x，则相邻的内角为4x，
由题意得，4x+x＝180°，
解得：x＝36°，
多边形的外角和为360°，
360°÷36°＝10，
所以这个多边形的边数为10，
则该多边形的内角和是：（10﹣8）×180＝1440°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了多边形内角和相邻外角的关系、多边形的外角和、多边形内角和等知识点，掌握多边形的外角和为360°是解答本题的关键．
【变式7-3】（2023春·江苏南京·八年级统考期末）阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题：
(1)“多边形内角和为2020°”，为什么不可能？
(2)明明求的是几边形的内角和？
(3)多加的那个外角为多少度？
【答案】(1)见解析
(2)十三边形
(3)40°
【分析】（1）根据多边形内角和公式判断即可；
（2）根据多边形内角和公式判断即可；
（3）由（2）即可得出答案．
【详解】（1）由多边形内角和180°n−2可知，多边形内角和是180的倍数，而2020不是180的倍数，故不可能是多边形内角和．
（2）由多边形内角和180°n−2可知，2020÷180=11……40，所以n−2=11，所以n=13
故多边形是十三边形．
（3）由（2）计算可知余数为40°，所以多加的外角为40°．
【点睛】本题考查了多边形内角和公式，熟记多边形内角和180°n−2是解题的关键．
【题型8 多边形内角和与外角和的实际应用】
【例8】（2023春·贵州铜仁·八年级统考期中）如图，奇奇先从点A出发前进4m，向右转15°，再前进4m，又向右转15°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了（ ）
A．24mB．48mC．64mD．96m
【答案】D
【分析】由题意可知奇奇所走的路线为正多边形，根据多边形的外角和定理即可求出答案．
【详解】解：∵奇奇从A点出发最后回到出发点A时正好走了一个正多边形，
∴根据外角和定理可知正多边形的边数为n=360°÷15°=24，
则一共走了24×4=96米．
故选D．
【点睛】本题主要考查了多边形外角和定理的应用，解题的关键是判断出奇奇所走的路线为正多边形，牢记任何一个多边形的外角和都是360°，正多边形的每一个外角都相等．
【变式8-1】（2023春·山东聊城·八年级统考期末）如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以2cm为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为 cm2.
【答案】4π
【详解】∵多边形的外角和为360°，
∴SA1+SA2+…+SAn=S圆=π×22=4π（cm2）．
故答案为：4π．
【变式8-2】（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，图1是一盏可折叠台灯，图2为其平面示意图，底座AO⊥OE于点O，支架AB,BC为固定支撑杆，∠BAO是∠CBA的两倍，灯体CD可绕点C旋转调节．现把灯体CD从水平位置旋转到CD'置（如图2中虚线所示），此时，灯体CD'所在的直线恰好垂直支架AB，且∠BCD−∠DCD'=123°，则∠DCD'= ．
【答案】38°
【分析】根据平行线的性质和四边形的内角和解答即可．
【详解】解：延长OA交CD于点F，延长D'C交AB于点G，
∵ AO⊥OE，
∴∠AOE=90°，
∵CD∥OE，
∴∠AFC=∠AOE=90°，
∴OA⊥CD，
∵AO⊥OE，D'C⊥AB，
∴∠AGC=∠AFC=90°，
∴∠GCF+∠GAF=180°，
∵∠DCD'+∠GCF=180°，
∴∠DCD'=∠GAF，
∴∠BAO=180°−∠DCD'，
∴∠B=12(180°−∠DCD')，
∵∠BCD−∠DCD'=123°，
∴∠BCD=∠DCD'+123°，
在四边形ABCF中，有∠GAF+∠B+∠BCD+∠AFC=360°，
∴∠DCD'+12(180°−∠DCD')+∠DCD'+123°+90°=360°，
解得：∠DCD'=38°，
故答案为：38°．
【点睛】此题考查平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质和四边形内角和等于360度．
【变式8-3】（2023春·山东济南·八年级统考期末）如图1，小红沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，小红每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度．
(1)该五边形广场ABCDE的内角和是 度；
(2)她跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是 度；
(3)如图2，小红参加“全民健身，共筑健康中国”活动，从点A起跑，绕湖周围的小路跑至终点E，若MA∥EN，且∠1+∠2=200°，求行程中小红身体转过的角度的和（图∠3+∠4+∠5的值）．
【答案】(1)540
(2)360
(3)160°
【分析】（1）根据五边形内角和求解即可；
（2）跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和；
（3）延长NE交AB于点F，再在五边形FBCDE中计算即可．
【详解】（1）五边形广场ABCDE的内角和5−2×180°=540°，
故答案为：540；
（2）∵跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和，
∴跑步方向改变的角度的和是360度，
故答案为：360；
（3）延长NE交AB于点F
∵MA∥EN
∴∠1=∠6
∵∠1+∠2=200∘
∴∠6+∠2=200∘
∵在五边形FBCDE中∠6+∠3+∠4+∠5+∠2=360∘
∴∠3+∠4+∠5=160∘
【点睛】考查了多边形内角与外角，关键是熟练掌握多边形的外角和等于360度的知识点．多边形的边数
4
5
6
…
n
从多边形的一个顶点出发
1
2
______
…
______
多边形对角线的总条数
2
______
______
…
______
多边形的边数
4
5
6
…
n
从多边形的一个顶点出发
1
2
3
…
n−3
多边形对角线的总条数
2
5
9
…
nn−32
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