[数学]贵州省2024年高三下学期高考模拟信息卷试题(一)(解析版)

这是一份[数学]贵州省2024年高三下学期高考模拟信息卷试题(一)(解析版)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，
又，所以.
故选：D.
2. （ ）
A. B. C. 2D. 5
【答案】B
【解析】因为，所以，
故选：B.
3. 已知向量，，且，则的坐标可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设，因为，所以①，
又，得到，又，所以②，
联立①②解得或，所以的坐标可以是，
故选：A.
4. 已知数列满足，则“数列是递增数列”的充要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，
所以，
由，得到，
所以“数列an是递增数列”的充要条件是，故选：B.
5. 为了美化广场环境，县政府计划定购一批石墩．已知这批石墩可以看作是一个圆台和一个圆柱拼接而成，其轴截面如下图所示，其中，，则该石墩的体积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】如图，过点作于，
因为，，所以，，
所以圆台的体积为
，
又圆柱的体积为，
所以该石墩的体积为，
故选：D.
6. 若函数在上单调，则的最大值为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】，则，
函数在上单调，
所以，解得：，
所以的最大值为.
故选：D.
7. 将除颜色外完全相同的2个红球和1个白球随机放入2个不同的盒子中，每个盒子中至少放入1个球，则2个红球分别放入不同盒子中的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】将除颜色外完全相同的2个红球和1个白球随机放入2个不同的盒子中，
每个盒子中至少放入1个球，则基本事件有：（红1，白红2），（白，红1红2），（红2，白红1），
则2个红球分别放入不同盒子中包含了（红1，白红2），（红2，白红1），
所以由古典概型的公式得概率为：.
故选：A.
8. 已知，，．若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得，
因为，，则，
可得，即，
则，
令，
则，整理得，解得或（舍去），
即，解得．
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】对于A，根据在单调递增，结合，知，A正确．
对于B，根据在单调递增，结合，知，B错误．
对于C，根据在单调递增，结合，知，C错误．
对于D，根据，结合，
知，则，即，D正确．
故选：AD.
10. 在正方体中，分别为，，，，的中点，则（ ）
A. 平面B. 平面
C. 平面平面D. 平面平面
【答案】ABC
【解析】对于A，连接，如图，
因为是，的中点，所以，
易知四边形是平行四形边，又是，的中点，所以，
故，又平面，平面，
所以平面，故A正确；
对于B，连接，如图，

在正方体中，易知，
又平面，所以平面，
因为平面，故，
又易知，所以，
同理：，则，
因为，平面，所以平面，
对于C，连接，

因为是，的中点，所以，同理：，
又在正方体中，易得，所以，
又平面，平面，所以平面，
同理可证，进而可证平面，
因为平面，所以平面平面，故C正确；
对于D，假设平面平面，
因为平面，所以平面，显然不成立，故D错误.
故选：ABC.
11. 已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与交于两点，点为点在上的射影，线段与轴的交点为，的延长线交于点，则（ ）
A. B.
C. D. 直线与相切
【答案】ABD
【解析】由题知，，设，则，
对于选项A，因为，所以，
令，得到，所以，故，
又，所以，所以选项A正确，
对于选项B，由选项A知，所以，
令，得到，
所以，故，
又，所以，故选项B正确，
对于选项C，在中，，又由选项A知直线为的中垂线，
所以，得到，所以选项C错误，
对于选项D，因为，由，消得到，
因为，所以直线与相切，故选项D正确，

故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 的展开式中，二项式系数最大的项的系数是______.（用数字作答）
【答案】
【解析】因为，所以二项式系数最大的项为第项，
又的展开式的通项公式为，
令，得到，所以二项式系数最大的项的系数是.
13. 我们把离心率为的双曲线称为“黄金双曲线”．已知“黄金双曲线”，则的虚轴长为__________．
【答案】
【解析】因为，即，解得，所以的虚轴长为.
14. 若直线与曲线相切，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】因为，所以，
设切点为，则，
由，得，，则，
代入，得，则，
令，则，当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以，故.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在三棱台中，平面ABC，，，．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
解：（1）依题意，以点C为圆点，所在直线分别为 建立如图所示空间直角坐标系
在三椄台 中.
因为，
，
，
所以
所以
设异面直线 与 所成角为 则，
所以，
即直线 与 所成角的余弦值是
（2）设直线 与平面 所成角为 ，则，
平面 的法向量为 ，，
所以 ，令则,所以，
所以 ，
即直线与平面所成角的正弦值是.
16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求；
（2）若，的面积为3，求.
解：（1）由余弦定理，得，
由正弦定理，得，
因为，所以，
则，
即，显然，所以.
（2）因为，所以，则由，得，
因为，所以，
所以，即，
由，得，
则，即，
因为的面积为3，所以，
则，解得（负值舍去），
所以.
17. 某学校举行数学学科知识竞赛，第一轮选拔共设有，，，，五道题，规则为每位参赛者依次回答这五道题，每答对一题加20分，答错一题减10分；若连续答错两道题或五道题全部答完，则第一轮选拔结束．假设参赛者甲同学答对，，，，的概率分别为，，，，，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
（1）记为甲同学本轮答题比赛结束时已答题的个数，求的分布列及数学期望；
（2）第一轮比赛结束后，若参赛者在第一轮出现过连续答对三道题或总分不低于70分，则可进入下一轮选拔，求甲同学能进入下一轮的概率．
解：（1）由题可得可能取值为：2，3，4，5，
，
，
，
，
的分布列如下：
所以.
（2）设，，，，分别代表第1，2，3，4，5个问题，
用表示甲同学第个问题回答正确；
用表示甲同学第个问题回答错误；
由题意得，，，，，
记甲同学能进入下一轮为事件，
则
.
18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，，过点作两条斜率互为相反数的直线，分别交于不同的两点．
（1）求的标准方程；
（2）证明：直线的斜率为定值，并求出该值．
（1）解：设，且，
因为，又，
所以，解得，
又点在上，所以①，
又②，联立①②，解得，
所以的标准方程为.
（2）证明：设直线的方程为，直线的方程为，
由，消得到，
所以，得到，
所以，
同理可得，，
所以为定值，
即直线的斜率为定值，定值为.
19 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，且，证明：，且．
（1）解：的定义域为R，
由题意，得，x∈R，
当时，恒成立，在R上单调递增；
当，且当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
综上，当时，在R上单调递增；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
（2）证明：由，得，是方程的两个实数根，
即是方程的两个实数根．
令，则，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以．
因为当时，；当时，，，
所以．
不妨设，因为，是方程的两个实数根，则．
要证，只需证．
因为，，
所以只需证．
因，
所以只需证．
令，，
则
在恒成立．
所以在区间上单调递减，
所以，
即当时，．
所以，
即成立．2
3
4
5