贵州省黔西南州部分学校2023-2024学年高三下学期第一次模拟考试数学试卷（原卷版+解析版）

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注意事项:
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1. 样本数据16，24，14，10，16，21，12，9，13，18的分位数为（ ）
A. 13B. 13.5C. 14D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】将这组数据从小到大排列，找出对应的数字即可
【详解】将这组数据从小到大排列，因为，而是整数，所以这组数据的分位数为
故选：B
2. 双曲线的离心率为，则双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，求得，结合双曲线的定义，即可求解.
【详解】由双曲线的离心率为，可得，
解得，所以，
又由双曲线的定义，可得双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为.
故选：A
3. 记等差数列的前项和为，则（ ）
A. 14B. 72C. 36D. 60
【答案】D
【解析】
【分析】利用等差数列性质可得公差，再由前项和公式以及通项公式计算可得结果.
【详解】由等差数列性质可知，可得；
设等差数列的公差为，
可得，解得；
又.
故选：D
4. 如图所示的花盆为正四棱台，上口宽，下口宽，棱长，则该花盆的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出棱台的上下底面的对角线长，进而求出棱台的高，结合棱台的体积公式计算即可求解.
【详解】如图，由题意，该棱台的上下底面的对角线长分别为cm，
所以棱台的高为，
故棱台的体积为.
故选：A
5. 设是三个互不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据线面平行以及垂直的性质，对选项逐一判断找到反例即可得结论.
【详解】对于A，若，则平面可能平行，即A错误；
对于B，若，则可平行于的交线，此时相交，不一定平行，即B错误；
对于C，若，由线面垂直性质可得，即C正确；
对于D，若，则或，即D错误；
故选：C
6. 已知为圆上的动点，点满足，记的轨迹为，则下列说法错误的是（ ）
A. 轨迹是一个半径为3的圆
B. 圆与轨迹有两个交点
C. 过点作圆的切线，有两条切线，且两切点的距离为
D. 点为直线上的动点，则PB的最小值为
【答案】D
【解析】
【分析】通过“相关点法”即可得轨迹判断A；通过判断圆心距与半径和的关系可判断B；通过面积关系可判断C；通过圆心到直线的距离减去半径可判断D.
【详解】对A，设，，
则由得，即，
又因为为圆上的动点，
所以满足，
即轨迹是一个半径为3的圆，故A正确；
对B，因为圆心距，
所以圆与轨迹有两个交点，故B正确；
对C，由于，半径为3，
所以切线长为4，所以两切点的距离满足，
即，故C正确；
对D，首先圆心到直线的距离为，则该直线与圆相离，
因为点为直线上的动点，
则PB的最小值为，故D错误；
故选：D.
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据诱导公式和二倍角的正切公式可得，解得，结合切弦互化即可求解.
【详解】由题意知，，，
由，得，
整理，得，解得或，
又，则，所以.
所以
.
故选：A
8. 已知，为奇函数，且，则（ ）
A. 4047B. 2C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，推得，得到是周期为的周期函数，再由，，求得，，结合，即可求解.
【详解】由函数为奇函数，可得关于点对称，且，
所以，即，
又因为，可得，
即，则，所以，
所以函数是周期为的周期函数，
因为，，可得，，
所以.
故选：C.
二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9. 设为复数，且，则下列说法正确的有（ ）
A. 若，则B. 若，则的最大值为2
C. 若，则D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】ACD可举出反例，B选项，设，由得到，并求出，从而得到，B正确
【详解】A选项，不妨设，满足，但，A错误；
B选项，设，则，即，
因为，解得，
则，
故的最大值为2，B正确；
C选项，设，则，而，
满足，但不满足，C错误；
D选项，，
当时，满足上式，故不一定等于0，即可能不相等，D错误.
故选：B
10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，抛物线以为焦点，过的直线交抛物线于两点，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 当时，直线的倾斜角为
C. 若为抛物线上一点，则的最小值为D. 的最小值为9
【答案】AD
【解析】
【分析】A选项，先得到和抛物线方程，由焦半径公式得到；B选项，设直线，联立，得到两根之和，两根之积，根据，得到直线的斜率为；C选项，根据焦半径公式转化为，数形结合得到最小值，得到C错误；D选项，在B选项基础上得到，由基本不等式得到.
【详解】A选项，由题意得，故抛物线方程为，
由抛物线定义得，A正确；
B选项，由于直线的斜率为0时，与抛物线只有一个交点，不合要求，舍去，
设直线，联立，得，
设，则
由韦达定理得，
故，解得，
故直线的斜率为，倾斜角不为，B错误；
C选项，由题意得，准线方程为，过点作⊥于点，
由抛物线定义得，
故，
要想求得的最小值，则过点作⊥于点，
故的最小值为，最小值为，C错误；
D选项，由题意得，
由于，故，
，
因为，由基本不等式得，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为9，D正确.
故选：AD
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
11. 已知，则下列说法正确的是（ ）
A. 若的最小正周期为，则的对称中心为
B. 若在区间上单调递增，则的取值范围为
C. 若，则
D. 若在区间上恰好有三个极值点，则的取值范围为
【答案】BD
【解析】
【分析】由题意得，根据求出，根据整体代换法求出的对称中心即可判断A；根据整体代换法求出的单增区间，建立不等式组，解之即可判断B；根据诱导公式计算即可求解判断C；由极值点的概念可得，解之即可判断D.
【详解】由题意知，.
A：若的最小正周期为，由，得，
所以，由，得，
所以的对称中心为，故A错误；
B：由，得，
即的单增区间为，
又在上单调递增，所以，解得，
取，则，即实数的取值范围为，故B正确；
C：若，则，即，
所以，故C错误；
D：由，得，又在上有3个极值点，
所以，解得，即实数的取值范围为，故D正确.
故选：BD
【点睛】思路点睛：求解形如函数的单调递增区间的步骤如下：
先令；
解上述不等式求出x的取值范围即为的单调递增区间.
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12. 集合，集合，，则_____________.
【答案】
【解析】
【分析】化简集合，再根据集合交集的概念求解即可.
【详解】由解得，所以，
由得，解得，所以，
因为，
所以，解得，
故答案为：
13. 2023年冬季，哈尔滨旅游业大兴，一商家制作各种各样的冰糖葫芦，现有橘子3瓣，猕猴桃2片、香蕉2片、草莓4个，若相同水果视为无差异，将所有水果串在一串上，则不同的串法共有_____________种.
【答案】
【解析】
【分析】利用分步计数原理，分别计算出每一步的组合数，即可求出答案
【详解】完成该事情分四步，第一步：从11个位置中选3个位置放橘子，串法有种，
第二步：从剩余的8个位置选2个位置放猕猴桃，串法有种；
第三步：从余下的6个位置选2个位置放香蕉，串法有种；
第四步：剩余的4个位置放草莓，串法有种；
所以现有橘子3瓣，猕猴桃2片、香蕉2片、草莓4个，若相同水果视为无差异，将所有水果串在一串上，
则不同的串法共有种；
故答案为：.
14. 已知，若，均有不等式恒成立，则实数的取值范围为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】求导，令求得，则，利用导数求出的最小值可得，进而不等式在R上恒成立，解一元二次不等式即可求解.
【详解】由题意知，，得
则，
令，则，即，得，
所以，，
又函数在R上单调递增，
所以函数在R上单调递增，且，
所以单调递减，单调递增，
故，
因为恒成立，即不等式在R上恒成立，
由，得，解得，
即实数n的取值范围为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略：
形如的恒成立的求解策略：
1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可；
2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可；
3，数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立.
四、解答题(共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. 布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石，得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔().简单地讲就是:对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数为“不动点”函数，实数为该函数的不动点.
（1）求函数的不动点;
（2）若函数有两个不动点，且，若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据不动点定义求解即可；
（2）根据题意问题转化为方程有两个不等的实数根，令，利用导数判断单调性极值，可得，且的值随着的值减小而增大，列式求出时的值，得解.
【小问1详解】
设的不动点为，则，解得，
所以函数的不动点为.
【小问2详解】
函数有两个不动点，即方程，即有两个不等的实数根，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
，且时，，时，，
作出大致图象如下：
所以，且的值随着的值减小而增大，
当时，有，两式相减得，
解得，即，代入，解得，
所以此时，
所以满足题意的实数的取值范围为.
16. 如图所示为直四棱柱，，分别是线段的中点.
（1）证明:平面；
（2）求线BC与平面所成角的正弦值，并判断线段BC上是否存在点，使得平面，若存在，求出BP的值，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）；在线段存在点使得平面，的值为
【解析】
【分析】（1）由题意可知为正三角形，则，又，结合线面垂直的判定定理即可证明；
（2）根据勾股定理的逆定理可得，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角即可；假设在线段上存在点，使得平面，令，利用求出，进而求出即可.
【小问1详解】
由，知为正三角形，
又为的中点，则.
又为的中点，则，
而，所以，
又平面，
所以平面；
【小问2详解】
由（1）知为正三角形，则，
在中，，有，所以，
易知，建立如图空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，故，
设与平面所成角为，则，
即与平面所成角的正弦值为.
假设在线段上存在点，使得平面，令，
则，所以，
由平面，得，所以，
解得.此时，
所以，
即的值为.
17. 已知函数.
（1）判断的单调性;
（2）证明:.
【答案】（1）在上单调递增；
（2）证明见解析；
【解析】
【分析】（1）对函数求导，并构造函数得出其单调性即可求出在上单调递增；
（2）根据（1）中结论，利用根据对数运算法则裂项并由累加法可求得结论.
【小问1详解】
易知函数的定义域为，
可得；
令，则，
当时，，此时在上单调递减，
当时，，此时在上单调递增，
所以；
即在上恒成立，
因此在上单调递增；
【小问2详解】
由（1）可知，即，
可得；
所以，
即可得
；
即.
18. 高一（1）班每周举行历史擂台比赛，排名前2名的同学组成守擂者组，下周由3位同学组成攻擂者组挑战，共答20题，若每位守擂者答出每道题的概率为，每位攻擂者答出每道题的概率为.为提高攻擂者的积极性，第一题由攻擂者先答，若未答对，再由守擂者答；剩下的题抢答，抢到的组回答，只要有一人答出，即为答对，记为1分，否则为0分.
（1）求攻擂者组每道题答对的概率及守擂者组第1题后得分为0分的概率；
（2）设为3题后守擂者得分，求的分布列与数学期望.
【答案】（1），
（2）分布列见解析，；
【解析】
【分析】（1）由小组人数和答题规则，利用独立事件的乘法公式计算可得结果；
（2）易知的所有可能取值为，求得其对应的概率即得分布列和期望值.
【小问1详解】
根据答题规则可知，若三人均答不出，则攻擂者组答不出每道题的概率；
则可知攻擂者组每道题答对的概率；
若守擂者组第1题后得分为0分，则第一题由攻擂者先答，
该题需答对或者该题答错由守擂者组再答题并答错，
易知守擂者组答出每道题的概率为，
因此；
【小问2详解】
易知的所有可能取值为；
第一题守擂者组得一分的概率为，
抢答环节的题目守擂者组和攻擂者组抢到的概率均为，守擂者组每题得一分的概率为；
即可知前三题中第一题守擂者组得一分的概率为，第二、三题得一分的概率均为；
则，
，
，
，
因此的分布列为
数学期望.
19. 在平面直角坐标系中，已知曲线的方程为，右顶点为，倾斜角为的直线过点，且与曲线相交于两点.
（1）当时，求三角形的面积；
（2）在轴上是否存在定点，使直线与曲线的左支有两个交点的情况下，总有?如果存在，求出定点;如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意求出直线方程，与双曲线方程联立，求出点坐标即可求解；
（2）设直线，与双曲线方程联立，由可得，列式利用韦达定理求解即可.
【小问1详解】
由题意可知，曲线为焦点在轴的双曲线，
当直线的倾斜角时，，
设，，其中，
联立解得，所以，，
又因为，所以，，.
【小问2详解】
当直线斜率不存在时，由双曲线的对称性可知轴上的任意点满足，
当直线斜率存在时，设，
联立 得，
因为直线与曲线左支有两个交点，
所以，解得或，
由轴上的点使可得轴平分，，
假设在轴上存在点，则，，
所以，即，
展开可得，
将，代入得，
因，所以，即，
整理得，即，解得，
所以轴上存在定点，总有.
【点睛】解决直线与圆锥曲线相交（过定点、定值）问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为，；
（2）联立直线与曲线方程，得到关于x或y的一元二次方程；
（3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为形式；
（5）代入韦达定理求解.
0
1
2
3