贵州省2024届高三下学期高考全真模拟卷（一）数学试卷(含答案)

这是一份贵州省2024届高三下学期高考全真模拟卷（一）数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．( )
A.B.C.2D.5
3．已知向量,,且,则的坐标可以是( )
A.B.C.D.
4．已知数列满足,则“数列是递增数列”的充要条件是( )
A.B.C.D.
5．为了美化广场环境,县政府计划定购一批石墩.已知这批石墩可以看作是一个圆台和一个圆柱拼接而成,其轴截面如下图所示,其中,,则该石墩的体积为( )
A.B.C.D.
6．若函数在上单调,则的最大值为( )
A.B.C.1D.
7．将除颜色外完全相同的2个红球和1个白球随机放入2个不同的盒子中,每个盒子中至少放入1个球,则2个红球分别放入不同盒子中的概率为( )
A.B.C.D.
8．已知,,.若,,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知,,则( )
A.B.C.D.
10．在正方体中,M,N,E,F,G分别为,,,,的中点,则( )
A.平面B.平面
C.平面平面D.平面平面
11．已知抛物线的焦点为F,准线为l,过点F的直线与C交于P,Q两点,点M为点P在l上的射影,线段与y轴的交点为G,的延长线交于点,则( )
A.B.C.D.直线与相切
三、填空题
12．的展开式中,二项式系数最大的项的系数是____________.（用数字作答）
13．我们把离心率为的双曲线称为“黄金双曲线”.已知“黄金双曲线”,则C的虚轴长为________________.
14．若直线与曲线相切,则b的最小值为_______________.
四、解答题
15．如图,在三棱台中,平面ABC,,,.
(1)求异面直线与所成角的余弦值;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
16．记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
(1)求;
(2)若,的面积为3,求a.
17．某学校举行数学学科知识竞赛,第一轮选拔共设有A,B,C,D,E五道题,规则为每位参赛者依次回答这五道题,每答对一题加20分,答错一题减10分;若连续答错两道题或五道题全部答完,则第一轮选拔结束.假设参赛者甲同学答对A,B,C,D,E的概率分别为,,,,,且各题回答正确与否相互之间没有影响.
(1)记X为甲同学本轮答题比赛结束时已答题的个数,求X的分布列及数学期望;
(2)第一轮比赛结束后,若参赛者在第一轮出现过连续答对三道题或总分不低于70分,则可进入下一轮选拔,求甲同学能进入下一轮的概率.
18．已知椭圆的左、右焦点分别为,,点在C上,,过点M作两条斜率互为相反数的直线,分别交C于不同的两点A,B.
(1)求C的标准方程;
(2)证明：直线的斜率为定值,并求出该值.
19．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，且，证明：，且.
参考答案
1．答案：D
解析：因为,
又,所以.
故选：D.
2．答案：B
解析：因为,所以,
故选：B.
3．答案：A
解析：设,因为,所以①,
又,得到,又,所以②,
联立①②解得或,所以的坐标可以是,
故选：A.
4．答案：B
解析：因为,所以
由,得到,所以“数列是递增数列”的充要条件是,
故选：B.
5．答案：D
解析：如图,过点C作于M,
因为,,所以,,
所以圆台的体积为,
又圆柱的体积为,
所以该石墩的体积为,
故选：D.
6．答案：D
解析：,则,
函数在上单调,
所以,解得：,
所以的最大值为.
故选：D.
7．答案：A
解析：将除颜色外完全相同的2个红球和1个白球随机放入2个不同的盒子中,
每个盒子中至少放入1个球,则基本事件有：（红1,白红2）,（白,红1红2）,（红2,白红1）,
则2个红球分别放入不同盒子中包含了（红1,白红2）,（红2,白红1）,
所以由古典概型的公式得概率为：.
故选：A
8．答案：B
解析：由题意可得,
因为,,则,
可得,即,
则,
令,
则,整理得,解得或（舍去）,
即,解得.
故选：B.
9．答案：AD
解析：对于A,根据在单调递增,结合,知,A正确.
对于B,根据在单调递增,结合,知,B错误.
对于C,根据在单调递增,结合,知,C错误.
对于D,根据,结合,
知,则,即,D正确.
故选：AD.
10．答案：ABC
解析：对于A,连接,如图,
因为E,F是,的中点,所以,
易知四边形是平行四形边,又M,N是,的中点,所以,
故,又平面,平面,
所以平面,故A正确;
对于B,连接,,如图,
在正方体中,易知,,
又,,平面,所以平面,
因为平面,故,
又易知,所以,
同理：,则,
因为,,平面,所以平面,
对于C,连接,,
因为M,G是,的中点,所以,同理：,
又在正方体中,易得,所以,
又平面,平面,所以平面,
同理可证,进而可证平面,
因为,,平面,所以平面平面,故C正确;
对于D,假设平面平面,
因为平面,所以平面,显然不成立,故D错误.
故选：ABC.
11．答案：ABD
解析：由题知,,设,则,
对于选项A,因为,所以,
令,得到,所以,故,
又,所以,所以选项A正确,
对于选项B,由选项A知,所以,令,得到,
所以,故,
又,所以,故选项B正确,
对于选项C,在中,,又由选项A知直线为的中垂线,
所以,得到,所以选项C错误,
对于选项D,因为,由,消x得到,
因为,所以直线与C相切,故选项D正确,
故选：ABD.
12．答案：24
解析：因为,所以二项式系数最大的项为第3项,
又的展开式的通项公式为,
令,得到,所以二项式系数最大的项的系数是,
故答案为：24.
13．答案：4
解析：因为,即,
解得,所以C的虚轴长为4,
故答案为：4.
14．答案：
解析：因为,所以,
设切点为,则,
由,得,,则,
代入,得,则,
令,则,
当时,,则单调递增,
当时,,则单调递减,
所以,故.
故答案为：.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)依题意,以点C为圆点,,,所在直线分别为x,y,z
建立如图所示的空间直角坐标系
在三椄台 中. 因为,,
,,,
,
,,
所以,,
所以
设异面直线 与 所成角为 则,
所以,
即直线与所成角的余弦值是
(2)设直线与平面所成角为,则
平面的法向量为
,
所以 ,令则,,
所以
所以 ,
即直线与平面所成角的正弦值是 .
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)由余弦定理,得,
由正弦定理,得,
因为,所以,
则,
即,显然,所以.
(2)因为,所以,则由,得,
因为,所以,
所以,即,
由,得,
则,即,
因为的面积为3,所以,
则,解得（负值舍去）,
所以.
17．答案：(1)答案见解析;
(2)
解析：(1)由题可得X可能取值为：2,3,4,5
,
X的分布列如下：
所以
(2)设A,B,C,D,E分别代表第1,2,3,4,5个问题,
用表示甲同学第个问题回答正确;
用表示甲同学第个问题回答错误;
由题意得,,,,,
记甲同学能进入下一轮为事件
则
18．答案：(1)
(2)证明见解析,
解析：(1)设,且,
因为,,又,
所以,解得,
又点在C上,所以①,又②,联立①②,解得,,
所以C的标准方程为.
(2)设直线的方程为,直线的方程为,
由,消y得到,
所以,得到,所以,
同理可得,,
所以为定值,
即直线的斜率为定值,定值为.
19．答案：（1）当时，在R上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增
（2）见解析
解析：（1）的定义域为R，由题意，得，，
当时，恒成立，在R上单调递增；
当，且当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
综上，当时，在R上单调递增；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（2）证明：由，得，是方程的两个实数根，
即，是方程的两个实数根.
令，则，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，所以.
因为当时，；当时，，所以.
不妨设，因为，是方程的两个实数根，则.
要证，只需证，因为，，
所以只需证，
因为，所以只需证.
令，，
则，
在恒成立.所以在区间上单调递减，所以，
即当时，.所以，即成立.
X
2
3
4
5