[数学][三模]河南省濮阳市2024届高考模拟试题(二)(解析版)

这是一份[数学][三模]河南省濮阳市2024届高考模拟试题(二)(解析版)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，
，
.
故选：D.
2. 已知复数满足，则（ ）
A. 3B. C. 7D. 13
【答案】B
【解析】由题设，
令，且，则
所以，故，故.
故选：B.
3. 已知向量，非零向量与的夹角为60°，，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】因为，所以.
故选：B.
4. 开普勒第一定律指出，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上.若某行星距太阳表面的最大距离为ρ，最小距离，太阳半径为，则该行星运行轨迹椭圆的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设椭圆的焦距为2c，长轴长为，
则由已知可得，
两式相加可得，两式相减可得，
则，，
所以离心率.
故选：A.
5. 正四棱台中，上底面边长为2，下底面边长为4，若侧面与底面所成的二面角为60°，则该正四棱台的侧面积为（ ）
A. 8B. 12C. 24D. 48
【答案】C
【解析】如图：
取棱的中点，作截面，则、为正四棱台的斜高.
在等腰梯形中，易知，，，
所以.
所以四棱台的侧面积为：.
故选：C.
6. 函数在区间上的图象如图所示，将该函数图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则的最小值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由图象可知函数的最小正周期为，
又，故，由于，故，
所以，
将该函数图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），
再向右平移个单位长度后，得到的图象，
因为该图像图象关于原点对称，即为奇函数，
故，则，
而，则的最小值为，
故选：C.
7. 已知函数，若关于x的方程有四个不同的根（），则的最大值是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】如图，

由图可知当且仅当时，方程有四个不同的根，
且，由题：，，
，
设，
则，令，，
故在递增，在递减，.
故选：A.
8. 在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．在平面直角坐标系中，动点到两个定点，的距离之积等于3，化简得曲线C：，下列结论不正确的是（ ）
A. 曲线C关于y轴对称
B. 的最小值为
C. 面积的最大值为
D. 的取值范围为
【答案】C
【解析】对A：因为用代替，方程不变，所以曲线关于轴对称，故A正确；
对B：，当点在轴上取得等号，故B正确；
对C：因为，
因为，所以.
所以.故C错误；
对D：因为；
所以.
所以，所以，故D正确.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）．相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数统计如图，则下列说法错误的是（ ）
A. 在睡眠指数的人群中，早睡人数多于晚睡人数
B. 早睡人群睡眠指数主要集中在
C. 早睡人群睡眠指数的极差比晚睡人群睡眠指数的极差小
D. 晚睡人群睡眠指数主要集中在
【答案】ACD
【解析】由图知，每一组中的早睡人群占比与晚睡人群占比都是以早睡与晚睡各自的总人数为基数的，
所以每一组中的早睡人数与晚睡人数不能从所占的百分比来判断，故选项A错误；
早睡人群睡眠指数主要集中在，晚睡人群睡眠指数主要集中在，选项B正确，选项D错误；
早睡人群睡眠指数的极差和晚睡人群睡眠指数的极差的大小无法确定，故选项C错误．
故选：ACD.
10. 已知实数满足，则下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】由不等式，可得且，即，
对于A中，由，所以，所以A正确；
对于B中，由，根据不等式的性质，可得，所以B正确；
对于C中，由，
当且仅当时，即时等号成立，
因为，所以等号不成立，即1，所以C正确；
对于D中，由，可得，则，所以，所以D错误.
故选：ABC.
11. 已知圆O的直径AB的长为2，P为圆O上一动点，PQ垂直AB于Q，设（θ为以射线OB为始边，以射线OP为终边的任意角），建立平面直角坐标系后，设，，定义的有向面积为，记．下列说法正确的是（ ）
A. B. 2π是的一个周期
C. 关于对称D. S最大值为
【答案】BD
【解析】如图，，，
又，
所以，
由，，所以，
，
，故A错误；
，
故2π是的一个周期，故B正确；
，
，
所以，不是的对称轴，故C错误；
，
在一个周期范围内，时，，时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
又，所以，故D正确．故选：BD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 写出一个同时满足下列条件①②的双曲线的标准方程___________.
①焦点在x轴上；②渐近线方程为.
【答案】（答案不唯一）
【解析】双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的标准方程为，
由于双曲线的渐近线方程为，所以，.
所以可取，此时双曲线的一个标准方程为.
故答案为：（答案不唯一）.
13. 第一届全国学生（青年）运动会开幕式于2023年11月5日在广西举行，举办本届学青会是推动新时代青少年和学校体育改革发展，增强青少年和学生体质、促进竞技体育后备人才培养的重要措施．为了加强宣传力度，某体育协会从甲、乙等6人中选派4人到A，B，C，D四个不同的区域参加宣传活动，每人去一个区域，其中甲、乙至少有一人参加且甲不去A区域的选派方法共有______种（用数字作答）．
【答案】276
【解析】依题意，由甲、乙至少有一人参加，得甲参加与甲不参加乙必参加两种情况，
当甲参加时，有种选派方法，当甲不参加时，有种选派方法，
所以不同选派方法种数是.
14. 牛顿迭代法又称牛顿—拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出一种在实数集上近似求解方程根的一种方法，具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，
设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；
过点作曲线的切线，
设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值，过点作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，
并称为的n+1次近似值，设的零点为，
取，则的2次近似值为__________；设，数列的前项积为．若任意的恒成立，则整数的最小值为__________．
【答案】
【解析】，则，，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由题意可知点在直线上，
所以，，，则，，
，，
因为函数的零点近似值为r，且函数在上为增函数，
因为，，由零点存在定理可知，
由题意可知，，故整数的最小值为2.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 希望种子公司销售一种新品种蔬菜种子，其说明书标明：此品种蔬菜果实的平均长度为11.5cm．某种植大户购买了这种蔬菜种子，种植后从收获的蔬菜果实中随机选取了一个容量为20的样本，得到果实长度数据如下表：（单位：cm）
（1）估计该种植大户收获的蔬菜果实长度的平均数和方差；
（2）判断说明书标明的“蔬菜果实的平均长度为11.5cm”的说法是否成立．
（记，其中为蔬菜果实长度的平均数，s为蔬菜果实长度的标准差，n是选取蔬菜果实的个数．当时，．若，则说明书标明的“蔬菜果实的平均长度为11.5cm”的说法不成立）
参考数据：，，，．
解：（1）由题意知，，
所以，
．
所以估计该种植大户收获的蔬菜果实长度的平均数和方差分别为12.5，0.43．
（2）结合已知，由（1）得，，
所以说明书标明的“蔬菜果实的平均长度为11.5cm”的说法不成立．
16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求B；
（2）已知，D为边AB上的一点，若，，求AB的长．
解：（1）因为，
由正弦定理得．
因为，可得，
所以，即，
所以，
又因为，可得，
所以，
故．
（2）如图，在中，由余弦定理得
，
所以．
因为，且，
所以，
所以．
又因为，所以，
．
中，由正弦定理得,
解得.
所以．
17. 如图所示，在等腰梯形中，，，，E为CD中点，AE与BD相交于点O，将沿AE折起，使点D到达点P的位置（平面）．
（1）求证：平面平面PBC；
（2）若，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面所成角的正弦值为，若存在，求Q在线段PB上的位置；若不存在，说明理由．
（1）证明：如图，在原图中连接BE，由于，，，
所以四边形ABED是平行四边形．
由于，所以四边形ABED是菱形，所以．
由于，，所以四边形ABCE是平行四边形，
所以，所以．
在翻折过程中，，保持不变，
即，保持不变．
由于，OP，平面POB，
所以平面POB，由于平面PBC，
所以平面平面PBC；
（2）解：由上述分析可知，在原图中，，
所以，所以．
折叠后，若，则，所以，
由于，，平面ABCE，
所以平面ABCE．所以OE，OB，PO两两相互垂直．
由此以O为原点，
分别以所在的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，，，，
设，，，，，
设平面AEQ法向量为，
则，令得，
故，
设直线PC与平面AEQ所成角为θ，则
，
所以，，，
解得，
所以，因为，，、的中点坐标为，
即Q是PB的中点．
18. 已知函数．
（1）当时，求在点处的切线方程；
（2）证明：当时，对任意的，恒成立．
（1）解：当时，，，
则，，
所以在点处的切线方程为即.
（2）证明：要证当时，对任意的，恒成立，
即证．
令，．
则，
令，，
则．
当时，h'x>0，则函数hx在上单调递增，
则当时，，即，
所以函数在上单调递增，
所以当时，．
当时，h'x<0，
所以函数hx在上单调递减．
而，，
所以存在、使得．
当时，，
当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
而，
，
令，，，
则．
当时，φ'x<0，
当时，φ'x>0
所以函数φx在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，
所以当时，gx>0．
综上所述，当，对任意的，，
即当时，对任意的，恒成立．
19. 定义：对于任意大于零的自然数n，满足条件且（M是与n无关的常数）的无穷数列称为M数列．
（1）若等差数列的前n项和为，且，，判断数列是否是M数列，并说明理由；
（2）若各项为正数的等比数列的前n项和为，且，证明：数列是M数列；
（3）设数列dn是各项均为正整数的M数列，求证：．
（1）解：由题意知，故，
则，故，
但等差数列bn为严格增数列，当时，，所以bn不是M数列；
（2）证明：由，则，即q=12，有，则c1=1，
即，则，
则，
又，
即对任意大于零的自然数n，满足条件，且，
即数列是M数列；
（3）证明：假设存在正整数k使得成立，
由数列的各项均为正整数，可得，即，
因为，所以，
由及得，
故，因为，
所以，
由此类推可得，因为又存在M，使，
∴当时，，这与数列的各项均为正数矛盾，所以假设不成立，即任意大于零的自然数n，都有成立.序号（i）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
长度
11.6
13.0
12.8
11.8
12.0
12.8
11.5
12.7
13.4
12.4
序号（i）
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
长度
12.9
12.8
13.2
13.5
11.2
12.6
11.8
12.8
13.2
12.0