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高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第2练常用逻辑用语(原卷版+解析)
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这是一份高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第2练常用逻辑用语(原卷版+解析)，共20页。试卷主要包含了课本变式练，考点分类练，最新模拟练，高考真题练，综合提升练等内容，欢迎下载使用。
1.（人A必修一P22习题1.4T2变式）是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.（人A必修一P32习题1.5T3（4）变式）命题“存在一个四边形，它的对角线互相平分”的否定为（ ）
A．存在多个四边形，它的对角线互相平分 B．存在一个四边形，它的对角线不互相平分
C．任意一个四边形，它的对角线互相平分 D. 任意一个四边形，它的对角线不互相平分
3. （人A必修一人A必修一P22习题1.4T6变式）是△ABC的三边，且，写出为钝角三角形的一个充要条件
.
4. （人A必修一P32习题1.5T6变式）已知命题若，则，则为 ；真假为 .
二、考点分类练
(一)充分、必要条件的判定
5．（2022届天津市河西区高三下学期质量调查）已知，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．（2022届四川省德阳市高三“三诊”）“”是“函数有且只有一个零点”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．（多选）（2022届重庆市高三第二次联合诊断）已知空间中的两条直线和两个平面，则”的充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
8. （2022届四川省成都市高三下学期考试）设命题，命题，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是___________.
(二)含有一个量词的命题
9．（2022届山西省临汾市高三三模）已知命题p：存在一个无理数，它的平方是有理数，则为（ ）
A．任意一个无理数，它的平方不是有理数
B．存在一个无理数，它的平方不是有理数
C．任意一个无理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方是无理数
10．（2022届山东省潍坊市高三下学期二模）十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于x，y，z的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（ ）
A．对任意正整数n，关于x，y，z的方程都没有正整数解
B．对任意正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
C．存在正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
D．存在正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
11. （多选）（2022届湖北省部分重点中学高三第二次联考）下列命题正确的是（ ）
A．“关于的不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是
B．设，则“且”是“”的必要不充分条件
C．“”是“”的充分不必要条件
D．命题“”是假命题的实数的取值范围为
12. （2022届福建省三明市高三上学期期末）已知命题p：，若命题P为假命题，则实数a的取值范围是___．
三、最新模拟练
13．（2022届浙江省富阳中学、浦江中学二校高三下学期联考）已知、都是实数，那么“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
14．（2022届辽宁省沈阳市高三下学期二模）设等差数列的公差为d，，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
15．（2022届陕西省渭南市高三下学期二模）设x、y都是实数，则“且”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
16．（2022届江苏省华罗庚中学等三校高三下学期4月联合调研）若，为复数，则“是纯虚数”是“，互为共轭复数”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
17．（2022届浙江省温州市高三下学期3月高考适应性测试）已知平面，直线，且，，则“，”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
18．（多选）（2022届辽宁省沈阳市高三第二次模拟）对任意实数，，，给出下列命题，其中假命题是（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．“”是“”的充分条件
C．“”是“”的必要条件
D．“是无理数”是“是无理数”的充分不必要条件
19．（多选）（2022届辽宁省铁岭市六校高三联考）下列命题错误的是（ ）
A．“平面向量与的夹角是锐角”的充分必要条件是“”
B．函数“的最小正周期为”是“”的必要不充分条件
C．命题“，”的否定是“，”
D．关于x的不等式的解集为，则实数m的取值范围是
20．（2022届北京市房山区高三一模）函数的图象在区间（0,2）上连续不断，能说明“若在区间（0,2）上存在零点，则”为假命题的一个函数的解析式可以为=___________.
21．（2022届广西（燕博园）高三3月综合能力测试）在四棱锥中，平面，底面四边形为矩形．请在下面给出的4个条件中选出2个作为一组，使得它们能成为“在边上存在点，使得为钝角三角形”的充分条件______.
①，②，③，④.（写出符合题意的一组即可）
四、高考真题练
22．（2020全国卷III）关于函数．
= 1 \* GB3 ①的图像关于轴对称； = 2 \* GB3 ②的图像关于原点对称；
= 3 \* GB3 ③的图像关于对称； = 4 \* GB3 ④的最小值为．
其中所有真命题的序号是．
23.（2019全国卷Ⅱ）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是
A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面
24.（2017全国卷Ⅰ）设有下面四个命题
：若复数满足 QUOTE 1z∈R，则 QUOTE z∈R；
：若复数满足，则 QUOTE z∈R；
：若复数，满足，则 QUOTE z1=z2；
：若复数 QUOTE z∈R，则 QUOTE z∈R．
其中的真命题为
A．， B．， C．， D．，
25.（2015全国卷）设命题：，，则为
A． B．
C． D．
五、综合提升练
26．（2022届北京市一零一中学高三3月统练）已知函数，则“”是“函数在上存在最小值”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
27．已知数列满足，若，则“数列为无穷数列”是“数列单调”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
28．（多选）关于的函数，给出下列四个命题，其中是真命题的为（ ）．
A．存在实数，使得函数恰有2个零点；
B．存在实数，使得函数恰有4个零点；
C．存在实数，使得函数恰有5个零点；
D．存在实数，使得函数恰有8个零点；
29．已知定义在上的函数满足且，其中的解集为A.函数，，若，使得，则实数a的取值范围是___________.
30．已知数列是无穷数列，满足.
（1）若，，求，，的值；
（2）求证：“数列中存在使得”是“数列中有无数多项是1”的充要条件；
（3）求证：存在正整数k，使得.
第2练 常用逻辑用语
一、课本变式练
1.（人A必修一P22习题1.4T2变式）是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】，，故选B.
2.（人A必修一P32习题1.5T3（4）变式）命题“存在一个四边形，它的对角线互相平分”的否定为（ ）
A．存在多个四边形，它的对角线互相平分 B．存在一个四边形，它的对角线不互相平分
C．任意一个四边形，它的对角线互相平分 D. 任意一个四边形，它的对角线不互相平分
【答案】B
【解析】根据“”的否定是“”，可知选D.
3. （人A必修一P22习题1.4T6变式）是△ABC的三边，且，写出为钝角三角形的一个充要条件
.
【答案】或或或等.
【解析】写出为钝角的充要条件即可，答案不唯一，如或或或等.
4. （人A必修一P32习题1.5T6变式）已知命题若，则，则为 ；真假为 .
【答案】，则 假
【解析】命题“若，则”的否定是“，”，是假命题.
二、考点分类练
(一)充分、必要条件的判定
5．（2022届天津市河西区高三下学期质量调查）已知，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由，可解得或，所以由推不出，而由可以推出，所以“”是“”的必要不充分条件.故选B.
6．（2022届四川省德阳市高三“三诊”）“”是“函数有且只有一个零点”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】在时，令，则，，有一个零点为1，函数只有一个零点，
在时，无零点，即无解，当时，，或，∴“函数有且只有一个零点”等价于“或”，∵“”是“或”的充分不必要条件，
∴是函数只有一个零点的充分不必要条件，故选B.
7．（多选）（2022届重庆市高三第二次联合诊断）已知空间中的两条直线和两个平面，则”的充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】对于选项， ，则有内的一条直线因为，所以又所以，
即条件“”能够得到,所以选项是的充分条件；对于选项，不一定能够得出结论， 也可能相交或平行；因此该选项错误；对于选项，，，所以，又因为所以，因此该选项正确；对于选项，因为所以或
又因为，所以.故选ACD.
8. （2022届四川省成都市高三下学期考试）设命题，命题，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】由，得，即，即，
由，得，解得，若是的充分不必要条件，则，解得，
故答案为.
(二)含有一个量词的命题
9．（2022届山西省临汾市高三三模）已知命题p：存在一个无理数，它的平方是有理数，则为（ ）
A．任意一个无理数，它的平方不是有理数
B．存在一个无理数，它的平方不是有理数
C．任意一个无理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方是无理数
【答案】A
【解析】因为存在命题的否定是全称命题，所以为：任意一个无理数，它的平方不是有理数，故选A
10．（2022届山东省潍坊市高三下学期二模）十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于x，y，z的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（ ）
A．对任意正整数n，关于x，y，z的方程都没有正整数解
B．对任意正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
C．存在正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
D．存在正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
【答案】D
【解析】命题的否定形式为，原命题的题设不变，结论改否定；故只有D满足题意；故选D
11. （多选）（2022届湖北省部分重点中学高三第二次联考）下列命题正确的是（ ）
A．“关于的不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是
B．设，则“且”是“”的必要不充分条件
C．“”是“”的充分不必要条件
D．命题“”是假命题的实数的取值范围为
【答案】ACD
【解析】对于A，当时，显然不成立；当时，有，解得，故A正确；
对于B，当且时，，则“且”是“”的充分条件，故B错误；
对于C，由可得或，即“”是“”的充分不必要条件，故C正确；
对于D，命题“”是假命题，则命题“”是真命题，即在上恒成立，即，故D正确；故选ACD.
12. （2022届福建省三明市高三上学期期末）已知命题p：，若命题P为假命题，则实数a的取值范围是___．
【答案】[0，4]
【解析】根据题意，恒成立，所以.故答案为.
三、最新模拟练
13．（2022届浙江省富阳中学、浦江中学二校高三下学期联考）已知、都是实数，那么“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若，取，，则不成立，即“”“”；若，则，即，所以，“”“”.因此，“”是“”的必要而不充分条件.故选B.
14．（2022届辽宁省沈阳市高三下学期二模）设等差数列的公差为d，，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】必要性成立，由等差数列的可知，；充分性不成立，例如：，得．所以“”是“”的必要不充分条件，故选B.
15．（2022届陕西省渭南市高三下学期二模）设x、y都是实数，则“且”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由且，必有且，当且时，如不满足，故不一定有且.所以“且”是“且”的充分不必要条件.故选A
16．（2022届江苏省华罗庚中学等三校高三下学期4月联合调研）若，为复数，则“是纯虚数”是“，互为共轭复数”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】充分性：令，，满足是纯虚数，不满足，互为共轭复数，不满足充分性.
必要性：若，满足，互为共轭复数，则，不满足是纯虚数，不满足必要性.
所以“是纯虚数”是“，互为共轭复数”的既不充分也不必要条件.故选D
17．（2022届浙江省温州市高三下学期3月高考适应性测试）已知平面，直线，且，，则“，”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当，时，若，相交则，否则不一定成立，充分性不成立；当时，，，故，，必要性成立；所以“，”是“”的必要而不充分条件.故选B
18．（多选）（2022届辽宁省沈阳市高三第二次模拟）对任意实数，，，给出下列命题，其中假命题是（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．“”是“”的充分条件
C．“”是“”的必要条件
D．“是无理数”是“是无理数”的充分不必要条件
【答案】ABD
【解析】A：由有，当不一定有成立，必要性不成立，假命题；
B：若时，充分性不成立，假命题；
C：不一定，但必有，故“”是“”的必要条件，真命题；
D：是无理数则是无理数，若是无理数也有是无理数，故为充要条件，假命题.
故选ABD
19．（多选）（2022届辽宁省铁岭市六校高三联考）下列命题错误的是（ ）
A．“平面向量与的夹角是锐角”的充分必要条件是“”
B．函数“的最小正周期为”是“”的必要不充分条件
C．命题“，”的否定是“，”
D．关于x的不等式的解集为，则实数m的取值范围是
【答案】AC
【解析】对A中，当“”时，平面向量与的夹角是锐角或零角，
所以“平面向量与的夹角是锐角”的必要不充分条件是“”，故A错误；
对B中：由函数，则，则，
所以函数“的最小正周期为”是“”的必要不充分条件，故B正确；
对C中：命题“，”的否定是“，”，故C错误；
对D中，由不等式的解集为，则满足，解得，故D正确．
故选AC
20．（2022届北京市房山区高三一模）函数的图象在区间（0,2）上连续不断，能说明“若在区间（0,2）上存在零点，则”为假命题的一个函数的解析式可以为=___________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】函数的图象在区间（0，2）上连续不断，且“若在区间（0,2）上存在零点，则”为假命题，可知函数满足在（0,2）上存在零点，且，所以满足题意的函数解析式可以为.故答案为（答案不唯一）.
21．（2022届广西（燕博园）高三3月综合能力测试）在四棱锥中，平面，底面四边形为矩形．请在下面给出的4个条件中选出2个作为一组，使得它们能成为“在边上存在点，使得为钝角三角形”的充分条件______.
①，②，③，④.（写出符合题意的一组即可）
【答案】②③或②④皆可，答案不唯一
【解析】设，，则，因为平面，底面四边形为矩形，所以，则，
，，若在边上存在点，使得为钝角三角形，则，即，整理得，
要使不等式有解，只需，即只需即可，因为①，②，③，④，
所以②④或②③.
四、高考真题练
22．（2020全国卷III）关于函数．
= 1 \* GB3 ①的图像关于轴对称； = 2 \* GB3 ②的图像关于原点对称；
= 3 \* GB3 ③的图像关于对称； = 4 \* GB3 ④的最小值为．
其中所有真命题的序号是．
【答案】②③
【解析】对于命题①，，，则，
∴函数的图象不关于轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
∴函数的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③，，
，则，
∴函数的图象关于直线对称，命题③正确；对于命题④，当时，，则，命题④错误，故答案为：②③．
23.（2019全国卷Ⅱ）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是
A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面
【答案】B
【解析】对于A，内有无数条直线与平行，则与相交或，排除；
对于B，内有两条相交直线与平行，则；
对于C，，平行于同一条直线，则与相交或，排除；
对于D，，垂直于同一平面，则与相交或，排除．故选B．
24.（2017全国卷Ⅰ）设有下面四个命题
：若复数满足 QUOTE 1z∈R，则 QUOTE z∈R；
：若复数满足，则 QUOTE z∈R；
：若复数，满足，则 QUOTE z1=z2；
：若复数 QUOTE z∈R，则 QUOTE z∈R．
其中的真命题为
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【解析】设（），则，得，所以，正确；，则，即或，不能确定，不正确；若，则，此时，正确．选B．
25.（2015全国卷）设命题：，，则为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】命题是一个特称命题，其否定是全称命题
五、综合提升练
26．（2022届北京市一零一中学高三3月统练）已知函数，则“”是“函数在上存在最小值”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
①当时，恒成立，所以在上存在最小值为0；
②当时，，可以看做是函数()图像向左平移个单位得到，所以在只有最大值，没有最小值；
③当时，，可以看做是函数()图像向右平移个单位得到，所以若要在单调递增，需要，即.
综上所述：当时，在上存在最小值，
所以“”是“”的必要不充分条件,
即“”是“函数f（x）在[1，＋∞）上存在最小值”的必要不充分条件.
故选B.
27．已知数列满足，若，则“数列为无穷数列”是“数列单调”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】令，，
由，可得，所以，即，
所以数列为等差数列，首项为，公差为1，
所以，
设，则数列是单调递增的等差数列，
若存在正整数，当时，则有，此时数列为有穷数列；
若恒不为0，由，有，数列就可以按照此递推关系一直计算下去，所以此时为无穷数列.
（1）若恒不为0，则为无穷数列，由递推关系式有，
取，时，，则，，，，此时数列不是单调数列；
（2）当数列为有穷数列时，存在正整数，当时，有，
此时数列为，，，，，，
由，若数列单调，则，，，，全为正或全为负，
由，则，，，，全为正，而，
这与单调递增矛盾，所以当数列为有穷数列时，数列不可能单调，
所以当数列单调时，数列一定有无穷多项．故选B.
28．（多选）关于的函数，给出下列四个命题，其中是真命题的为（ ）．
A．存在实数，使得函数恰有2个零点；
B．存在实数，使得函数恰有4个零点；
C．存在实数，使得函数恰有5个零点；
D．存在实数，使得函数恰有8个零点；
【答案】ABCD
【解析】令，
设，容易判断函数为偶函数，现考虑时的情况，
，
时，，，
则函数在单增，在单减，函数极大值为，
时，，，
则函数在单增，在单减，函数极大值为，
结合函数是偶函数，如示意图，
而问题与图像的交点个数.，由图可知，交点个数可以是2、4、5、8个.
故选ABCD.
29．已知定义在上的函数满足且，其中的解集为A.函数，，若，使得，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】构造函数，
所以，
因为定义在上的函数满足，
所以，所以在上单调递增，且，
所以不等式可化为，即，
所以，
所以的解集，
函数，当且仅当，或时等号成立，在A上仅当时等号成立，
所以在A上的值域为，
为增函数，
所以在A上的值域为，
若，使得，
则，
所以，又因为
即实数a的取值范围是.
30．已知数列是无穷数列，满足.
（1）若，，求，，的值；
（2）求证：“数列中存在使得”是“数列中有无数多项是1”的充要条件；
（3）求证：存在正整数k，使得.
【解析】（1）因为，，
所以，即；
所以，即；
所以，即.
（2）必要性：已知数列中有无数多项是1，则数列中存在使得.
证明：因为数列中有无数多项是1，
所以数列中存在使得，
所以数列中存在使得.
充分性：已知数列中存在使得，则数列中有无数多项是1.
证明：假设数列中没有无数多项是1，不妨设是数列中为1的最后一项，则，
若，则由可得，
所以，所以，这与假设矛盾；
若，则由可得，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，这与假设矛盾.
综上，可知假设不成立，所以原命题正确.
由①②可知，“数列中存在使得”是“数列中有无数多项是1”的充要条件.
（3）证明：假设在数列中不存在满足，
则或
由可得
，且，
所以当时，
所以
若，则与矛盾；
若，
设，则.
由（*）可得，，
所以，即，
所以，
对于，显然存在使得，
所以，这与矛盾，
所以假设不成立，原命题正确.
1.（人A必修一P22习题1.4T2变式）是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.（人A必修一P32习题1.5T3（4）变式）命题“存在一个四边形，它的对角线互相平分”的否定为（ ）
A．存在多个四边形，它的对角线互相平分 B．存在一个四边形，它的对角线不互相平分
C．任意一个四边形，它的对角线互相平分 D. 任意一个四边形，它的对角线不互相平分
3. （人A必修一人A必修一P22习题1.4T6变式）是△ABC的三边，且，写出为钝角三角形的一个充要条件
.
4. （人A必修一P32习题1.5T6变式）已知命题若，则，则为 ；真假为 .
二、考点分类练
(一)充分、必要条件的判定
5．（2022届天津市河西区高三下学期质量调查）已知，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．（2022届四川省德阳市高三“三诊”）“”是“函数有且只有一个零点”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．（多选）（2022届重庆市高三第二次联合诊断）已知空间中的两条直线和两个平面，则”的充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
8. （2022届四川省成都市高三下学期考试）设命题，命题，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是___________.
(二)含有一个量词的命题
9．（2022届山西省临汾市高三三模）已知命题p：存在一个无理数，它的平方是有理数，则为（ ）
A．任意一个无理数，它的平方不是有理数
B．存在一个无理数，它的平方不是有理数
C．任意一个无理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方是无理数
10．（2022届山东省潍坊市高三下学期二模）十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于x，y，z的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（ ）
A．对任意正整数n，关于x，y，z的方程都没有正整数解
B．对任意正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
C．存在正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
D．存在正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
11. （多选）（2022届湖北省部分重点中学高三第二次联考）下列命题正确的是（ ）
A．“关于的不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是
B．设，则“且”是“”的必要不充分条件
C．“”是“”的充分不必要条件
D．命题“”是假命题的实数的取值范围为
12. （2022届福建省三明市高三上学期期末）已知命题p：，若命题P为假命题，则实数a的取值范围是___．
三、最新模拟练
13．（2022届浙江省富阳中学、浦江中学二校高三下学期联考）已知、都是实数，那么“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
14．（2022届辽宁省沈阳市高三下学期二模）设等差数列的公差为d，，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
15．（2022届陕西省渭南市高三下学期二模）设x、y都是实数，则“且”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
16．（2022届江苏省华罗庚中学等三校高三下学期4月联合调研）若，为复数，则“是纯虚数”是“，互为共轭复数”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
17．（2022届浙江省温州市高三下学期3月高考适应性测试）已知平面，直线，且，，则“，”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
18．（多选）（2022届辽宁省沈阳市高三第二次模拟）对任意实数，，，给出下列命题，其中假命题是（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．“”是“”的充分条件
C．“”是“”的必要条件
D．“是无理数”是“是无理数”的充分不必要条件
19．（多选）（2022届辽宁省铁岭市六校高三联考）下列命题错误的是（ ）
A．“平面向量与的夹角是锐角”的充分必要条件是“”
B．函数“的最小正周期为”是“”的必要不充分条件
C．命题“，”的否定是“，”
D．关于x的不等式的解集为，则实数m的取值范围是
20．（2022届北京市房山区高三一模）函数的图象在区间（0,2）上连续不断，能说明“若在区间（0,2）上存在零点，则”为假命题的一个函数的解析式可以为=___________.
21．（2022届广西（燕博园）高三3月综合能力测试）在四棱锥中，平面，底面四边形为矩形．请在下面给出的4个条件中选出2个作为一组，使得它们能成为“在边上存在点，使得为钝角三角形”的充分条件______.
①，②，③，④.（写出符合题意的一组即可）
四、高考真题练
22．（2020全国卷III）关于函数．
= 1 \* GB3 ①的图像关于轴对称； = 2 \* GB3 ②的图像关于原点对称；
= 3 \* GB3 ③的图像关于对称； = 4 \* GB3 ④的最小值为．
其中所有真命题的序号是．
23.（2019全国卷Ⅱ）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是
A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面
24.（2017全国卷Ⅰ）设有下面四个命题
：若复数满足 QUOTE 1z∈R，则 QUOTE z∈R；
：若复数满足，则 QUOTE z∈R；
：若复数，满足，则 QUOTE z1=z2；
：若复数 QUOTE z∈R，则 QUOTE z∈R．
其中的真命题为
A．， B．， C．， D．，
25.（2015全国卷）设命题：，，则为
A． B．
C． D．
五、综合提升练
26．（2022届北京市一零一中学高三3月统练）已知函数，则“”是“函数在上存在最小值”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
27．已知数列满足，若，则“数列为无穷数列”是“数列单调”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
28．（多选）关于的函数，给出下列四个命题，其中是真命题的为（ ）．
A．存在实数，使得函数恰有2个零点；
B．存在实数，使得函数恰有4个零点；
C．存在实数，使得函数恰有5个零点；
D．存在实数，使得函数恰有8个零点；
29．已知定义在上的函数满足且，其中的解集为A.函数，，若，使得，则实数a的取值范围是___________.
30．已知数列是无穷数列，满足.
（1）若，，求，，的值；
（2）求证：“数列中存在使得”是“数列中有无数多项是1”的充要条件；
（3）求证：存在正整数k，使得.
第2练 常用逻辑用语
一、课本变式练
1.（人A必修一P22习题1.4T2变式）是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】，，故选B.
2.（人A必修一P32习题1.5T3（4）变式）命题“存在一个四边形，它的对角线互相平分”的否定为（ ）
A．存在多个四边形，它的对角线互相平分 B．存在一个四边形，它的对角线不互相平分
C．任意一个四边形，它的对角线互相平分 D. 任意一个四边形，它的对角线不互相平分
【答案】B
【解析】根据“”的否定是“”，可知选D.
3. （人A必修一P22习题1.4T6变式）是△ABC的三边，且，写出为钝角三角形的一个充要条件
.
【答案】或或或等.
【解析】写出为钝角的充要条件即可，答案不唯一，如或或或等.
4. （人A必修一P32习题1.5T6变式）已知命题若，则，则为 ；真假为 .
【答案】，则 假
【解析】命题“若，则”的否定是“，”，是假命题.
二、考点分类练
(一)充分、必要条件的判定
5．（2022届天津市河西区高三下学期质量调查）已知，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由，可解得或，所以由推不出，而由可以推出，所以“”是“”的必要不充分条件.故选B.
6．（2022届四川省德阳市高三“三诊”）“”是“函数有且只有一个零点”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】在时，令，则，，有一个零点为1，函数只有一个零点，
在时，无零点，即无解，当时，，或，∴“函数有且只有一个零点”等价于“或”，∵“”是“或”的充分不必要条件，
∴是函数只有一个零点的充分不必要条件，故选B.
7．（多选）（2022届重庆市高三第二次联合诊断）已知空间中的两条直线和两个平面，则”的充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】对于选项， ，则有内的一条直线因为，所以又所以，
即条件“”能够得到,所以选项是的充分条件；对于选项，不一定能够得出结论， 也可能相交或平行；因此该选项错误；对于选项，，，所以，又因为所以，因此该选项正确；对于选项，因为所以或
又因为，所以.故选ACD.
8. （2022届四川省成都市高三下学期考试）设命题，命题，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】由，得，即，即，
由，得，解得，若是的充分不必要条件，则，解得，
故答案为.
(二)含有一个量词的命题
9．（2022届山西省临汾市高三三模）已知命题p：存在一个无理数，它的平方是有理数，则为（ ）
A．任意一个无理数，它的平方不是有理数
B．存在一个无理数，它的平方不是有理数
C．任意一个无理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方是无理数
【答案】A
【解析】因为存在命题的否定是全称命题，所以为：任意一个无理数，它的平方不是有理数，故选A
10．（2022届山东省潍坊市高三下学期二模）十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于x，y，z的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（ ）
A．对任意正整数n，关于x，y，z的方程都没有正整数解
B．对任意正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
C．存在正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
D．存在正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
【答案】D
【解析】命题的否定形式为，原命题的题设不变，结论改否定；故只有D满足题意；故选D
11. （多选）（2022届湖北省部分重点中学高三第二次联考）下列命题正确的是（ ）
A．“关于的不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是
B．设，则“且”是“”的必要不充分条件
C．“”是“”的充分不必要条件
D．命题“”是假命题的实数的取值范围为
【答案】ACD
【解析】对于A，当时，显然不成立；当时，有，解得，故A正确；
对于B，当且时，，则“且”是“”的充分条件，故B错误；
对于C，由可得或，即“”是“”的充分不必要条件，故C正确；
对于D，命题“”是假命题，则命题“”是真命题，即在上恒成立，即，故D正确；故选ACD.
12. （2022届福建省三明市高三上学期期末）已知命题p：，若命题P为假命题，则实数a的取值范围是___．
【答案】[0，4]
【解析】根据题意，恒成立，所以.故答案为.
三、最新模拟练
13．（2022届浙江省富阳中学、浦江中学二校高三下学期联考）已知、都是实数，那么“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若，取，，则不成立，即“”“”；若，则，即，所以，“”“”.因此，“”是“”的必要而不充分条件.故选B.
14．（2022届辽宁省沈阳市高三下学期二模）设等差数列的公差为d，，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】必要性成立，由等差数列的可知，；充分性不成立，例如：，得．所以“”是“”的必要不充分条件，故选B.
15．（2022届陕西省渭南市高三下学期二模）设x、y都是实数，则“且”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由且，必有且，当且时，如不满足，故不一定有且.所以“且”是“且”的充分不必要条件.故选A
16．（2022届江苏省华罗庚中学等三校高三下学期4月联合调研）若，为复数，则“是纯虚数”是“，互为共轭复数”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】充分性：令，，满足是纯虚数，不满足，互为共轭复数，不满足充分性.
必要性：若，满足，互为共轭复数，则，不满足是纯虚数，不满足必要性.
所以“是纯虚数”是“，互为共轭复数”的既不充分也不必要条件.故选D
17．（2022届浙江省温州市高三下学期3月高考适应性测试）已知平面，直线，且，，则“，”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当，时，若，相交则，否则不一定成立，充分性不成立；当时，，，故，，必要性成立；所以“，”是“”的必要而不充分条件.故选B
18．（多选）（2022届辽宁省沈阳市高三第二次模拟）对任意实数，，，给出下列命题，其中假命题是（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．“”是“”的充分条件
C．“”是“”的必要条件
D．“是无理数”是“是无理数”的充分不必要条件
【答案】ABD
【解析】A：由有，当不一定有成立，必要性不成立，假命题；
B：若时，充分性不成立，假命题；
C：不一定，但必有，故“”是“”的必要条件，真命题；
D：是无理数则是无理数，若是无理数也有是无理数，故为充要条件，假命题.
故选ABD
19．（多选）（2022届辽宁省铁岭市六校高三联考）下列命题错误的是（ ）
A．“平面向量与的夹角是锐角”的充分必要条件是“”
B．函数“的最小正周期为”是“”的必要不充分条件
C．命题“，”的否定是“，”
D．关于x的不等式的解集为，则实数m的取值范围是
【答案】AC
【解析】对A中，当“”时，平面向量与的夹角是锐角或零角，
所以“平面向量与的夹角是锐角”的必要不充分条件是“”，故A错误；
对B中：由函数，则，则，
所以函数“的最小正周期为”是“”的必要不充分条件，故B正确；
对C中：命题“，”的否定是“，”，故C错误；
对D中，由不等式的解集为，则满足，解得，故D正确．
故选AC
20．（2022届北京市房山区高三一模）函数的图象在区间（0,2）上连续不断，能说明“若在区间（0,2）上存在零点，则”为假命题的一个函数的解析式可以为=___________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】函数的图象在区间（0，2）上连续不断，且“若在区间（0,2）上存在零点，则”为假命题，可知函数满足在（0,2）上存在零点，且，所以满足题意的函数解析式可以为.故答案为（答案不唯一）.
21．（2022届广西（燕博园）高三3月综合能力测试）在四棱锥中，平面，底面四边形为矩形．请在下面给出的4个条件中选出2个作为一组，使得它们能成为“在边上存在点，使得为钝角三角形”的充分条件______.
①，②，③，④.（写出符合题意的一组即可）
【答案】②③或②④皆可，答案不唯一
【解析】设，，则，因为平面，底面四边形为矩形，所以，则，
，，若在边上存在点，使得为钝角三角形，则，即，整理得，
要使不等式有解，只需，即只需即可，因为①，②，③，④，
所以②④或②③.
四、高考真题练
22．（2020全国卷III）关于函数．
= 1 \* GB3 ①的图像关于轴对称； = 2 \* GB3 ②的图像关于原点对称；
= 3 \* GB3 ③的图像关于对称； = 4 \* GB3 ④的最小值为．
其中所有真命题的序号是．
【答案】②③
【解析】对于命题①，，，则，
∴函数的图象不关于轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
∴函数的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③，，
，则，
∴函数的图象关于直线对称，命题③正确；对于命题④，当时，，则，命题④错误，故答案为：②③．
23.（2019全国卷Ⅱ）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是
A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面
【答案】B
【解析】对于A，内有无数条直线与平行，则与相交或，排除；
对于B，内有两条相交直线与平行，则；
对于C，，平行于同一条直线，则与相交或，排除；
对于D，，垂直于同一平面，则与相交或，排除．故选B．
24.（2017全国卷Ⅰ）设有下面四个命题
：若复数满足 QUOTE 1z∈R，则 QUOTE z∈R；
：若复数满足，则 QUOTE z∈R；
：若复数，满足，则 QUOTE z1=z2；
：若复数 QUOTE z∈R，则 QUOTE z∈R．
其中的真命题为
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【解析】设（），则，得，所以，正确；，则，即或，不能确定，不正确；若，则，此时，正确．选B．
25.（2015全国卷）设命题：，，则为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】命题是一个特称命题，其否定是全称命题
五、综合提升练
26．（2022届北京市一零一中学高三3月统练）已知函数，则“”是“函数在上存在最小值”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
①当时，恒成立，所以在上存在最小值为0；
②当时，，可以看做是函数()图像向左平移个单位得到，所以在只有最大值，没有最小值；
③当时，，可以看做是函数()图像向右平移个单位得到，所以若要在单调递增，需要，即.
综上所述：当时，在上存在最小值，
所以“”是“”的必要不充分条件,
即“”是“函数f（x）在[1，＋∞）上存在最小值”的必要不充分条件.
故选B.
27．已知数列满足，若，则“数列为无穷数列”是“数列单调”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】令，，
由，可得，所以，即，
所以数列为等差数列，首项为，公差为1，
所以，
设，则数列是单调递增的等差数列，
若存在正整数，当时，则有，此时数列为有穷数列；
若恒不为0，由，有，数列就可以按照此递推关系一直计算下去，所以此时为无穷数列.
（1）若恒不为0，则为无穷数列，由递推关系式有，
取，时，，则，，，，此时数列不是单调数列；
（2）当数列为有穷数列时，存在正整数，当时，有，
此时数列为，，，，，，
由，若数列单调，则，，，，全为正或全为负，
由，则，，，，全为正，而，
这与单调递增矛盾，所以当数列为有穷数列时，数列不可能单调，
所以当数列单调时，数列一定有无穷多项．故选B.
28．（多选）关于的函数，给出下列四个命题，其中是真命题的为（ ）．
A．存在实数，使得函数恰有2个零点；
B．存在实数，使得函数恰有4个零点；
C．存在实数，使得函数恰有5个零点；
D．存在实数，使得函数恰有8个零点；
【答案】ABCD
【解析】令，
设，容易判断函数为偶函数，现考虑时的情况，
，
时，，，
则函数在单增，在单减，函数极大值为，
时，，，
则函数在单增，在单减，函数极大值为，
结合函数是偶函数，如示意图，
而问题与图像的交点个数.，由图可知，交点个数可以是2、4、5、8个.
故选ABCD.
29．已知定义在上的函数满足且，其中的解集为A.函数，，若，使得，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】构造函数，
所以，
因为定义在上的函数满足，
所以，所以在上单调递增，且，
所以不等式可化为，即，
所以，
所以的解集，
函数，当且仅当，或时等号成立，在A上仅当时等号成立，
所以在A上的值域为，
为增函数，
所以在A上的值域为，
若，使得，
则，
所以，又因为
即实数a的取值范围是.
30．已知数列是无穷数列，满足.
（1）若，，求，，的值；
（2）求证：“数列中存在使得”是“数列中有无数多项是1”的充要条件；
（3）求证：存在正整数k，使得.
【解析】（1）因为，，
所以，即；
所以，即；
所以，即.
（2）必要性：已知数列中有无数多项是1，则数列中存在使得.
证明：因为数列中有无数多项是1，
所以数列中存在使得，
所以数列中存在使得.
充分性：已知数列中存在使得，则数列中有无数多项是1.
证明：假设数列中没有无数多项是1，不妨设是数列中为1的最后一项，则，
若，则由可得，
所以，所以，这与假设矛盾；
若，则由可得，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，这与假设矛盾.
综上，可知假设不成立，所以原命题正确.
由①②可知，“数列中存在使得”是“数列中有无数多项是1”的充要条件.
（3）证明：假设在数列中不存在满足，
则或
由可得
，且，
所以当时，
所以
若，则与矛盾；
若，
设，则.
由（*）可得，，
所以，即，
所以，
对于，显然存在使得，
所以，这与矛盾，
所以假设不成立，原命题正确.
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