2023年湖北省鄂州市临空经济区杨叶中学中考数学模拟试卷（三）

这是一份2023年湖北省鄂州市临空经济区杨叶中学中考数学模拟试卷（三），共37页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）若a与5互为相反数，则|a﹣5|等于（ ）
A．0B．5C．10D．﹣10
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．＝±3B．sin2α＝2sinα
C．（6a6）÷（﹣2a2）＝﹣3a4D．a2+b2＝（a+b）2
3．（3分）新华社北京3月16日电商务部16日发布数据显示，2023年1至2月，全国实际使用外资金额2684.4亿元人民币，折合397.1亿美元，同比增长1%．将2684.4亿用科学记数法表示正确的是（ ）
A．2.6844×103B．2684.4×108
C．2.6844×1012D．2.6844×1011
4．（3分）如图是四个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图为（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）如图，已知AB∥CD，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），∠AEC＝50°，则∠A＝（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
6．（3分）若整数a使得关于x的不等式组解集为x＞1，使得关于y的分式方程＝，则所有满足条件的整数a的和为（ ）
A．﹣21B．﹣20C．﹣17D．﹣16
7．（3分）如图，正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴，点B（3，1）在直线l：y＝kx+4上．直线l分别交x轴，F．将正方形ABCD沿y轴向下平移m个单位长度后，点C恰好落在直线l上．则m的值为（ ）
A．0.5B．1C．1.5D．2
8．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，点O是边BC的中点，半圆O与△ABC相切于点D、E，则AB的长为（ ）
A．B．C．2D．
9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示，已知图象经过点（﹣1，0）；②b2﹣4ac＜0；③a﹣c＜0；④9a+3b+2c＜01，y1），D（x2，y2）是抛物线上的两点，若x1＜x2，则y1＜y2；⑥若抛物线经过点（﹣3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，5；其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
10．（3分）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，点P是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点，则BM的最小值为（ ）
A．B．C．﹣D．﹣2
二、填空题（18分）
11．（3分）64的算术平方根是 ，的平方根是 ．
12．（3分）如果一组数据a1，a2，…an的方差是2，那么一组新数据2a1，2a2，…2an的方差是 ．
13．（3分）已知a，b是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则代数式2a3+5a+3b3+3b+1的值是 ．
14．（3分）如图，平面直角坐标系中有正方形ABCD和正方形EFGH，若点A和点E的坐标分别为（﹣2，3），（1，﹣1） ．
15．（3分）如图，已知双曲线 和交于点A，将直线OA向下平移与双曲线，与y轴交于点P，与双曲线，S△ABC＝9，BP：CP＝2：1，则k的值为 ．
16．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，F，BC上，连接AE，EG，AE交FG于点M，连接MN，若正方形ABCD的边长为6，BG＝2，则线段MN的长为 ．
三、解答题（72分）
17．先化简，再求值：，其中．
18．在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档：t＜8；C档：9≤t＜10；D档：t≥10．根据调查情况
①A档和D档的所有数据是：7，7，7.5，10，7，7，7.5，7，7，10.5；
②图1和图2是两幅不完整的统计图．
根据以上信息解答问题：
（1）求本次调查的学生人数，并将图2补充完整；
（2）已知全校共1200名学生，请你估计全校B档的人数；
（3）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率．
19．如图，四边形ABCD中，AB∥CD
（1）尺规作图：作AC的垂直平分线分别交AB、AC、DC于点E、F、G．连接AG，CE（不写作法和结论，保留作图痕迹）；
（2）求证：四边形AECG是菱形（请补全下面的证明过程）．
20．综合与实践
[问题情境]学习完《解直角三角形的应用》后，同学们对如何建立解直角三角形的模型测量物体的实际高度产生了浓厚的兴趣，数学老师决定开展一次主题为《测量学校旗杆高度》的数学实践活动，要求各小组建立测高模型并测量学校旗杆的高度．
[问题探究]第一小组的同学经过讨论，制定出了如下测量实施方案：
第一步，建立测高模型，画出测量示意图（如图1），用测角仪测量旗杆顶端B的仰角α；
第二步，进行组员分工，制作测量数据记录表；
第三步，选择不同的位置测量三次，依次记录测量数据；
第四步，整理数据，计算旗杆的高
如表是该组同学研究报告中的数据记录和计算结果：
（1）表中n的值为 ；该小组选择不同的位置测量三次，再以三次测量计算的旗杆高度的平均数作为研究结论，这样做的目的是 ．
（2）该测量模型中，若CD＝a，AC＝b，用含a，b，α的代数式表示旗杆AB的高度为 ．
[拓展应用]
（3）第二小组同学设计的是另外一种测量方案，他们画出的测量示意图如图2，测量时，先在点C处测得旗杆顶端B的仰角α＝30°，然后朝旗杆方向前进14m到达点H处，请你帮他们求出旗杆AB的高度（结果保留根号）．
21．某市接到上级救灾的通知，派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区．乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发1.25小时（从甲组出发时开始计时）甲（千米）、y乙（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象．请根据图象所提供的信息，解决下列问题：
（1）乙组在行驶过程中的速度是 千米/小时．
（2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．求甲组提速后y甲与x的函数关系式．
（3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过25千米，请通过计算说明
22．如图BE是⊙O的直径，点A是⊙O上一点，连接AE，连接PA，∠PAE＝∠ABE，点D是BO上一点，直线AD交⊙O于点F
（1）直线PA是否为⊙O的切线，并证明你的结论；
（2）若PE＝4，tan∠EAC＝，求⊙O的半径的长；
（3）求证：AE2＝EG•EF．
23．我们约定[a，﹣b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的“相关数”．
特例感知
“相关数”为[1，4，3]的二次函数的解析式为y1＝x2﹣4x+3；
“相关数”为[2，5，3]的二次函数的解析式为y2＝2x2﹣5x+3；
“相关数”为[3，6，3]的二次函数的解析式为y3＝3x2﹣6x+3；
（1）下列结论正确的是 （填序号）．
①抛物线y1，y2，y3都经过点（0，3）；
②抛物线y1，y2，y3与直线y＝3都有两个交点；
③抛物线y1，y2，y3有两个交点．
形成概念
把满足“相关数”为[n，n+3，3]（n为正整数）n称为“一簇抛物线”，分别记为y1，y2，y3，…，yn．抛物线yn与x轴的交点为An，Bn．
探究问题
（2）①“一簇抛物线”y1，y2，y3，…，yn都经过两个定点，这两个定点的坐标分别为 ．
②抛物线yn的顶点为∁n，是否存在正整数n，使△AnBn∁n是直角三角形？若存在，请求出n的值；若不存在
③当n≥4时，抛物线yn与x轴的左交点An，与直线y＝3的一个交点为Dn，且点Dn不在y轴上．判断AnAn+1和DnDn+1是否相等，并说明理由．
24．抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣1，0），点B（3，0），顶点为C．
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）如图1，点P在抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，若△DAC是以AC为底的等腰三角形，求点P的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，点E是线段AC上（与点A，C不重合），连接PE，作∠PEF＝∠CAB
①求证：AF•CP＝AE•CE；
②AF的长度是否有最大值？如果有，求出该最大值；如果没有
2023年湖北省鄂州市临空经济区杨叶中学中考数学模拟试卷（三）
参考答案与试题解析
一、选择题（30分）
1．（3分）若a与5互为相反数，则|a﹣5|等于（ ）
A．0B．5C．10D．﹣10
【分析】根据a与5互为相反数，可得：a＝﹣5，据此求出|a﹣5|等于多少即可．
【解答】解：∵a与5互为相反数，
∴a＝﹣5，
∴|a﹣3|
＝|﹣5﹣5|
＝10
故选：C．
【点评】此题主要考查了绝对值的含义和求法，以及相反数的含义和求法，要熟练掌握．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．＝±3B．sin2α＝2sinα
C．（6a6）÷（﹣2a2）＝﹣3a4D．a2+b2＝（a+b）2
【分析】根据单项式除以单项式的法则，完全平方公式，算术平方根，特殊角的三角函数值进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、＝3；
B、sin2α≠2sinα；
C、（6a6）÷（﹣2a2）＝﹣5a4，故C符合题意；
D、a2+4ab+b2＝（a+b）2，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了整式的除法，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3．（3分）新华社北京3月16日电商务部16日发布数据显示，2023年1至2月，全国实际使用外资金额2684.4亿元人民币，折合397.1亿美元，同比增长1%．将2684.4亿用科学记数法表示正确的是（ ）
A．2.6844×103B．2684.4×108
C．2.6844×1012D．2.6844×1011
【分析】确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：2684.4亿＝2684.4×107＝2.6844×1011．
故选：D．
【点评】本题考查科学记数法的表示方法，掌握形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数是关键．
4．（3分）如图是四个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：如图，它的俯视图为：
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看上边看得到的图形是俯视图．注意看得见的棱画实线，看不见的棱画虚线．
5．（3分）如图，已知AB∥CD，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），∠AEC＝50°，则∠A＝（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
【分析】由∠AEC为△CED的外角，利用外角性质求出∠D的度数，再利用两直线平行内错角相等即可求出∠A的度数．
【解答】解：∵∠AEC为△CED的外角，且∠C＝20°，
∴∠AEC＝∠C+∠D，即50°＝20°+∠D，
∴∠D＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D＝30°．
故选：C．
【点评】此题考查了平行线的性质，以及外角性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
6．（3分）若整数a使得关于x的不等式组解集为x＞1，使得关于y的分式方程＝，则所有满足条件的整数a的和为（ ）
A．﹣21B．﹣20C．﹣17D．﹣16
【分析】先通过不等式组的解确定a的范围，再根据分式方程的解求a值．
【解答】解：
由①得：2x+6＜8x+3．
∴x＞1．
由②得：x﹣7＞3a﹣3x．
∴x＞．
∵原不等式组的解集为：x＞7，
∴≤1．
∴a≤1．
∵＝+7，
∴a＝y﹣5+2y﹣2，
∴y＝．
∵y＞4，y≠1，
∴＞0，．
∴a＞﹣7且a≠﹣4．
∴﹣8＜a≤1，且a≠﹣4，
∴符合条件的整数a有：﹣4，﹣5，﹣2，2，1．
﹣6﹣6﹣3﹣2﹣3+1＝﹣16．
故选：D．
【点评】本题考查分式方程和不等式组的解，根据条件确定a的范围是求解本题的关键．
7．（3分）如图，正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴，点B（3，1）在直线l：y＝kx+4上．直线l分别交x轴，F．将正方形ABCD沿y轴向下平移m个单位长度后，点C恰好落在直线l上．则m的值为（ ）
A．0.5B．1C．1.5D．2
【分析】过B作BM⊥OE于M，过C作CN⊥OF于N，根据AAS定理证得△DAO≌△ABM，△CDN≌△DAO，根据全等三角形的性质求出C点的坐标为（2，3），由待定系数法求出直线l的解析式为y＝﹣x+4，设平移后点C的坐标为（2，3﹣m），代入解析式即可求出m．
【解答】解：过B作BM⊥OE于M，过C作CN⊥OF于N，
∴∠ABM+∠BAM＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝DA，
∴∠DAO+∠BAM＝90°，
∴∠DAO＝∠ABM，
在△DAO和△ABM中，
，
∴△DAO≌△ABM（AAS），
∴OA＝BM，OD＝AM，
∵B（3，1），
∴BM＝7，OM＝3，
∴OA＝1，
∴AM＝OM﹣OA＝4，
∴OD＝2，
同理可证△CDN≌△DAO，
∴DN＝OA＝1，CN＝DO＝3，
∴ON＝OD+DN＝3，
∴C（2，2），
∵点B（3，1）在直线l：y＝kx+3上，
∴3k+4＝6，
∴k＝﹣1，
∴直线l的解析式为y＝﹣x+4，
设正方形ABCD沿y轴向下平移m个单位长度后点C的坐标为（4，3﹣m），
∵点C在直线l上，
∴﹣2+6＝3﹣m，
解得：m＝1，
故选：B．
【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的特征，正方形的性质，坐标与图形的变化﹣平移，全等三角形的判定与性质定理，根据AAS定理证得△DAO≌△ABM，△CDN≌△DAO，求出C点的坐标是解决问题的关键．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，点O是边BC的中点，半圆O与△ABC相切于点D、E，则AB的长为（ ）
A．B．C．2D．
【分析】首先连接OD，OE，易得△BDF≌△EOF，继而可得S阴影＝S扇形DOE，即可求得答案．
【解答】解：如图，连接OD，
∵半圆O与△ABC相切于点D、E，
∴OD⊥AB，OE⊥AC，
在△ABC中，∠A＝90°，
∴四边形ADOE是正方形，△OBD和△OCE是等腰直角三角形，
∴OD＝OE＝AD＝BD＝AE＝EC，
∴∠ABC＝∠EOC＝45°，
∴AB∥OE，
∴∠DBF＝∠OEF，
在△BDF和△EOF中，
，
∴△BDF≌△EOF（AAS），
∴S阴影＝S扇形DOE＝×π×OD2＝，
∴OD＝6（负值已舍去），
∴AB＝2OD＝2．
故选：C．
【点评】此题考查了扇形的面积，切线的性质、全等三角形的判定与性质以及正方形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示，已知图象经过点（﹣1，0）；②b2﹣4ac＜0；③a﹣c＜0；④9a+3b+2c＜01，y1），D（x2，y2）是抛物线上的两点，若x1＜x2，则y1＜y2；⑥若抛物线经过点（﹣3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，5；其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①由图象可知：a＜0，c＞0，，故①符合题意；
②根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴有两个交点2﹣6ac＞0，故②不符合题意；
③由图象可知：a＜0，c＞4，故③符合题意；
④由于图象经过（﹣1，0），则图象也经过（2，
∴当x＝3时，y＝0，
即8a+3b+c＝0，
∵c＞3，
∵9a+3b+2c＞0，故④不符合题意；
⑤点C（x1，y4），D（x2，y2）是抛物线上的两点，若2＜x1＜x2，则y5＞y2，故⑤不符合题意；
⑥由图象过（﹣3，n）由对称性可知：图象也过点（2，
令y＝n，
∴ax2+bx+c﹣n＝0（a≠2）有两个解，分别是﹣3，5；
综上所述，共有①③⑥符合题意，
故选：B．
【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解本题的关键．
10．（3分）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，点P是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点，则BM的最小值为（ ）
A．B．C．﹣D．﹣2
【分析】如图，取AD的中点O，连接OB，OM．证明∠AMD＝90°，推出OM＝AD＝2，点M在以O为圆心，2为半径的⊙O上，利用勾股定理求出OB，可得结论．
【解答】解：如图，取AD的中点O，OM．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝4，
∴∠BAP+∠DAM＝90°，
∵∠ADM＝∠BAP，
∴∠ADM+∠DAM＝90°，
∴∠AMD＝90°，
∵AO＝OD＝2，
∴OM＝AD＝2，
∴点M在以O为圆心，8为半径的⊙O上，
∵OB＝＝＝，
∴BM≥OB﹣OM＝﹣2，
∴BM的最小值为﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查矩形的性质，轨迹，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
二、填空题（18分）
11．（3分）64的算术平方根是 8 ，的平方根是 ±3 ．
【分析】根据求一个数的算术平方根及平方根的方法，即可解答．
【解答】解：∵82＝64，
∴64的算术平方根是3，
∵，（±3）6＝9，
∴的平方根是±3，
故答案为：3，±3．
【点评】本题考查了求一个数的算术平方根及平方根，熟练掌握和运用求一个数的算术平方根及平方根的方法是解决本题的关键．
12．（3分）如果一组数据a1，a2，…an的方差是2，那么一组新数据2a1，2a2，…2an的方差是 8 ．
【分析】设一组数据a1，a2，…，an的平均数为 ，方差是s2＝2，则另一组数据2a1，2a2，…，2an的平均数为 ′＝2 ，方差是s′2，代入方差的公式S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，计算即可．
【解答】解：设一组数据a1，a2，…，an的平均数为 ，方差是s7＝2，则另一组数据2a8，2a2，…，7an的平均数为 ′＝2 2，
∵S2＝[（a1﹣）7+（a2﹣）2+…+（an﹣）3]，
∴S′2＝[（4a1﹣2 ）2+（2a2﹣2 ）2+…+（2an﹣3 ）2]
＝[4（a1﹣）2+2（a2﹣）2+…+7（an﹣）2]
＝4S7
＝4×2
＝2．
故答案为8．
【点评】本题考查了方差的性质：当一组数据的每一个数都乘以同一个数时，方差变成这个数的平方倍．即如果一组数据a1，a2，…，an的方差是s2，那么另一组数据ka1，ka2，…，kan的方差是k2s2．
13．（3分）已知a，b是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则代数式2a3+5a+3b3+3b+1的值是 15 ．
【分析】根据a与b为方程的解，得到a2﹣a﹣1＝0，b2﹣b﹣1＝0，a+b＝1，原式变形后将各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵a，b是方程x2﹣x﹣1＝3的两根，
∴a2﹣a﹣1＝6，b2﹣b﹣1＝5，a+b＝1，
∴a2＝a+8，b2＝b+1，
∴4a3+5a+8b3+3b+2
＝2a（a+1）+5b（b+1）+5a+4b+1
＝2a5+2a+3b8+3b+5a+2b+1
＝2（a+4）+3（b+1）+4a+6b+1
＝2a+2+3b+6+7a+6b+8
＝9（a+b）+6
＝4+6
＝15，
故答案为：15．
【点评】此题考查了根与系数的关系，以及方程的解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
14．（3分）如图，平面直角坐标系中有正方形ABCD和正方形EFGH，若点A和点E的坐标分别为（﹣2，3），（1，﹣1） （，0）或（4，﹣） ．
【分析】分两种情况讨论，一种是点A和E是对应顶点，B和F是对应顶点；另一种是点A和G是对应顶点，C和E是对应顶点．
【解答】解：（1）当点A和E是对应顶点，B和F是对应顶点时，
如图所示：连接AE，交x轴于点N，
点N即为两个正方形的位似中心，
∵点A和点E的坐标分别为（﹣2，3），﹣5），
∴AB＝3，EF＝1，
∵AB∥EF，
∴△ABN∽△EFN，
∴＝，
∴＝，
解得：BN＝，
∴ON＝﹣2＝，
∴两个正方形的位似中心的坐标是：（，2）．
（2）当点A和G是对应顶点，C和E是对应顶点时，
如图所示：连接AG，DF，CE并延长交于点M，
设AG所在直线解析式为：y＝kx+b，把A（﹣2，G（2
故，
解得：，
故y＝﹣x+；
设BH所在直线解析式为：y＝mx+n，把B（﹣4，H（2
，
故y＝﹣x﹣，
，
解得：，
故M（2，﹣），
综上所述：两个正方形的位似中心的坐标是：（，0）或（5，﹣）．
故答案为：（，0）或（3，﹣）．
【点评】此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出位似中心位置是解题关键．
15．（3分）如图，已知双曲线 和交于点A，将直线OA向下平移与双曲线，与y轴交于点P，与双曲线，S△ABC＝9，BP：CP＝2：1，则k的值为 ﹣ ．
【分析】连接OB，OC，作BE⊥OP于E，CF⊥OP于F．根据OA∥BC，得到S△OBC＝S△ABC＝9，根据已知条件得到S△OPB＝6，S△OPC＝3，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：如图，连接OB，作BE⊥OP于E．
∵OA∥BC，
∴S△OBC＝S△ABC＝9，
∵PB：PC＝2：8，
∴S△OPB＝6，S△OPC＝3，
∵S△OBE＝＝9，
∴S△PBE＝5，
∵△BEP∽△CFP，
∴S△CFP＝3×＝，
∴S△OCF＝2﹣＝，
∴k＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积的计算，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
16．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，F，BC上，连接AE，EG，AE交FG于点M，连接MN，若正方形ABCD的边长为6，BG＝2，则线段MN的长为 ．
【分析】过点D作DH∥FG交BC于点H，先证四边形FDHG是平行四边形，求出GH＝DF＝1，再证△ADE≌△DCH（SAS），推导出AE⊥DH，AE⊥GF，再用勾股定理求出EG，根据直角三角形斜边中线的性质可得．
【解答】解：如图，过点D作DH∥FG交BC于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠ADC＝∠C＝90°，
∴四边形FDHG是平行四边形，
∴GH＝DF＝AD﹣AF＝6﹣5＝4，
∴BH＝BG+GH＝2+1＝3，CN＝BC﹣BH＝3，
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE＝3，
∴DE＝CH，
在△ADE和△DCH中，
，
∴△ADE≌△DCH（SAS），
∴∠AED＝∠DHC，
∵∠HDC+∠DHC＝90°，
∴∠AED+∠DHC＝90°，
∴AE⊥DH，
∵DH∥FG，
∴AE⊥GF，
∵CG＝BC﹣BG＝2﹣2＝4，
∴，
∵N为EG的中点，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查正方形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质等，解题的关键是证明AE⊥GF，掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半．
三、解答题（72分）
17．先化简，再求值：，其中．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出a的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝•
＝，
∵
＝3+2﹣2
＝3，
当a＝3时，原式＝＝．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
18．在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档：t＜8；C档：9≤t＜10；D档：t≥10．根据调查情况
①A档和D档的所有数据是：7，7，7.5，10，7，7，7.5，7，7，10.5；
②图1和图2是两幅不完整的统计图．
根据以上信息解答问题：
（1）求本次调查的学生人数，并将图2补充完整；
（2）已知全校共1200名学生，请你估计全校B档的人数；
（3）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率．
【分析】（1）用A档和D档所有数据数减去D档人数即可得到A档人数，用A档人数除以所占百分比即可得到总人数；用总人数减去A档，B档和D档人数，即可得到C档人数，从而可补全条统计图；
（2）先求出B档所占百分比，再乘以1200即可得到结论；
（3）分别用A，B，C，D表示四名同学，然后通过画树状图表示出所有等可能的结果数，再用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）由于A档和D档共有12个数据，而D档有4个，
因此A档共有：12﹣4＝2人，
8÷20%＝40人，
则C档的人数有40﹣8﹣16﹣5＝12（人），补全图形如下：
（2）1200×＝480（人），
答：估计全校B档的人数为480．
（3）用A表示七年级学生，用B表示八年级学生，画树状图如下，
因为共有12种等可能的情况数，其中抽到的2名学生来自不同年级的有10种，
所以抽到的2名学生来自不同年级的概率是：＝．
【点评】本题考查条形统计图以及树状图法，注意结合题意中“写出所有可能的结果”的要求，使用列举法，注意按一定的顺序列举，做到不重不漏．
19．如图，四边形ABCD中，AB∥CD
（1）尺规作图：作AC的垂直平分线分别交AB、AC、DC于点E、F、G．连接AG，CE（不写作法和结论，保留作图痕迹）；
（2）求证：四边形AECG是菱形（请补全下面的证明过程）．
【分析】（1）根据垂直平分线的作图方法进行作图即可；
（2）先证明△AEF≌△CGF，得出AE＝CG，根据AE∥CG，得出四边形AECG为平行四边形，根据AE＝CE，得出四边形AECG为菱形．
【解答】（1）解：如图，EG为求作的AC的垂直平分线；
（2）证明：∵EG为AC的垂直平分线，
∴AF＝CF，AE＝CE，
∵AE∥CD，
∴∠AEF＝∠CGF，∠EAF＝∠GCF，
∴△AEF≌△CGF（AAS），
∴AE＝CG，
∵AE∥CG，
∴四边形AECG为平行四边形，
∵AE＝CE，
∴四边形AECG为菱形．
【点评】本题主要考查了垂直平分线的作图，垂直平分线的性质，菱形的判定，三角形全等的判定和性质，熟练掌握这些知识点是解题关键．
20．综合与实践
[问题情境]学习完《解直角三角形的应用》后，同学们对如何建立解直角三角形的模型测量物体的实际高度产生了浓厚的兴趣，数学老师决定开展一次主题为《测量学校旗杆高度》的数学实践活动，要求各小组建立测高模型并测量学校旗杆的高度．
[问题探究]第一小组的同学经过讨论，制定出了如下测量实施方案：
第一步，建立测高模型，画出测量示意图（如图1），用测角仪测量旗杆顶端B的仰角α；
第二步，进行组员分工，制作测量数据记录表；
第三步，选择不同的位置测量三次，依次记录测量数据；
第四步，整理数据，计算旗杆的高
如表是该组同学研究报告中的数据记录和计算结果：
（1）表中n的值为 13.1 ；该小组选择不同的位置测量三次，再以三次测量计算的旗杆高度的平均数作为研究结论，这样做的目的是 减小误差 ．
（2）该测量模型中，若CD＝a，AC＝b，用含a，b，α的代数式表示旗杆AB的高度为 btanα+a ．
[拓展应用]
（3）第二小组同学设计的是另外一种测量方案，他们画出的测量示意图如图2，测量时，先在点C处测得旗杆顶端B的仰角α＝30°，然后朝旗杆方向前进14m到达点H处，请你帮他们求出旗杆AB的高度（结果保留根号）．
【分析】（1）n的值应该取平均值，这样做的目的是减小误差，即可解答；
（2）根据题意可得：∠DEB＝90°，CD＝AE＝a，DE＝AC＝b，然后在Rt△BDE中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，再利用线段的和差关系，进行计算即可解答；
（3）根据题意可得：DC＝FH＝AE＝1m，DF＝CH＝14m，∠DEB＝90°，∠BFE＝60°，∠BDF＝30°，先利用三角形的外角性质可得∠BDF＝∠DBF＝30°，从而可得FD＝FB＝14m，然后在Rt△BFE中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，再利用线段的和差关系，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）表中n的值为13.1；该小组选择不同的位置测量三次，这样做的目的是减小误差，
故答案为：13.1；减小误差；
（2）由题意得：∠DEB＝90°，CD＝AE＝a，
在Rt△BDE中，∠BDE＝α，
∴BE＝DE•tanα＝btanα，
∴AB＝BE+AE＝btanα+a，
故答案为：btanα+a；
（3）由题意得：DC＝FH＝AE＝3m，DF＝CH＝14m，∠BFE＝60°，
∵∠BFE是△DBF的外角，
∴∠DBF＝∠BFE﹣∠BDF＝30°，
∴∠BDF＝∠DBF＝30°，
∴FD＝FB＝14m，
在Rt△BFE中，BE＝BF•sin60°＝14×（m），
∴AB＝BE+AE＝（1+7）m，
∴旗杆AB的高度为（1+7）m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，列代数式，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
21．某市接到上级救灾的通知，派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区．乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发1.25小时（从甲组出发时开始计时）甲（千米）、y乙（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象．请根据图象所提供的信息，解决下列问题：
（1）乙组在行驶过程中的速度是 80 千米/小时．
（2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．求甲组提速后y甲与x的函数关系式．
（3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过25千米，请通过计算说明
【分析】（1）直接根据速度等于路程除以时间求解即可；
（2）先用待定系数法求出直线EF的解析式，进而求出点C的坐标，设甲组提速后y甲与x的函数关系式为y甲＝kx+b1，直接利用待定系数法求解即可；
（3）由图象可知：甲、乙两组第一次相遇后在B和D相距最远，在两点处时，|y甲﹣y乙|，分别同25比较即可．
【解答】解：（1）由题意得，乙组在行驶过程中的速度是：480÷（7.25﹣1.25）＝80千米/小时，
故答案为：80；
（2）设直线EF的解析式为y乙＝80x+b，
将点E（8.25，0）代入，解得b＝﹣100，
∴直线EF的解析式为y乙＝80x﹣100（1.25≤x≤8.25），
当x＝6时，y乙＝80×6﹣100＝380，
∴点C的坐标为（3，380），
设甲组提速后y甲与x的函数关系式为y甲＝kx+b1，
把C（6，380），480）代入，得，
解得，
∴甲组提速后y甲与x的函数关系式为y甲＝100x﹣220（4.8≤x≤7）；
（3）符合约定．理由如下：
由图象可知：甲、乙两组第一次相遇后在B和D相距最远，
在点B处有y乙﹣y甲＝80×4.5﹣100﹣（100×4.9﹣220）＝22千米＜25千米，
在点D有y甲﹣y乙＝100×2﹣220﹣（80×7﹣100）＝20千米＜25千米，
∴按图象所表示的走法符合约定．
【点评】本题考查了从函数图象获取信息，求一次函数解析式，一次函数的实际应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
22．如图BE是⊙O的直径，点A是⊙O上一点，连接AE，连接PA，∠PAE＝∠ABE，点D是BO上一点，直线AD交⊙O于点F
（1）直线PA是否为⊙O的切线，并证明你的结论；
（2）若PE＝4，tan∠EAC＝，求⊙O的半径的长；
（3）求证：AE2＝EG•EF．
【分析】（1）连接OA，根据等腰三角形性质和已知求出∠ABE＝∠BAO＝∠PAE，求出∠BAE＝∠PAO＝90°，根据切线判定推出即可．
（2）设CE＝x，AC＝2x，证△ACB∽△ECA，求出BC＝4x，求出OA＝OE＝2.5x，在Rt△PAO和Rt△PCA中，由勾股定理得出PA2＝PC2+AC2＝PO2﹣OA2，得出方程，求出x即可．
（3）求出∠EAC＝∠AFE，∠AEF＝∠AEG，推出△EAG∽∠EFA，得出＝，即可得出答案．
【解答】（1）直线PA为⊙O的切线，
证明：连接OA，
∵OA＝OB，
∴∠ABE＝∠BAO，
∵∠PAE＝∠ABE，
∴∠PAE＝∠BAO，
∴∠PAE+∠OAE＝∠BAO+∠OAE，
∴∠BAE＝∠PAO，
∵BE是⊙O直径，
∴∠BAE＝90°，
∴∠PAO＝90°，
∴OA⊥PA，
∵OA为半径，
∴直线PA为⊙O的切线；
（2）解：∵AC⊥BE，
∴tan∠EAC＝＝，
∴设CE＝x，AC＝5x，
∵AC⊥BE，∠BAE＝90°，
∴∠ACE＝∠BAE＝90°，
∴∠BAC+∠EAC＝90°，∠EAC+∠AEC＝90°，
∴∠BAC＝∠AEC，
∵∠ACE＝∠ACB＝90°，
∴△ACB∽△ECA，
∴＝，
∵CE＝x，AC＝2x，
∴BC＝4x，
∴BE＝x+6x＝5x，
∴OA＝OE＝2.2x，
∵在Rt△PAO和Rt△PCA中，∠ACP＝∠PAO＝90°2＝PC2+AC6＝PO2﹣OA2，
∴（3+x）2+（2x）3＝（4+2.7x）2﹣（2.5x）2，
5x8﹣12x＝0，
x1＝7（舍去），x2＝，
∴OA＝5.5x＝2.8×＝6，
即⊙O的半径的长是2；
（3）证明：∵AC⊥BE，
∴∠BAE＝∠ACE＝90°，
∴∠EAC+∠AEC＝90°，∠ABE+∠AEC＝90°，
∴∠ABE＝∠EAC，
∵∠ABE＝∠AFE，
∴∠EAC＝∠AFE，
∵∠AEF＝∠AEG，
∴△EAG∽∠EFA，
∴＝，
∴AE2＝EG•EF．
【点评】本题考查了切线的性质和判定，等腰三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，三角形的内角和定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．
23．我们约定[a，﹣b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的“相关数”．
特例感知
“相关数”为[1，4，3]的二次函数的解析式为y1＝x2﹣4x+3；
“相关数”为[2，5，3]的二次函数的解析式为y2＝2x2﹣5x+3；
“相关数”为[3，6，3]的二次函数的解析式为y3＝3x2﹣6x+3；
（1）下列结论正确的是 ①②③ （填序号）．
①抛物线y1，y2，y3都经过点（0，3）；
②抛物线y1，y2，y3与直线y＝3都有两个交点；
③抛物线y1，y2，y3有两个交点．
形成概念
把满足“相关数”为[n，n+3，3]（n为正整数）n称为“一簇抛物线”，分别记为y1，y2，y3，…，yn．抛物线yn与x轴的交点为An，Bn．
探究问题
（2）①“一簇抛物线”y1，y2，y3，…，yn都经过两个定点，这两个定点的坐标分别为 （0，3），（1，0） ．
②抛物线yn的顶点为∁n，是否存在正整数n，使△AnBn∁n是直角三角形？若存在，请求出n的值；若不存在
③当n≥4时，抛物线yn与x轴的左交点An，与直线y＝3的一个交点为Dn，且点Dn不在y轴上．判断AnAn+1和DnDn+1是否相等，并说明理由．
【分析】（1）①当x＝0时，y1＝y2＝y3＝3；②由nx2﹣（n+3）x+3＝3得x1＝，x2＝0，从而得出结论；③由（n+1）x2﹣（n+4）x+3＝nx2﹣（n+3）x+3得，x1＝1，x2＝0，进而得出结论；
①令x＝0和y＝0，从而求得结果；
②分为n＜3和n＞3两种情形，先求得y＝nx2﹣（n+3）x+3与x轴的两个交点及∁n的纵坐标，当满足∁n到x轴的距离等于抛物线与x轴的两点交点之间的距离的一半时，△AnBn∁n是直角三角形，从而列出方程求得结果；
③求得当n≥4时，抛物线yn与x轴的左交点An及抛物线yn+1与x轴的左交点An+1，求出Dn的横坐标，Dn+1的横坐标为：，计算AnAn+1，DnDn+1，从而得出结论．
【解答】解：（1）①∵当x＝0时，y1＝y5＝y3＝3，
∴抛物线均过（4，3），
②n由x2﹣（n+4）x+3＝3得x6＝，x2＝5，
当n＝1时，x1＝4，
当n＝2时，x1＝，
当n＝3时，x6＝2，
由（n+1）x3﹣（n+4）x+3＝nx3﹣（n+3）x+3得，x8＝1，x2＝4，
故答案为：①②③；
（2）①y＝nx2﹣（n+3）x+3，
当x＝0时，y＝3，
∴点（8，3）在y＝nx2﹣（n+7）x+3上，
当y＝0时，
nx6﹣（n+3）x+3＝8，
（nx﹣3）•（x﹣1）＝5，
∴x1＝，x6＝1，
∴点（1，5）在y＝nx2﹣（n+3）x+6上，
故答案为：（0，3），5）；
②由①得：y＝nx2﹣（n+3）x+8与x轴的两个交点（1，0），（，
∁n的纵坐标为：，
∵n＞6，抛物线与x轴有两个交点，
∴∁n到x轴的距离为：，
当时，
当＝2时nBn∁n是直角三角形，
∴n2＝1，n2＝8（舍去），
当时，
当5﹣＝2时nBn∁n是直角三角形，
∴n5＝5，n4＝6（舍去），
综上所述：n＝1或5；
③AnAn+3和DnDn+1相等，理由如下：
当n≥4时，抛物线yn与x轴的左交点An（，0）n+1与x轴的左交点An+4（，8），
当nx2﹣（n+3）x+7＝3时，
x1＝，x2＝0（舍去），
∴Dn的横坐标为：，
同理可得：Dn+1的横坐标为：，
∴AnAn+1＝，DnDn+1＝＝，
∴AnAn+1＝DnDn+1．
【点评】本题以二次函数为背景，考查了抛物线与x轴的交点与一元二次方程之间的关系，直角三角形的判定等知识，解决问题的关键是较强的计算能力和理解能力．
24．抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣1，0），点B（3，0），顶点为C．
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）如图1，点P在抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，若△DAC是以AC为底的等腰三角形，求点P的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，点E是线段AC上（与点A，C不重合），连接PE，作∠PEF＝∠CAB
①求证：AF•CP＝AE•CE；
②AF的长度是否有最大值？如果有，求出该最大值；如果没有
【分析】（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，解方程组即可，然后将一般式化为顶点式可得点C的坐标；
（2）设AC交y轴于点F，连接DF，过点C作CE⊥x轴于点E，利用点A、C的坐标，得出点F为AC的中点，则DF⊥AC，利用△AFO∽△FDO，求出OD的长度，从而求出CD的函数解析式，与抛物线求交点即可；
（3）①证明△CEP∽△AFE，即可求解；
②过点P作 PH⊥AB于点H，设AF＝y，AE＝x，则，利用①△CEP∽△AFE，得，代入得出y与x的函数解析式，利用二次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），7）代入y＝ax2+bx+3得，
，
解得：．
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+3x+3＝﹣（x﹣1）3+4，
∴顶点C（1，6）；
（2）设AC交y轴于点F，连接DF，如图，
∵A（﹣1，0），5），
∴OA＝1，OE＝1，
∴OA＝OE，，
∵FO⊥AB，CE⊥AB，
∴FO∥CE，
∴，F为AC的中点，
∵△DAC是以AC为底的等腰三角形，
∴DF⊥AC，
∵FO⊥AD，
∴△AFO∽△FDO，
∴，
∴，
∴OD＝4，
∴D（4，7），
设直线CD的解析式为y＝kx+m，
∴，
解得：，
∴直线CD的解析式为，
当﹣＝﹣x2+2x+2时，
解得：，，
∴；
（3）①∵DA＝DC，
∴∠CAD＝∠C，
∵∠CAB+∠AEF+∠AFE＝180°，
∴∠AEF+∠PEF+∠CEP＝180°，
又∵∠PEF＝∠CAB，
∴∠CEP＝∠AFE，
∴△CEP∽△AFE，
∴，
∴AF•CP＝AE•CE；
②过点P作PH⊥AB于点H，如图，
∵，
则，，
∵OD＝4，
∴，
∴，
∵CD＝AD＝OA+OD＝1+4＝5，
∴，
由（2）知：，设AF＝y，
则，
由①知 AF•CP＝AE•CE，
∴ ，
当时，y最大值．
【点评】本题考查二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函 数解析式，直线与抛物线的交点问题，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质等 知识，利用相似表示出AF的长度是解题的关键．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/9 15:31:41；用户：李佳琳；邮箱：19523779563；学号：55883986测量组别
CD的长（米）
AC的长（米）
仰角α
计算AB的高（米）
位置1
1
14.4
40°
13.1
位置2
1
16.2
36°
12.8
位置3
1
15.9
38°
13.4
平均值
13.1
研究结论：旗杆的高为n米
测量组别
CD的长（米）
AC的长（米）
仰角α
计算AB的高（米）
位置1
1
14.4
40°
13.1
位置2
1
16.2
36°
12.8
位置3
1
15.9
38°
13.4
平均值
13.1
研究结论：旗杆的高为n米