广东省揭阳市揭东县多校联考2024-2025学年九年级上学期数学开学考试试卷

这是一份广东省揭阳市揭东县多校联考2024-2025学年九年级上学期数学开学考试试卷，共16页。

A．B．C．D．
2．（3分）下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A．
B．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2
C．x2﹣1+4k＝（x+1）（x﹣1）+4k
D．a2﹣9＝（a﹣3）（a+3）
3．（3分）下列分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）如图是用边长相等的正三角形和正多边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则这种正多边形地砖的边数是（ ）
A．6B．8C．10D．12
5．（3分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．﹣7B．7C．7或﹣7D．49
6．（3分）在如图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
7．（3分）如图，在△ABC中，∠APC＝116°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB、BC于点M、N．若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠ABC的度数为（ ）
A．64°B．52°C．54°D．62°
8．（3分）如图，已知直线y＝x+b与y＝kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b≤kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）2024年6月2日沈阳和河半程马拉松比赛成功举行，各位跑友齐聚沈阳市和平区，以跑者之势再现运动之美．小阳参与“半程马拉松”（约21km）项目，前12km以原计划平均速度vkm/h完成，之后身体竞技状态下降，以0.75vkm/h的平均速度完成剩下赛程，最终比原计划晚15min到达目的地，则小阳前12km的平均速度为（ ）
A．9km/hB．10km/hC．12km/hD．21km/h
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A（0，3），D（1，0），点C落在x轴的正半轴上，点B落在第一象限内，按以下步骤作图：
①以点D为圆心，适当长为半径作弧，分别交DA，DC于点E，F；
②分别以E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠ADC内交于点G；
③作射线DG，交边AB于点H；
则点H的坐标为（ ）
A．（，3）B．（﹣3，3）C．（3，3）D．（﹣1，3）
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）分解因式：m2﹣36＝ ．
12．（3分）如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝ ．
13．（3分）已知＝，则代数式的值是 ．
14．（3分）若关于x的方程无实数解，则m的值为 ．
15．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为CD上的一点，且DE＝5，F为AE的中点，若△DEF的周长为30，则OF的长为 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（7分）化简，再从﹣1，0，1，3中选择一个合适的数代入求值．
17．（7分）如图，四边形ABCD是平行四边形．请用尺规作图法在AB上找一点E，使得∠ADE+∠C＝90°． （不写作法，保留作图痕迹）
18．（7分）已知：关于x、y的二元一次方程组的解满足﹣1＜x+y≤4．
（1）求k的取值范围；
（2）在（1）的条件下，化简|2k+5|﹣|k﹣3|．
19．（9分）2024年3月14日是第五个“国际数学日”，某校数学组在今年“π日”举行了数学游园活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵60%，且花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支．
（1）求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少？
（2）前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：自动铅笔比之前询问时涨价20%，而钢笔则按之前询问价格的8.5折出售．若学校最终购买了钢笔和自动铅笔共200支，且购买奖品的费用没有超过1250元，则学校最多购买了多少支钢笔作为奖品？
20．（9分）如图，阅读与思考：在函数的学习过程中，我们利用描点法画出函数的图象，并借助图象研究该函数的性质，最后运用函数解决问题．现我们对函数y＝|x+1|（x的取值范围为任意实数）进行探究．
（1）请将表格补充完整．
（2）请根据上表中的数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出一条该函数图象的性质： ．
（3）请在如图所示的平面直角坐标系中画出一次函数的图象，并直接写出不等式的解集．
21．（9分）已知四边形ABCD为平行四边形，点M，N分别是直线AD，BC上的点，且与点A，B，C，D不重合．
（1）请在图1中画出你设计的图形，并添加一个适当的条件： ，使得点M，N与▱ABCD的两个顶点组成的四边形是一个平行四边形，并说明理由；
（2）如图2，已知AC＝BC＝6，∠ABC＝30°，若四边形AMCN为平行四边形，且AM＝6，则MN的长度为 ．
22．（13分）
23．（14分）【探索发现】小应发现：平行四边形两条对角线的平方和等于两邻边平方和的两倍．
【推理论证】如图1，四边形ABCD是平行四边形，求证：AC2+BD2＝2（AB2+BC2）．
小应的证明：作AE⊥BC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F，由四边形ABCD是平行四边形，容易证得△ABE≌△DCF（AAS），得到AE＝DF，BE＝CF．
设BE＝CF＝a，CE＝b，AE＝DF＝h．
在Rt△ACE和Rt△BDF中，AC2+BD2＝h2+b2+（2a+b）2+h2＝4a2+4ab+2b2+2h2．
在Rt△ABE中，AB2＝a2+h2，
∴AB2+BC2＝…
（1）请继续完成小应的证明；
【初步应用】（2）如图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB＝4，AD＝6，BD＝8，求OA的长；
【拓展提升】（3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E是斜边AB的三等分点，CD＝5，，求AB的长．
广东省揭阳市揭东县多校联考2024-2025学年九年级上学期数学开学考试试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）“琴棋书画”的棋是指围棋，围棋起源于中国，至今已有四千多年的历史．下列由黑、白棋子摆成的图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
2．（3分）下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A．
B．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2
C．x2﹣1+4k＝（x+1）（x﹣1）+4k
D．a2﹣9＝（a﹣3）（a+3）
【答案】D
3．（3分）下列分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
4．（3分）如图是用边长相等的正三角形和正多边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则这种正多边形地砖的边数是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】D
5．（3分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．﹣7B．7C．7或﹣7D．49
【答案】A
6．（3分）在如图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
【答案】B
7．（3分）如图，在△ABC中，∠APC＝116°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB、BC于点M、N．若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠ABC的度数为（ ）
A．64°B．52°C．54°D．62°
【答案】B
8．（3分）如图，已知直线y＝x+b与y＝kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b≤kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
9．（3分）2024年6月2日沈阳和河半程马拉松比赛成功举行，各位跑友齐聚沈阳市和平区，以跑者之势再现运动之美．小阳参与“半程马拉松”（约21km）项目，前12km以原计划平均速度vkm/h完成，之后身体竞技状态下降，以0.75vkm/h的平均速度完成剩下赛程，最终比原计划晚15min到达目的地，则小阳前12km的平均速度为（ ）
A．9km/hB．10km/hC．12km/hD．21km/h
【答案】C
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A（0，3），D（1，0），点C落在x轴的正半轴上，点B落在第一象限内，按以下步骤作图：
①以点D为圆心，适当长为半径作弧，分别交DA，DC于点E，F；
②分别以E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠ADC内交于点G；
③作射线DG，交边AB于点H；
则点H的坐标为（ ）
A．（，3）B．（﹣3，3）C．（3，3）D．（﹣1，3）
【答案】A
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）分解因式：m2﹣36＝ （m﹣6）（m+6） ．
【答案】（m﹣6）（m+6）．
12．（3分）如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝ 75° ．
【答案】75°．
13．（3分）已知＝，则代数式的值是 9 ．
【答案】见试题解答内容
14．（3分）若关于x的方程无实数解，则m的值为 6 ．
【答案】见试题解答内容
15．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为CD上的一点，且DE＝5，F为AE的中点，若△DEF的周长为30，则OF的长为 ．
【答案】见试题解答内容
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（7分）化简，再从﹣1，0，1，3中选择一个合适的数代入求值．
【答案】见试题解答内容
17．（7分）如图，四边形ABCD是平行四边形．请用尺规作图法在AB上找一点E，使得∠ADE+∠C＝90°． （不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见试题解答内容
18．（7分）已知：关于x、y的二元一次方程组的解满足﹣1＜x+y≤4．
（1）求k的取值范围；
（2）在（1）的条件下，化简|2k+5|﹣|k﹣3|．
【答案】见试题解答内容
19．（9分）2024年3月14日是第五个“国际数学日”，某校数学组在今年“π日”举行了数学游园活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵60%，且花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支．
（1）求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少？
（2）前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：自动铅笔比之前询问时涨价20%，而钢笔则按之前询问价格的8.5折出售．若学校最终购买了钢笔和自动铅笔共200支，且购买奖品的费用没有超过1250元，则学校最多购买了多少支钢笔作为奖品？
【答案】见试题解答内容
20．（9分）如图，阅读与思考：在函数的学习过程中，我们利用描点法画出函数的图象，并借助图象研究该函数的性质，最后运用函数解决问题．现我们对函数y＝|x+1|（x的取值范围为任意实数）进行探究．
（1）请将表格补充完整．
（2）请根据上表中的数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出一条该函数图象的性质： 图象关于直线x＝﹣1对称（答案不唯一） ．
（3）请在如图所示的平面直角坐标系中画出一次函数的图象，并直接写出不等式的解集．
【答案】见试题解答内容
21．（9分）已知四边形ABCD为平行四边形，点M，N分别是直线AD，BC上的点，且与点A，B，C，D不重合．
（1）请在图1中画出你设计的图形，并添加一个适当的条件： AM＝CN（答案不唯一） ，使得点M，N与▱ABCD的两个顶点组成的四边形是一个平行四边形，并说明理由；
（2）如图2，已知AC＝BC＝6，∠ABC＝30°，若四边形AMCN为平行四边形，且AM＝6，则MN的长度为 6 ．
【答案】（1）图形见解析，添加AM＝BN（答案不唯一），理由见解析；
（2）6．
22．（13分）
【答案】见试题解答内容
23．（14分）【探索发现】小应发现：平行四边形两条对角线的平方和等于两邻边平方和的两倍．
【推理论证】如图1，四边形ABCD是平行四边形，求证：AC2+BD2＝2（AB2+BC2）．
小应的证明：作AE⊥BC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F，由四边形ABCD是平行四边形，容易证得△ABE≌△DCF（AAS），得到AE＝DF，BE＝CF．
设BE＝CF＝a，CE＝b，AE＝DF＝h．
在Rt△ACE和Rt△BDF中，AC2+BD2＝h2+b2+（2a+b）2+h2＝4a2+4ab+2b2+2h2．
在Rt△ABE中，AB2＝a2+h2，
∴AB2+BC2＝…
（1）请继续完成小应的证明；
【初步应用】（2）如图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB＝4，AD＝6，BD＝8，求OA的长；
【拓展提升】（3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E是斜边AB的三等分点，CD＝5，，求AB的长．
【答案】（3）AB的长为9．x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y＝|x+1|
…
3
1
0
1
2
4
…
生活中的数学
某学校组织七、八年级学生进行研学活动，由学生会通过调研获取信息供学校参考制定出行方案．经学生会调查，得到以下信息．
信息1
某旅游公司只有60座客车14辆，45座客车25辆可供租用
45座客车
60座客车
载客量（人/辆）
45
60
租金（元/辆）
250
300
信息2
七年级若每位老师带40名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带41名学生，则恰好完成分配．
信息3
八年级师生如果租用45座的客车n辆，那么还有30人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满．
任务1

（1）参加此次活动的七年级师生共有 人；
任务2

（2）求参加此次活动的八年级师生共有多少人；
任务3

（3）学校计划此次研学活动由七八年级师生共同租用两种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，总费用不超过4800元，你能得出哪几种不同的租车方案？请直接写出具体的租车方案．
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y＝|x+1|
…
3
1
0
1
2
4
…
生活中的数学
某学校组织七、八年级学生进行研学活动，由学生会通过调研获取信息供学校参考制定出行方案．经学生会调查，得到以下信息．
信息1
某旅游公司只有60座客车14辆，45座客车25辆可供租用
45座客车
60座客车
载客量（人/辆）
45
60
租金（元/辆）
250
300
信息2
七年级若每位老师带40名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带41名学生，则恰好完成分配．
信息3
八年级师生如果租用45座的客车n辆，那么还有30人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满．
任务1

（1）参加此次活动的七年级师生共有 420 人；
任务2

（2）求参加此次活动的八年级师生共有多少人；
任务3

（3）学校计划此次研学活动由七八年级师生共同租用两种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，总费用不超过4800元，你能得出哪几种不同的租车方案？请直接写出具体的租车方案．