安徽省安庆市多校联考2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份安徽省安庆市多校联考2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版），共20页。

1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟；
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的；
3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 若，则=（ ）
A. 5B. 10C. 20D. 25
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的加法，二次根式的化简，熟练掌握知识点是解题的关键．
由，即可求解．
【详解】解：，
∴，
故选：C．
2. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能为（ ）．
A. 6B. 5C. 4D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据方程有两个不相等的实数根得出Δ=42-4×1×c＞0，解之可得答案．
【详解】解：根据题意，得：Δ=42-4×1×c＞0，
解得c＜4，
故选：D．
【点睛】本题主要考查根判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
3. 若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）
A. 5B. 6C. 8D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了多边形的内角和和外角和问题，设这个多边形的边数为，根据多边形的内角和公式和外角和并结合题意得出等式，计算即可得出答案．
【详解】解：设这个多边形的边数为，
由题意得：，
解得：，
故这个多边形的边数是，
故选：C．
4. 小明根据演讲比赛中九位评委所给的分数制作了如下表格：
如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不发生变化的是（ ）
A. 平均数B. 众数C. 中位数D. 方差
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义，难度不大．
根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数，由此可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数．
【详解】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，
故选：C．
5. 如图，菱形的对角线，交于点．若，，则菱形的周长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形性质，勾股定理，由四边形是菱形得，，，，，最后由勾股定理即可求解，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
【详解】∵四边形是菱形，
∴，，，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴菱形的周长是，
故选：．
6. 在下列条件中，△ABC不是直角三角形的是（ ）
A. b2＝a2－c2B. a2：b2：c2＝1：3：2
C. ∠A：∠B：∠C＝3：4：5D. ∠A+∠B＝∠C
【答案】C
【解析】
【详解】∵∠A:∠B:∠C＝3:4:5，根据三角形的内角和进行计算可得: ∠A=45°, ∠B=60°, ∠C=75°,
所以C选项符合题意,
故选C.
7. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】利用数轴得出，，进而利用二次根式的性质化简求出即可．
【详解】解：由数轴可得：，，
∴，
则
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的化简方法是关键．
8. 将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是（ ）
A. 5B. C. 10﹣D. 15﹣
【答案】D
【解析】
【分析】过点B作BM⊥FD于点M，由已知条件易求出BC长度，由AB∥CF求出∠BCM，进而求出BM、MC，再由等腰三角形性质求出MD, 进而可得出答案．
【详解】解答：解：过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，
∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝，
∵AB∥CF，
∴BM＝BC×sin30°＝×＝，
CM＝BC×cs30°＝15，
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∴MD＝BM＝，
∴CD＝CM﹣MD＝15﹣．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰直角三角形的性质、解直角三角形等知识点，掌握常用辅助线的作法，正确作出辅助线是解答此题的关键．
9. 如图，已知中，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，点M，N为垂足，若，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理及其逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．本题难点是添加辅助线构造直角三角形．
根据线段垂直平分线的性质得出，的长，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，进而利用勾股定理解答即可．
【详解】解：连接，，
∵的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，
∴，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
由勾股定理可得：，
故选：A．
10. 如图1，在平行四边形中，，动点P从A点出发，以的速度沿着的方向移动，直到点P到达点A后才停止．已知的面积y（单位：）与点P移动的时间x（单位：）之间的函数关系如图2所示，则图2中b的值为（ ）
A. 34B. 35C. 36D. 37
【答案】C
【解析】
【分析】首先由图②可得点P从点A运动到点B所用的时间为，再根据平行四边形的性质得，则点P从点B运动到点C所用的时间为，然后分别过点B，C作的垂线于E，交的延长与F，先求出，，然后证和全等得，据此可求出，于是可求出点P从点C运动到点A所用的时间为，进而可求解．
【详解】解：由图②可知点P从点A运动到点B所用的时间为，
∵点P运动的速度为，
∴，
∵四边形为平行四边形，，
∴， ， ，
∴点P从点B运动到点C所用的时间为：，
∴点P从点A运动到点C所用的时间为：，
∴；
分别过点B，C作的垂线于E，交的延长线于F，则，如图：

由图②可知：，
∴，
即：，
∴，
在中，，，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，， ，
由勾股定理的：，
∴点P从点C运动到点A所用的时间为：，
∴，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，理解题意，读懂函数的图象，从函数图象中提取解决问题的信息，正确的作出辅助线构造全等三角形和直角三角形，灵活运用勾股定理进行计算是解答此题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若是整数，写出一个满足条件的正整数的值：_____________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式特殊解，熟悉掌握二次根式的开放是解题的关键．
令时，求出的值即可．
【详解】解：∵
∴当时，符合题意；
故答案为：（答案不唯一）
12. 体育锻炼是增强体质有效的手段，小王一学期的体育平时成绩为90分，期中成绩为94分，期末成绩为95分，若学校规定平时成绩、期中成绩、期末成绩三项得分按的比例确定最终成绩，则小王的最终成绩为________分．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了加权平均数的求法，根据加权平均数的计算方法列式进行计算是解题的关键．
【详解】解：小王的最终成绩为分，
故答案为：．
13. 如果m，n是一元二次方程的两个实数根，那么多项式______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，先由根与系数的关系得到，再由方程解的定义得到，再把所求式子变形为，据此代值计算即可．
【详解】解：∵m，n是一元二次方程，即的两个实数根，
∴，
∴
∴
，
故答案为：．
14. 如图，矩形中，．是上一点，且．
（1）_________；
（2）如图2，为上一点，于点于点，则_________．
【答案】 ①. 3 ②. 4
【解析】
【分析】（1）设，则，根据矩形的性质，在中实施勾股定理计算即可．
（2）连接，根据，列式计算即可．
【详解】（1）设，
∵矩形，，
∴，，
在中，，
解得：，
故答案为：3．
（2）连接，
∵，，，
∴．
解得：，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形面积计算，熟练掌握矩形的性质，勾股定理是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式混合运算，熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键．
先运用平方差与完全平方公式计算，并求绝对值，再计算加减即可．
【详解】解：原式
．
16. 已知：如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别是OB，OC的中点，连接DF，FG，EG，DE，求证：DF＝EG．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DEBC，DE=BC，FGBC，FG=BC，从而得到DEFG且DE=FG，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形DEGF是平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等证明即可．
【详解】试题解析：
证明：由题意得点E，D分别是AC，AB的中点，
∴ED是△ABC的中位线．
∴DEBC，DE= BC．
∵F，G分别是BO，CO的中点，
∴FG是△OBC的中位线．
∴FGBC，FG=BC，．
∴DEFG， DE=FG．
∴四边形EDFG是平行四边形．
∴DF＝EG．
【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定与性质，熟记定理并判断出四边形DEGF是平行四边形是解题的关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，．技术人员通过测量确定了．

（1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？
（2）这片绿地的面积是多少？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，利用勾股定理求出，问题随之得解；
（2）先利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，，再根据三角形的面积公式即可求解．
【小问1详解】
如图，连接，
∵，，，
∴，
∴，
答：居民从点A到点C将少走路程．
小问2详解】
∵，．，
∴，
∴是直角三角形，，
∴， ，
∴，
答：这片绿地的面积是．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键．
18. 如图，在矩形中，延长到，使，延长到，使，连接、、、．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据矩形的性质得到，再根据， ，即可求证；
（2）先通过菱形性质及勾股定理求解得到的长，再由菱形面积等于对角线积的一半即可求解．
【小问1详解】
证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，即，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴平行四边形是菱形．
【小问2详解】
解：∵四边形是菱形，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得成功，将我国航天事业推向了新的高峰．南沙区某中学为了丰富学生们航天知识，组织全校学生进行航天知识竞赛，并随机抽取50名学生的成绩，整理成如下统计表：
（1）该50名同学这次竞赛成绩的中位数是________；
（2）求该50名同学这次竞赛成绩的平均数；
（3）若竞赛成绩90分以上（含90分）为优秀，该校有1500名学生，请估计竞赛成绩为优秀的人数．
【答案】（1）90 （2）87.4
（3）估计竞赛成绩为优秀的人数为900人
【解析】
【分析】本题主要考查了求中位线、平均数、用样本估计总体，解题的关键是熟练掌握平均数数和中位数的定义，注意偶数个数的中位数是中间两个数的平均数．
（1）根据中位数的定义即可解答；
（2）利用平均数的公式代入数据计算即可；
（3）用成绩90分以上（含90分）的人数所占比例乘以1500即可．
【小问1详解】
解：将该50名同学成绩从小到大排列，该50名同学这次竞赛成绩的中位数位于第25名和第26名的平均数，
则该50名同学这次竞赛成绩的中位数是,；
【小问2详解】
解：（分）
答：该50名同学这次竞赛成绩的平均数为分；
【小问3详解】
解：（人）
答：估计竞赛成绩为优秀的人数为900人．
20. 已知关于x的方程．
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根；
（2）若方程的两个实数根为，求代数式的值．
【答案】（1）见解析 （2）0
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系等知识点，掌握相关结论即可．
（1）根据一元二次方程根的判别式计算即可求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，，再整理代入即可求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴方程总有实数根；
【小问2详解】
解：由根与系数的关系可得，，，
∴
．
六、（本题满分12分）
21. 嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程：
等式①：；等式②：；
等式③：；等式④：______________；……
（1）【特例探究】将题目中的横线处补充完整；
（2）【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立；
（3）【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______．
【答案】（1）
（2），证明见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律．
（1）根据前个的规律即可得出答案；
（2）根据特例中数字的变化规律分析求解即可，对等式的坐标进行整理，即可求证；
（3）利用（2）中规律进行求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得：等式④：；
【小问2详解】
解：若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律为，
证明如下：等式左边右边；
【小问3详解】
解：∵（均为正整数），
∴，，
∴
．
七、（本题满分12分）
22. 综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计）
（1）若剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为___________，宽为___________；
（2）若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长；
（3）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长．
【答案】（1）26，12
（2）剪去正方形的边长为
（3）剪去的正方形的边长为
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键．
（1）根据题意列式计算即可得出答案；
（2）设减去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案；
（3）设剪去的正方形的边长为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案．
【小问1详解】
解：由题意得：，，
纸盒底面长方形的长为，宽为；
【小问2详解】
解：设减去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为，
由题意得：，
解得：或（舍去），
∴剪去正方形的边长为；
【小问3详解】
解：设剪去的正方形的边长为，
由题意得：，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴剪去的正方形的边长为．
八、（本题满分14分）
23. 如图1，在正方形ABCD中，E为CB延长线上的一点，且，M、N分别为AE、BC的中点，连接DE交AB于点O，交MN于点H．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）如图2，过点A作AP垂直ED于点P，连接BP，求的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用ASA证明即可；
（2）延长BC至F，且使，连接AF、DF，利用SAS证明，得出，由MN为的中位线得，利用平行线的性质即可证明；
（3）过点B作交DE于Q，利用ASA证明，推出，，即可证明是等腰直角三角形，则．
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∴，．
∵，
∴，
∴（ASA），
∴；
【小问2详解】
证明：延长BC至F，且使，连接AF、DF，如图1所示：
则，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，，，
在和中，
，
∴（SAS），
∴，
∵，，
∴N为EF的中点，
∴MN为的中位线，
∴，
∴，
∴，
即；
【小问3详解】
解：过点B作交DE于Q，如图2所示：
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
由角的互余关系得：，
∴，
在和中，
，
∴（ASA），
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
【点睛】本题考查正方形的性质、平行线的性质、三角中位线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，第3问有一定难度，正确作辅助线，证明是等腰直角三角形是解题的关键．平均数
中位数
众数
方差
8.3
8.3
8.1
0.15
分数
60
70
80
90
100
频数
2
3
15
16
14