陕西省西安市高新逸翠园初级中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份陕西省西安市高新逸翠园初级中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题，每题3分，共24分）
1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选B．
2. 若成立，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式的性质，逐个进行判断即可．
详解】解：A、∵，∴，∴，故A成立，符合题意；
B、∵，∴，∴，故B不成立，不符合题意；
C、∵，∴，故C不成立，不符合题意；
D、∵，∴，故D不成立，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了不等式性质，解题的关键是熟练掌握不等式两边都加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．
3. 当时，关于x的一元二次方程的根的情况为（ ）
A. 没有实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等实数根D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据得，根据一元二次方程根的判别式和配方法得，即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，配方法，解题的关键是掌握这些知识点．
4. 如图，直线与（且a，b为常数）的交点坐标为（3，﹣1），则关于x的不等式的解集为（ ）
A. x≥﹣1B. x≥3C. x≤﹣1D. x≤3
【答案】D
【解析】
【详解】解：从图象得到，当x≤3时，的图象对应的点在函数的图象上面，
∴不等式的解集为x≤3．
故选：D．
5. 用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”时，首先应该假设这个三角形中（ ）
A. 有一个角是直角B. 每一个角都是直角C. 有两个角都不是直角D. 有两个角是直角
【答案】D
【解析】
【分析】反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立，据此判断．
【详解】解：用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中有两个角是直角．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反证法和三角形内角和定理，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
6. 四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，可添加条件（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据矩形的判定条件：对角线互相平分且相等的四边形是矩形进行求解即可
【详解】解：添加条件，再由四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，无法证明四边形ABCD是矩形，不符合题意；
添加条件，再由四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，可以证明四边形ABCD是矩形，符合题意；
添加条件，再由四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，无法证明四边形ABCD是矩形，不符合题意；
添加条件，再由四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，无法证明四边形ABCD是矩形，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定，熟知矩形的判定条件是解题的关键．
7. 已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A. B. 且C. D. 且
【答案】B
【解析】
【分析】首先对原分式方程变形，其次解出分式方程的解，再根据分式方程解是非负数，最简公分母不为0，列不等式，求出公共的解集即可．本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，掌握用含的式子表示方程的解，根据方程的解为非负数，，列不等式组是解题关键．
【详解】解：原分式方程可化为：，
去分母，得，
解得，
分式方程解是非负数，
，且，
的取值范围是：且，
故选：B
8. 如图，在中，点是边上的一点，，且的面积为10，则的周长的最小值是（ ）
A. 10B. 12C. 14D. 16
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称的性质、勾股定理，作，作点关于直线对称点，交于，连接，交于，由已知得出，由三角形面积得出，从而得出，表示出的周长，得出要使周长最小，则需点与重合，即点、、共线，由勾股定理得出，即可得解．
【详解】解：如图，作，作点关于直线对称点，交于，连接，交于，
，
∵，
∴，，
∵的面积为10，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的周长，
∴要使周长最小，则需点与重合，即点、、共线，如图所示，
，
由勾股定理得：，
∴周长最小值为，
故选：D．
二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）
9. 使分式有意义的的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．
分式有意义，则分母，由此易求的取值范围．
【详解】解：当分母，即时，分式有意义．
故答案为：．
10. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解，先提公因式，再用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：．
故答案为：．
11. 顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形一定是____．
【答案】矩形
【解析】
【分析】作出图形，根据已知条件证明即可．
【详解】如图：∵E、F分别为AB、BC的中点，
∴EF是ΔABC的中位线，
∴EF//AC，EF= AC，
同理：GH//AC,GH=AC，
∴EF GH，EF GH
∴四边形EFGH是平行四边形，
又EH//BD，AC⊥BD，
∴EF⊥EH，
∴平行四边形EFGH是矩形.
12. 若关于x的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为______．
【答案】
【解析】
【分析】把化为再结合题意得到解出即可．
【详解】解：，
．
令，则
∵方程（）有一个根为，
有一根为，
，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的含义，掌握利用整体未知数求解方程的根是解此题的关键．
13. 若关于的不等式有且只有四个整数解，且一次函数的图象不经过第三象限，则符合题意的整数的值为______．
【答案】，
【解析】
【分析】根据关于不等式组有且只有四个整数解得出的取值范围，再由一次函数的图象不经过第三象限得出取值范围，再找出其公共解集，取符合条件的整数即可；
【详解】解：解不等式组得：；
∵关于的不等式有且只有四个整数解
∴其整数解为：，，，；
∴，即：
∵一次函数的图象不经过第三象限
∴
解得：
由①②可得：
∴符合题意的整数的值为，；
故答案为：，；
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
14. 如图，点P是边长为6的等边内一点，连接，且，则的面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】将绕点A逆时针旋转得到，连接，则，，，得为等边三角形，得出，证明，结合，能证明，得到，设，则，根据勾股定理即可得，解得x后，利用三角形面积公式计算即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形的面积，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
【详解】将绕点A逆时针旋转得到，如图所示：
连接，则，，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
由勾股定理得，
∴，
解得（舍去），
∴的面积是．
故答案为：．
三、解答题（共11小题，共78分）
15. 解不等式组
【答案】
【解析】
【分析】分别解出每个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则求出其公共解即可．
【详解】解不等式①，得，，
解不等式②，去分母得，
移项，合并同类项得，
故不等式组的解集为：．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组．掌握求不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”是解题关键．
16. （1）解分式方程．
（2）化简，并在，，0，1，2中选取一个合适的数作为a的值代入求值．
【答案】（1）；（2），时，原式
【解析】
【分析】（1）去分母，转化为整式方程求解，结果要检验；
（2）将分子因式分解，除法转化为乘法，约分，再代值计算，代值时，a的取值不能使原式的分母、除式为0．
本题考查了解分式方程，分式的化简求值．（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
【详解】解：（1）
方程两边都乘，得．
解这个方程，得．
经检验，是原方程的根；
（2）
，
当，0，1，2时，原分式无意义，
∴当时，
原式．
17. 解一元二次方程：
（1）（配方法）；
（2）（公式法）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）以移项，再配方，开方，最后求解即可；
（2）先确定a、b、c的值，再求出根的判别式，最后将a、b、c的值代入求根公式即可求解．
【小问1详解】
解：，
移项，得：，
配方，得：，即，
开方，得：或，
解得：，；
【小问2详解】
解：，
，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】本题主要考查了用配方法和公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握完全平方公式，以及求根公式．
18. 尺规作图在内找一点P，使点P到A，B两点的距离相等，并且点P到点C的距离等于线段的长．

【答案】见解析
【解析】
【分析】先作线段的垂直平分线，再以点C为圆心，以为半径画弧，与线段的垂直平分线相交于点P，则点P即为所求．
【详解】解：如图所示，点P即为所求，
【点睛】此题主要考查线段垂直平分线的作图，熟练掌握线段垂直平分线的作图方法是解题的关键．
19. 如图，在平面直角坐标系中，已知点．

（1）将沿着轴的方向平移得到，当点的对应点落在轴上时，画出的图形．
（2）将原点顺时针旋转后，点的对应点的坐标是___________．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据平移变换的性质找出对应点即可求解；
（2）根据旋转变换的性质找出点的对应点即可求解．
【小问1详解】
如图，即为所求．
【小问2详解】
如图所示，点对应点的坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平移变换的性质与旋转变换的性质，熟练掌握平移变换的性质与旋转变换的性质是解题的关键．
20. 如图，在四边形中，，，，垂足分别为，，且．求证：四边形为平行四边形．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】先证明∠BEA＝∠DFC＝90°，再由平行线的性质得∠BAC＝∠DCA，证明△BAE≌△DCF（ASA），得到AB＝CD，即可得出四边形ABCD是平行四边形．
【详解】证明：∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEA＝∠DFC＝90°，
∵，
∴∠BAC＝∠DCA，
在△BAE和△DCF中，
，
∴△BAE≌△DCF（ASA），
∴AB＝CD，
又∵，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
21. （1）已知可以被10到20之间的两个整数整除，求这两个整数．
（2）已知关于x的多项式有一个因式是，求实数k的值．
【答案】（1）15和17；（2）20
【解析】
【分析】（1）先对原式进行因式分解，然后即可求出这两个整数．
（2）设另一个因式为（x+n），根据多项式乘以多项式法则展开得出，得出方程，即可求出k值．
【详解】解：（1）原式=（216+1）（216-1）
=（216+1）（28+1）（24+1）（24-1）
=（216+1）（28+1）×17×15
则这两个数是15和17．
（2）设另一个因式为（x+n），
则，
则，
∴2n-5=3，-5n=-k，
解得：n=4，k=20．
【点睛】本题考查因式分解的应用，多项式乘以多项式法则，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
22. 如图，在平行四边形中，点E，F分别在上，且，点G，H为垂足，猜想与的大小关系，并证明你的猜想．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的性质．注意利用求解是解此题的关键．
首先连接，，易得，又由，，，利用面积法，即可证得结论．
【详解】证明：连接，，
点，分别在的边，上，
与共底，与共底，
，，
，
，，
，
，
．
23. 近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．
（1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？
（2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？
【答案】（1）甲、乙两种头盔的单价各是65元， 54元．
（2）购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元．
【解析】
【分析】（1）设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为元，根据题意，得，求解；
（2）设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w,则，解得，故最小整数解为，，根据一次函数增减性，求得最小值=．
【小问1详解】
解:设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为元，根据题意，得
解得，，
，
答：甲、乙两种头盔的单价各是65元， 54元．
【小问2详解】
解：设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w,
则，解得，故最小整数解为，
，
∵，则w随m的增大而增大，
∴时，w取最小值，最小值．
答：购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，一次函数的性质，一次函数的应用、一元一次不等式的应用；根据题意列出函数解析式，确定自变量取值范围是解题的关键．
24. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交两坐标轴于点A、B，直线与直线交于点C，与x轴交于点D，点D的坐标为1,0，点C的横坐标为4．
（1）求直线的函数解析式：
（2）将沿x轴方向平移，在y轴上存在点E，使得以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标，并直接写出平移方式．
【答案】（1）
（2）或 向右平移3个单位或向左平移11个单位或向左平移5个单位
【解析】
【分析】本题考查一次函数的综合应用，平行四边形的性质：
（1）求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出平面内一个点，使以A、C、D、F为顶点的四边形是平行四边形，再将点沿轴平移至点即可．
【小问1详解】
解：当时，，
∴点C的坐标为；
设直线的函数解析式为y=kx+bk≠0，
将点，代入，
得：，
所以
则直线函数解析式：；
【小问2详解】
解：设存在一个点，使以A、C、D、F为顶点的四边形是平行四边形，设点的坐标为，
∵，当时，，
解得：，
∴点A的坐标为．
若使以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形，分三种情况讨论：

①当为对角线时，记为点，
∵四边形为平行四边形，
∴，
解得，
所以的坐标为；
②当为对角线时，记为点，
∵四边形为平行四边形，
∴，
解得：，
∴点的坐标为（11，4）；
③当为对角线时，记为点，
∵四边形为平行四边形，
∴，
解得：，
∴点的坐标为；
综上所述，存在点F，使以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形，点F的坐标为或或．
把点沿轴移动到轴，得到或，即将向右平移3个单位或向左平移11个单位或向左平移5个单位，得到点或，则：以A、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形．
25.
问题提出：
(1)如图1，在中，，点、分别是，的中点，则的长为___；
问题探究：
(2)如图2，在中，，点在上，，点在上，，连接，、分别为、的中点，求的长度？
问题解决：
(3)西安高新区为了进一步提升周边居民的居住环境，拟在一个长方形的草坪内对角线右侧修建一个三角形池塘，如图，，，，为草坪入口，为草坪出口，在人行道的中点处有一个凉亭，在池塘处是一个观景台，游客从凉亭到出口的距离与从凉亭到观景台的距离相等吗？为什么？
【答案】（1）2；（2）；（3）相等，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据三角形中位线定理即可求解；
（2）连接，取的中点，连接并延长交于点，连接，过点作，交的延长线于点，根据中位线的性质求得，根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据勾股定理求得，进而在中，勾股定理即可求解；
（3）取的中点，的中点，连接，根据中位线的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，三角形的外角的性质，证明，即可证明，根据全等三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：（1）∵在中，，点、分别是，的中点，
∴，
故答案为：．
（2）如图所示，

连接，取的中点，连接并延长交于点，连接，过点作，交的延长线于点，
∵、分别为、的中点
∴，，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴在中，；
（3）解：相等，理由如下，
如图所示，取的中点，的中点，连接，

∵是的中点，
∴，，
∴，，
∴
∵，则，
∴，，
∴
∵，为的中点，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴．
即游客从凉亭到出口的距离与从凉亭到观景台的距离相等．
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键．