2024-2025学年第一学期浙江省杭州市九年级数学期中模拟练习试卷（解析卷）

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一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1.如果，那么的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据比例的性质即可得到结论．
【详解】∵＝，
∴可设a＝2k，b＝3k，
∴＝＝－．
故选B．
2 .小明和小华玩“石头、剪子、布”的游戏．若随机出手一次，则小华获胜的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小华获胜的情况数，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，小华获胜的情况数是3种，
∴小华获胜的概率是：=．
故选：A．
3. 如图，△ABC的顶点A、B、C、均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（ ）
A. 30°B. 45°C. 60°D. 70°
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：由题意可知，∠ABC和∠AOC是同弧所对的圆周角和圆心角，
所以∠AOC=2∠ABC，又因为∠ABC+∠AOC=90°，所以∠AOC=60°．
故选C．
4. 将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，则平移后的抛物线解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据图象向左平移加，向上平移加，可得答案．
【详解】解：将抛物线y=-x2向左平移3个单位，再向上平移5个单位，平移后抛物线的解析式是y=-（x+3）2+5，
故选：A．
如图，l1，l2，l3是一组平行线，直线AC，DF分别与这组平行线依次相交于点A，B，E，F．
若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理（两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得对应线段的长度成比例）及比例的性质即可得．
【详解】解：∵且直线AC、DF均被平行线所截，
∴ABBC=DEEF=23，
∴设DE=2k，则，
∴，
故选：C．
如图，直角坐标系中，，，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，
若线段，则点D与的位置关系为（ ）
A．点D在上B．点D在外C．点D在内D．无法确定
【答案】C
【分析】连接，作和的垂直平分线，交点为，则圆心的坐标为，然后求出的半径，比较即可解答．
【详解】解：如图：
连接，作和的垂直平分线，交点为2,0，
∴圆心M的坐标为2,0，
∵，
∴，
∵线段，
∴半径，
∴点D在内，
故选：C．
在项目化学习中，“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学
（两名男生，两名女生）中随机抽取两人，组成调查小组进行社会调查，
恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：设两名男生分别记为，，两名女生分别记为，，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果有种，
∴抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率为，
故选：D．
现有一张Rt△ABC纸片，直角边BC长为12cm，另一直角边AB长为24cm．
现沿BC边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图．已知剪得的纸条中有一张是正方形，
则这张正方形纸条是（ ）
A．第4张B．第5张C．第6张D．第7张
【答案】C
【分析】截取正方形以后所剩下的三角形与原三角形相似，根据相似三角形对应边上的比等于相似比即可求解．
【详解】
设这张正方形纸条是第n张.
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴=，
解得：n=6.
故答案选：C.
如图，已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，以下4个结论：
①；②；③，其中；④．
其中正确结论的有（ ）

A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【分析】此题主要考查了抛物线的图象与二次函数系数之间的关系，
由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，
然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，
分别观察，，时的函数值，
进而对所得结论进行判断即可．
【详解】解：由图象可知：，，
∵
∴，
∴，故①正确；
当时，，即，
当时，，即，
∴
则
即
∴所以②正确；
③当时，y的值最大．此时，
而当时，，其中，
所以
故，
即，故③错误．
④由对称知，当时的函数值与时的函数值相等，即，故④正确；
故选：B．
10.如图，已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
AE，DF分别是∠OAD与∠ODC的平分线，AE的延长线与DF相交于点G，则下列结论：
①AG⊥DF；②EF∥AB；③AB＝AF；④AB＝2EF．
其中正确的结论是（ ）

A．①②B．③④C．①②③D．①②③④
【答案】C
【分析】①证明∠DAE＝∠CDF，进而得∠DAF+∠ADG＝90°,便可判断①的正误;
②证明△AGF≌△AGD（ASA），得AG垂直平分DF,得ED＝EF，得∠EFD＝∠EDF＝∠CDF，得EF∥CD，便可判断②的正误;
③由△AGF≌△AGD得AF＝AD，便可判断③的正误;
④证明EF＝ED＝，由平行于三角形一边的直线所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例便可得AB与EF的数量关系，进而判断④的正误.
【详解】解：①∵四边形ABCD是正方形,
∴∠CAD＝∠BDC＝45°,
∵AE，DF分别是∠OAD与∠ODC的平分线,
∴∠DAE＝∠CDF,
∵∠ADF+∠CDF＝90°,
∴∠DAF+∠ADG＝90°,
∴∠AGD＝90°,即AG⊥DF,
故①结论正确;
②在△AGF和△AGD中,
,
∴△AGF≌△AGD（ASA）,
∴GF＝GD,
∵AG⊥DF,
∴EF＝ED,
∴∠EFD＝∠EDF＝∠CDF,
∴EF∥CD∥AB,
故②正确;
③∵△AGF≌△AGD（ASA）,
∴AD＝AF＝AB,
故③正确;
④∵EF∥CD,
∴∠OEF＝∠ODC＝45°,
∵∠COD＝90°,
∴EF＝ED＝,
∴,
∴AB＝CD＝（+1）EF,
故④错误.
故选：C.
二、填空题：本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．
11．在一个不透明的口袋中装有8个红球，若干个白球，这些球除颜色不同外其它都相同，
若从中随机摸出一个球，它是红球的概率为，则白球的个数为 ．
【答案】12
【分析】设该盒中白球的个数为个，根据意得，解此方程即可求得答案．
【详解】解：设该盒中白球的个数为个，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是分式方程的解，
所以该盒中白球的个数为12个，
故答案为：12．
如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网（网高0.8m），而且落在离网4m的位置上，
则根据图中的数据可知，球拍击球的高度为 m．
【答案】
【分析】根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即可知，
根据其相似比即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
（米，
故答案为：1.6．
如图1，A，B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢，如图2是其示意图，点O是圆心，半径r为，
点A，B是圆上的两点，圆心角，则的长为 m．（结果保留）
【答案】
【分析】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式．
由弧长公式：是弧长，是扇形圆心角的度数，是扇形的半径长），由此即可计算．
【详解】解：，半径为，
的长．
故答案为：．
14．如图，有长为的篱笆，一边利用墙（墙长不限），则围成的花圃的面积最大为 ．
【答案】48
【分析】本题考查了一元二次方程的实际问题及二次函数的综合运用，设篱笆的宽为x米，长为米，列出面积S与x的函数关系式，利用二次函数的性质求出最值即可．
【详解】解：设篱笆的宽为x米，长为米，
，
∵墙长不限，
当时，，S值最大，此时．
故答案为：48．
15．如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，
点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，
另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为
【答案】秒或4秒
【分析】此题应分两种情况讨论．（1）当△APQ∽△ABC时；（2）当△APQ∽△ACB时．
利用相似三角形的性质求解即可
【详解】解：（1）当△APQ∽△ABC时，
设用时t秒，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
，则AP=2t，CQ=3t，AQ=16-3t．
于是=，
解得，t=
（2）当△APQ∽△ACB时，，
设用t秒时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
则AP=2t，CQ=3t，AQ=16-3t．
于是，
解得t=4．
故答案为：秒或4秒．
如图，是半圆的直径，是半圆的弦，沿弦折叠交直径于点．
当时，则的长为______；
（2）当，时，则的长为______．
【答案】 ①. 5 ②. 4
【解析】
【分析】（1）连接CA、CD，由圆周角定理得，证明AC＝CD，∠ACB＝90°，
再由直角三角形的性质得CD＝BD＝5，则AC＝CD＝5，然后由勾股定理求解即可；
连接CA、CD，由圆周角定理得，则AC＝CD，过点C作CE⊥AB于E，则AE＝ED＝2，
再证△ACE∽△CBE，求出CE2＝AE•BE＝16，然后由勾股定理即可得出答案．
【详解】解：（1）连接CA、CD，如图1所示：
根据折叠的性质，弧CD所对的圆周角是∠CBD，
∵∠CBA＝∠CBD，
∴，
∴AC＝CD，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AD＝BD＝5，
∴AB＝AD+BD＝10，CD＝AB＝BD＝5，
∴AC＝CD＝5，
∴BC＝＝＝5，
故答案为：5；
（2）连接CA、CD，如图2所示：
根据折叠的性质，弧CD所对的圆周角是∠CBD，
∵∠CBA＝∠CBD，
∴，
∴AC＝CD，
过点C作CE⊥AB于E，
则AE＝ED＝AD＝×4＝2，
∴BE＝BD+DE＝6+2＝8，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠ACB＝∠AEC＝90°，
∴∠A+∠ACE＝∠ACE+∠BCE＝90°，
∴∠A＝∠BCE，
∴△ACE∽△CBE，
∴＝，
即CE2＝AE•BE＝2×8＝16，
在Rt△BCE中，BC＝＝＝4，
故答案为：4．
三、解答题：（本大题共10个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 防疫期间，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求．某校开设了A、B、C三个测温通道，某天早晨，该校小明和小丽两位同学将随机通过测温通道进入校园．
（1）小明从A测温通道通过的概率是________；
（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小丽从同一个测温通道通过的概率．
【答案】(1) ;(2) ．
【解析】
【分析】(1) 因为共开设了A、B、C三个测温通道，小明从A测温通道通过的概率是．
(2)根据题意画出树状图，再根据所得结果算出概率即可．
【详解】(1) 因为共开设了A、B、C三个测温通道，小明从A测温通道通过概率是，
故答案为：．
(2)由题意画出树状图：
由图可知，小明和小丽从同一个测温通道通过的概率=．
18．如图，已知的内接，为直径，于点，连接．
求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查圆周角定理，由圆周角定理，推出，，由垂直的定义得到，由三角形内角和定理推出．
【详解】是圆的直径，
，
∴，
，
，
∴，
，
．
19．如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．
【答案】48mm
【分析】设正方形EF=EG=ID=x，根据正方形的性质，得到EF∥BC，△AEF∽△ABC，列出比例式，代入计算即可．
【详解】∵ 四边形EFHG是正方形，AD是高，
∴ EF∥BC，四边形EGDI是矩形，
∴ EG=ID，
设正方形EF=EG=ID=x，
∴ △AEF∽△ABC，
∴，
∵ BC＝120mm，高AD＝80mm，
∴，
解得x=48，
故正方形的边长为48mm．
20．如图，为的直径，，交于点E，交于点E，，连接．
(1)求的度数；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质：
（1）等边对等角，求出的度数，根据直径所对的圆周角为直角，得到，进而得到，再根据角的和差关系即可得出结果；
（2）连接，圆周角定理，得到，三线合一，得到即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴；
（2）连接，
∵为的直径，
∴，
又∵，
∴．
21．某商店销售一种商品，经市场调查发现：在实际销售中，售价x为整数，且该商品的月销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价x（元/件）、月销售量y（件）、月销售利润w（元）的部分对应值如表：
注：月销售利润＝月销售量×（售价－进价）
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润；
(3)现公司决定每销售1件商品就捐赠m元利润（）给“精准扶贫”对象，要求：在售价不超过52元时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价x的增大而增大，求m的取值范围．
【答案】(1)y＝－10x＋7000
(2)4000元
(3)
【分析】（1）设出函数解析式，用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据表中数据可以求出每件进价，设该商品的月销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求出函数最值；
（3）根据总利润=（单件利润-m）×销售量列出函数解析式，再根据x≤52时，每天扣除捐赠后的日销售利润随售价x的增大而增大，利用函数性质求m的取值范围．
【详解】（1）解：设一次函数解析式为，
根据题意，得，
解得：，
所以y与x的函数表达式为；
（2）解：由表中数据知，每件商品进价为（元），
设该商品的月销售利润为w元，
则
，
∵，
∴当时，w最大，最大值为4000，
∴当该商品的售价是50元时，月销售利润最大，最大利润为4000元；
（3）解：根据题意得：
，
对称轴为直线，
∵，
∴当时，w随x的增大而增大，
∵时，每天扣除捐赠后的日销售利润随售价x的增大而增大，
∴，
解得：，
∵，
∴m的取值范围为．
22.课题学习：
【证明体验】
（1）如图1，在四边形中，点P为上一点，，求证：．
【思考探究】
（2）如图2，在四边形中，点P为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由．
【拓展延伸】
（3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）结论成立，证明见解析；（3）5；
【分析】（1）如图1，由可得，即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（2）如图2，由可得，即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题．
（3）证明，求出，再证，可求，进而解答即可．
【详解】解：（1）如图1，∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）成立，理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）∵， 等腰，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，（负根舍去）
∴．
23. 如图①，抛物线与x轴交与、两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设抛物线与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q．使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图②，P是线段上的一个动点．过P点作y轴的平行规交抛物线于E点，求线段长度的最大值：
【答案】(1)
(2)存在，
(3)
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求出C点坐标为：和抛物线可得其对称轴为：，利用待定系数法求出直线的解析式为：，连接，，，，利用勾股定理可得，则的周长为：，根据A、B两点关于抛物线对称轴对称，点Q在抛物线的对称轴上，可得，即，即当点、、三点共线时，可得到的周长最小，将代入直线的解析式中，即可求出点坐标；
（3）根据P是线段上的一个动点，设P点坐标为：，且，则可得点坐标为：，结合图象，根据题意有：，即，整理得：，则问题随之得解．
【详解】（1）解：将、代入中，
有：，
解得：；
即抛物线解析式为：；
（2）解：存在，理由如下：
令，即有：，则C点坐标为：，
由可得其对称轴为：，
设直线的解析式为：，
代入、有：
，解得：，
直线的解析式为：，
如图，连接，，，，
∵、，，
∴，
∴的周长为：，
∵A、B两点关于抛物线对称轴对称，点Q在抛物线的对称轴上，
∴，
∴，
即当点、、三点共线时，有最小，且为，
此时即可得到的周长最小，且为，
如图，
∵点Q在抛物线的对称轴上，
∴将代入直线的解析式中，
有：，
即Q点坐标为：；
（3）解：根据P是线段上的一个动点，设P点坐标为：，且，
∵轴，
∴点、的横坐标相同，均为m，
∵点在抛物线上，
∴点坐标为：，
结合图象，根据题意有：，
∴，
整理得：，
∵，且，
∴当时，，
即的最大值为：．
24 .如图，是的内接三角形，直径，，点D为线段上一个动点
（不运动至端点A、C），作于F，连接，并延长交于点H，连接．
(1)当经过圆心O时，求的长；
(2)求证：；
(3)求的最大值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】(1)根据题意，，，得到，证明，列比例式计算求解即可．
(2)根据两个角相等的三角形相似，再利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，证明．
(3) 连接，由(2)得，再证明，构造二次函数求解即可．
【详解】（1）∵ 直径，，
∴，
∴，，
∵ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）∵ 直径，
∴，
∵ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）连接，
由(2)得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵ 直径，，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴当时，的最大值为．
售价x（元/件）
40
45
月销售量y（件）
300
250
月销售利润w（元）
3000
3750