高三数学一轮复习第四章三角函数与解三角形第七课时正弦定理、余弦定理学案

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正弦、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则
[常用结论]
(1)三角形内角和定理
在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：A+B2＝π2－C2．
(2)三角形中的三角函数关系
①sin (A＋B)＝sin C；②cs (A＋B)＝－cs C；
③sin A+B2＝cs C2；④cs A+B2＝sin C2．
[典例1] △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2B＋sin2C－sin2A＝sinB sin C．
(1)求A；
(2)若a＝4，△ABC的面积为43，求b＋c．
[解] (1)因为sin2B＋sin2C－sin2A＝sinB sin C，所以b2＋c2－a2＝bc，
则cs A＝b2+c2-a22bc＝bc2bc＝12，
因为0＜A＜π，所以A＝π3．
(2)因为△ABC的面积为43，
所以12bc sin A＝34bc＝43，即bc＝16．
因为b2＋c2－a2＝bc，a＝4，所以b2＋c2＝32，
所以b＋c＝b2+c2+2bc＝64＝8．
解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
跟进训练1 (1)(2024·杭州二中模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b sin 2A＝a sin B，且c＝2b，则ab等于( )
A．2 B．3 C．2 D．3
(2)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a cs C＋3a sin C＝b＋c，则A＝________．
(1)D (2)60° [(1)由正弦定理及b sin 2A＝asin B，得2sin B·sin Acs A＝sin Asin B，又sin A≠0，sin B≠0，则cs A＝12．又c＝2b，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccs A＝b2＋4b2－4b2×12＝3b2，得ab＝3．故选D．
(2)由正弦定理及a cs C＋3a sin C＝b＋c得，
sin A cs C＋3sin A sin C＝sin B＋sin C，
即sin A cs C＋3sin A sin C＝sin (A＋C)＋sin C⇒3sin A sin C－cs A sin C＝sin C，
因为sin C＞0，
所以3sin A－cs A＝1⇒sin (A－30°)＝12，
因为0°＜A＜180°，所以－30°＜A－30°＜150°，
所以A－30°＝30°，所以A＝60°．]
考点二 平面图形中的几何度量问题
三角形常用面积公式
(1)S＝12a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A；
(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．
[常用结论]
(1)三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝b cs C＋c cs B；b＝a cs C＋c cs A；c＝b cs A＋a cs B．
(2)三角形中的大角对大边
在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B．
[典例2] (2024·嘉兴测试)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2b-ca＝csCcsA．
(1)求角A的大小；
(2)若a＝14，b＋c＝42，求△ABC的面积．
[解] (1)根据正弦定理，
得2b-ca＝csCcsA⇔2sinB-sinCsinA＝csCcsA，
整理得2sin B cs A＝cs C sin A＋sin C cs A，
即2sin B cs A＝sin (A＋C)，
而A＋C＝π－B，所以2sin B cs A＝sin B，
又sin B≠0，解得cs A＝12，
又A∈(0，π)，故A＝π3．
(2)根据余弦定理，
得a2＝b2＋c2－2bc cs A＝(b＋c)2－2bc－2bc cs A，
又a＝14，b＋c＝42，A＝π3，
故(14)2＝(42)2－2bc－2bc×12，解得bc＝6，
所以S△ABC＝12bc sin A＝12×6×sin π3＝332．
与面积有关的问题，要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
【教师备用】
(2024·郑州模拟)如图，在△ABC中，AB＝9，cs B＝23，点D在BC边上，AD＝7，∠ADB为锐角．
(1)求BD；
(2)若∠BAD＝∠DAC，求sin C的值及CD的长．
[解] (1)在△ABD中，由余弦定理得
AB2＋BD2－2AB·BD·cs B＝AD2，
整理得BD2－12BD＋32＝0，
所以BD＝8或BD＝4．
当BD＝4时，cs ∠ADB＝16+49-812×4×7＝－27，
则∠ADB>π2，不符合题意，舍去；
当BD＝8时，cs ∠ADB＝64+49-812×8×7＝27，
则∠ADB<π2，符合题意，
所以BD＝8．
(2)在△ABD中，
cs ∠BAD＝AB2+AD2-BD22AB·AD＝92+72-822×9×7＝1121，
所以sin ∠BAD＝8521，
又sin ∠ADB＝357，
所以sin C＝sin (∠ADB－∠CAD)
＝sin (∠ADB－∠BAD)
＝sin ∠ADB cs ∠BAD －cs ∠ADB sin ∠BAD
＝357×1121－27×8521＝175147，
在△ACD中，由正弦定理得CDsin ∠CAD＝ADsinC，
即CD＝ADsinC·sin ∠CAD＝7175147×8521＝39217．
跟进训练2 (1)(2024·荆州中学月考)已知△ABC的三个角A，B，C成等差数列，三条边a，b，c成等差数列，且b＝2，则△ABC的面积为( )
A．3 B．2
C．5 D．3
(2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b cs B＝a cs C＋c cs A，b＝2，则△ABC面积的最大值是( )
A．1 B．3
C．2 D．4
(1)A (2)B [(1)法一：由题意可得，A＋C＝2B，a＋c＝2b，由A＋B＋C＝π，b＝2，得B＝π3，a＋c＝4，
又b2＝a2＋c2－2ac cs B＝(a＋c)2－3ac，
所以ac＝4，则S△ABC＝12ac sin B＝3．
法二：依题意，令△ABC为正三角形，则S△ABC＝34×22＝3．故选A．
(2)由正弦定理可得2sin B cs B＝sin A cs C＋sin Ccs A＝sin (A＋C)＝sin B，因为sin B≠0，所以2cs B＝1，即cs B＝12，所以B＝π3，又由余弦定理可得2ac cs B＝a2＋c2－b2，即ac＝a2＋c2－4，由基本不等式ac＝a2＋c2－4≥2ac－4，所以ac≤4，当且仅当a＝c时，等号成立，从而S△ABC＝12ac sin B＝34ac≤3．故选B．]
考点三 判断三角形的形状
[典例3] (2024·衡水模拟)在△ABC中，已知sinA+sinCsinB＝b+ca且还满足①a(sin A－sin B)＝(c－b)(sin C＋sin B)；②b cs A＋a cs B＝c sin C 中的一个条件，试判断△ABC的形状，并写出推理过程．
[解] 由sinA+sinCsinB＝b+ca及正弦定理得a+cb＝b+ca，
即ac＋a2＝b2＋bc，
∴a2－b2＋ac－bc＝0，
∴(a－b)(a＋b＋c)＝0，∴a＝b．
若选①，则△ABC为等边三角形．
由a(sin A－sin B)＝(c－b)(sin C＋sin B)及正弦定理，得a(a－b)＝(c－b)(c＋b)，即a2＋b2－c2＝ab．
∴cs C＝a2+b2-c22ab＝12，
又C∈(0，π)，∴C＝π3．
∴△ABC为等边三角形．
若选②，则△ABC为等腰直角三角形．
∵b cs A＋a cs B＝b·b2+c2-a22bc＋a·a2+c2-b22ac＝2c22c＝c＝c sin C，
∴sin C＝1，∴C＝90°，
∴△ABC为等腰直角三角形．
判定三角形形状的两种常用途径
跟进训练3 (2024·重庆八中期末)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若tanBb2＝tanCc2，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形或直角三角形
B．等腰直角三角形
C．等腰三角形
D．直角三角形
A [因为tanBb2＝tanCc2，所以sinBb2csB＝sinCc2csC，由正弦定理可得sinBsin2BcsB＝sinCsin2CcsC，
即sin B cs B＝sin C cs C，
则sin 2B＝sin 2C，
所以2B＝2C或2B＋2C＝π，
所以B＝C或B＋C＝π2，
所以△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．故选A．]
课后习题(二十五) 正弦定理、余弦定理
1．(人教A版必修第二册P47例7改编)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝π6，B＝π4，a＝1，则b＝( )
A．2 B．1
C．3D．2
D [由asinA＝bsinB得b＝asinBsinA＝sinπ4sinπ6＝22×2＝2．]
2．(人教A版必修第二册P44练习T2改编)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝( )
A．π6 B．π3
C．2π3 D．5π6
C [因为在△ABC中，AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，所以由余弦定理的推论得cs ∠BAC＝b2+c2-a22bc＝9+25-4930＝－12，因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝2π3，故选C．]
3．(人教A版必修第二册P47例8改编)在△ABC中，已知B＝45°，b＝2，c＝2，则C＝________．
30° [由正弦定理得sin C＝csinBb＝2sin45°2＝12，
因为b＞c，B＝45°，所以C＝30°．]
4．(人教A版必修第二册P44练习T2改编)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝4，b＝5，c＝6，则cs A＝__________，△ABC的面积为__________．
34 1574 [依题意得cs A＝b2+c2-a22bc＝34，
所以sin A＝1-cs2A＝74，
所以△ABC的面积为12bc sinA＝1574．]
5．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A＝2π3，a＝2，b＝233，则B＝( )
A．π3 B．5π6
C．π6或5π6 D．π6
D [∵A＝2π3，a＝2，b＝233，∴由正弦定理asinA＝bsinB可得，
sin B＝basin A＝2332×32＝12．
∵A＝2π3，∴B＝π6．]
6．在△ABC中，cs C＝23，AC＝4，BC＝3，则cs B＝( )
A．19 B．13
C．12 D．23
A [由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cs C＝16＋9－2×4×3×23＝9，AB＝3，
所以cs B＝9+9-162×9＝19，
故选A．]
7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为a2+b2-c24，则C等于( )
A．π2 B．π3
C．π4 D．π6
C [根据题意及三角形的面积公式知12ab sin C＝a2+b2-c24，
所以sin C＝a2+b2-c22ab＝cs C，
所以在△ABC中，C＝π4．]
8．(2024·北京西城区模拟)在△ABC中，C＝60°，a＋2b＝8，sin A＝6sin B，则c等于( )
A．35B．31
C．6 D．5
B [因为sin A＝6sin B，由正弦定理可得a＝6b，
又a＋2b＝8，所以a＝6，b＝1，因为C＝60°，
所以c2＝a2＋b2－2ab cs C，即c2＝62＋12－2×1×6×12，解得c＝31．]
9．(多选)(2024·张家口质检)下列命题中，正确的是( )
A．在△ABC中，A>B，则sin A>sin B
B．在锐角△ABC中，不等式sin A>cs B恒成立
C．在△ABC中，若a cs A＝b cs B，则△ABC必是等腰直角三角形
D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形
ABD [对于A，由A>B，可得a>b，利用正弦定理可得sin A>sin B，故正确；
对于B，在锐角△ABC中，A，B∈0，π2，
∵A＋B>π2，∴π2>A>π2－B>0，
∴sin A>sin π2-B＝cs B，
∴不等式sin A>cs B恒成立，故正确；
对于C，在△ABC中，由a cs A＝b cs B，利用正弦定理可得sin A cs A＝sin B cs B，
∴sin 2A＝sin 2B，
∵A，B∈(0，π)，∴2A＝2B或2A＝π－2B，
∴A＝B或A＋B＝π2，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，故错误；
对于D，由于B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得b2＝ac＝a2＋c2－ac，
可得(a－c)2＝0，解得a＝c，可得A＝C＝B＝60°，故正确．]
10．在△ABC中，a＝2，b＝3，C＝60°，则c＝________，△ABC的面积＝________．
7 332 [易知c＝4+9-2×2×3×12＝7，△ABC的面积等于12×2×3×32＝332．]
11．在△ABC中，已知a2＋b2－c2＝ab，且2cs A sin B＝sin C，则该三角形的形状是________．
等边三角形 [∵a2＋b2－c2＝ab，
∴cs C＝a2+b2-c22ab＝12，
又C∈(0，π)，∴C＝π3，
由2cs A sin B＝sin C，得cs A＝sinC2sinB＝c2b＝c2+b2-a22bc，∴b2＝a2，即b＝a，又C＝π3，
故三角形为等边三角形．]
12．(2024·南平模拟)在①2c cs B＝2a－b，②△ABC的面积为34(a2＋b2－c2)，③cs2A－cs2C＝sin2B－sinA sin B这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且________．
(1)求角C的大小；
(2)若c＝2且4sin A sin B＝3，求△ABC的面积．
[解] (1)若选条件①2c cs B＝2a－b，则2c·a2+c2-b22ac＝2a－b，即a2＋b2－c2＝ab，
所以cs C＝12，又因为C∈(0，π)，所以C＝π3．
若选条件②△ABC的面积为34(a2＋b2－c2)，
则34(a2＋b2－c2)＝12ab sin C，
即sin C＝3cs C，所以tan C＝3，
又因为C∈(0，π)，所以C＝π3．
若选条件③cs2A－cs2C＝sin2B－sinA sin B，
则(1－sin2A)－(1－sin2C)＝sin2B－sinA sin B，
即sin2A＋sin2B－sin2C＝sinA sin B，
即a2＋b2－c2＝ab，
所以cs C＝12，
又因为C∈(0，π)，所以C＝π3．
(2)因为c＝2，所以asinA＝bsinB＝csinC＝2sin π3＝433，
所以sin A＝34a，sin B＝34b，
又因为4sin A sin B＝3，所以ab＝4，
所以△ABC的面积为12ab sin C＝3．
定理
正弦定理
余弦定理
内容
asinA＝bsinB＝csinC＝2R
a2＝b2＋c2－2bc cs A；
b2＝c2＋a2－2ca cs B；
c2＝a2＋b2－2ab cs C
变形
(1)a＝2R sin A，
b＝2R sin B，
c＝2R sin C；
(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(3)a+b+csinA+sinB+sinC＝asinA＝2R
cs A＝b2+c2-a22bc；
cs B＝c2+a2-b22ac；
cs C＝a2+b2-c22ab