人教b版高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形第7节正弦定理与余弦定理的应用学案含解析

第7节　正弦定理与余弦定理的应用

一、教材概念·结论·性质重现

1．实际测量中的有关名词、术语

2．方位角

从指北方向按顺时针转到目标方向线所成的水平角．如点B的方位角为α(如图所示)．

方位角的取值范围：0°～360°.

东北方向是北偏东45°或东偏北45°的方向．

3．方向角

从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.

解三角形应用问题的步骤

二、基本技能·思想·活动体验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)若从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＝β.(　√　)

(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(　×　)

(3)若点P在点Q的北偏东44°，则点Q在点P的东偏北46°.(　×　)

(4)方位角大小的范围是[0，π)，方向角大小的范围是.(　×　)

2．如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)

A．北偏东10° B．北偏西10°

C．南偏东80° D．南偏西80°

D　解析：由条件及图可知，∠A＝∠CBA＝40°，

又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，

因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°.

3．已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为(　　)

A．10 km B．10 km 

C．10 km D．10 km

D　解析：由余弦定理得，AC2＝AB2＋CB2－2AB·CB·cos 120°＝102＋202－2×10×20×＝700.所以AC＝10(km)．

4．如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D.若测得CD＝ km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为________ km.

　解析：因为∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，

所以∠DAC＝60°，所以AC＝CD＝ km.

在△BCD中，∠DBC＝180°－∠CDB－∠ACD－∠ACB＝45°，

由正弦定理，得BC＝·sin∠BDC＝·sin 30°＝(km)．

在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 45°＝＋－2×××＝.所以AB＝ km.所以A，B两点间的距离为 km.

5．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为________．

40 m　解析：设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝x.在△BCD中，由余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝40或x＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40 m.

考点1　解三角形的实际应用——应用性

考向1　测量距离问题

如图，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登．已知∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1 km，AC＝3 km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1 250 m，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰．(即从B点出发到达C点)

解：在△ABD中，由题意知，∠ADB＝∠BAD＝30°，所以AB＝BD＝1 km.

因为∠ABD＝120°，由正弦定理＝，解得AD＝ km.

在△ACD中，由AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos 150°，

得9＝3＋CD2＋2××CD.

即CD2＋3CD－6＝0，解得CD＝ km，

BC＝BD＋CD＝(km)．

两个小时小王和小李可徒步攀登1 250×2＝2 500(m)，即2.5 km，

而<＝＝2.5，

所以两位登山爱好者可以在两个小时内徒步登上山峰．

1．若将本例条件“BD＝1 km，AC＝3 km”变为“BD＝200 m，CD＝300 m”，其他条件不变，求这条索道AC的长．

解：在△ABD中，BD＝200，∠ABD＝120°.

因为∠ADB＝30°，所以∠DAB＝30°.

由正弦定理，得＝，

所以＝.

所以AD＝＝200 (m)．

在△ABC中，DC＝300 m，∠ADC＝150°，

所以AC2＝AD2＋DC2－2AD×DC×cos∠ADC＝(200)2＋3002－2×200×300×cos 150°＝390 000，所以AC＝100 m.

故这条索道AC长为100 m.

2．若将本例条件“∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1 km，AC＝3 km”变为“∠ADC＝135°，∠CAD＝15°，AD＝100 m，作CO⊥AB，垂足为O，延长AD交CO于点E，且CE＝50 m，如图”，求角θ的余弦值．

解：在△ACD中，∠ADC＝135°，

∠CAD＝15°，所以∠ACD＝30°.

由正弦定理可得AC＝＝100.

在△ACE中，由正弦定理可得sin∠CEA＝＝－1，所以cos θ＝cos＝sin∠CEA＝－1.

距离问题的解题思路

这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．

注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正弦、余弦定理要恰当．

考向2　测量高度问题

如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为________m/s(精确到0.1)．参考数据：≈1.414，≈2.236.

22.6　解析：因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，

所以∠BAD＝60°，∠CAD＝45°.

设这辆汽车的速度为v m/s，则BC＝14v.

在Rt△ABD中，AB＝＝＝200.

在Rt△ACD中，AC＝＝＝100.

在△ABC中，由余弦定理，

得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC，

所以(14v)2＝(100)2＋2002－2×100×200×cos 135°，所以v＝≈22.6，

所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.

解决高度问题的注意事项

(1)在解决有关高度问题时，理解仰角、俯角是关键．

(2)高度问题一般是把它转化成解三角形问题，要注意三角形中的边角关系的应用．若是空间的问题要注意空间图形向平面图形的转化．

1．如图是改革开放四十周年大型展览的展馆——国家博物馆．现欲测量博物馆正门柱楼顶部一点P离地面的高度OP(点O在柱楼底部)．在地面上的A，B两点测得点P的仰角分别为30°，45°，且∠ABO＝60°，AB＝50米，则OP为(　　)

A．15米 B．25米 

C．35米 D．45米

B　解析：如图所示：

由于∠OAP＝30°，∠PBO＝45°，∠ABO＝60°，AB＝50米，OP⊥AO，OP⊥OB.

设OP＝x，则OA＝x，OB＝x，

在△OAB中，由余弦定理得OA2＝OB2＋AB2－2OB·AB·cos∠ABO，

即(x)2＝502＋x2－2×50x×，

所以x2＋25x－1 250＝0，解得x＝25或x＝－50(舍)．

2．圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆(称为“表” )和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭” )．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为26.5°，夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即BD的长)为a，则表高(即AC的长)为(　　)

A.   B.

C.   D.

D　解析：由题意得，∠BAD＝73.5°－26.5°＝47°.在△ABD中，由正弦定理可得，＝，即＝，

则AD＝.

在△ACD中，＝sin∠ADC＝sin 73.5°，

所以AC＝.故选D.

考点2　正余弦定理在平面几何中的应用

(2020·青岛模拟)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，AD＝，BC＝.

(1)若CD＝1＋，求四边形ABCD的面积；

(2)若sin∠BCD＝，∠ADC∈，求sin∠ADC.

解：(1)如图，连接BD，在Rt△ABD 中，由勾股定理可得，BD2＝AB2＋AD2＝4，所以BD＝2.

在△BCD中，由余弦定理可得，

cos C＝

＝＝.

因为C为三角形的内角，故C＝，

所以S△ABD＝AB·AD＝×1×＝，

S△BCD＝BC·CDsin C＝××(1＋)×＝，

故四边形ABCD的面积S＝.

(2)在△BCD中，由正弦定理可得＝，

所以sin∠BDC＝＝.

因为∠ADC∈，

所以∠BDC∈，

所以cos∠BDC＝，

在Rt△ABD中，tan∠ADB＝＝，

故∠ADB＝，

所以sin∠ADC＝sin＝×＋×＝.

正余弦定理解平面几何问题的注意点

(1)图形中几何性质的挖掘往往是解题的切入点，或是问题求解的转折点．

(2)根据条件或图形，找出已知，未知及求解中需要的三角形，用好三角恒等变换公式，运用正弦定理，余弦定理解题．

(3)养成应用方程思想解题的意识．

1．如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)，AB＝5，BC＝8，CD＝3，AD＝5，且∠B与∠D互补，则AC的长为(　　)

A．7 km B．8 km

C．9 km D．6 km

A　解析：在△ACD中，由余弦定理得cos D＝＝.

在△ABC中，由余弦定理得cos B＝＝.

因为∠B＋∠D＝180°，所以cos B＋cos D＝0，即＋＝0，解得AC2＝49.

所以AC＝7.

2．(2021·八省联考)在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD＝BD＝1.

(1)若AB＝，求BC；

(2)若AB＝2BC，求cos∠BDC.

解：(1)在△ABD中，由余弦定理可得cos∠ABD＝＝.

∵CD∥AB，∴∠BDC＝∠ABD.

在△BCD中，由余弦定理可得BC2＝BD2＋CD2－2BD·CDcos∠BDC＝，所以BC＝.

(2)设BC＝x，则AB＝2x.

在△ABD中，cos∠ABD＝＝＝x；

在△BCD中，cos∠BDC＝＝.

由(1)可知，∠BDC＝∠ABD，

所以，cos∠BDC＝cos∠ABD，即＝x，

整理可得x2＋2x－2＝0.解得x＝－1，其中x>0.

因此，cos∠BDC＝x＝－1.

考点3　解三角形与三角函数的综合问题

(2020·合肥模拟)已知函数f(x)＝cos2x＋sin(π－x)sin－.

(1)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间；

(2)锐角△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知f(A)＝－1，a＝2，求△ABC的面积的最大值．

解：(1)f(x)＝－sin xcos x－＝cos 2x－sin 2x＝－sin.

令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，

得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，

所以函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间为和.

(2)因为△ABC为锐角三角形，

所以0<A<，所以－<2A－<.

又f(A)＝－sin＝－1，

所以2A－＝，即A＝.

因为a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，当且仅当b＝c＝2时，等号成立．

又a＝2，所以bc≤4，

所以S△ABC＝bcsin A≤.

即△ABC的面积的最大值为.

解三角形与三角函数综合问题的一般步骤

已知函数f(x)＝sin 2x－cos2x－(x∈R)，设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c＝，f(C)＝0.

(1)求角C；

(2)若向量m＝(1，sin A)与向量n＝(2，sin B)共线，求△ABC的周长．

解：(1)f(x)＝sin 2x－cos2x－

＝sin 2x－cos 2x－1

＝sin－1.

因为f(C)＝sin－1＝0且C为三角形内角，所以C＝.

(2)若向量m＝(1，sin A)与向量n＝(2，sin B)共线，

则sin B－2sin A＝0.

由正弦定理得b＝2a，

由余弦定理得cos＝＝，

解得a＝1，b＝2，故△ABC的周长为3＋.