高三数学一轮复习第四章三角函数与解三角形第五课时三角函数的图象与性质学案

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1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]图象的五个关键点是：(0，0)，π2，1，(π，0)，3π2，-1，(2π，0)．
余弦函数y＝cs x，x∈[0，2π]图象的五个关键点是：(0，1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1)．
2．三角函数的定义域、值域
[典例1] (1)(易错题)函数y＝1tanx-1的定义域为________．
(2)函数y＝sin x－cs x+π6的值域为________．
(1)xx≠π4+kπ，且x≠π2+kπ，k∈Z
(2)[－3，3] [(1)要使函数有意义，必须有tanx-1≠0，x≠π2+kπ，k∈Z，即x≠π4+kπ，k∈Z，x≠π2+kπ，k∈Z．
故函数的定义域为x│x≠π4+kπ，且x≠π2+kπ，k∈Z．
(2)∵y＝sin x－cs x+π6＝sin x－32cs x＋12sin x＝32sin x－32cs x＝3sin x-π6，
∴函数y＝sin x－cs x+π6的值域为[－3，3]．]
(1)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式，本例(1)容易忽视tan x自身的定义域而致误；
(2)三角函数值域的常见求法：①把所给的三角函数式变换成y＝A sin (ωx＋φ)的形式求值域；②把sin x或cs x看作一个整体，转换成二次函数求值域．
跟进训练1 (1)(2024·江西高三模拟)已知函数f (x)＝4sin 3x-π6的定义域为[0，m]，值域为[－2，4]，则m的取值范围是 ( )
A．2π9，4π9 B．2π9，4π9
C．2π9，4π9 D．2π9，4π9
(2)(2024·滨州高三入学考试)函数y＝tan2x－tanx＋2，x∈-π4，π4的值域为( )
A．74，+∞ B．74，2
C．74，4 D．[2，4]
(1)C (2)C [(1)因为0≤x≤m，所以－π6≤3x－π6≤3m－π6，
因为－2≤f (x)≤4，所以π2≤3m－π6≤7π6，
解得2π9≤m≤4π9，
故m的取值范围是2π9，4π9．故选C．
(2)函数y＝tan2x－tanx＋2＝tanx-122＋74，由x∈-π4 ，π4，得tan x∈[－1，1]，
所以函数的值域为74，4．故选C．]
【教师备用】
函数y＝sin x－cs x＋sin x cs x的值域为________．
-12-2，1 [设t＝sin x－cs x，
则t2＝sin2x＋cs2x－2sinx cs x，
sin x cs x＝1-t22，且－2≤t≤2．
∴y＝－t22＋t＋12＝－12(t－1)2＋1．
当t＝1时，ymax＝1；
当t＝－2时，ymin＝－12-2．
∴函数的值域为-12-2，1．]
考点二 三角函数的周期性、奇偶性、称性
[常用结论]
若f (x)＝A sin (ωx＋φ)(A，ω≠0)，则：
(1)f (x)为偶函数的充要条件是φ＝π2＋kπ(k∈Z)．
(2)f (x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
[典例2] (1)(2024·杭州模拟)设函数f (x)＝2sin 2x-π3＋34，则下列叙述正确的是( )
A．f (x)的最小正周期为2π
B．f (x)的图象关于直线x＝π12对称
C．f (x)在π2，π上的最小值为－54
D．f (x)的图象关于点2π3，0对称
(2)函数f (x)＝3sin 2x-π3+φ＋1，φ∈(0，π)，且f (x)为偶函数，则φ＝________，f (x)图象的对称中心为________．
(1)C (2)5π6 π4+kπ2，1，k∈Z [(1)对于A，f (x)的最小正周期为2π2＝π，故A错误；
对于B，∵sin 2×π12-π3＝－12≠±1，故B错误；
对于C，当x∈π2，π时，2x－π3∈2π3，5π3，
∴sin 2x-π3∈-1，32，
∴2sin 2x-π3＋34∈-54，3+34，
∴f (x)在π2，π上的最小值为－54，故C正确；
对于D，∵f 2π3＝2sin 2×2π3-π3＋34＝34，
∴f (x)的图象关于点2π3，34对称，故D错误．
(2)若f (x)＝3sin 2x-π3+φ＋1为偶函数，
则－π3＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，
即φ＝5π6＋kπ，k∈Z，
又∵φ∈(0，π)，∴φ＝5π6．
∴f (x)＝3sin 2x+π2＋1＝3cs 2x＋1，
由2x＝π2＋kπ，k∈Z得x＝π4＋kπ2，k∈Z，
∴f (x)图象的对称中心为π4+kπ2，1，k∈Z．]
(1)函数y＝A sin (ωx＋φ)与y＝A cs (ωx＋φ)的最小正周期T＝2πω，y＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期T＝πω．
(2)三角函数中奇函数一般可化为y＝A sin ωx或y＝A tan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝A cs ωx的形式．
跟进训练2 (多选)已知函数f x＝2sin (2x＋φ)(0<φ<π)的图象关于直线x＝π对称，则( )
A．f x是奇函数
B．f x的最小正周期是π
C．f x的一个对称中心是-2π，0
D．f x的一个递增区间是2，3
BD [∵f (x)＝2sin (2x＋φ)的图象关于直线x＝π对称，
∴2sin (2π＋φ)＝±2，
∴2π＋φ＝2kπ＋π2或2kπ－π2．
∵0<φ<π，∴φ＝π2，
∴f (x)＝2sin 2x+π2＝2cs 2x，A错误；
T＝2π2＝π，B正确；
当x＝－2π时，f (x)＝2cs 4π＝2≠0，C错误；
对于D，由于(2，3)⊆π2，π，f (x)在π2，π上单调递增，D正确．故选BD．]
考点三 三角函数的单调性
求三角函数的单调区间
[典例3] 函数f (x)＝sin -2x+π3的单调递减区间为________．
kπ-π12，kπ+5π12(k∈Z) [f (x)＝sin -2x+π3＝sin -2x-π3＝－sin 2x-π3，
由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，
得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z．
故所求函数的单调递减区间为kπ-π12，kπ+5π12(k∈Z)．]
根据单调性求参数
[典例4] (2024·湖南师大附中月考)若函数f (x)＝23sin ωx cs ωx＋2sin2ωx＋cs2ωx在区间-3π2，3π2上单调递增，则正数ω的最大值为( )
A．18 B．16
C．14 D．13
B [法一：因为f (x)＝23sin ωx cs ωx＋2sin2ωx＋cs2ωx＝3sin 2ωx＋1在区间-3π2，3π2上单调递增，
所以-3ωπ≥-π2，3ωπ≤π2．解得ω≤16，
所以正数ω的最大值是16．
法二：易知f (x)＝3sin 2ωx＋1，可得f (x)的最小正周期T＝πω，
所以-π4ω≤-3π2，π4ω≥3π2，
解得ω≤16．所以正数ω的最大值是16．]
(1)若ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错；
(2)已知三角函数的单调区间求参数，先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
跟进训练3 (1)函数y＝－tan 2x-3π4 的单调递减区间为________．
(2)将函数f (x)＝2sin ωx-π3(ω>0)的图象向左平移π3ω个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)在-π6，π4上单调递增，则ω的最大值为________．
(1)π8+kπ2，5π8+kπ2(k∈Z) (2)2 [(1)因为y＝tan x的单调递增区间为-π2+kπ，π2+kπ(k∈Z)，
所以由－π2＋kπ＜2x－3π4＜π2＋kπ(k∈Z)，
得π8＋kπ2所以y＝－tan 2x-3π4的单调递减区间为π8+kπ2，5π8+kπ2(k∈Z)．
(2)将函数f (x)＝2sin ωx-π3(ω>0)的图象向左平移π3ω个单位长度，得g(x)＝f x+π3ω＝2sin ωx+π3ω-π3＝2sin ωx的图象，
又g(x)在-π6，π4上单调递增，
故－π6ω≥－π2，且π4ω≤π2，
又ω>0，解得0<ω≤2．故ω的最大值为2．]
【教师备用】
若函数f (x)＝sin ωx(ω＞0)在区间0，π3上单调递增，在区间π3，π2上单调递减，则ω＝________．
32 [∵f (x)＝sin ωx(ω＞0)过原点，
∴当0≤ωx≤π2，即0≤x≤π2ω时，y＝sin ωx单调递增；
当π2≤ωx≤3π2，即π2ω≤x≤3π2ω时，y＝sin ωx单调递减．
由f (x)＝sin ωx(ω＞0)在0，π3上单调递增，在π3，π2上单调递减，知π2ω＝π3，∴ω＝32．]
课后习题(二十三) 三角函数的图象与性质
1．(人教A版必修第一册P201例2改编)若函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则( )
A．T＝π，A＝1 B．T＝2π，A＝1
C．T＝π，A＝2 D．T＝2π，A＝2
A [T＝2π2＝π，A＝2－1＝1，故选A．]
2．(多选)(人教B版必修第三册P59练习B T5改编)已知函数f (x)＝tan 2x-π4，下列结论正确的是( )
A．函数f (x)的最小正周期为π2
B．函数f (x)的定义域为x│x≠kπ2＋π8，k∈Z
C．函数f (x)图象的对称中心为kπ4+π8，0，k∈Z
D．函数f (x)的单调递增区间为kπ2-π8，kπ2+3π8，k∈Z
ACD [对于A，函数f (x)＝tan 2x-π4的最小正周期T＝π2，所以A正确；对于B，令2x－π4≠π2＋kπ，k∈Z，得x≠3π8＋kπ2，k∈Z，即函数f (x)的定义域为x│x≠3π8＋kπ2，k∈Z，所以B错误；对于C，令2x－π4＝kπ2，k∈Z，解得x＝π8＋kπ4，k∈Z，所以函数f (x)的图象关于点kπ4+π8，0，k∈Z对称，所以C正确；对于D，令kπ－π2<2x－π43．(人教A版必修第一册P207练习T3改编)下列关于函数y＝4sin x，x∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是( )
A．在[－π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减
B．在-π2，π2上单调递增，在-π，-π2及π2，π上单调递减
C．在[0，π]上单调递增，在[－π，0]上单调递减
D．在π2，π及-π，-π2上单调递增，在-π2，π2上单调递减
B [函数y＝4sin x在-π，-π2和π2，π上单调递减，在-π2，π2上单调递增．故选B．]
4．(人教A版必修第一册P205例3改编)函数y＝3－2csx+π4的最大值为________，此时x＝________．
5 3π4＋2kπ(k∈Z) [函数y＝3－2csx+π4的最大值为3＋2＝5，此时x＋π4＝π＋2kπ，k∈Z，即x＝34π＋2kπ(k∈Z)．]
5．y＝|cs x|的一个单调递增区间是( )
A．-π2，π2 B．[0，π]
C．π，3π2 D．3π2，2π
D [将y＝cs x的图象位于x轴下方的部分关于x轴对称向上翻折，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y＝|cs x|的图象(如图)．
故选D．]
6．函数f (x)＝2sinπ2x-1的定义域为( )
A．π3+4kπ，5π3+4kπ(k∈Z)
B．13+4k，53+4k(k∈Z)
C．π6+4kπ，5π6+4kπ(k∈Z)
D．16+4k，56+4k(k∈Z)
B [由题意，得2sin π2x－1≥0，π2x∈π6+2kπ，5π6+2kπ(k∈Z)，则x∈13+4k，53+4k(k∈Z)．]
7．若直线x1＝π4，x2＝3π4是函数f (x)＝sin ωx(ω＞0)图象的两条相邻的对称轴，则ω＝( )
A．2 B．32 C．1 D．12
A [依题意得函数f (x)的最小正周期T＝2πω＝2×3π4-π4＝π，解得ω＝2．]
8．(2024·红桥区天津三中高三月考)函数f (x)＝2sin2π4+x－1是( )
A．最小正周期为2π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为2π的偶函数
D．最小正周期为π的奇函数
D [f (x)＝2sin2π4+x－1＝－csπ2+2x＝sin 2x，可得f (x)的最小正周期为2π2＝π，
因为f (－x)＝sin (－2x)＝－sin 2x＝－f (x)，所以f (x)是奇函数，
所以f (x)是最小正周期为π的奇函数．故选D．]
9．(多选)(2024年1月九省联考)已知函数f (x)＝sin(2x+3π4)＋cs 2x+3π4，则( )
A．函数f x-π4为偶函数
B．曲线y＝f (x)的对称轴为x＝kπ，k∈Z
C．f (x)在区间π3，π2单调递增
D．f (x)的最小值为－2
AC [f x＝sin 2x+3π4＋cs2x+3π4
＝sin 2x cs 3π4＋sin 3π4cs 2x＋cs 2x cs 3π4－sin 2xsin 3π4＝－22sin 2x＋22cs 2x－22cs 2x－22sin 2x＝－2sin 2x，即f x＝－2sin 2x．
对于A，f x-π4＝－2sin2x-π2＝2cs 2x，易知f x-π4为偶函数，所以A正确；
对于B，f x＝－2sin 2x图象的对称轴满足2x＝π2＋kπ，k∈Z⇒x＝π4＋kπ2，k∈Z，故B错误；
对于C，当x∈π3，π2，2x∈2π3，π时，y＝sin 2x单调递减，则f x＝－2sin 2x单调递增，故C正确；
对于D，f x＝－2sin 2x，又sin 2x∈-1，1，所以f x∈-2，2，故D错误．
故选AC．]
10．写出一个最小正周期为2的奇函数f (x)＝________．
sin πx(答案不唯一) [基本初等函数中既为周期函数又为奇函数的函数为y＝sin x，
∴此题可考虑在正弦函数的基础上调整周期使其满足题意．
由此可知f (x)＝sin ωx且T＝2πω＝2⇒f (x)＝sin πx．]
11．(2024·温州适考)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)是偶函数，且在0，π2上单调递减，则φ＝________，ω的最大值是________．
π2 2 [由题意知φ＝π2＋kπ，k∈Z，又0≤φ≤π，所以φ＝π2，故函数f (x)＝cs ωx(ω>0)．
令2mπ≤ωx≤π＋2mπ，m∈Z，得2mπω≤x≤πω＋2mπω，m∈Z，令m＝0，得0≤x≤πω，所以πω≥π2，解得0<ω≤2，所以ω的最大值是2．]
12．已知函数f (x)＝3cs x sin x＋sin2x．
(1)求函数f (x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数f (x)在区间-2π3，π6上的最大值和最小值．
[解] (1)f (x)＝3csx sin x＋sin2x＝32sin2x－12cs 2x＋12＝sin 2x-π6＋12，
∴函数f (x)的最小正周期为2π2＝π，
令－π2＋2kπ≤2x－π6≤π2＋2kπ，k∈Z，则－π6＋kπ≤x≤π3＋kπ，k∈Z，
∴函数f (x)的单调递增区间为-π6+kπ，π3+kπ，k∈Z．
(2)∵x∈-2π3，π6，
∴2x－π6∈-3π2，π6，
则sin 2x-π6∈[－1，1]，
∴f (x)∈-12，32，
∴函数f (x)在区间-2π3，π6上的最大值为32，最小值为－12．
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
xx≠kπ＋π2，
k∈Z
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
最小正周期
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称中心
(kπ，0)
(k∈Z)
kπ+π2，0
(k∈Z)
kπ2，0
(k∈Z)
对称轴方程
x＝kπ＋π2
(k∈Z)
x＝kπ(k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
递增
区间
2kπ-π2，2kπ+π2，k∈Z
[2kπ－π，2kπ]，
k∈Z
kπ-π2，kπ+π2，k∈Z
递减
区间
2kπ+π2，2kπ+3π2，k∈Z
[2kπ，2kπ＋π]，
k∈Z