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沪教版七年级数学上学期考试满分全攻略第01讲整式(5大考点14种解题方法)(原卷版+解析)
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这是一份沪教版七年级数学上学期考试满分全攻略第01讲整式(5大考点14种解题方法)(原卷版+解析)，共69页。
第01讲 整式（5大考点14种解题方法）考点考向一．列代数式（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． （2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．【规律方法】列代数式应该注意的四个问题1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．二．代数式求值（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．三、单项式 1.单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．要点诠释：（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母．（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积．2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． 要点诠释：（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；（2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数；（3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成．3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．要点诠释：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点：（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；（2）不能将数字的指数一同计算．四、多项式1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式． 要点诠释：“几个”是指两个或两个以上．2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． 要点诠释：（1）多项式的每一项包括它前面的符号． （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式．3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．4.要点诠释：（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．五、 整式单项式与多项式统称为整式．要点诠释：（1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示．即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立．（2）分母中含有字母的式子一定不是整式．考点精讲考点一：代数式题型一：代数式的判断1．（2021秋•浦东新区期中）下列各式中，不是代数式的是（ ）A．5ab2 B．2x+1＝7 C．0 D．4a﹣b2．（2021秋•浦东新区期中）代数式的意义是（ ）A．a与b的平方和除c的商 B．a与b的平方和除以c的商 C．a与b的和的平方除c的商 D．a与b的和的平方除以c的商3．（2021秋•长宁区校级期中）下列各式，哪个是代数式（ ）A． B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．y＞0 D．3m+2≠0题型二：列代数式4．（2021秋•宝山区期末）用代数式表示：x和y的平方和 ．5．（2021秋•金山区期中）用代数式表示“x的2倍与y的和的一半”正确的是（ ）A．2x+y B．2x+y C． D．6．（2021秋•黄浦区期中）如图所示的图形面积为（ ）A．（x+1）2﹣12 B．（x+1）2﹣x2 C．x（x+1） D．（x+1）2﹣2x7．（2021秋•徐汇区校级月考）下列用代数式表示“a与b的和的倒数”正确的是（ ）A．+ B． C．a+ D．+b8．（2021秋•浦东新区期末）电脑原价a元的八五折再减50元后的售价为 元．9．（2021秋•宝山区期末）已知并排放置的正方形ABCD和正方形BEFG如图，其中点E在直线AB上，那么△DEG的面积S1和正方形BEFG的面积S2大小关系是（ ）A．S1＝S2 B．S1＝S2 C．S2＝2S2 D．S1＝S210．（2021秋•普陀区期末）用代数式表示“x的2倍与y的差”为 ．题型三：代数式求值11．（2020秋•虹口区校级期末）当x＝3，y＝2时，代数式的值是（ ）A． B．2 C．0 D．312．（2021秋•浦东新区校级期中）当a＝2时，代数式的值为 ．13．（2020秋•黄浦区期末）当x＝﹣2时，代数式3x2﹣5x的值为 ．14．（2021秋•奉贤区期中）如果2m﹣n＝3，那么代数式5﹣2m+n的值是 ．考点二：单项式题型四：单项式的判断一、单选题1．（2022·上海·七年级专题练习）下列各式，，，，中，单项式的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．42．（2021·上海市西延安中学七年级期中）下列说法正确的是（ ）A．是单项式 B．是单项式C．是单项式 D．（a﹣b）2是单项式3．（2021·上海黄浦·七年级期中）下列代数式中，①；②；③；④1；⑤．是单项式的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2021·上海松江·七年级期中）代数式0，，，，，中，单项式有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二、填空题5．（2021·上海市川沙中学南校七年级期中）在代数式、、、、中是单项式的有__________个；题型五：单项式系数、次数一、单选题1．（2022·上海·七年级期末）单项式的系数与次数依次是（ ）A．4，5 B．－4，5 C．4，6 D．－4，62．（2021·上海浦东新·七年级期中）已知单项式5xayb+2的次数是3次，则a+b的值是（ ）A．1 B．3 C．4 D．0二、填空题3．（2022·上海·七年级期末）如果单项式为7次单项式，那么m的值为_____．4．（2022·上海·七年级期末）单项式的次数是______．5．（2021·上海普陀·七年级期末）单项式的系数是____________，次数是____________．6．（2021·上海黄浦·七年级期中）单项式﹣的系数是____．题型六：写出满足某些特征的单项式一、单选题1．（2019·上海市三林中学七年级阶段练习）系数为－且只含有 x、y 的三次单项式（不需要包含每个字母），可以写出( ) ．A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个二、填空题2．（2019·上海市青浦区华新中学七年级阶段练习）有一含有字母a,b的单项式，它的系数是-2，次数是3，这个单项式是______________题型七：单项式规律题一、填空题1．（2021·上海浦东新·七年级期中）观察下面的单项式：x,,…根据规律写出第7个式子：______.二、解答题2．（2018·上海市川沙中学南校七年级阶段练习）下列单项式按一定规律排列：x，﹣2x2，3x3，﹣4x4，…，9x9，﹣10x10，……（1）写出第99个及第100个单项式；（2）写出第n个单项式．考点三：多项式题型八:多项式的判断一、单选题1．（2021·上海普陀·七年级期末）下列代数式中，多项式是（ ）A． B． C． D．2．（2019·上海松江·七年级期中）代数式 0，，，，，，，中，多项式有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2021·上海·七年级期中）下列代数式中：多项式的个数有（ ）A．1个； B．2个； C．3个； D．4个.4．（2019·上海市洋泾中学南校七年级阶段练习）代数式是（ ）A．二次三项式 B．三次三项式 C．三次四项式 D．四次四项式5．（2019·上海市徐汇中学七年级阶段练习）下列代数式中多项式的个数有（ ）；；；；.A．2 B．3 C．4 D．5题型九:多项式的项、项数或次数一、单选题1．（2020·上海市进才中学北校七年级阶段练习）多项式的项数和次数分别是（ ）A．4，9 B．4，6 C．3，9 D．3，102．（2020·上海市浦东新区建平中学南校七年级阶段练习）组成多项式3x2-x-1的单项式是( )A．3x2，x，1 B．x2，x，1 C．3x2，-x，-1 D．x2，-x，-1二、填空题3．（2021·上海市民办新复兴初级中学七年级期末）多项式是一个______次______项式．4．（2021·上海浦东新·七年级期中）多项式3x2﹣2xy2+xyz3的次数是 ___．5．（2020·上海闵行·七年级期中）多项式的常数项是_____．6．（2021·上海市民办新竹园中学七年级期中）多项式的三次项系数是___．7．（2021·上海·七年级期中）多项式是_______次多项式，常数项是_______．8．（2019·上海市长宁中学七年级阶段练习）多项式是___次____项式，常数项是___．题型十：多项式系数、指数中字母求值一、填空题1．（2020·上海浦东新·七年级阶段练习）如果两个关于的多项式与相等，则___．2．（2020·上海市浦东新区建平中学南校七年级阶段练习）若是五次多项式，则k=________．3．（2019·上海市闵行区明星学校七年级阶段练习）如果关于x,y的多项式不含二次项，那么ab=_________4．（2019·上海市张江集团中学七年级期中）如果多项式是关于的二次二项式，则____________二、解答题5．（2020·上海·南洋中学七年级期中）列式计算：如果减去某个多项式的差是，求这个多项式.6．（2019·上海市江宁学校七年级阶段练习）⑴若是一个二次多项式，求a的值；⑵若上述多项式是一次二项式，求、b的值.7．（2019·上海市进才中学北校七年级阶段练习）求，其中，a是正整数中最小的素数，b是8和12的最大公因数，c是单项式的次数．（结果用幂的形式表示）题型十一：将多项式按某一字母升幂（或降幂）排列一、单选题1．（2019·上海市闵行区明星学校七年级阶段练习）把多项式x3-xy2+x2y+x4-3按x的降幂排列是（ ）A．x4+x3+x2y-3-xy2 B．-xy2+x2y+x4+x3-3 C．-3-xy2+x2y+x3+x4 D．x4+x3+x2y-xy2-3二、填空题2．（2021·上海市西延安中学七年级期中）将多项式3x2y﹣6y2+x3﹣x按x降幂排列为 ___．3．（2021·上海杨浦·七年级期中）把多项式x3＋y3﹣5x2y＋3xy2按字母y降幂排列___．4．（2022·上海·七年级期末）将多项式xy3-x2y+2x3-5y2按字母x降幂排列是：______．5．（2020·上海市南汇第四中学七年级阶段练习）已知多项式（1）把这个多项式按的降幂重新排列；（2）请指出该多项式的次数，并写出它的二次项和常数项．考点四：整式题型十二：整式的判断一、单选题1．（2021·上海市傅雷中学七年级期中）在﹣3，0，2x，，，，a2﹣3ab+b2这些代数式中，整式的个数为（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．（2020·上海市进才中学北校七年级阶段练习）在1，，，，，，，中，整式共有（ ）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个3．（2019·上海市中国中学七年级阶段练习）下列各式中不是整式的是（ ）A．-3 B． C． D．4．（2019·上海市风华初级中学七年级阶段练习）在代数式，，，，，，0，中，整式共有（ ）个.A．5 B．6 C．7 D．85．（2019·上海市同洲模范学校七年级阶段练习）下列代数式中整式有（ ）2x+y， b，，，0，πx+y， aA．4个 B．5个 C．6个 D．7个二、填空题6．（2019·上海市省吾中学七年级阶段练习）在①；②；③；④－；⑤；⑥中，______是整式.（填写序号）考点五：规律探索题型十三：数字类规律探索一、填空题1．（2021·上海市西延安中学七年级期中）观察下列格式：（1）；（2）；（3）；（4）；……那么，第n个式子可表示为：___．2．（2020·上海市浦东新区建平中学南校七年级阶段练习）观察．猜想并填空：观察：32-15=4； 52-37=4；72-59=4；猜想：（ ）2-711=4；132- =4你通过观察能猜测出什么结论？ （用关于n的等式来表示，这里n为正整数）．3．（2021·上海市民办新北郊初级中学七年级期末）设一列数中相邻的三个数依次为m，n，p，且满足p=m2﹣n，若这列数为﹣1，3，﹣2，a，b，128…，则b=________.二、解答题4．（2022·上海·七年级期末）观察下列等式，探究其中的规律：；；；；…(1)根据上面等式的规律可得：（其中n是正整数）＝ ；＝ ；(2)根据（1）小题的规律计算：．5．（2022·上海·七年级专题练习）阅读下面材料并完成填空：你能比较两个数20162017和20172016的大小吗？为了解决这个问题先把问题一般化，要比较nn＋1和（n＋1）n的大小（的整数），先从分析n＝1，＝2，＝3，……这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论．(1)通过计算，比较下列①—⑦各组中两个数的大小（在横线上填“＞、＝、＜”号①12 21；②23 32；③34 43；④45 54；⑤56 65；⑥67 76；⑦78 87．(2)对第（1）小题的结果进行归纳，猜想出nn＋1和（n＋1）n的大小关系： ．(3)根据上面的归纳结果猜想得到的一般结论是：20162017 20172016．6．（2020·上海市徐汇中学七年级阶段练习）老师在黑板上写出几个算式：，……李明同学接着又写了具有同样规律的算式：，(1)请你用字母概括上述算式的规律：__________________________(2)请说明这个规律的正确性．7．（2021·上海·七年级期中）先观察下列各式的规律：(1)由上述一系列算式，你能发现什么规律？请用含代数式表达这个规律(2)应用上述规律计算：题型十四：图形类规律探索1．（2022·上海·七年级期末）用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐次加1的规律拼成一列图案：第n个图案含有白色纸片______________张．2．（2022·上海·七年级期末）如图，用长度相等的小木棒搭成的三角形网格，当层数为n时，所需小木棒的根数为________________．3．（2022·上海·七年级期末）已知P为△ABC的边BC上一点，△ABC的面积为a，B1、C1分别为AB、AC上的中点，则△PB1C1的面积为，B2、C2分别为B1B、C1C上的中点，则△PB2C2的面积为，B3、C3分别为B2B、C2C上的中点，则△PB3C3的面积为，B4、C4分别为B3B、C3C上的中点，则△PB4C4的面积为，按此规律可知，△PB7C7的面积为___________．4．（2022·上海·七年级专题练习）如图，一个边长是1的等边三角形ABC，将它沿直线l作顺时针方向滚动，求滚动100次，B点所经过的路程____________．（结果保留）5．（2020·上海闵行·七年级期中）如图，将一个正方形纸片分割成四个面积相等的小正方形纸片，然后将其中一个小正形纸片再分割成四个面积相等的小正方形纸片．如此分割下去，第次分割后，共有正方形纸片_____块（用含的代数式表示）二、解答题6．（2021·上海·七年级期中）下列各图形中的“ ”的个数和“ ”的个数是按照一定规律摆放的：(1)观察图形，填写下表：(2)当 n=_____时，“ ”的个数是“ ”的个数的 2 倍巩固提升一．选择题（共6小题）1．（2020秋•普陀区期末）下列代数式中，多项式是（ ）A．x6 B．﹣ C．ax+b D．2．（2021秋•浦东新区期中）已知单项式5xayb+2的次数是3次，则a+b的值是（ ）A．1 B．3 C．4 D．03．（2021秋•青浦区月考）在代数式3xy，，6π，﹣a﹣b，0，中，单项式有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2020秋•奉贤区期末）下列说法正确的是（ ）A．a2+2a+32是三次三项式 B．的系数是4 C．的常数项是﹣3 D．0是单项式5．（2020秋•松江区期末）单项式﹣4x3y2的系数与次数依次是（ ）A．4，5 B．﹣4，5 C．4，6 D．﹣4，66．（2021秋•普陀区期末）下列说法中正确的是（ ）A．是整式 B．多项式2x2﹣y2+xy﹣4x3y3按字母x升幂排列为﹣4x3y3+2x2+xy﹣y2 C．2x是一次单项式 D．a3b+2a2b﹣3ab的二次项系数是3二．填空题（共20小题）7．（2020秋•普陀区期末）单项式﹣ab2c的系数是 ，次数是 ．8．（2020秋•浦东新区期末）如果单项式4a2bcm为7次单项式，那么m的值为 ．9．（2021秋•长宁区校级期中）将多项式3x2y﹣6y2+x3﹣x按x降幂排列为 ．10．（2021秋•浦东新区校级期中）单项式的次数是 ．11．（2021秋•浦东新区期中）多项式3x2﹣2xy2+xyz3的次数是 ．12．（2020秋•普陀区期末）用代数式表示：“x的倒数与2021的和”是 ．13．（2020秋•黄浦区期末）用代数式表示“x的平方减去y的一半的差”： ．14．（2021秋•浦东新区校级期中）把多项式2x2y2+按字母x的降幂排列是 ．15．（2021秋•长宁区校级期中）用代数式表示：“x的3倍减去y的差的倒数．” ．16．（2021秋•浦东新区校级期中）甲工厂在一月份的生产总值为a万元，在2月和3月这两个月中，甲工厂的生产总值平均每月增长的百分率为x，甲工厂3月份的生产总值是 万元（用含a、m的代数式表示）．17．（2021秋•奉贤区期中）设甲数是m，乙数是n，用含m、n、的代数式表示“甲乙两数的平方和”为 ．18．（2021秋•普陀区期中）“a与1和的平方”，用代数式表示是 ．19．（2021秋•普陀区校级期中）把多项式5﹣xy4+2x2y﹣3x3y2按字母y升幂排列的结果是： ．20．（2021秋•浦东新区期中）如图，一个边长为a、b（b＜a）的长方形被平行于边的两条直线所分割，其中长方形的左上角是一个边长为x的正方形，将图中阴影部分的面积S表示为S＝ ．21．（2021秋•浦东新区校级月考）一个长方形周长是l，长为a，用字母表示该长方形的宽是 ．22．（2021秋•浦东新区期中）已知a和b都是一位数（b≠0），如果把b放置于a的左边组成一个两位数，则这个两位数是 ．23．（2021秋•浦东新区校级月考）窗户形状如图所示，其上部是半圆，下部是边长相同的四个小正方形，边长为a，则窗户面积为 ．24．（2021秋•普陀区校级月考）已知2a2﹣3a的值是5，则代数式6a2﹣9a﹣8的值等于 ．25．（2021秋•普陀区校级月考）多项式1﹣x2﹣5x4为 多项式（填几次几项）．26．（2021秋•宝山区校级月考）多项式3x2y﹣5xy2+y﹣2x+6是 次多项式，常数项是 ．三．解答题（共7小题）27．（2021秋•宝山区校级月考）设甲数为x，乙数为y，用代数式表示：（1）乙数的平方与甲数的的和；（2）甲数的平方减去乙数的倒数的差．28．（2021秋•松江区期中）如图所示，已知正方形的边长为2a．（1）用含有a的代数式表示阴影部分的面积；（2）当a＝2时，求阴影部分的面积．（保留π）29．（2020秋•嘉定区期末）在某班小组学习的过程中，同学们碰到了这样的问题：“已知＝5，＝3，＝6，求的值”．根据已知条件中式子的特点，同学们会想起+＝，于是问题可转化为：“已知＝+＝5，＝+＝3，＝+＝6，求＝++的值”，这样解答就方便了．（1）通过阅读，试求的值；（2）利用上述解题思路请你解决以下问题：已知＝6，求的值．30．（2021秋•金山区期中）如图，正方形ABCD的边长等于a，正方形BEFG的边长等于b（a＞b），其中，点G、E分别在AB、BC上．（1）用a、b的代数式表示图中的阴影部分面积；（2）当a＝5，b＝2时，求图中的阴影部分面积．31．（2021秋•黄浦区期中）老王想靠着一面足够长的旧墙EF，开垦一块长方形的菜地ABCD，如图所示，菜地的一边靠墙，另外三边用竹篱笆围起来，并在平行于墙的一边BC上留1米宽装门，已知现有竹篱笆长共32米．（1）设垂直于墙面的一边AB长为x米，则BC边的长用含x的代数式可表示为 米．（2）设菜地面积为S，用含x的代数式来表示S．（3）当x＝8时，菜地面积为多少平方米？32．（2020秋•浦东新区校级月考）观察．猜想并填空：观察：32﹣1×5＝4；52﹣3×7＝4；72﹣5×9＝4；猜想： 2﹣7×11＝4；132﹣ × ＝4．你通过观察能猜测出什么结论？（用关于n的等式来表示，这里n为正整数）．33．（2021秋•长宁区校级期中）上海某中学准备从网上订购一批篮球和跳绳，经查阅店铺发现：每个篮球定价160元，每根跳绳定价40元．临近“双十一”，该店铺提出了两种优惠方案（两种方案均包邮）：方案A：买一个篮球送一根跳绳；方案B：篮球和跳绳都打9折．已知要购买30个篮球，x根跳绳（x＞30）．（1）若采取A方案，共需付款多少元？若采取B方案，共需付款多少元？（用含x的代数式表示）（2）若x＝80，你认为采取哪种方案更划算？请说明理由． 第n个图形12345…n的个数369____________…______的个数136____________…______第01讲 整式（5大考点14种解题方法）考点考向一．列代数式（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． （2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．【规律方法】列代数式应该注意的四个问题1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．二．代数式求值（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．三、单项式 1.单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．要点诠释：（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母．（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积．2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． 要点诠释：（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；（2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数；（3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成．3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．要点诠释：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点：（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；（2）不能将数字的指数一同计算．四、多项式1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式． 要点诠释：“几个”是指两个或两个以上．2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． 要点诠释：（1）多项式的每一项包括它前面的符号． （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式．3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．4.要点诠释：（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．五、 整式单项式与多项式统称为整式．要点诠释：（1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示．即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立．（2）分母中含有字母的式子一定不是整式．考点精讲考点一：代数式题型一：代数式的判断1．（2021秋•浦东新区期中）下列各式中，不是代数式的是（ ）A．5ab2 B．2x+1＝7 C．0 D．4a﹣b【分析】利用代数式的定义判断即可．【解答】解：2x+1＝7为等式，不是代数式，其它都是代数式．故选：B．【点评】本题主要考查了代数式，解题的关键是熟记代数式的定义．2．（2021秋•浦东新区期中）代数式的意义是（ ）A．a与b的平方和除c的商 B．a与b的平方和除以c的商 C．a与b的和的平方除c的商 D．a与b的和的平方除以c的商【分析】（a+b）2表示a与b的和的平方，然后再表示除以c的商．【解答】解：代数式的意义是a与b的和的平方除以c的商，故选：D．【点评】此题主要考查了列代数式，关键是根据计算顺序描述．3．（2021秋•长宁区校级期中）下列各式，哪个是代数式（ ）A． B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．y＞0 D．3m+2≠0【分析】根据代数式的定义对各选项的式子进行判断即可．【解答】解：A、是代数式，故此选项符合题意；B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）为等式，不是代数式，故此选项不符合题意；C、y＞0为不等式，不是代数式，故此选项不符合题意；D、3m+2≠0为不等式，不是代数式，故此选项不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了代数式．解题的关键是掌握代数式的定义．代数式的定义：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式．题型二：列代数式4．（2021秋•宝山区期末）用代数式表示：x和y的平方和 ．【分析】首先表示x与y的平方，再把它们相加即可求解．【解答】解：x和y的平方和为x2+y2．故答案为：x2+y2．【点评】此题主要考查了列代数式，关键是分清数量之间的关系．5．（2021秋•金山区期中）用代数式表示“x的2倍与y的和的一半”正确的是（ ）A．2x+y B．2x+y C． D．【分析】x的2倍是2x，然后求和，最后乘以．【解答】解：x的2倍表示为2x，x的2倍与y的和表示为（2x+y），则“x的2倍与y的和的一半”表示为（2x+y），故选：C．【点评】本题主要考查列代数式，把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．注意代数式书写规范．6．（2021秋•黄浦区期中）如图所示的图形面积为（ ）A．（x+1）2﹣12 B．（x+1）2﹣x2 C．x（x+1） D．（x+1）2﹣2x【分析】此图形的面积等于两个正方形的面积的差，据此可以列出方程．【解答】解：根据题意得：S＝（x+1）2﹣12，故选：A．【点评】本题考查了列代数式，解题的关键是明确题目中的不规则图形的面积计算方法．7．（2021秋•徐汇区校级月考）下列用代数式表示“a与b的和的倒数”正确的是（ ）A．+ B． C．a+ D．+b【分析】根据题意先表示出a与b的和，进而表示出和的倒数即可．【解答】解：用代数式表示“a与b的和的倒数”为．故选：B．【点评】此题考查了列代数式，弄清题意是解本题的关键．8．（2021秋•浦东新区期末）电脑原价a元的八五折再减50元后的售价为 元．【分析】根据题意首先表示出原价八五折的价格，再减50得出答案．【解答】解：由题意可得：0.85a﹣50．故答案为：（0.85a﹣50）．【点评】此题主要考查了列代数式，正确理解题意折数的意义是解题关键．9．（2021秋•宝山区期末）已知并排放置的正方形ABCD和正方形BEFG如图，其中点E在直线AB上，那么△DEG的面积S1和正方形BEFG的面积S2大小关系是（ ）A．S1＝S2 B．S1＝S2 C．S2＝2S2 D．S1＝S2【分析】连接BD，可得BD∥EG，则有S△DEG＝S△BEG＝S正方形BEFG.从而得出答案．【解答】解：连接BD，∵四边形ABCD、BEFG是正方形，∴∠ABD＝∠BEG＝45°，∴BD∥EG，∴S△DEG＝S△BEG＝S正方形BEFG，∴S1＝S2，故选：A．【点评】本题主要考查了正方形的性质，平行线的判定与性质等知识，证明BD∥EG是解题的关键．10．（2021秋•普陀区期末）用代数式表示“x的2倍与y的差”为 ．【分析】根据题意可以用代数式表示出x的2倍与y的差．【解答】解：用代数式表示“x的2倍与y的差”为：2x﹣y，故答案为：2x﹣y．【点评】本题考查列代数式，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式．题型三：代数式求值11．（2020秋•虹口区校级期末）当x＝3，y＝2时，代数式的值是（ ）A． B．2 C．0 D．3【分析】当x＝3，y＝2时，直接代入代数式即可得到结果．【解答】解：＝＝【点评】此题较简单，代入时细心即可．12．（2021秋•浦东新区校级期中）当a＝2时，代数式的值为 ．【分析】把a＝2代入计算即可．【解答】解：把a＝2代入＝＝4；故答案为：4．【点评】本题考查了代数式的求值，掌握用数值代替代数式里的字母进行计算，正确计算结果是解题关键．13．（2020秋•黄浦区期末）当x＝﹣2时，代数式3x2﹣5x的值为 ．【分析】把x＝﹣2代入代数式计算即可得到结果．【解答】解：把x＝﹣2代入得：原式＝3×（﹣2）2﹣5×（﹣2）＝3×4﹣5×（﹣2）＝12+10＝22．故答案为：22．【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．（2021秋•奉贤区期中）如果2m﹣n＝3，那么代数式5﹣2m+n的值是 ．【分析】把代数式5﹣2m+n化简为5﹣（2m﹣n），再将2m﹣n＝3代入即可．【解答】解；∵5﹣2m+n＝5﹣（2m﹣n），∴当2m﹣n＝3时，原式＝5﹣3＝2，故答案为：2．【点评】此题考查了用整体思想求代数式的值的能力，关键是能将原代数式化简为含有2m﹣n的形式．考点二：单项式题型四：单项式的判断一、单选题1．（2022·上海·七年级专题练习）下列各式，，，，中，单项式的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据单项式定义判断即可．【详解】数字与字母的乘积组成单项式，单独的数字和字母也是单项式．，，是单项式．故选：．【点睛】本题考查单项式的定义：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式,单独的一个数或一个字母也叫做单项式，正确理解定义是求解本题的关键．2．（2021·上海市西延安中学七年级期中）下列说法正确的是（ ）A．是单项式 B．是单项式C．是单项式 D．（a﹣b）2是单项式【答案】B【分析】根据单项式和多项式的定义进行逐一判断即可．【详解】解：A、，分母含有字母不是单项式，故不符合题意；B、是一个常数，是单项式，符合题意；C、是多项式不是单项式，故不符合题意；D、是多项式不是单项式，故不符合题意；故选B．【点睛】本题主要考查了单项式的定义，多项式的定义及其次数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数．3．（2021·上海黄浦·七年级期中）下列代数式中，①；②；③；④1；⑤．是单项式的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据单项式的定义：单项式是数与字母的乘积，单独的数或字母也是单项式，从而进行判断即可．【详解】解：单项式有：①④，共有2个，故选B．【点睛】本题考查了单项式的定义，解题的关键是正确理解单项式的定义．4．（2021·上海松江·七年级期中）代数式0，，，，，中，单项式有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】根据单项式的定义“由数或字母的积组成的代数式叫做单项式”即可得．【详解】解：根据单项式的定义得：0，，是单项式，共3个，故选B．【点睛】本题考查了单项式，解题的关键是掌握单项式的定义．二、填空题5．（2021·上海市川沙中学南校七年级期中）在代数式、、、、中是单项式的有__________个；【答案】2【分析】利用单项式的定义：表示数字和字母乘积的式子，单独的一个数或一个字母也是单项式，逐个分析即可求出答案．【详解】解：根据单项式定义可得出代数式、、、、中是单项式的有、，故答案为：2．【点睛】此题考查了单项式，解题的关键是掌握单项式的定义．题型五：单项式系数、次数一、单选题1．（2022·上海·七年级期末）单项式的系数与次数依次是（ ）A．4，5 B．－4，5 C．4，6 D．－4，6【答案】B【分析】利用单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，进而分析即可．【详解】解：单项式的系数与次数依次是-4和5，故选：B．【点睛】本题主要考查了单项式，正确把握单项式的次数与系数确定方法是解题关键．2．（2021·上海浦东新·七年级期中）已知单项式5xayb+2的次数是3次，则a+b的值是（ ）A．1 B．3 C．4 D．0【答案】A【分析】根据单项式的次数的概念求解．【详解】解：由题意得：a+b+2=3，∴a+b=1．故选：A．【点睛】本题考查了单项式的有关概念，解答本题的关键是掌握单项式的次数：所有字母的指数和．二、填空题3．（2022·上海·七年级期末）如果单项式为7次单项式，那么m的值为_____．【答案】4【分析】根据单项式次数的定义，算出m的值．【详解】解：∵单项式的次数为7，∴，解得．故答案是：4．【点睛】本题考查单项式的次数，解题的关键是掌握单项式次数的定义．4．（2022·上海·七年级期末）单项式的次数是______．【答案】4【分析】根据单项式的次数是所有字母的指数和来求解即可．【详解】单项式的次数是4．故答案为：4【点睛】本题考查的是单项式的次数，掌握单项式的次数的定义是关键．5．（2021·上海普陀·七年级期末）单项式的系数是____________，次数是____________．【答案】 4【分析】根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，即可得出答案．【详解】单项式的系数是，次数是4．故答案为：；4．【点睛】本题考查了单项式的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握单项式系数及次数的定义．6．（2021·上海黄浦·七年级期中）单项式﹣的系数是____．【答案】【分析】直接根据单项式的系数的定义得出答案，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．【详解】单项式﹣的系数是．故答案为：．【点睛】本题考查了单项式的系数，理解单项式的系数是解题的关键．题型六：写出满足某些特征的单项式一、单选题1．（2019·上海市三林中学七年级阶段练习）系数为－且只含有 x、y 的三次单项式（不需要包含每个字母），可以写出( ) ．A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个【答案】C【分析】根据单项式的概念求解．【详解】这样的单项式为：xy2，x2y，，，共4个．故选C．【点睛】本题考查了单项式的知识，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．二、填空题2．（2019·上海市青浦区华新中学七年级阶段练习）有一含有字母a,b的单项式，它的系数是-2，次数是3，这个单项式是______________【答案】-2ab2（答案不唯一）．【分析】根据单项式的定义写出符合条件的单项式即可；【详解】符合条件的单项式可以为：-2ab2（答案不唯一）．故答案为-2ab2（答案不唯一）．【点睛】此题考查单项式，解题关键在于掌握其定义.题型七：单项式规律题一、填空题1．（2021·上海浦东新·七年级期中）观察下面的单项式：x,,…根据规律写出第7个式子：______.【答案】【分析】根据题意可得出变化规律：n为奇数项符号为正，n为偶数项符号为负，数字变化规律是，字母变化规律是，根据变化规律即可写出式子．【详解】根据题意可得出变化规律：n为奇数项符号为正，n为偶数项符号为负，数字变化规律是，字母变化规律是，各单项式的系数依次是1,−2,4,−8,…;次数依次是1,2,3,4…;可以推出第七个式子的系数应该是64,次数是7,即．故答案为．【点睛】此题考查单项式，解题关键在于根据题意找出式子的变化规律.二、解答题2．（2018·上海市川沙中学南校七年级阶段练习）下列单项式按一定规律排列：x，﹣2x2，3x3，﹣4x4，…，9x9，﹣10x10，……（1）写出第99个及第100个单项式；（2）写出第n个单项式．【答案】第99个单项式是99x99，第100个单项式是﹣100x100；（2）第n个单项式是（﹣1）n+1•nxn．【分析】（1）、（2）通过观察题意可得：奇数项的系数为正，偶数项的系数为负，且系数的绝对值与自然数序号相同，次数也与与自然数序号相同．由此可解出本题．【详解】解：（1）第99个单项式是99x99，第100个单项式是﹣100x100；（2）第n个单项式是（﹣1）n+1•nxn．【点睛】本题考查了单项式的有关概念．确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键．考点三：多项式题型八:多项式的判断一、单选题1．（2021·上海普陀·七年级期末）下列代数式中，多项式是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式进行作答．【详解】A、B选项是单项式，C选项是多项式，D选项不是单项式也不是多项式故选：C【点睛】本题主要考查了多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式．注意不要与单项式、分式的定义相混淆．数字与字母的乘积叫做单项式，单独的一个数或字母也叫单项式．单项式一定不含有加减运算，而多项式含有加减运算，多项式的分母中一定不含字母．2．（2019·上海松江·七年级期中）代数式 0，，，，，，，中，多项式有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】直接利用多项式的定义，几个单项式的和叫做多项式，进而得出答案．【详解】解：代数式 0，，，，，，，中，多项式有，，，共3个，故选C．【点睛】此题主要考查了多项式的定义，正确把握多项式定义是解题关键．3．（2021·上海·七年级期中）下列代数式中：多项式的个数有（ ）A．1个； B．2个； C．3个； D．4个.【答案】C【分析】根据多项式的定义对题目进行分析即可得到答案.【详解】根据多项式的定义可知多项式有共有3个，故答案为C.【点睛】本题考查多项式的定义，解题的关键是掌握多项式的定义.4．（2019·上海市洋泾中学南校七年级阶段练习）代数式是（ ）A．二次三项式 B．三次三项式 C．三次四项式 D．四次四项式【答案】C【分析】根据多项式的定义进行判断即可.【详解】代数式的最高次项是，它是三次项；这个代数式共有四项，所以它是三次四项式.故选C.【点睛】本题主要考查多项式的定义，熟练掌握定义是关键.5．（2019·上海市徐汇中学七年级阶段练习）下列代数式中多项式的个数有（ ）；；；；.A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据多项式的定义即可判断.【详解】为单项式；为多项式；为多项式；为分式；为多项式.故有3个，故选B.【点睛】此题主要考查多项式的识别，解题的关键是熟知多项式的定义.题型九:多项式的项、项数或次数一、单选题1．（2020·上海市进才中学北校七年级阶段练习）多项式的项数和次数分别是（ ）A．4，9 B．4，6 C．3，9 D．3，10【答案】B【分析】根据项数和次数的定义即可求解．【详解】解：多项式的项数是4，次数是6，故答案为：B．【点睛】本题考查多项式的项数和次数，掌握多项式项数和次数的定义是解题的关键．2．（2020·上海市浦东新区建平中学南校七年级阶段练习）组成多项式3x2-x-1的单项式是( )A．3x2，x，1 B．x2，x，1 C．3x2，-x，-1 D．x2，-x，-1【答案】C【分析】根据多项式的项的定义即可求解．【详解】解：该多项式一共有3项，分别为、、，故选：C．【点睛】本题考查多项式的定义，能够识别组成多项式的各项是解题的关键．二、填空题3．（2021·上海市民办新复兴初级中学七年级期末）多项式是一个______次______项式．【答案】 五 四【分析】根据多项式的项，次数、项数定义，即可判断．【详解】解析：多项式有四项，最高次项的次数为五．故该多项式是五次四项式．故答案为：五，四．【点睛】本题考查了多项式的项、项数、次数，掌握多项式的项、项数、次数是解题的关键．4．（2021·上海浦东新·七年级期中）多项式3x2﹣2xy2+xyz3的次数是 ___．【答案】5【分析】根据多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数解答．【详解】解：多项式3x2﹣2xy2+xyz3的次数是5．故答案为：5．【点睛】本题考查的是多项式的概念，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．5．（2020·上海闵行·七年级期中）多项式的常数项是_____．【答案】【分析】根据多项式的项和次数的定义解题．【详解】解：． 常数项是．故答案为：．【点睛】本题考查了多项式，解此类题目时要明确以下概念：（1）组成多项式的每个单项式叫做多项式的项；（2）多项式中次数最高项的次数叫做多项式的次数；（3）多项式中不含字母的项叫常数项．6．（2021·上海市民办新竹园中学七年级期中）多项式的三次项系数是___．【答案】【分析】先把多项式化为再确定多项式的三次项为 从而可得答案.【详解】解：多项式可化为： 三次项为 所以三次项的系数为，故答案为：．【点睛】本题考查的是多项式的项的概念，组成多项式的单项式叫做多项式的项，掌握“多项式的项的含义”是解题的关键.7．（2021·上海·七年级期中）多项式是_______次多项式，常数项是_______．【答案】 三 【分析】根据多项式的定义即可得．【详解】多项式是三次多项式，常数项是，故答案为：三、．【点睛】本题考查了多项式，掌握理解多项式的概念是解题关键．8．（2019·上海市长宁中学七年级阶段练习）多项式是___次____项式，常数项是___．【答案】 三 四 ﹣【分析】根据多项式的有关概念，即可得到答案.【详解】解：多项式是三次四项式，常数项为﹣；故答案为：三、四、﹣．【点睛】此题主要考查了多项式，解题的关键是掌握多项式定义．题型十：多项式系数、指数中字母求值一、填空题1．（2020·上海浦东新·七年级阶段练习）如果两个关于的多项式与相等，则___．【答案】10【分析】将两个多项式的各项系数进行比较，即可得a、b、c的值．【详解】由题意得：＝，∴a＝4，b＝－2，c＝－3，∴a＋bc＝4＋6＝10，故答案为：10．【点睛】此题主要考查了整式的加减−−化简求值，关键是正确把式子进行化简．2．（2020·上海市浦东新区建平中学南校七年级阶段练习）若是五次多项式，则k=________．【答案】4【分析】根据多项式次数的定义列方程即可求得k的值．【详解】解：是五次多项式，，解得：，故答案为：4．【点睛】本题考查了多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．3．（2019·上海市闵行区明星学校七年级阶段练习）如果关于x,y的多项式不含二次项，那么ab=_________【答案】【分析】先把多项式进行化简，根据多项式不含二次项，即可求出a、b的值，即可得到答案.【详解】解：∵==，∵多项式不含二次项，∴，解得：，∴；故答案为.【点睛】本题考查了多项式，解题的关键是根据不含二次项求出a、b的值.4．（2019·上海市张江集团中学七年级期中）如果多项式是关于的二次二项式，则____________【答案】18【分析】根据多项式的定义得到m+1=2，n﹣2=0，据此可以求得答案．【详解】∵多项式πxm+1+(n﹣2)x+35是关于x的二次二项式，∴m+1=2，n﹣2=0，∴m=1，n=2，∴2m•3n=21×32=2×9=18．故答案为：18．【点睛】本题考查了多项式的有关定义．解答本题的关键是掌握多项式的定义，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．二、解答题5．（2020·上海·南洋中学七年级期中）列式计算：如果减去某个多项式的差是，求这个多项式.【答案】【详解】 这个多项式是【点睛】此题考查多项式，解题关键在于结合题意计算多项式即可.6．（2019·上海市江宁学校七年级阶段练习）⑴若是一个二次多项式，求a的值；⑵若上述多项式是一次二项式，求、b的值.【答案】（1）a≠3；（2）a=3且b≠1【分析】（1）运用合并同类项的法则可将3x2-x-ax2+bx+1化为(3-a)x2+(b-1)x+1；再运用二次多项式的定义即可求解；（2）运用合并同类项的法则可将3x2-x-ax2+bx+1化为(3-a)x2+(b-1)x+1；再运用一次二项式的定义即可求解.【详解】解：（1）=(3-a)x2+(b-1)x+1是一个二次多项式∴3-a≠0即a≠3；（2）=(3-a)x2+(b-1)x+1是一次二项式∴3-a=0，且b-1≠0∴a=3且b≠1故答案为（1）a≠3；（2）a=3且b≠1【点睛】本题主要考查了多项式的定义，熟练多项式的定义是解题的关键.7．（2019·上海市进才中学北校七年级阶段练习）求，其中，a是正整数中最小的素数，b是8和12的最大公因数，c是单项式的次数．（结果用幂的形式表示）【答案】【分析】根据有理数与代数式的性质求出a,b,c的值，故可求解.【详解】∵a是正整数中最小的素数，b是8和12的最大公因数，c是单项式的次数∴a=2,b=4,c=8,∴=【点睛】此题主要考查代数式的值，解题的关键是熟知有理数的性质及代数式的特点.题型十一：将多项式按某一字母升幂（或降幂）排列一、单选题1．（2019·上海市闵行区明星学校七年级阶段练习）把多项式x3-xy2+x2y+x4-3按x的降幂排列是（ ）A．x4+x3+x2y-3-xy2 B．-xy2+x2y+x4+x3-3 C．-3-xy2+x2y+x3+x4 D．x4+x3+x2y-xy2-3【答案】D【分析】为了书写的美观与今后计算的方便，将多项式各项的位置按某个字母的指数从大到小的顺序排列就叫做按该字母的降幂排列，由此判断即可．【详解】解：把多项式x3-xy2+x2y+x4-3按x的降幂排列是x4+x3+x2y-xy2-3，故选：D．【点睛】本题考查多项式的升幂与降幂排列，理解升幂或降幂排列的基本方法是解题关键．二、填空题2．（2021·上海市西延安中学七年级期中）将多项式3x2y﹣6y2+x3﹣x按x降幂排列为 ___．【答案】【分析】根据多项式中次数的概念求解即可．【详解】解：将多项式3x2y﹣6y2+x3﹣x按x降幂排列为：，故答案为：．【点睛】此题考查了多项式中次数的概念，解题的关键是熟练掌握多项式中次数的概念．3．（2021·上海杨浦·七年级期中）把多项式x3＋y3﹣5x2y＋3xy2按字母y降幂排列___．【答案】【分析】先将多项式的各项写出来，再根据降幂排列的定义“如果多项式含有两个或两个以上的字母，则分清按哪个字母来排列，确定好后，把多项式按含有确定好的字母的次数由高到低排列出来叫做降幂排列”进行解答即可得．【详解】解：多项式各项为：，，，，按字母y降幂排列为：，故答案为：．【点睛】本题考查了多项式，解题的关键是掌握降幂排列的定义．4．（2022·上海·七年级期末）将多项式xy3-x2y+2x3-5y2按字母x降幂排列是：______．【答案】2x3-x2y+xy3-5y2【分析】按x的指数从大到小排列各项即可．【详解】解：将多项式xy3-x2y+2x3-5y2按字母x降幂排列是：2x3-x2y+xy3-5y2，故答案为2x3-x2y+xy3-5y2．【点睛】本题考查多项式，考查的知识点为：把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．5．（2020·上海市南汇第四中学七年级阶段练习）已知多项式（1）把这个多项式按的降幂重新排列；（2）请指出该多项式的次数，并写出它的二次项和常数项．【答案】（1）；（2）该多项式的次数是5，它的二次项是，常数项是【分析】（1）将多项式按x的降幂重新排列即可．（2）多项式次数最高的项的次数即为该多项式的次数，再写出它的二次项和常数项即可．【详解】（1）按降幂排列为：．（2）该多项式的次数是5，它的二次项是，常数项是．【点睛】本题主要考查多项式的次数的概念，熟记多项式的次数的概念是解题关键．考点四：整式题型十二：整式的判断一、单选题1．（2021·上海市傅雷中学七年级期中）在﹣3，0，2x，，，，a2﹣3ab+b2这些代数式中，整式的个数为（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】D【分析】根据整式的定义，即单项式和多项式统称为整式判断即可；【详解】根据已知代数式可知，整式有：﹣3，0，2x，，a2﹣3ab+b2共有5个；故选D．【点睛】本题主要考查了整式的判断，准确分析判断是解题的关键．2．（2020·上海市进才中学北校七年级阶段练习）在1，，，，，，，中，整式共有（ ）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】C【分析】根据整式的定义即可得出答案．【详解】解：根据整式的定义1，，，，这些都是整式故选：C．【点睛】本题考查整式的定义，属于基础题型．3．（2019·上海市中国中学七年级阶段练习）下列各式中不是整式的是（ ）A．-3 B． C． D．【答案】C【分析】根据整式的定义依次进行判断即可.【详解】解：A.-3是整式，故A错误；B.是整式，故B错误；C.是分式不是整式，故C正确；D. 是整式，故D错误；故选：C．【点睛】本题考查了整式和分式的概念，掌握分式和整式的概念是解题的关键.4．（2019·上海市风华初级中学七年级阶段练习）在代数式，，，，，，0，中，整式共有（ ）个.A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】整式是代数式的一部分，在代数式中可以包含加，减，乘，除，乘方五种运算，但在整式中除数（分母）不能含有字母，整式分为单项式和多项式.【详解】为单项式，也是整式；是单项式，也是整式；分母中含有字母，故不是整式；是多项式，也是整式；是多项式，也是整式；是多项式，也是整式；0是单项式，也是整式；是多项式，也是整式.故选C.【点睛】此题考查的是整式，掌握整式是分母中不能含字母的代数式是解决此题的关键.5．（2019·上海市同洲模范学校七年级阶段练习）下列代数式中整式有（ ）2x+y， b，，，0，πx+y， aA．4个 B．5个 C．6个 D．7个【答案】C【分析】根据单项式和多项式统称为整式．单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法．多项式是若干个单项式的和，有加减法，可得答案．【详解】解：整式有：2x+y，，，0，πx+y， a，共6个；故选择：C.【点睛】本题考查了整式，单项式和多项式统称为整式，注意分母中含有字母的式子是分式不是整式．二、填空题6．（2019·上海市省吾中学七年级阶段练习）在①；②；③；④－；⑤；⑥中，______是整式.（填写序号）【答案】①②④.【分析】直接利用整式的定义分析得出答案．【详解】在①；②；③；④－；⑤；⑥中，整式有：①；②；④－.故答案为①②④.【点睛】此题主要考查了整式，正确把握定义是解题关键．考点五：规律探索题型十三：数字类规律探索一、填空题1．（2021·上海市西延安中学七年级期中）观察下列格式：（1）；（2）；（3）；（4）；……那么，第n个式子可表示为：___．【答案】【分析】观察已知所给各式即可得结论．【详解】解：观察已知各式可知：（1）；（2）；（3）；（4）；……那么，第n个式子可表示为：．故答案为：．【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．2．（2020·上海市浦东新区建平中学南校七年级阶段练习）观察．猜想并填空：观察：32-15=4； 52-37=4；72-59=4；猜想：（ ）2-711=4；132- =4你通过观察能猜测出什么结论？ （用关于n的等式来表示，这里n为正整数）．【答案】9；11；15；n2-（n-2）（n-2）=4【分析】发现规律等式中第一项，32，52，72，…，从3开始的奇数，第二项1╳5，3╳7，5╳9，…，都是奇数相乘，两数相差4，等式右边4不变．【详解】根据分析可知，第一个数=9，第二个数11，15，规律是n2-(n-2)(n+2)=4，(满足n>2)．【点睛】本题考查规律探索问题，关键是观察，发现特点，用n表示．3．（2021·上海市民办新北郊初级中学七年级期末）设一列数中相邻的三个数依次为m，n，p，且满足p=m2﹣n，若这列数为﹣1，3，﹣2，a，b，128…，则b=________.【答案】-7【分析】先根据题意求出a的值，再依此求出b的值.【详解】解：根据题意得：a=32-（-2）=11，则b=(-2)2-11=-7．故答案为：-7.【点睛】本题考查探索与表达规律——数字类规律探究. 熟练掌握变化规律，根据题意求出a和b是解决问题的关键．二、解答题4．（2022·上海·七年级期末）观察下列等式，探究其中的规律：；；；；…(1)根据上面等式的规律可得：（其中n是正整数）＝ ；＝ ；(2)根据（1）小题的规律计算：．【答案】(1)；；(2)【分析】（1）认真观察题中所给等式规律即可得到答案；（2）要利用（1）中得到的规律：；将分子分母同时乘（3-1）即可变的形式，再进行化简求解．(1)＝；；(2)＝＝．【点睛】本题考查了等式的性质，题目中给出了几个具有相同规律的等式，正确找出规律是解题的关键，并且还需要灵活运用规律去求解其他式子的值．5．（2022·上海·七年级专题练习）阅读下面材料并完成填空：你能比较两个数20162017和20172016的大小吗？为了解决这个问题先把问题一般化，要比较nn＋1和（n＋1）n的大小（的整数），先从分析n＝1，＝2，＝3，……这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论．(1)通过计算，比较下列①—⑦各组中两个数的大小（在横线上填“＞、＝、＜”号①12 21；②23 32；③34 43；④45 54；⑤56 65；⑥67 76；⑦78 87．(2)对第（1）小题的结果进行归纳，猜想出nn＋1和（n＋1）n的大小关系： ．(3)根据上面的归纳结果猜想得到的一般结论是：20162017 20172016．【答案】(1)①＜；②＜；③＞；④＞；⑤＞；⑥＞；⑦＞(2)见解析 (3)＞【分析】(1)先计算每组中的两个数字，然后再比较大小即可；(2)根据(1)中的结果即可总结出数字变化的规律；(3)按照(2)中得到的规律即可求解．(1)①∵12=1，21=2，∴12＜21；②∵23=8，32=9，∴23＜32；③∵34=81，43=64，∴34＞43；④∵45=1024，54=625，∴45＞54；⑤∵56=15625，65=7776，∴56＞65；⑥∵67=279936，76=117649，∴67＞76；⑦∵78=5764801，87=2097152，∴78＞87；(2)当n＝1或2时，nn＋1＜（n＋1）n；当n＞2的整数时，nn＋1＞（n＋1）n；(3)根据第（2）小题的结论可知，20162017＞20172016．【点睛】本题考查实数的运算规律，注意观察计算后的结果，总结出规律．6．（2020·上海市徐汇中学七年级阶段练习）老师在黑板上写出几个算式：，……李明同学接着又写了具有同样规律的算式：，(1)请你用字母概括上述算式的规律：__________________________(2)请说明这个规律的正确性．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）将所给等式写成等号左侧两个相邻的奇数平方的差，等号右侧为8与一个数的乘积的形式，然后进行观察，给出一般性规律； （2）将等号左侧按照平方差进行展开计算，其结果与右侧是否一致，若一致，则规律正确．(1)解：由题意知∴推导一般性规律为故答案为： ．(2)解：证明左边右边∴该规律正确．【点睛】本题考查了与实数运算相关的规律的探究与证明．解题的关键在于推导出一般性规律．7．（2021·上海·七年级期中）先观察下列各式的规律：(1)由上述一系列算式，你能发现什么规律？请用含代数式表达这个规律(2)应用上述规律计算：【答案】（1）；（2）325【分析】(1)根据两个连续自然数的平方差等于这两数的和，用字母表示即可；(2)把式子分组，运用（1）的规律进行计算即可．【详解】解：【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，仔细观察式子找到规律是解题的关键．题型十四：图形类规律探索1．（2022·上海·七年级期末）用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐次加1的规律拼成一列图案：第n个图案含有白色纸片______________张．【答案】【分析】观察图形可知：白色纸片在4的基础上，以此多3个；根据此规律得出第n个图案中有多少白色纸片即可．【详解】解：第1个图白色纸片有（3+1）个；第2个图案有（3×2+1）个；第3个图案有（3×3+1）个；那么第n个图案有（3×n+1）个即．故答案为：．【点睛】本题考查了图形的探索规律，能从题目图形中提取有用信息是解题的关键．2．（2022·上海·七年级期末）如图，用长度相等的小木棒搭成的三角形网格，当层数为n时，所需小木棒的根数为________________．【答案】【分析】分别列出一层、二层、三层、四层这四个图形中所含小三角形个数和所需小木棒的根数，得出n层时，所需小木棒的根数为3×（1+2+···+n）即可．【详解】解：当n=1时，木棒根数为3×1；当n=2时，木棒根数为3×（1+2）；当n=3时，3×（1+2+3），依次规律，当层数为n时，小木棒的根数为3×（1+2+3+…+n）=．故答案为：．【点睛】本题考查图形规律列代数式，根据题意找出规律是解题关键．3．（2022·上海·七年级期末）已知P为△ABC的边BC上一点，△ABC的面积为a，B1、C1分别为AB、AC上的中点，则△PB1C1的面积为，B2、C2分别为B1B、C1C上的中点，则△PB2C2的面积为，B3、C3分别为B2B、C2C上的中点，则△PB3C3的面积为，B4、C4分别为B3B、C3C上的中点，则△PB4C4的面积为，按此规律可知，△PB7C7的面积为___________．【答案】【分析】根据题意和数据找出规律，就可以得到△PB7C7的面积．【详解】解：当B1、C1分别为AB、AC的中点时，△PB1C1的面积为；当B2、C2分别为BB1、CC1的中点时，则△PB2C2的面积为；当B3、C3分别为BB2、CC2的中点时，则△PB3C3的面积为；当B4、C4分别为BB3、CC3的中点时，则△PB4C4的面积为；…当Bn、Cn分别为BBn﹣1、CCn﹣1的中点时，则△PBnCn的面积为；按此规律可知，△PB7C7的面积为．故答案为: ．【点睛】本题考查了三角形面积及有理数的乘方运算，根据数据找出规律是解题的关键．4．（2022·上海·七年级专题练习）如图，一个边长是1的等边三角形ABC，将它沿直线l作顺时针方向滚动，求滚动100次，B点所经过的路程____________．（结果保留）【答案】【分析】如图找规律，路程为计算求解即可．【详解】解：如图，，，，滚动100次，点经过的路程为故答案为：．【点睛】本题考查了弧长．解题的关键在于找出滚动过程中的规律．5．（2020·上海闵行·七年级期中）如图，将一个正方形纸片分割成四个面积相等的小正方形纸片，然后将其中一个小正形纸片再分割成四个面积相等的小正方形纸片．如此分割下去，第次分割后，共有正方形纸片_____块（用含的代数式表示）【答案】3n+1【分析】由前三次图象可找到规律，故第n次分割，有3n+1个小正方形纸片．【详解】解：第一次分割，有4个小正方形纸片；第二次分割，有4+3=7个小正方形纸片；第三次分割，有4+3+3=10个小正方形纸片；…第n次分割，有4+3（n-1）个小正方形纸片．4+3（n-1）=3n+1故答案为：3n+1．【点睛】本题考查了图形类规律探索的题目，根据一系列数式关系或一组相关图形的变化规律，从中总结其所反映的规律． 其中，以图形为载体的数字规律最为常见． 猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行观察对比，仿照数式规律的方法猜想想到最终结论．二、解答题6．（2021·上海·七年级期中）下列各图形中的“ ”的个数和“ ”的个数是按照一定规律摆放的：(1)观察图形，填写下表：(2)当 n=_____时，“ ”的个数是“ ”的个数的 2 倍【答案】(1)12、15、3n、10、15、．(2)11．【分析】（1）由图形知，“●”的个数是序数的3倍，“△”的个数是从1开始到序数为止连续整数的和，据此可得；（2）根据（1）中所得结果列出关于n的方程，解之可得答案．【详解】（1）完成表格如下：（2）根据题意知2×3n，解得：n=0（舍）或n=11．故答案为：11．【点睛】本题考查了图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字的运算规律，利用规律解决问题．巩固提升一．选择题（共6小题）1．（2020秋•普陀区期末）下列代数式中，多项式是（ ）A．x6 B．﹣ C．ax+b D．【分析】直接利用多项式的定义，几个单项式的和叫做多项式，进而得出答案．【解答】解：A、x6是单项式，故不符合题意；B、﹣是单项式，故不符合题意；C、ax+b是多项式，故符合题意；D、是分式，故不符合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了多项式的定义，正确把握多项式定义是解题关键．2．（2021秋•浦东新区期中）已知单项式5xayb+2的次数是3次，则a+b的值是（ ）A．1 B．3 C．4 D．0【分析】根据单项式的次数的概念求解．【解答】解：由题意得：a+b+2＝3，∴a+b＝1．故选：A．【点评】本题考查了单项式的有关概念，解答本题的关键是掌握单项式的次数：所有字母的指数和．3．（2021秋•青浦区月考）在代数式3xy，，6π，﹣a﹣b，0，中，单项式有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据单项式的定义对各式进行逐一分析即可．【解答】解：单项式有3xy，6π，0，共有3个．故选：C．【点评】本题考查的是单项式的定义，熟知数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式是解答此题的关键．4．（2020秋•奉贤区期末）下列说法正确的是（ ）A．a2+2a+32是三次三项式 B．的系数是4 C．的常数项是﹣3 D．0是单项式【分析】直接利用多项式以及单项式的相关定义分析得出答案．【解答】解：A、a2+2a+32是二次三项式，故此选项错误；B、的系数是，故此选项错误；C、的常数项是﹣，故此选项错误；D、0是单项式，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了多项式和单项式，正确掌握相关定义是解题关键．5．（2020秋•松江区期末）单项式﹣4x3y2的系数与次数依次是（ ）A．4，5 B．﹣4，5 C．4，6 D．﹣4，6【分析】利用单项式的次数与系数确定方法分析得出答案．【解答】解：单项式﹣4x3y2的系数与次数依次是：﹣4，5．故选：B．【点评】此题主要考查了单项式，正确把握单项式的次数与系数是解题的关键．6．（2021秋•普陀区期末）下列说法中正确的是（ ）A．是整式 B．多项式2x2﹣y2+xy﹣4x3y3按字母x升幂排列为﹣4x3y3+2x2+xy﹣y2 C．2x是一次单项式 D．a3b+2a2b﹣3ab的二次项系数是3【分析】根据整式的定义即可判断选项A，先按x的指数从小到大的顺序排列，再判断选项B即可，根据单项式的定义和单项式的次数定义即可判断选项C，根据单项式的系数和次数的定义即可判断选项D．【解答】解：A．分母中含有字母，是分式，不是整式，故本选项不符合题意；B．多项式2x2﹣y2+xy﹣4x3y3按字母x升幂排列为﹣y2+xy+2x2﹣4x3y3，故本选项不符合题意；C．2x是一次单项式，故本选项符合题意；D．a3b+2a2b﹣3ab的二次项系数是﹣3，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了多项式和单项式的有关概念，能熟记多项式和单项式的有关概念是解此题的关键，注意：①表示数与数或数与字母的积的形式，叫单项式，单项式中所有字母的指数的和，叫单项式的次数，单项式中的数字因数，叫单项式的系数，②两个或两个以上的单项式的和，叫多项式，其中每个单项式，叫多项式的项，其中不含字母的项，叫常数项，多项式中次数最高的项的次数，叫多项式的次数．二．填空题（共20小题）7．（2020秋•普陀区期末）单项式﹣ab2c的系数是 ﹣ ，次数是 4 ．【分析】根据单项式的系数和次数的定义即可得出答案．【解答】解：单项式﹣2x3的系数和次数分别﹣，4，故答案为：﹣，4．【点评】本题考查了单项式的系数和次数，掌握单项式中的数字因数是单项式的系数是解题的关键．8．（2020秋•浦东新区期末）如果单项式4a2bcm为7次单项式，那么m的值为 4 ．【分析】利用单项式次数定义可得答案．【解答】解：由题意得：2+1+m＝7，解得：m＝4，故答案为：4．【点评】此题主要考查了单项式，关键是掌握单项式次数定义：一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．9．（2021秋•长宁区校级期中）将多项式3x2y﹣6y2+x3﹣x按x降幂排列为 x3+3x2y﹣x﹣6y2 ．【分析】将y看作数，把x看作未知数，按照x的次数从高到低排列即可．【解答】解：将多项式3x2y﹣6y2+x3﹣x按x降幂排列为：x3+3x2y﹣x﹣6y2．故答案为：x3+3x2y﹣x﹣6y2．【点评】本题考查了多项式，将y看作数，把x看作未知数，按照x的次数从高到低排列是解题的关键．10．（2021秋•浦东新区校级期中）单项式的次数是 6 ．【分析】直接利用单项式次数的确定方法分析得出答案．【解答】解：单项式的次数是：6．故答案为：6．【点评】此题主要考查了单项式，正确把握多项式的相关定义是解题的关键．单项式的系数、次数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．11．（2021秋•浦东新区期中）多项式3x2﹣2xy2+xyz3的次数是 5 ．【分析】根据多项式的次数的定义解答即可．【解答】解：多项式3x2﹣2xy2+xyz3的次数是5．故答案为：5．【点评】此题考查多项式，解题的关键是掌握多项式的次数的定义．12．（2020秋•普陀区期末）用代数式表示：“x的倒数与2021的和”是 +2021 ．【分析】用x的倒数加上2021即可．【解答】解：根据题意可知，“x的倒数与2021的和”是+2021．故答案为：+2021．【点评】本题考查了列代数式，主要是对文字语言转化为数学语言的能力的考查．13．（2020秋•黄浦区期末）用代数式表示“x的平方减去y的一半的差”： x2﹣y ．【分析】根据题意，可以用代数式表示出“x的平方减去y的一半的差”．【解答】解：“x的平方减去y的一半的差”可以表示为x2﹣y，故答案为：x2﹣y．【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．14．（2021秋•浦东新区校级期中）把多项式2x2y2+按字母x的降幂排列是 x3y+2x2y2﹣3xy2﹣5y2 ．【分析】先分清多项式的各项，再把各项按字母y的指数从小到大排列即可．【解答】解：多项式2x2y2+x3y﹣5y2﹣3xy2的各项为2x2y2，x3y，﹣5y2，﹣3xy2，按字母x的降幂排列是：x3y+2x2y2﹣3xy2﹣5y2．故答案为：x3y+2x2y2﹣3xy2﹣5y2．【点评】本题考查了多项式的降幂排列的定义：我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小的顺序排列称为按这个字母的降幂排列．多项式能够重新排列的依据是加法的交换律．注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．15．（2021秋•长宁区校级期中）用代数式表示：“x的3倍减去y的差的倒数．” ．【分析】要明确给出文字语言中的运算关系，先求x的3倍数减去y的差，再求倒数．【解答】解：由题意得：．故答案为：．【点评】本题考查了列代数式的知识，列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，比如该题中的“倍”、“差”等，从而明确其中的运算关系，正确地列出代数式．16．（2021秋•浦东新区校级期中）甲工厂在一月份的生产总值为a万元，在2月和3月这两个月中，甲工厂的生产总值平均每月增长的百分率为x，甲工厂3月份的生产总值是 a（1+x）2 万元（用含a、m的代数式表示）．【分析】一般增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），本题可先求出2月份生产总值，再根据2月份的产值列出3月份生产总值的式子，即可得出答案．【解答】解：2月份生产总值为：a（1+x）万元；3月份生产总值为：a（1+x）（1+x）＝a（1+x）2（万元）；故答案为：a（1+x）2．【点评】此题考查列代数式，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b；注意本题是根据2个月的总产值得到相应等量关系．17．（2021秋•奉贤区期中）设甲数是m，乙数是n，用含m、n、的代数式表示“甲乙两数的平方和”为 m2+n2 ．【分析】先求平方后求和．【解答】解：根据题意，得m2+n2．故答案是：m2+n2．【点评】本题考查了列代数式的知识，列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，比如该题中的“平方和”，从而明确其中的运算关系．18．（2021秋•普陀区期中）“a与1和的平方”，用代数式表示是 （a+1）2 ．【分析】先求和，然后计算平方．【解答】解：依题意得：（a+1）2．故答案是：（a+1）2．【点评】本题考查了列代数式．列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，比如该题中的“平方”、“和”等，从而明确其中的运算关系，正确地列出代数式．19．（2021秋•普陀区校级期中）把多项式5﹣xy4+2x2y﹣3x3y2按字母y升幂排列的结果是： ．【分析】根据多项式的定义解决此题．【解答】解：∵多项式5﹣xy4+2x2y﹣3x3y2含5、﹣xy4、2x2y、﹣3x3y2这四项，y的次数分别是0、4、1、2，∴多项式5﹣xy4+2x2y﹣3x3y2按字母y升幂排列的结果是．故答案为：．【点评】本题主要考查多项式，熟练掌握多项式的定义是解决本题的关键．20．（2021秋•浦东新区期中）如图，一个边长为a、b（b＜a）的长方形被平行于边的两条直线所分割，其中长方形的左上角是一个边长为x的正方形，将图中阴影部分的面积S表示为S＝ 2x2﹣ax﹣bx+ab ．【分析】阴影部分分为两部分，一部分为正方形，根据边长表示出面积，另一部分是长方形，表示出长与宽，进而表示出面积，求出两部分的面积和即可．【解答】解：根据题意得：S阴影＝x2+（a﹣x）（b﹣x）＝2x2﹣ax﹣bx+ab．故答案为：2x2﹣ax﹣bx+ab．【点评】此题考查了列代数式，弄清题意是解本题的关键．21．（2021秋•浦东新区校级月考）一个长方形周长是l，长为a，用字母表示该长方形的宽是 l﹣a ．【分析】根据长方形的周长为2（长+宽），表示出宽即可．【解答】解：根据题意得：该长方形的宽为l﹣a．故答案为：l﹣a．【点评】此题考查了列代数式，熟练掌握长方形周长公式是解本题的关键．22．（2021秋•浦东新区期中）已知a和b都是一位数（b≠0），如果把b放置于a的左边组成一个两位数，则这个两位数是 10b+a ．【分析】根据数字表示方法得出两位数即可．【解答】解：根据题意得：10b+a．故答案为：10b+a．【点评】此题考查了列代数式，弄清题意是解本题的关键．23．（2021秋•浦东新区校级月考）窗户形状如图所示，其上部是半圆，下部是边长相同的四个小正方形，边长为a，则窗户面积为 4a2+πa2 ．【分析】利用圆的面积公式及正方形的面积公式表示出窗户的面积即可．【解答】解：根据题意得：窗户面积为（2a）2+πa2＝4a2+πa2．故答案为：4a2+πa2．【点评】此题考查了列代数式，弄清各自的面积公式是解本题的关键．24．（2021秋•普陀区校级月考）已知2a2﹣3a的值是5，则代数式6a2﹣9a﹣8的值等于 7 ．【分析】观察题中的两个代数式2a2﹣3a和6a2﹣9a﹣8，可以发现，6a2﹣9a﹣8＝3（2a2﹣3a）﹣8，代入即可求解．【解答】解：∵2a2﹣3a＝5，∴6a2﹣9a﹣8＝3（2a2﹣3a）﹣8＝3×5﹣8＝7．故答案为：7．【点评】此题主要考查了代数式求值，代数式中的字母没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设入手，寻找要求的代数式与题设之间的关系，然后利用“整体代入法”求代数式的值．25．（2021秋•普陀区校级月考）多项式1﹣x2﹣5x4为 四次三项 多项式（填几次几项）．【分析】因为组成多项式的各单项式叫做多项式的项，把组成多项式的各单项式中最高次项的次数作为这个多项式的次数，由此可确定此多项式的项数、次数．【解答】解：∵组成多项式的各单项式叫做多项式的项，组成多项式的各单项式中最高次项的次数作为这个多项式的次数，∴多项式1﹣x2﹣5x4共有3项，最高次项的次数是4，∴多项式1﹣x2﹣5x4为四次三项多项式，故答案为：四次三项．【点评】此类题目考查了多项式的项和次数的概念，解决本题的关键是熟记多项式的有关概念．26．（2021秋•宝山区校级月考）多项式3x2y﹣5xy2+y﹣2x+6是 三 次多项式，常数项是 6 ．【分析】根据多项式的项和次数的定义解题．由于此多项式共五项3x2y，﹣5xy2，y，﹣2x，6．所以由此可以确定多项式的次数和常数项．【解答】解：多项式3x2y﹣5xy2+y﹣2x+6是三次多项式，常数项是6．故答案为：三，6．【点评】此题考查了多项式，解此类题目时要明确以下概念：（1）组成多项式的每个单项式叫做多项式的项；（2）多项式中次数最高项的次数叫做多项式的次数；（3）多项式中不含字母的项叫常数项．三．解答题（共7小题）27．（2021秋•宝山区校级月考）设甲数为x，乙数为y，用代数式表示：（1）乙数的平方与甲数的的和；（2）甲数的平方减去乙数的倒数的差．【分析】（1）先表示甲数的，然后与乙数的平方相加即可；（2）先表示出甲数的平方和乙数的倒数，然后表示出它们的差．【解答】解：（1）由题意可得：；（2）由题意可得：．【点评】本题考查了列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．28．（2021秋•松江区期中）如图所示，已知正方形的边长为2a．（1）用含有a的代数式表示阴影部分的面积；（2）当a＝2时，求阴影部分的面积．（保留π）【分析】（1）先表示出半圆的面积，再表示出大三角形的面积，最后用正方形的面积减去半圆和大三角形的面积即可得出阴影部分的面积；（2）把a＝2代入（1）中的结论，即可得出答案．【解答】解：（1）由题意得，半圆的面积为＝，大三角形的面积为＝a2，∵正方形的面积为2a×2a＝4a2，∴阴影部分的面积为＝＝（3﹣）a2；（2）当a＝2时，（3﹣）a2＝（3﹣）×22＝12﹣2π，∴阴影部分的面积为12﹣2π．【点评】本题主要考查的是列代数式求值的问题，关键是要牢记圆，三角形和正方形的面积公式．29．（2020秋•嘉定区期末）在某班小组学习的过程中，同学们碰到了这样的问题：“已知＝5，＝3，＝6，求的值”．根据已知条件中式子的特点，同学们会想起+＝，于是问题可转化为：“已知＝+＝5，＝+＝3，＝+＝6，求＝++的值”，这样解答就方便了．（1）通过阅读，试求的值；（2）利用上述解题思路请你解决以下问题：已知＝6，求的值．【分析】（1）由已知＝+＝5，＝+＝3，＝+＝6，可得+++++＝5+3+6，即可得出答案；（2）由已知＝6，可得m+＝6，＝（m+）2﹣2，即可得出答案．【解答】解：（1）∵＝+＝5，＝+＝3，＝+＝6，∴+++++＝5+3+6，∴，∴++＝＝7；（2）∵＝6，∴，，∴m2+＝（m）2﹣2＝62﹣2＝34．∴．【点评】本题主要考查了代数式求值，合理应运题目所给条件是解决本题的关键．30．（2021秋•金山区期中）如图，正方形ABCD的边长等于a，正方形BEFG的边长等于b（a＞b），其中，点G、E分别在AB、BC上．（1）用a、b的代数式表示图中的阴影部分面积；（2）当a＝5，b＝2时，求图中的阴影部分面积．【分析】（1）用正方形ABCD的面积减去正方形BEFG的面积再减去直角三角形AGD与在直角三角形DCE的和即可得出结论；（2）将a＝5，b＝2代入（1）中的代数式计算即可．【解答】解：S阴影＝S正方形ABCD﹣S正方形BEFG﹣（S△ADG+S△DEC）＝＝ab﹣b2．（2）当a＝5，b＝2时，ab﹣b2＝5×2﹣4＝6．【点评】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，正确使用图形的面积公式是解题的关键．31．（2021秋•黄浦区期中）老王想靠着一面足够长的旧墙EF，开垦一块长方形的菜地ABCD，如图所示，菜地的一边靠墙，另外三边用竹篱笆围起来，并在平行于墙的一边BC上留1米宽装门，已知现有竹篱笆长共32米．（1）设垂直于墙面的一边AB长为x米，则BC边的长用含x的代数式可表示为 （33﹣2x） 米．（2）设菜地面积为S，用含x的代数式来表示S．（3）当x＝8时，菜地面积为多少平方米？【分析】（1）根据AB＝x，可得BC＝（32+1）﹣2x，整理可得答案；（2）根据长方形的面积＝长×宽可得答案；（3）把x＝8代入可得菜地的面积．【解答】解：（1）BC＝（32+1）﹣2x＝（33﹣2x）米，故答案为：（33﹣2x）；（2）∵AB＝x，BC＝33﹣2x，∴S＝AB•BC＝x（33﹣2x）＝（﹣2x2+33x）平方米；（3）当x＝8时，S＝﹣2×64+33×8＝136（平方米）．【点评】本题考查列代数式和代数式的值，根据题意列出代数式是解题关键．32．（2020秋•浦东新区校级月考）观察．猜想并填空：观察：32﹣1×5＝4；52﹣3×7＝4；72﹣5×9＝4；猜想： 9 2﹣7×11＝4；132﹣ 11 × 15 ＝4．你通过观察能猜测出什么结论？（用关于n的等式来表示，这里n为正整数）．【分析】通过观察可得92﹣7×11＝4；132﹣11×113＝4，再根据发现的规律得出结论即可．【解答】解：92﹣7×11＝4；132﹣11×113＝4，结论：（2n+1）2﹣（2n﹣1）（2n+3）＝4．故答案为：9；11；15【点评】此题考查了列代数式，数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力，本题的关键规律是：（2n+1）2﹣（2n﹣1）（2n+3）＝4．33．（2021秋•长宁区校级期中）上海某中学准备从网上订购一批篮球和跳绳，经查阅店铺发现：每个篮球定价160元，每根跳绳定价40元．临近“双十一”，该店铺提出了两种优惠方案（两种方案均包邮）：方案A：买一个篮球送一根跳绳；方案B：篮球和跳绳都打9折．已知要购买30个篮球，x根跳绳（x＞30）．（1）若采取A方案，共需付款多少元？若采取B方案，共需付款多少元？（用含x的代数式表示）（2）若x＝80，你认为采取哪种方案更划算？请说明理由．【分析】（1）分别按照两种优惠方案计算篮球和跳绳的费用再相加即可；（2）将x＝80分别代入（1）中的两个代数式，通过比较计算结果即可得出结论．【解答】解：（1）A方案，共需付款：30×160+（x﹣30）×40＝（40x+3600）元；B方案，共需付款：（30×160+40x）×90%＝（36x+4320）元；（2）采取A方案更划算．理由：当x＝80时，40x+3600＝40×80+3600＝6800（元）；36x+4320＝36×80+4320＝7200（元）．∵6800＜7200，∴采取A方案更划算．【点评】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，理解每个方案的收费详情是解题的关键． 第n个图形12345…n的个数369____________…______的个数136____________…______
第01讲 整式（5大考点14种解题方法）考点考向一．列代数式（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． （2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．【规律方法】列代数式应该注意的四个问题1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．二．代数式求值（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．三、单项式 1.单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．要点诠释：（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母．（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积．2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． 要点诠释：（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；（2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数；（3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成．3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．要点诠释：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点：（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；（2）不能将数字的指数一同计算．四、多项式1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式． 要点诠释：“几个”是指两个或两个以上．2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． 要点诠释：（1）多项式的每一项包括它前面的符号． （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式．3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．4.要点诠释：（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．五、 整式单项式与多项式统称为整式．要点诠释：（1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示．即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立．（2）分母中含有字母的式子一定不是整式．考点精讲考点一：代数式题型一：代数式的判断1．（2021秋•浦东新区期中）下列各式中，不是代数式的是（ ）A．5ab2 B．2x+1＝7 C．0 D．4a﹣b2．（2021秋•浦东新区期中）代数式的意义是（ ）A．a与b的平方和除c的商 B．a与b的平方和除以c的商 C．a与b的和的平方除c的商 D．a与b的和的平方除以c的商3．（2021秋•长宁区校级期中）下列各式，哪个是代数式（ ）A． B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．y＞0 D．3m+2≠0题型二：列代数式4．（2021秋•宝山区期末）用代数式表示：x和y的平方和 ．5．（2021秋•金山区期中）用代数式表示“x的2倍与y的和的一半”正确的是（ ）A．2x+y B．2x+y C． D．6．（2021秋•黄浦区期中）如图所示的图形面积为（ ）A．（x+1）2﹣12 B．（x+1）2﹣x2 C．x（x+1） D．（x+1）2﹣2x7．（2021秋•徐汇区校级月考）下列用代数式表示“a与b的和的倒数”正确的是（ ）A．+ B． C．a+ D．+b8．（2021秋•浦东新区期末）电脑原价a元的八五折再减50元后的售价为 元．9．（2021秋•宝山区期末）已知并排放置的正方形ABCD和正方形BEFG如图，其中点E在直线AB上，那么△DEG的面积S1和正方形BEFG的面积S2大小关系是（ ）A．S1＝S2 B．S1＝S2 C．S2＝2S2 D．S1＝S210．（2021秋•普陀区期末）用代数式表示“x的2倍与y的差”为 ．题型三：代数式求值11．（2020秋•虹口区校级期末）当x＝3，y＝2时，代数式的值是（ ）A． B．2 C．0 D．312．（2021秋•浦东新区校级期中）当a＝2时，代数式的值为 ．13．（2020秋•黄浦区期末）当x＝﹣2时，代数式3x2﹣5x的值为 ．14．（2021秋•奉贤区期中）如果2m﹣n＝3，那么代数式5﹣2m+n的值是 ．考点二：单项式题型四：单项式的判断一、单选题1．（2022·上海·七年级专题练习）下列各式，，，，中，单项式的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．42．（2021·上海市西延安中学七年级期中）下列说法正确的是（ ）A．是单项式 B．是单项式C．是单项式 D．（a﹣b）2是单项式3．（2021·上海黄浦·七年级期中）下列代数式中，①；②；③；④1；⑤．是单项式的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2021·上海松江·七年级期中）代数式0，，，，，中，单项式有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二、填空题5．（2021·上海市川沙中学南校七年级期中）在代数式、、、、中是单项式的有__________个；题型五：单项式系数、次数一、单选题1．（2022·上海·七年级期末）单项式的系数与次数依次是（ ）A．4，5 B．－4，5 C．4，6 D．－4，62．（2021·上海浦东新·七年级期中）已知单项式5xayb+2的次数是3次，则a+b的值是（ ）A．1 B．3 C．4 D．0二、填空题3．（2022·上海·七年级期末）如果单项式为7次单项式，那么m的值为_____．4．（2022·上海·七年级期末）单项式的次数是______．5．（2021·上海普陀·七年级期末）单项式的系数是____________，次数是____________．6．（2021·上海黄浦·七年级期中）单项式﹣的系数是____．题型六：写出满足某些特征的单项式一、单选题1．（2019·上海市三林中学七年级阶段练习）系数为－且只含有 x、y 的三次单项式（不需要包含每个字母），可以写出( ) ．A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个二、填空题2．（2019·上海市青浦区华新中学七年级阶段练习）有一含有字母a,b的单项式，它的系数是-2，次数是3，这个单项式是______________题型七：单项式规律题一、填空题1．（2021·上海浦东新·七年级期中）观察下面的单项式：x,,…根据规律写出第7个式子：______.二、解答题2．（2018·上海市川沙中学南校七年级阶段练习）下列单项式按一定规律排列：x，﹣2x2，3x3，﹣4x4，…，9x9，﹣10x10，……（1）写出第99个及第100个单项式；（2）写出第n个单项式．考点三：多项式题型八:多项式的判断一、单选题1．（2021·上海普陀·七年级期末）下列代数式中，多项式是（ ）A． B． C． D．2．（2019·上海松江·七年级期中）代数式 0，，，，，，，中，多项式有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2021·上海·七年级期中）下列代数式中：多项式的个数有（ ）A．1个； B．2个； C．3个； D．4个.4．（2019·上海市洋泾中学南校七年级阶段练习）代数式是（ ）A．二次三项式 B．三次三项式 C．三次四项式 D．四次四项式5．（2019·上海市徐汇中学七年级阶段练习）下列代数式中多项式的个数有（ ）；；；；.A．2 B．3 C．4 D．5题型九:多项式的项、项数或次数一、单选题1．（2020·上海市进才中学北校七年级阶段练习）多项式的项数和次数分别是（ ）A．4，9 B．4，6 C．3，9 D．3，102．（2020·上海市浦东新区建平中学南校七年级阶段练习）组成多项式3x2-x-1的单项式是( )A．3x2，x，1 B．x2，x，1 C．3x2，-x，-1 D．x2，-x，-1二、填空题3．（2021·上海市民办新复兴初级中学七年级期末）多项式是一个______次______项式．4．（2021·上海浦东新·七年级期中）多项式3x2﹣2xy2+xyz3的次数是 ___．5．（2020·上海闵行·七年级期中）多项式的常数项是_____．6．（2021·上海市民办新竹园中学七年级期中）多项式的三次项系数是___．7．（2021·上海·七年级期中）多项式是_______次多项式，常数项是_______．8．（2019·上海市长宁中学七年级阶段练习）多项式是___次____项式，常数项是___．题型十：多项式系数、指数中字母求值一、填空题1．（2020·上海浦东新·七年级阶段练习）如果两个关于的多项式与相等，则___．2．（2020·上海市浦东新区建平中学南校七年级阶段练习）若是五次多项式，则k=________．3．（2019·上海市闵行区明星学校七年级阶段练习）如果关于x,y的多项式不含二次项，那么ab=_________4．（2019·上海市张江集团中学七年级期中）如果多项式是关于的二次二项式，则____________二、解答题5．（2020·上海·南洋中学七年级期中）列式计算：如果减去某个多项式的差是，求这个多项式.6．（2019·上海市江宁学校七年级阶段练习）⑴若是一个二次多项式，求a的值；⑵若上述多项式是一次二项式，求、b的值.7．（2019·上海市进才中学北校七年级阶段练习）求，其中，a是正整数中最小的素数，b是8和12的最大公因数，c是单项式的次数．（结果用幂的形式表示）题型十一：将多项式按某一字母升幂（或降幂）排列一、单选题1．（2019·上海市闵行区明星学校七年级阶段练习）把多项式x3-xy2+x2y+x4-3按x的降幂排列是（ ）A．x4+x3+x2y-3-xy2 B．-xy2+x2y+x4+x3-3 C．-3-xy2+x2y+x3+x4 D．x4+x3+x2y-xy2-3二、填空题2．（2021·上海市西延安中学七年级期中）将多项式3x2y﹣6y2+x3﹣x按x降幂排列为 ___．3．（2021·上海杨浦·七年级期中）把多项式x3＋y3﹣5x2y＋3xy2按字母y降幂排列___．4．（2022·上海·七年级期末）将多项式xy3-x2y+2x3-5y2按字母x降幂排列是：______．5．（2020·上海市南汇第四中学七年级阶段练习）已知多项式（1）把这个多项式按的降幂重新排列；（2）请指出该多项式的次数，并写出它的二次项和常数项．考点四：整式题型十二：整式的判断一、单选题1．（2021·上海市傅雷中学七年级期中）在﹣3，0，2x，，，，a2﹣3ab+b2这些代数式中，整式的个数为（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．（2020·上海市进才中学北校七年级阶段练习）在1，，，，，，，中，整式共有（ ）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个3．（2019·上海市中国中学七年级阶段练习）下列各式中不是整式的是（ ）A．-3 B． C． D．4．（2019·上海市风华初级中学七年级阶段练习）在代数式，，，，，，0，中，整式共有（ ）个.A．5 B．6 C．7 D．85．（2019·上海市同洲模范学校七年级阶段练习）下列代数式中整式有（ ）2x+y， b，，，0，πx+y， aA．4个 B．5个 C．6个 D．7个二、填空题6．（2019·上海市省吾中学七年级阶段练习）在①；②；③；④－；⑤；⑥中，______是整式.（填写序号）考点五：规律探索题型十三：数字类规律探索一、填空题1．（2021·上海市西延安中学七年级期中）观察下列格式：（1）；（2）；（3）；（4）；……那么，第n个式子可表示为：___．2．（2020·上海市浦东新区建平中学南校七年级阶段练习）观察．猜想并填空：观察：32-15=4； 52-37=4；72-59=4；猜想：（ ）2-711=4；132- =4你通过观察能猜测出什么结论？ （用关于n的等式来表示，这里n为正整数）．3．（2021·上海市民办新北郊初级中学七年级期末）设一列数中相邻的三个数依次为m，n，p，且满足p=m2﹣n，若这列数为﹣1，3，﹣2，a，b，128…，则b=________.二、解答题4．（2022·上海·七年级期末）观察下列等式，探究其中的规律：；；；；…(1)根据上面等式的规律可得：（其中n是正整数）＝ ；＝ ；(2)根据（1）小题的规律计算：．5．（2022·上海·七年级专题练习）阅读下面材料并完成填空：你能比较两个数20162017和20172016的大小吗？为了解决这个问题先把问题一般化，要比较nn＋1和（n＋1）n的大小（的整数），先从分析n＝1，＝2，＝3，……这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论．(1)通过计算，比较下列①—⑦各组中两个数的大小（在横线上填“＞、＝、＜”号①12 21；②23 32；③34 43；④45 54；⑤56 65；⑥67 76；⑦78 87．(2)对第（1）小题的结果进行归纳，猜想出nn＋1和（n＋1）n的大小关系： ．(3)根据上面的归纳结果猜想得到的一般结论是：20162017 20172016．6．（2020·上海市徐汇中学七年级阶段练习）老师在黑板上写出几个算式：，……李明同学接着又写了具有同样规律的算式：，(1)请你用字母概括上述算式的规律：__________________________(2)请说明这个规律的正确性．7．（2021·上海·七年级期中）先观察下列各式的规律：(1)由上述一系列算式，你能发现什么规律？请用含代数式表达这个规律(2)应用上述规律计算：题型十四：图形类规律探索1．（2022·上海·七年级期末）用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐次加1的规律拼成一列图案：第n个图案含有白色纸片______________张．2．（2022·上海·七年级期末）如图，用长度相等的小木棒搭成的三角形网格，当层数为n时，所需小木棒的根数为________________．3．（2022·上海·七年级期末）已知P为△ABC的边BC上一点，△ABC的面积为a，B1、C1分别为AB、AC上的中点，则△PB1C1的面积为，B2、C2分别为B1B、C1C上的中点，则△PB2C2的面积为，B3、C3分别为B2B、C2C上的中点，则△PB3C3的面积为，B4、C4分别为B3B、C3C上的中点，则△PB4C4的面积为，按此规律可知，△PB7C7的面积为___________．4．（2022·上海·七年级专题练习）如图，一个边长是1的等边三角形ABC，将它沿直线l作顺时针方向滚动，求滚动100次，B点所经过的路程____________．（结果保留）5．（2020·上海闵行·七年级期中）如图，将一个正方形纸片分割成四个面积相等的小正方形纸片，然后将其中一个小正形纸片再分割成四个面积相等的小正方形纸片．如此分割下去，第次分割后，共有正方形纸片_____块（用含的代数式表示）二、解答题6．（2021·上海·七年级期中）下列各图形中的“ ”的个数和“ ”的个数是按照一定规律摆放的：(1)观察图形，填写下表：(2)当 n=_____时，“ ”的个数是“ ”的个数的 2 倍巩固提升一．选择题（共6小题）1．（2020秋•普陀区期末）下列代数式中，多项式是（ ）A．x6 B．﹣ C．ax+b D．2．（2021秋•浦东新区期中）已知单项式5xayb+2的次数是3次，则a+b的值是（ ）A．1 B．3 C．4 D．03．（2021秋•青浦区月考）在代数式3xy，，6π，﹣a﹣b，0，中，单项式有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2020秋•奉贤区期末）下列说法正确的是（ ）A．a2+2a+32是三次三项式 B．的系数是4 C．的常数项是﹣3 D．0是单项式5．（2020秋•松江区期末）单项式﹣4x3y2的系数与次数依次是（ ）A．4，5 B．﹣4，5 C．4，6 D．﹣4，66．（2021秋•普陀区期末）下列说法中正确的是（ ）A．是整式 B．多项式2x2﹣y2+xy﹣4x3y3按字母x升幂排列为﹣4x3y3+2x2+xy﹣y2 C．2x是一次单项式 D．a3b+2a2b﹣3ab的二次项系数是3二．填空题（共20小题）7．（2020秋•普陀区期末）单项式﹣ab2c的系数是 ，次数是 ．8．（2020秋•浦东新区期末）如果单项式4a2bcm为7次单项式，那么m的值为 ．9．（2021秋•长宁区校级期中）将多项式3x2y﹣6y2+x3﹣x按x降幂排列为 ．10．（2021秋•浦东新区校级期中）单项式的次数是 ．11．（2021秋•浦东新区期中）多项式3x2﹣2xy2+xyz3的次数是 ．12．（2020秋•普陀区期末）用代数式表示：“x的倒数与2021的和”是 ．13．（2020秋•黄浦区期末）用代数式表示“x的平方减去y的一半的差”： ．14．（2021秋•浦东新区校级期中）把多项式2x2y2+按字母x的降幂排列是 ．15．（2021秋•长宁区校级期中）用代数式表示：“x的3倍减去y的差的倒数．” ．16．（2021秋•浦东新区校级期中）甲工厂在一月份的生产总值为a万元，在2月和3月这两个月中，甲工厂的生产总值平均每月增长的百分率为x，甲工厂3月份的生产总值是 万元（用含a、m的代数式表示）．17．（2021秋•奉贤区期中）设甲数是m，乙数是n，用含m、n、的代数式表示“甲乙两数的平方和”为 ．18．（2021秋•普陀区期中）“a与1和的平方”，用代数式表示是 ．19．（2021秋•普陀区校级期中）把多项式5﹣xy4+2x2y﹣3x3y2按字母y升幂排列的结果是： ．20．（2021秋•浦东新区期中）如图，一个边长为a、b（b＜a）的长方形被平行于边的两条直线所分割，其中长方形的左上角是一个边长为x的正方形，将图中阴影部分的面积S表示为S＝ ．21．（2021秋•浦东新区校级月考）一个长方形周长是l，长为a，用字母表示该长方形的宽是 ．22．（2021秋•浦东新区期中）已知a和b都是一位数（b≠0），如果把b放置于a的左边组成一个两位数，则这个两位数是 ．23．（2021秋•浦东新区校级月考）窗户形状如图所示，其上部是半圆，下部是边长相同的四个小正方形，边长为a，则窗户面积为 ．24．（2021秋•普陀区校级月考）已知2a2﹣3a的值是5，则代数式6a2﹣9a﹣8的值等于 ．25．（2021秋•普陀区校级月考）多项式1﹣x2﹣5x4为 多项式（填几次几项）．26．（2021秋•宝山区校级月考）多项式3x2y﹣5xy2+y﹣2x+6是 次多项式，常数项是 ．三．解答题（共7小题）27．（2021秋•宝山区校级月考）设甲数为x，乙数为y，用代数式表示：（1）乙数的平方与甲数的的和；（2）甲数的平方减去乙数的倒数的差．28．（2021秋•松江区期中）如图所示，已知正方形的边长为2a．（1）用含有a的代数式表示阴影部分的面积；（2）当a＝2时，求阴影部分的面积．（保留π）29．（2020秋•嘉定区期末）在某班小组学习的过程中，同学们碰到了这样的问题：“已知＝5，＝3，＝6，求的值”．根据已知条件中式子的特点，同学们会想起+＝，于是问题可转化为：“已知＝+＝5，＝+＝3，＝+＝6，求＝++的值”，这样解答就方便了．（1）通过阅读，试求的值；（2）利用上述解题思路请你解决以下问题：已知＝6，求的值．30．（2021秋•金山区期中）如图，正方形ABCD的边长等于a，正方形BEFG的边长等于b（a＞b），其中，点G、E分别在AB、BC上．（1）用a、b的代数式表示图中的阴影部分面积；（2）当a＝5，b＝2时，求图中的阴影部分面积．31．（2021秋•黄浦区期中）老王想靠着一面足够长的旧墙EF，开垦一块长方形的菜地ABCD，如图所示，菜地的一边靠墙，另外三边用竹篱笆围起来，并在平行于墙的一边BC上留1米宽装门，已知现有竹篱笆长共32米．（1）设垂直于墙面的一边AB长为x米，则BC边的长用含x的代数式可表示为 米．（2）设菜地面积为S，用含x的代数式来表示S．（3）当x＝8时，菜地面积为多少平方米？32．（2020秋•浦东新区校级月考）观察．猜想并填空：观察：32﹣1×5＝4；52﹣3×7＝4；72﹣5×9＝4；猜想： 2﹣7×11＝4；132﹣ × ＝4．你通过观察能猜测出什么结论？（用关于n的等式来表示，这里n为正整数）．33．（2021秋•长宁区校级期中）上海某中学准备从网上订购一批篮球和跳绳，经查阅店铺发现：每个篮球定价160元，每根跳绳定价40元．临近“双十一”，该店铺提出了两种优惠方案（两种方案均包邮）：方案A：买一个篮球送一根跳绳；方案B：篮球和跳绳都打9折．已知要购买30个篮球，x根跳绳（x＞30）．（1）若采取A方案，共需付款多少元？若采取B方案，共需付款多少元？（用含x的代数式表示）（2）若x＝80，你认为采取哪种方案更划算？请说明理由． 第n个图形12345…n的个数369____________…______的个数136____________…______第01讲 整式（5大考点14种解题方法）考点考向一．列代数式（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． （2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．【规律方法】列代数式应该注意的四个问题1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．二．代数式求值（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．三、单项式 1.单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．要点诠释：（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母．（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积．2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． 要点诠释：（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；（2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数；（3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成．3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．要点诠释：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点：（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；（2）不能将数字的指数一同计算．四、多项式1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式． 要点诠释：“几个”是指两个或两个以上．2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． 要点诠释：（1）多项式的每一项包括它前面的符号． （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式．3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．4.要点诠释：（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．五、 整式单项式与多项式统称为整式．要点诠释：（1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示．即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立．（2）分母中含有字母的式子一定不是整式．考点精讲考点一：代数式题型一：代数式的判断1．（2021秋•浦东新区期中）下列各式中，不是代数式的是（ ）A．5ab2 B．2x+1＝7 C．0 D．4a﹣b【分析】利用代数式的定义判断即可．【解答】解：2x+1＝7为等式，不是代数式，其它都是代数式．故选：B．【点评】本题主要考查了代数式，解题的关键是熟记代数式的定义．2．（2021秋•浦东新区期中）代数式的意义是（ ）A．a与b的平方和除c的商 B．a与b的平方和除以c的商 C．a与b的和的平方除c的商 D．a与b的和的平方除以c的商【分析】（a+b）2表示a与b的和的平方，然后再表示除以c的商．【解答】解：代数式的意义是a与b的和的平方除以c的商，故选：D．【点评】此题主要考查了列代数式，关键是根据计算顺序描述．3．（2021秋•长宁区校级期中）下列各式，哪个是代数式（ ）A． B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．y＞0 D．3m+2≠0【分析】根据代数式的定义对各选项的式子进行判断即可．【解答】解：A、是代数式，故此选项符合题意；B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）为等式，不是代数式，故此选项不符合题意；C、y＞0为不等式，不是代数式，故此选项不符合题意；D、3m+2≠0为不等式，不是代数式，故此选项不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了代数式．解题的关键是掌握代数式的定义．代数式的定义：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式．题型二：列代数式4．（2021秋•宝山区期末）用代数式表示：x和y的平方和 ．【分析】首先表示x与y的平方，再把它们相加即可求解．【解答】解：x和y的平方和为x2+y2．故答案为：x2+y2．【点评】此题主要考查了列代数式，关键是分清数量之间的关系．5．（2021秋•金山区期中）用代数式表示“x的2倍与y的和的一半”正确的是（ ）A．2x+y B．2x+y C． D．【分析】x的2倍是2x，然后求和，最后乘以．【解答】解：x的2倍表示为2x，x的2倍与y的和表示为（2x+y），则“x的2倍与y的和的一半”表示为（2x+y），故选：C．【点评】本题主要考查列代数式，把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．注意代数式书写规范．6．（2021秋•黄浦区期中）如图所示的图形面积为（ ）A．（x+1）2﹣12 B．（x+1）2﹣x2 C．x（x+1） D．（x+1）2﹣2x【分析】此图形的面积等于两个正方形的面积的差，据此可以列出方程．【解答】解：根据题意得：S＝（x+1）2﹣12，故选：A．【点评】本题考查了列代数式，解题的关键是明确题目中的不规则图形的面积计算方法．7．（2021秋•徐汇区校级月考）下列用代数式表示“a与b的和的倒数”正确的是（ ）A．+ B． C．a+ D．+b【分析】根据题意先表示出a与b的和，进而表示出和的倒数即可．【解答】解：用代数式表示“a与b的和的倒数”为．故选：B．【点评】此题考查了列代数式，弄清题意是解本题的关键．8．（2021秋•浦东新区期末）电脑原价a元的八五折再减50元后的售价为 元．【分析】根据题意首先表示出原价八五折的价格，再减50得出答案．【解答】解：由题意可得：0.85a﹣50．故答案为：（0.85a﹣50）．【点评】此题主要考查了列代数式，正确理解题意折数的意义是解题关键．9．（2021秋•宝山区期末）已知并排放置的正方形ABCD和正方形BEFG如图，其中点E在直线AB上，那么△DEG的面积S1和正方形BEFG的面积S2大小关系是（ ）A．S1＝S2 B．S1＝S2 C．S2＝2S2 D．S1＝S2【分析】连接BD，可得BD∥EG，则有S△DEG＝S△BEG＝S正方形BEFG.从而得出答案．【解答】解：连接BD，∵四边形ABCD、BEFG是正方形，∴∠ABD＝∠BEG＝45°，∴BD∥EG，∴S△DEG＝S△BEG＝S正方形BEFG，∴S1＝S2，故选：A．【点评】本题主要考查了正方形的性质，平行线的判定与性质等知识，证明BD∥EG是解题的关键．10．（2021秋•普陀区期末）用代数式表示“x的2倍与y的差”为 ．【分析】根据题意可以用代数式表示出x的2倍与y的差．【解答】解：用代数式表示“x的2倍与y的差”为：2x﹣y，故答案为：2x﹣y．【点评】本题考查列代数式，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式．题型三：代数式求值11．（2020秋•虹口区校级期末）当x＝3，y＝2时，代数式的值是（ ）A． B．2 C．0 D．3【分析】当x＝3，y＝2时，直接代入代数式即可得到结果．【解答】解：＝＝【点评】此题较简单，代入时细心即可．12．（2021秋•浦东新区校级期中）当a＝2时，代数式的值为 ．【分析】把a＝2代入计算即可．【解答】解：把a＝2代入＝＝4；故答案为：4．【点评】本题考查了代数式的求值，掌握用数值代替代数式里的字母进行计算，正确计算结果是解题关键．13．（2020秋•黄浦区期末）当x＝﹣2时，代数式3x2﹣5x的值为 ．【分析】把x＝﹣2代入代数式计算即可得到结果．【解答】解：把x＝﹣2代入得：原式＝3×（﹣2）2﹣5×（﹣2）＝3×4﹣5×（﹣2）＝12+10＝22．故答案为：22．【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．（2021秋•奉贤区期中）如果2m﹣n＝3，那么代数式5﹣2m+n的值是 ．【分析】把代数式5﹣2m+n化简为5﹣（2m﹣n），再将2m﹣n＝3代入即可．【解答】解；∵5﹣2m+n＝5﹣（2m﹣n），∴当2m﹣n＝3时，原式＝5﹣3＝2，故答案为：2．【点评】此题考查了用整体思想求代数式的值的能力，关键是能将原代数式化简为含有2m﹣n的形式．考点二：单项式题型四：单项式的判断一、单选题1．（2022·上海·七年级专题练习）下列各式，，，，中，单项式的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据单项式定义判断即可．【详解】数字与字母的乘积组成单项式，单独的数字和字母也是单项式．，，是单项式．故选：．【点睛】本题考查单项式的定义：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式,单独的一个数或一个字母也叫做单项式，正确理解定义是求解本题的关键．2．（2021·上海市西延安中学七年级期中）下列说法正确的是（ ）A．是单项式 B．是单项式C．是单项式 D．（a﹣b）2是单项式【答案】B【分析】根据单项式和多项式的定义进行逐一判断即可．【详解】解：A、，分母含有字母不是单项式，故不符合题意；B、是一个常数，是单项式，符合题意；C、是多项式不是单项式，故不符合题意；D、是多项式不是单项式，故不符合题意；故选B．【点睛】本题主要考查了单项式的定义，多项式的定义及其次数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数．3．（2021·上海黄浦·七年级期中）下列代数式中，①；②；③；④1；⑤．是单项式的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据单项式的定义：单项式是数与字母的乘积，单独的数或字母也是单项式，从而进行判断即可．【详解】解：单项式有：①④，共有2个，故选B．【点睛】本题考查了单项式的定义，解题的关键是正确理解单项式的定义．4．（2021·上海松江·七年级期中）代数式0，，，，，中，单项式有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】根据单项式的定义“由数或字母的积组成的代数式叫做单项式”即可得．【详解】解：根据单项式的定义得：0，，是单项式，共3个，故选B．【点睛】本题考查了单项式，解题的关键是掌握单项式的定义．二、填空题5．（2021·上海市川沙中学南校七年级期中）在代数式、、、、中是单项式的有__________个；【答案】2【分析】利用单项式的定义：表示数字和字母乘积的式子，单独的一个数或一个字母也是单项式，逐个分析即可求出答案．【详解】解：根据单项式定义可得出代数式、、、、中是单项式的有、，故答案为：2．【点睛】此题考查了单项式，解题的关键是掌握单项式的定义．题型五：单项式系数、次数一、单选题1．（2022·上海·七年级期末）单项式的系数与次数依次是（ ）A．4，5 B．－4，5 C．4，6 D．－4，6【答案】B【分析】利用单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，进而分析即可．【详解】解：单项式的系数与次数依次是-4和5，故选：B．【点睛】本题主要考查了单项式，正确把握单项式的次数与系数确定方法是解题关键．2．（2021·上海浦东新·七年级期中）已知单项式5xayb+2的次数是3次，则a+b的值是（ ）A．1 B．3 C．4 D．0【答案】A【分析】根据单项式的次数的概念求解．【详解】解：由题意得：a+b+2=3，∴a+b=1．故选：A．【点睛】本题考查了单项式的有关概念，解答本题的关键是掌握单项式的次数：所有字母的指数和．二、填空题3．（2022·上海·七年级期末）如果单项式为7次单项式，那么m的值为_____．【答案】4【分析】根据单项式次数的定义，算出m的值．【详解】解：∵单项式的次数为7，∴，解得．故答案是：4．【点睛】本题考查单项式的次数，解题的关键是掌握单项式次数的定义．4．（2022·上海·七年级期末）单项式的次数是______．【答案】4【分析】根据单项式的次数是所有字母的指数和来求解即可．【详解】单项式的次数是4．故答案为：4【点睛】本题考查的是单项式的次数，掌握单项式的次数的定义是关键．5．（2021·上海普陀·七年级期末）单项式的系数是____________，次数是____________．【答案】 4【分析】根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，即可得出答案．【详解】单项式的系数是，次数是4．故答案为：；4．【点睛】本题考查了单项式的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握单项式系数及次数的定义．6．（2021·上海黄浦·七年级期中）单项式﹣的系数是____．【答案】【分析】直接根据单项式的系数的定义得出答案，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．【详解】单项式﹣的系数是．故答案为：．【点睛】本题考查了单项式的系数，理解单项式的系数是解题的关键．题型六：写出满足某些特征的单项式一、单选题1．（2019·上海市三林中学七年级阶段练习）系数为－且只含有 x、y 的三次单项式（不需要包含每个字母），可以写出( ) ．A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个【答案】C【分析】根据单项式的概念求解．【详解】这样的单项式为：xy2，x2y，，，共4个．故选C．【点睛】本题考查了单项式的知识，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．二、填空题2．（2019·上海市青浦区华新中学七年级阶段练习）有一含有字母a,b的单项式，它的系数是-2，次数是3，这个单项式是______________【答案】-2ab2（答案不唯一）．【分析】根据单项式的定义写出符合条件的单项式即可；【详解】符合条件的单项式可以为：-2ab2（答案不唯一）．故答案为-2ab2（答案不唯一）．【点睛】此题考查单项式，解题关键在于掌握其定义.题型七：单项式规律题一、填空题1．（2021·上海浦东新·七年级期中）观察下面的单项式：x,,…根据规律写出第7个式子：______.【答案】【分析】根据题意可得出变化规律：n为奇数项符号为正，n为偶数项符号为负，数字变化规律是，字母变化规律是，根据变化规律即可写出式子．【详解】根据题意可得出变化规律：n为奇数项符号为正，n为偶数项符号为负，数字变化规律是，字母变化规律是，各单项式的系数依次是1,−2,4,−8,…;次数依次是1,2,3,4…;可以推出第七个式子的系数应该是64,次数是7,即．故答案为．【点睛】此题考查单项式，解题关键在于根据题意找出式子的变化规律.二、解答题2．（2018·上海市川沙中学南校七年级阶段练习）下列单项式按一定规律排列：x，﹣2x2，3x3，﹣4x4，…，9x9，﹣10x10，……（1）写出第99个及第100个单项式；（2）写出第n个单项式．【答案】第99个单项式是99x99，第100个单项式是﹣100x100；（2）第n个单项式是（﹣1）n+1•nxn．【分析】（1）、（2）通过观察题意可得：奇数项的系数为正，偶数项的系数为负，且系数的绝对值与自然数序号相同，次数也与与自然数序号相同．由此可解出本题．【详解】解：（1）第99个单项式是99x99，第100个单项式是﹣100x100；（2）第n个单项式是（﹣1）n+1•nxn．【点睛】本题考查了单项式的有关概念．确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键．考点三：多项式题型八:多项式的判断一、单选题1．（2021·上海普陀·七年级期末）下列代数式中，多项式是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式进行作答．【详解】A、B选项是单项式，C选项是多项式，D选项不是单项式也不是多项式故选：C【点睛】本题主要考查了多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式．注意不要与单项式、分式的定义相混淆．数字与字母的乘积叫做单项式，单独的一个数或字母也叫单项式．单项式一定不含有加减运算，而多项式含有加减运算，多项式的分母中一定不含字母．2．（2019·上海松江·七年级期中）代数式 0，，，，，，，中，多项式有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】直接利用多项式的定义，几个单项式的和叫做多项式，进而得出答案．【详解】解：代数式 0，，，，，，，中，多项式有，，，共3个，故选C．【点睛】此题主要考查了多项式的定义，正确把握多项式定义是解题关键．3．（2021·上海·七年级期中）下列代数式中：多项式的个数有（ ）A．1个； B．2个； C．3个； D．4个.【答案】C【分析】根据多项式的定义对题目进行分析即可得到答案.【详解】根据多项式的定义可知多项式有共有3个，故答案为C.【点睛】本题考查多项式的定义，解题的关键是掌握多项式的定义.4．（2019·上海市洋泾中学南校七年级阶段练习）代数式是（ ）A．二次三项式 B．三次三项式 C．三次四项式 D．四次四项式【答案】C【分析】根据多项式的定义进行判断即可.【详解】代数式的最高次项是，它是三次项；这个代数式共有四项，所以它是三次四项式.故选C.【点睛】本题主要考查多项式的定义，熟练掌握定义是关键.5．（2019·上海市徐汇中学七年级阶段练习）下列代数式中多项式的个数有（ ）；；；；.A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据多项式的定义即可判断.【详解】为单项式；为多项式；为多项式；为分式；为多项式.故有3个，故选B.【点睛】此题主要考查多项式的识别，解题的关键是熟知多项式的定义.题型九:多项式的项、项数或次数一、单选题1．（2020·上海市进才中学北校七年级阶段练习）多项式的项数和次数分别是（ ）A．4，9 B．4，6 C．3，9 D．3，10【答案】B【分析】根据项数和次数的定义即可求解．【详解】解：多项式的项数是4，次数是6，故答案为：B．【点睛】本题考查多项式的项数和次数，掌握多项式项数和次数的定义是解题的关键．2．（2020·上海市浦东新区建平中学南校七年级阶段练习）组成多项式3x2-x-1的单项式是( )A．3x2，x，1 B．x2，x，1 C．3x2，-x，-1 D．x2，-x，-1【答案】C【分析】根据多项式的项的定义即可求解．【详解】解：该多项式一共有3项，分别为、、，故选：C．【点睛】本题考查多项式的定义，能够识别组成多项式的各项是解题的关键．二、填空题3．（2021·上海市民办新复兴初级中学七年级期末）多项式是一个______次______项式．【答案】 五 四【分析】根据多项式的项，次数、项数定义，即可判断．【详解】解析：多项式有四项，最高次项的次数为五．故该多项式是五次四项式．故答案为：五，四．【点睛】本题考查了多项式的项、项数、次数，掌握多项式的项、项数、次数是解题的关键．4．（2021·上海浦东新·七年级期中）多项式3x2﹣2xy2+xyz3的次数是 ___．【答案】5【分析】根据多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数解答．【详解】解：多项式3x2﹣2xy2+xyz3的次数是5．故答案为：5．【点睛】本题考查的是多项式的概念，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．5．（2020·上海闵行·七年级期中）多项式的常数项是_____．【答案】【分析】根据多项式的项和次数的定义解题．【详解】解：． 常数项是．故答案为：．【点睛】本题考查了多项式，解此类题目时要明确以下概念：（1）组成多项式的每个单项式叫做多项式的项；（2）多项式中次数最高项的次数叫做多项式的次数；（3）多项式中不含字母的项叫常数项．6．（2021·上海市民办新竹园中学七年级期中）多项式的三次项系数是___．【答案】【分析】先把多项式化为再确定多项式的三次项为 从而可得答案.【详解】解：多项式可化为： 三次项为 所以三次项的系数为，故答案为：．【点睛】本题考查的是多项式的项的概念，组成多项式的单项式叫做多项式的项，掌握“多项式的项的含义”是解题的关键.7．（2021·上海·七年级期中）多项式是_______次多项式，常数项是_______．【答案】 三 【分析】根据多项式的定义即可得．【详解】多项式是三次多项式，常数项是，故答案为：三、．【点睛】本题考查了多项式，掌握理解多项式的概念是解题关键．8．（2019·上海市长宁中学七年级阶段练习）多项式是___次____项式，常数项是___．【答案】 三 四 ﹣【分析】根据多项式的有关概念，即可得到答案.【详解】解：多项式是三次四项式，常数项为﹣；故答案为：三、四、﹣．【点睛】此题主要考查了多项式，解题的关键是掌握多项式定义．题型十：多项式系数、指数中字母求值一、填空题1．（2020·上海浦东新·七年级阶段练习）如果两个关于的多项式与相等，则___．【答案】10【分析】将两个多项式的各项系数进行比较，即可得a、b、c的值．【详解】由题意得：＝，∴a＝4，b＝－2，c＝－3，∴a＋bc＝4＋6＝10，故答案为：10．【点睛】此题主要考查了整式的加减−−化简求值，关键是正确把式子进行化简．2．（2020·上海市浦东新区建平中学南校七年级阶段练习）若是五次多项式，则k=________．【答案】4【分析】根据多项式次数的定义列方程即可求得k的值．【详解】解：是五次多项式，，解得：，故答案为：4．【点睛】本题考查了多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．3．（2019·上海市闵行区明星学校七年级阶段练习）如果关于x,y的多项式不含二次项，那么ab=_________【答案】【分析】先把多项式进行化简，根据多项式不含二次项，即可求出a、b的值，即可得到答案.【详解】解：∵==，∵多项式不含二次项，∴，解得：，∴；故答案为.【点睛】本题考查了多项式，解题的关键是根据不含二次项求出a、b的值.4．（2019·上海市张江集团中学七年级期中）如果多项式是关于的二次二项式，则____________【答案】18【分析】根据多项式的定义得到m+1=2，n﹣2=0，据此可以求得答案．【详解】∵多项式πxm+1+(n﹣2)x+35是关于x的二次二项式，∴m+1=2，n﹣2=0，∴m=1，n=2，∴2m•3n=21×32=2×9=18．故答案为：18．【点睛】本题考查了多项式的有关定义．解答本题的关键是掌握多项式的定义，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．二、解答题5．（2020·上海·南洋中学七年级期中）列式计算：如果减去某个多项式的差是，求这个多项式.【答案】【详解】 这个多项式是【点睛】此题考查多项式，解题关键在于结合题意计算多项式即可.6．（2019·上海市江宁学校七年级阶段练习）⑴若是一个二次多项式，求a的值；⑵若上述多项式是一次二项式，求、b的值.【答案】（1）a≠3；（2）a=3且b≠1【分析】（1）运用合并同类项的法则可将3x2-x-ax2+bx+1化为(3-a)x2+(b-1)x+1；再运用二次多项式的定义即可求解；（2）运用合并同类项的法则可将3x2-x-ax2+bx+1化为(3-a)x2+(b-1)x+1；再运用一次二项式的定义即可求解.【详解】解：（1）=(3-a)x2+(b-1)x+1是一个二次多项式∴3-a≠0即a≠3；（2）=(3-a)x2+(b-1)x+1是一次二项式∴3-a=0，且b-1≠0∴a=3且b≠1故答案为（1）a≠3；（2）a=3且b≠1【点睛】本题主要考查了多项式的定义，熟练多项式的定义是解题的关键.7．（2019·上海市进才中学北校七年级阶段练习）求，其中，a是正整数中最小的素数，b是8和12的最大公因数，c是单项式的次数．（结果用幂的形式表示）【答案】【分析】根据有理数与代数式的性质求出a,b,c的值，故可求解.【详解】∵a是正整数中最小的素数，b是8和12的最大公因数，c是单项式的次数∴a=2,b=4,c=8,∴=【点睛】此题主要考查代数式的值，解题的关键是熟知有理数的性质及代数式的特点.题型十一：将多项式按某一字母升幂（或降幂）排列一、单选题1．（2019·上海市闵行区明星学校七年级阶段练习）把多项式x3-xy2+x2y+x4-3按x的降幂排列是（ ）A．x4+x3+x2y-3-xy2 B．-xy2+x2y+x4+x3-3 C．-3-xy2+x2y+x3+x4 D．x4+x3+x2y-xy2-3【答案】D【分析】为了书写的美观与今后计算的方便，将多项式各项的位置按某个字母的指数从大到小的顺序排列就叫做按该字母的降幂排列，由此判断即可．【详解】解：把多项式x3-xy2+x2y+x4-3按x的降幂排列是x4+x3+x2y-xy2-3，故选：D．【点睛】本题考查多项式的升幂与降幂排列，理解升幂或降幂排列的基本方法是解题关键．二、填空题2．（2021·上海市西延安中学七年级期中）将多项式3x2y﹣6y2+x3﹣x按x降幂排列为 ___．【答案】【分析】根据多项式中次数的概念求解即可．【详解】解：将多项式3x2y﹣6y2+x3﹣x按x降幂排列为：，故答案为：．【点睛】此题考查了多项式中次数的概念，解题的关键是熟练掌握多项式中次数的概念．3．（2021·上海杨浦·七年级期中）把多项式x3＋y3﹣5x2y＋3xy2按字母y降幂排列___．【答案】【分析】先将多项式的各项写出来，再根据降幂排列的定义“如果多项式含有两个或两个以上的字母，则分清按哪个字母来排列，确定好后，把多项式按含有确定好的字母的次数由高到低排列出来叫做降幂排列”进行解答即可得．【详解】解：多项式各项为：，，，，按字母y降幂排列为：，故答案为：．【点睛】本题考查了多项式，解题的关键是掌握降幂排列的定义．4．（2022·上海·七年级期末）将多项式xy3-x2y+2x3-5y2按字母x降幂排列是：______．【答案】2x3-x2y+xy3-5y2【分析】按x的指数从大到小排列各项即可．【详解】解：将多项式xy3-x2y+2x3-5y2按字母x降幂排列是：2x3-x2y+xy3-5y2，故答案为2x3-x2y+xy3-5y2．【点睛】本题考查多项式，考查的知识点为：把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．5．（2020·上海市南汇第四中学七年级阶段练习）已知多项式（1）把这个多项式按的降幂重新排列；（2）请指出该多项式的次数，并写出它的二次项和常数项．【答案】（1）；（2）该多项式的次数是5，它的二次项是，常数项是【分析】（1）将多项式按x的降幂重新排列即可．（2）多项式次数最高的项的次数即为该多项式的次数，再写出它的二次项和常数项即可．【详解】（1）按降幂排列为：．（2）该多项式的次数是5，它的二次项是，常数项是．【点睛】本题主要考查多项式的次数的概念，熟记多项式的次数的概念是解题关键．考点四：整式题型十二：整式的判断一、单选题1．（2021·上海市傅雷中学七年级期中）在﹣3，0，2x，，，，a2﹣3ab+b2这些代数式中，整式的个数为（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】D【分析】根据整式的定义，即单项式和多项式统称为整式判断即可；【详解】根据已知代数式可知，整式有：﹣3，0，2x，，a2﹣3ab+b2共有5个；故选D．【点睛】本题主要考查了整式的判断，准确分析判断是解题的关键．2．（2020·上海市进才中学北校七年级阶段练习）在1，，，，，，，中，整式共有（ ）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】C【分析】根据整式的定义即可得出答案．【详解】解：根据整式的定义1，，，，这些都是整式故选：C．【点睛】本题考查整式的定义，属于基础题型．3．（2019·上海市中国中学七年级阶段练习）下列各式中不是整式的是（ ）A．-3 B． C． D．【答案】C【分析】根据整式的定义依次进行判断即可.【详解】解：A.-3是整式，故A错误；B.是整式，故B错误；C.是分式不是整式，故C正确；D. 是整式，故D错误；故选：C．【点睛】本题考查了整式和分式的概念，掌握分式和整式的概念是解题的关键.4．（2019·上海市风华初级中学七年级阶段练习）在代数式，，，，，，0，中，整式共有（ ）个.A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】整式是代数式的一部分，在代数式中可以包含加，减，乘，除，乘方五种运算，但在整式中除数（分母）不能含有字母，整式分为单项式和多项式.【详解】为单项式，也是整式；是单项式，也是整式；分母中含有字母，故不是整式；是多项式，也是整式；是多项式，也是整式；是多项式，也是整式；0是单项式，也是整式；是多项式，也是整式.故选C.【点睛】此题考查的是整式，掌握整式是分母中不能含字母的代数式是解决此题的关键.5．（2019·上海市同洲模范学校七年级阶段练习）下列代数式中整式有（ ）2x+y， b，，，0，πx+y， aA．4个 B．5个 C．6个 D．7个【答案】C【分析】根据单项式和多项式统称为整式．单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法．多项式是若干个单项式的和，有加减法，可得答案．【详解】解：整式有：2x+y，，，0，πx+y， a，共6个；故选择：C.【点睛】本题考查了整式，单项式和多项式统称为整式，注意分母中含有字母的式子是分式不是整式．二、填空题6．（2019·上海市省吾中学七年级阶段练习）在①；②；③；④－；⑤；⑥中，______是整式.（填写序号）【答案】①②④.【分析】直接利用整式的定义分析得出答案．【详解】在①；②；③；④－；⑤；⑥中，整式有：①；②；④－.故答案为①②④.【点睛】此题主要考查了整式，正确把握定义是解题关键．考点五：规律探索题型十三：数字类规律探索一、填空题1．（2021·上海市西延安中学七年级期中）观察下列格式：（1）；（2）；（3）；（4）；……那么，第n个式子可表示为：___．【答案】【分析】观察已知所给各式即可得结论．【详解】解：观察已知各式可知：（1）；（2）；（3）；（4）；……那么，第n个式子可表示为：．故答案为：．【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．2．（2020·上海市浦东新区建平中学南校七年级阶段练习）观察．猜想并填空：观察：32-15=4； 52-37=4；72-59=4；猜想：（ ）2-711=4；132- =4你通过观察能猜测出什么结论？ （用关于n的等式来表示，这里n为正整数）．【答案】9；11；15；n2-（n-2）（n-2）=4【分析】发现规律等式中第一项，32，52，72，…，从3开始的奇数，第二项1╳5，3╳7，5╳9，…，都是奇数相乘，两数相差4，等式右边4不变．【详解】根据分析可知，第一个数=9，第二个数11，15，规律是n2-(n-2)(n+2)=4，(满足n>2)．【点睛】本题考查规律探索问题，关键是观察，发现特点，用n表示．3．（2021·上海市民办新北郊初级中学七年级期末）设一列数中相邻的三个数依次为m，n，p，且满足p=m2﹣n，若这列数为﹣1，3，﹣2，a，b，128…，则b=________.【答案】-7【分析】先根据题意求出a的值，再依此求出b的值.【详解】解：根据题意得：a=32-（-2）=11，则b=(-2)2-11=-7．故答案为：-7.【点睛】本题考查探索与表达规律——数字类规律探究. 熟练掌握变化规律，根据题意求出a和b是解决问题的关键．二、解答题4．（2022·上海·七年级期末）观察下列等式，探究其中的规律：；；；；…(1)根据上面等式的规律可得：（其中n是正整数）＝ ；＝ ；(2)根据（1）小题的规律计算：．【答案】(1)；；(2)【分析】（1）认真观察题中所给等式规律即可得到答案；（2）要利用（1）中得到的规律：；将分子分母同时乘（3-1）即可变的形式，再进行化简求解．(1)＝；；(2)＝＝．【点睛】本题考查了等式的性质，题目中给出了几个具有相同规律的等式，正确找出规律是解题的关键，并且还需要灵活运用规律去求解其他式子的值．5．（2022·上海·七年级专题练习）阅读下面材料并完成填空：你能比较两个数20162017和20172016的大小吗？为了解决这个问题先把问题一般化，要比较nn＋1和（n＋1）n的大小（的整数），先从分析n＝1，＝2，＝3，……这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论．(1)通过计算，比较下列①—⑦各组中两个数的大小（在横线上填“＞、＝、＜”号①12 21；②23 32；③34 43；④45 54；⑤56 65；⑥67 76；⑦78 87．(2)对第（1）小题的结果进行归纳，猜想出nn＋1和（n＋1）n的大小关系： ．(3)根据上面的归纳结果猜想得到的一般结论是：20162017 20172016．【答案】(1)①＜；②＜；③＞；④＞；⑤＞；⑥＞；⑦＞(2)见解析 (3)＞【分析】(1)先计算每组中的两个数字，然后再比较大小即可；(2)根据(1)中的结果即可总结出数字变化的规律；(3)按照(2)中得到的规律即可求解．(1)①∵12=1，21=2，∴12＜21；②∵23=8，32=9，∴23＜32；③∵34=81，43=64，∴34＞43；④∵45=1024，54=625，∴45＞54；⑤∵56=15625，65=7776，∴56＞65；⑥∵67=279936，76=117649，∴67＞76；⑦∵78=5764801，87=2097152，∴78＞87；(2)当n＝1或2时，nn＋1＜（n＋1）n；当n＞2的整数时，nn＋1＞（n＋1）n；(3)根据第（2）小题的结论可知，20162017＞20172016．【点睛】本题考查实数的运算规律，注意观察计算后的结果，总结出规律．6．（2020·上海市徐汇中学七年级阶段练习）老师在黑板上写出几个算式：，……李明同学接着又写了具有同样规律的算式：，(1)请你用字母概括上述算式的规律：__________________________(2)请说明这个规律的正确性．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）将所给等式写成等号左侧两个相邻的奇数平方的差，等号右侧为8与一个数的乘积的形式，然后进行观察，给出一般性规律； （2）将等号左侧按照平方差进行展开计算，其结果与右侧是否一致，若一致，则规律正确．(1)解：由题意知∴推导一般性规律为故答案为： ．(2)解：证明左边右边∴该规律正确．【点睛】本题考查了与实数运算相关的规律的探究与证明．解题的关键在于推导出一般性规律．7．（2021·上海·七年级期中）先观察下列各式的规律：(1)由上述一系列算式，你能发现什么规律？请用含代数式表达这个规律(2)应用上述规律计算：【答案】（1）；（2）325【分析】(1)根据两个连续自然数的平方差等于这两数的和，用字母表示即可；(2)把式子分组，运用（1）的规律进行计算即可．【详解】解：【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，仔细观察式子找到规律是解题的关键．题型十四：图形类规律探索1．（2022·上海·七年级期末）用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐次加1的规律拼成一列图案：第n个图案含有白色纸片______________张．【答案】【分析】观察图形可知：白色纸片在4的基础上，以此多3个；根据此规律得出第n个图案中有多少白色纸片即可．【详解】解：第1个图白色纸片有（3+1）个；第2个图案有（3×2+1）个；第3个图案有（3×3+1）个；那么第n个图案有（3×n+1）个即．故答案为：．【点睛】本题考查了图形的探索规律，能从题目图形中提取有用信息是解题的关键．2．（2022·上海·七年级期末）如图，用长度相等的小木棒搭成的三角形网格，当层数为n时，所需小木棒的根数为________________．【答案】【分析】分别列出一层、二层、三层、四层这四个图形中所含小三角形个数和所需小木棒的根数，得出n层时，所需小木棒的根数为3×（1+2+···+n）即可．【详解】解：当n=1时，木棒根数为3×1；当n=2时，木棒根数为3×（1+2）；当n=3时，3×（1+2+3），依次规律，当层数为n时，小木棒的根数为3×（1+2+3+…+n）=．故答案为：．【点睛】本题考查图形规律列代数式，根据题意找出规律是解题关键．3．（2022·上海·七年级期末）已知P为△ABC的边BC上一点，△ABC的面积为a，B1、C1分别为AB、AC上的中点，则△PB1C1的面积为，B2、C2分别为B1B、C1C上的中点，则△PB2C2的面积为，B3、C3分别为B2B、C2C上的中点，则△PB3C3的面积为，B4、C4分别为B3B、C3C上的中点，则△PB4C4的面积为，按此规律可知，△PB7C7的面积为___________．【答案】【分析】根据题意和数据找出规律，就可以得到△PB7C7的面积．【详解】解：当B1、C1分别为AB、AC的中点时，△PB1C1的面积为；当B2、C2分别为BB1、CC1的中点时，则△PB2C2的面积为；当B3、C3分别为BB2、CC2的中点时，则△PB3C3的面积为；当B4、C4分别为BB3、CC3的中点时，则△PB4C4的面积为；…当Bn、Cn分别为BBn﹣1、CCn﹣1的中点时，则△PBnCn的面积为；按此规律可知，△PB7C7的面积为．故答案为: ．【点睛】本题考查了三角形面积及有理数的乘方运算，根据数据找出规律是解题的关键．4．（2022·上海·七年级专题练习）如图，一个边长是1的等边三角形ABC，将它沿直线l作顺时针方向滚动，求滚动100次，B点所经过的路程____________．（结果保留）【答案】【分析】如图找规律，路程为计算求解即可．【详解】解：如图，，，，滚动100次，点经过的路程为故答案为：．【点睛】本题考查了弧长．解题的关键在于找出滚动过程中的规律．5．（2020·上海闵行·七年级期中）如图，将一个正方形纸片分割成四个面积相等的小正方形纸片，然后将其中一个小正形纸片再分割成四个面积相等的小正方形纸片．如此分割下去，第次分割后，共有正方形纸片_____块（用含的代数式表示）【答案】3n+1【分析】由前三次图象可找到规律，故第n次分割，有3n+1个小正方形纸片．【详解】解：第一次分割，有4个小正方形纸片；第二次分割，有4+3=7个小正方形纸片；第三次分割，有4+3+3=10个小正方形纸片；…第n次分割，有4+3（n-1）个小正方形纸片．4+3（n-1）=3n+1故答案为：3n+1．【点睛】本题考查了图形类规律探索的题目，根据一系列数式关系或一组相关图形的变化规律，从中总结其所反映的规律． 其中，以图形为载体的数字规律最为常见． 猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行观察对比，仿照数式规律的方法猜想想到最终结论．二、解答题6．（2021·上海·七年级期中）下列各图形中的“ ”的个数和“ ”的个数是按照一定规律摆放的：(1)观察图形，填写下表：(2)当 n=_____时，“ ”的个数是“ ”的个数的 2 倍【答案】(1)12、15、3n、10、15、．(2)11．【分析】（1）由图形知，“●”的个数是序数的3倍，“△”的个数是从1开始到序数为止连续整数的和，据此可得；（2）根据（1）中所得结果列出关于n的方程，解之可得答案．【详解】（1）完成表格如下：（2）根据题意知2×3n，解得：n=0（舍）或n=11．故答案为：11．【点睛】本题考查了图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字的运算规律，利用规律解决问题．巩固提升一．选择题（共6小题）1．（2020秋•普陀区期末）下列代数式中，多项式是（ ）A．x6 B．﹣ C．ax+b D．【分析】直接利用多项式的定义，几个单项式的和叫做多项式，进而得出答案．【解答】解：A、x6是单项式，故不符合题意；B、﹣是单项式，故不符合题意；C、ax+b是多项式，故符合题意；D、是分式，故不符合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了多项式的定义，正确把握多项式定义是解题关键．2．（2021秋•浦东新区期中）已知单项式5xayb+2的次数是3次，则a+b的值是（ ）A．1 B．3 C．4 D．0【分析】根据单项式的次数的概念求解．【解答】解：由题意得：a+b+2＝3，∴a+b＝1．故选：A．【点评】本题考查了单项式的有关概念，解答本题的关键是掌握单项式的次数：所有字母的指数和．3．（2021秋•青浦区月考）在代数式3xy，，6π，﹣a﹣b，0，中，单项式有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据单项式的定义对各式进行逐一分析即可．【解答】解：单项式有3xy，6π，0，共有3个．故选：C．【点评】本题考查的是单项式的定义，熟知数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式是解答此题的关键．4．（2020秋•奉贤区期末）下列说法正确的是（ ）A．a2+2a+32是三次三项式 B．的系数是4 C．的常数项是﹣3 D．0是单项式【分析】直接利用多项式以及单项式的相关定义分析得出答案．【解答】解：A、a2+2a+32是二次三项式，故此选项错误；B、的系数是，故此选项错误；C、的常数项是﹣，故此选项错误；D、0是单项式，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了多项式和单项式，正确掌握相关定义是解题关键．5．（2020秋•松江区期末）单项式﹣4x3y2的系数与次数依次是（ ）A．4，5 B．﹣4，5 C．4，6 D．﹣4，6【分析】利用单项式的次数与系数确定方法分析得出答案．【解答】解：单项式﹣4x3y2的系数与次数依次是：﹣4，5．故选：B．【点评】此题主要考查了单项式，正确把握单项式的次数与系数是解题的关键．6．（2021秋•普陀区期末）下列说法中正确的是（ ）A．是整式 B．多项式2x2﹣y2+xy﹣4x3y3按字母x升幂排列为﹣4x3y3+2x2+xy﹣y2 C．2x是一次单项式 D．a3b+2a2b﹣3ab的二次项系数是3【分析】根据整式的定义即可判断选项A，先按x的指数从小到大的顺序排列，再判断选项B即可，根据单项式的定义和单项式的次数定义即可判断选项C，根据单项式的系数和次数的定义即可判断选项D．【解答】解：A．分母中含有字母，是分式，不是整式，故本选项不符合题意；B．多项式2x2﹣y2+xy﹣4x3y3按字母x升幂排列为﹣y2+xy+2x2﹣4x3y3，故本选项不符合题意；C．2x是一次单项式，故本选项符合题意；D．a3b+2a2b﹣3ab的二次项系数是﹣3，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了多项式和单项式的有关概念，能熟记多项式和单项式的有关概念是解此题的关键，注意：①表示数与数或数与字母的积的形式，叫单项式，单项式中所有字母的指数的和，叫单项式的次数，单项式中的数字因数，叫单项式的系数，②两个或两个以上的单项式的和，叫多项式，其中每个单项式，叫多项式的项，其中不含字母的项，叫常数项，多项式中次数最高的项的次数，叫多项式的次数．二．填空题（共20小题）7．（2020秋•普陀区期末）单项式﹣ab2c的系数是 ﹣ ，次数是 4 ．【分析】根据单项式的系数和次数的定义即可得出答案．【解答】解：单项式﹣2x3的系数和次数分别﹣，4，故答案为：﹣，4．【点评】本题考查了单项式的系数和次数，掌握单项式中的数字因数是单项式的系数是解题的关键．8．（2020秋•浦东新区期末）如果单项式4a2bcm为7次单项式，那么m的值为 4 ．【分析】利用单项式次数定义可得答案．【解答】解：由题意得：2+1+m＝7，解得：m＝4，故答案为：4．【点评】此题主要考查了单项式，关键是掌握单项式次数定义：一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．9．（2021秋•长宁区校级期中）将多项式3x2y﹣6y2+x3﹣x按x降幂排列为 x3+3x2y﹣x﹣6y2 ．【分析】将y看作数，把x看作未知数，按照x的次数从高到低排列即可．【解答】解：将多项式3x2y﹣6y2+x3﹣x按x降幂排列为：x3+3x2y﹣x﹣6y2．故答案为：x3+3x2y﹣x﹣6y2．【点评】本题考查了多项式，将y看作数，把x看作未知数，按照x的次数从高到低排列是解题的关键．10．（2021秋•浦东新区校级期中）单项式的次数是 6 ．【分析】直接利用单项式次数的确定方法分析得出答案．【解答】解：单项式的次数是：6．故答案为：6．【点评】此题主要考查了单项式，正确把握多项式的相关定义是解题的关键．单项式的系数、次数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．11．（2021秋•浦东新区期中）多项式3x2﹣2xy2+xyz3的次数是 5 ．【分析】根据多项式的次数的定义解答即可．【解答】解：多项式3x2﹣2xy2+xyz3的次数是5．故答案为：5．【点评】此题考查多项式，解题的关键是掌握多项式的次数的定义．12．（2020秋•普陀区期末）用代数式表示：“x的倒数与2021的和”是 +2021 ．【分析】用x的倒数加上2021即可．【解答】解：根据题意可知，“x的倒数与2021的和”是+2021．故答案为：+2021．【点评】本题考查了列代数式，主要是对文字语言转化为数学语言的能力的考查．13．（2020秋•黄浦区期末）用代数式表示“x的平方减去y的一半的差”： x2﹣y ．【分析】根据题意，可以用代数式表示出“x的平方减去y的一半的差”．【解答】解：“x的平方减去y的一半的差”可以表示为x2﹣y，故答案为：x2﹣y．【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．14．（2021秋•浦东新区校级期中）把多项式2x2y2+按字母x的降幂排列是 x3y+2x2y2﹣3xy2﹣5y2 ．【分析】先分清多项式的各项，再把各项按字母y的指数从小到大排列即可．【解答】解：多项式2x2y2+x3y﹣5y2﹣3xy2的各项为2x2y2，x3y，﹣5y2，﹣3xy2，按字母x的降幂排列是：x3y+2x2y2﹣3xy2﹣5y2．故答案为：x3y+2x2y2﹣3xy2﹣5y2．【点评】本题考查了多项式的降幂排列的定义：我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小的顺序排列称为按这个字母的降幂排列．多项式能够重新排列的依据是加法的交换律．注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．15．（2021秋•长宁区校级期中）用代数式表示：“x的3倍减去y的差的倒数．” ．【分析】要明确给出文字语言中的运算关系，先求x的3倍数减去y的差，再求倒数．【解答】解：由题意得：．故答案为：．【点评】本题考查了列代数式的知识，列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，比如该题中的“倍”、“差”等，从而明确其中的运算关系，正确地列出代数式．16．（2021秋•浦东新区校级期中）甲工厂在一月份的生产总值为a万元，在2月和3月这两个月中，甲工厂的生产总值平均每月增长的百分率为x，甲工厂3月份的生产总值是 a（1+x）2 万元（用含a、m的代数式表示）．【分析】一般增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），本题可先求出2月份生产总值，再根据2月份的产值列出3月份生产总值的式子，即可得出答案．【解答】解：2月份生产总值为：a（1+x）万元；3月份生产总值为：a（1+x）（1+x）＝a（1+x）2（万元）；故答案为：a（1+x）2．【点评】此题考查列代数式，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b；注意本题是根据2个月的总产值得到相应等量关系．17．（2021秋•奉贤区期中）设甲数是m，乙数是n，用含m、n、的代数式表示“甲乙两数的平方和”为 m2+n2 ．【分析】先求平方后求和．【解答】解：根据题意，得m2+n2．故答案是：m2+n2．【点评】本题考查了列代数式的知识，列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，比如该题中的“平方和”，从而明确其中的运算关系．18．（2021秋•普陀区期中）“a与1和的平方”，用代数式表示是 （a+1）2 ．【分析】先求和，然后计算平方．【解答】解：依题意得：（a+1）2．故答案是：（a+1）2．【点评】本题考查了列代数式．列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，比如该题中的“平方”、“和”等，从而明确其中的运算关系，正确地列出代数式．19．（2021秋•普陀区校级期中）把多项式5﹣xy4+2x2y﹣3x3y2按字母y升幂排列的结果是： ．【分析】根据多项式的定义解决此题．【解答】解：∵多项式5﹣xy4+2x2y﹣3x3y2含5、﹣xy4、2x2y、﹣3x3y2这四项，y的次数分别是0、4、1、2，∴多项式5﹣xy4+2x2y﹣3x3y2按字母y升幂排列的结果是．故答案为：．【点评】本题主要考查多项式，熟练掌握多项式的定义是解决本题的关键．20．（2021秋•浦东新区期中）如图，一个边长为a、b（b＜a）的长方形被平行于边的两条直线所分割，其中长方形的左上角是一个边长为x的正方形，将图中阴影部分的面积S表示为S＝ 2x2﹣ax﹣bx+ab ．【分析】阴影部分分为两部分，一部分为正方形，根据边长表示出面积，另一部分是长方形，表示出长与宽，进而表示出面积，求出两部分的面积和即可．【解答】解：根据题意得：S阴影＝x2+（a﹣x）（b﹣x）＝2x2﹣ax﹣bx+ab．故答案为：2x2﹣ax﹣bx+ab．【点评】此题考查了列代数式，弄清题意是解本题的关键．21．（2021秋•浦东新区校级月考）一个长方形周长是l，长为a，用字母表示该长方形的宽是 l﹣a ．【分析】根据长方形的周长为2（长+宽），表示出宽即可．【解答】解：根据题意得：该长方形的宽为l﹣a．故答案为：l﹣a．【点评】此题考查了列代数式，熟练掌握长方形周长公式是解本题的关键．22．（2021秋•浦东新区期中）已知a和b都是一位数（b≠0），如果把b放置于a的左边组成一个两位数，则这个两位数是 10b+a ．【分析】根据数字表示方法得出两位数即可．【解答】解：根据题意得：10b+a．故答案为：10b+a．【点评】此题考查了列代数式，弄清题意是解本题的关键．23．（2021秋•浦东新区校级月考）窗户形状如图所示，其上部是半圆，下部是边长相同的四个小正方形，边长为a，则窗户面积为 4a2+πa2 ．【分析】利用圆的面积公式及正方形的面积公式表示出窗户的面积即可．【解答】解：根据题意得：窗户面积为（2a）2+πa2＝4a2+πa2．故答案为：4a2+πa2．【点评】此题考查了列代数式，弄清各自的面积公式是解本题的关键．24．（2021秋•普陀区校级月考）已知2a2﹣3a的值是5，则代数式6a2﹣9a﹣8的值等于 7 ．【分析】观察题中的两个代数式2a2﹣3a和6a2﹣9a﹣8，可以发现，6a2﹣9a﹣8＝3（2a2﹣3a）﹣8，代入即可求解．【解答】解：∵2a2﹣3a＝5，∴6a2﹣9a﹣8＝3（2a2﹣3a）﹣8＝3×5﹣8＝7．故答案为：7．【点评】此题主要考查了代数式求值，代数式中的字母没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设入手，寻找要求的代数式与题设之间的关系，然后利用“整体代入法”求代数式的值．25．（2021秋•普陀区校级月考）多项式1﹣x2﹣5x4为 四次三项 多项式（填几次几项）．【分析】因为组成多项式的各单项式叫做多项式的项，把组成多项式的各单项式中最高次项的次数作为这个多项式的次数，由此可确定此多项式的项数、次数．【解答】解：∵组成多项式的各单项式叫做多项式的项，组成多项式的各单项式中最高次项的次数作为这个多项式的次数，∴多项式1﹣x2﹣5x4共有3项，最高次项的次数是4，∴多项式1﹣x2﹣5x4为四次三项多项式，故答案为：四次三项．【点评】此类题目考查了多项式的项和次数的概念，解决本题的关键是熟记多项式的有关概念．26．（2021秋•宝山区校级月考）多项式3x2y﹣5xy2+y﹣2x+6是 三 次多项式，常数项是 6 ．【分析】根据多项式的项和次数的定义解题．由于此多项式共五项3x2y，﹣5xy2，y，﹣2x，6．所以由此可以确定多项式的次数和常数项．【解答】解：多项式3x2y﹣5xy2+y﹣2x+6是三次多项式，常数项是6．故答案为：三，6．【点评】此题考查了多项式，解此类题目时要明确以下概念：（1）组成多项式的每个单项式叫做多项式的项；（2）多项式中次数最高项的次数叫做多项式的次数；（3）多项式中不含字母的项叫常数项．三．解答题（共7小题）27．（2021秋•宝山区校级月考）设甲数为x，乙数为y，用代数式表示：（1）乙数的平方与甲数的的和；（2）甲数的平方减去乙数的倒数的差．【分析】（1）先表示甲数的，然后与乙数的平方相加即可；（2）先表示出甲数的平方和乙数的倒数，然后表示出它们的差．【解答】解：（1）由题意可得：；（2）由题意可得：．【点评】本题考查了列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．28．（2021秋•松江区期中）如图所示，已知正方形的边长为2a．（1）用含有a的代数式表示阴影部分的面积；（2）当a＝2时，求阴影部分的面积．（保留π）【分析】（1）先表示出半圆的面积，再表示出大三角形的面积，最后用正方形的面积减去半圆和大三角形的面积即可得出阴影部分的面积；（2）把a＝2代入（1）中的结论，即可得出答案．【解答】解：（1）由题意得，半圆的面积为＝，大三角形的面积为＝a2，∵正方形的面积为2a×2a＝4a2，∴阴影部分的面积为＝＝（3﹣）a2；（2）当a＝2时，（3﹣）a2＝（3﹣）×22＝12﹣2π，∴阴影部分的面积为12﹣2π．【点评】本题主要考查的是列代数式求值的问题，关键是要牢记圆，三角形和正方形的面积公式．29．（2020秋•嘉定区期末）在某班小组学习的过程中，同学们碰到了这样的问题：“已知＝5，＝3，＝6，求的值”．根据已知条件中式子的特点，同学们会想起+＝，于是问题可转化为：“已知＝+＝5，＝+＝3，＝+＝6，求＝++的值”，这样解答就方便了．（1）通过阅读，试求的值；（2）利用上述解题思路请你解决以下问题：已知＝6，求的值．【分析】（1）由已知＝+＝5，＝+＝3，＝+＝6，可得+++++＝5+3+6，即可得出答案；（2）由已知＝6，可得m+＝6，＝（m+）2﹣2，即可得出答案．【解答】解：（1）∵＝+＝5，＝+＝3，＝+＝6，∴+++++＝5+3+6，∴，∴++＝＝7；（2）∵＝6，∴，，∴m2+＝（m）2﹣2＝62﹣2＝34．∴．【点评】本题主要考查了代数式求值，合理应运题目所给条件是解决本题的关键．30．（2021秋•金山区期中）如图，正方形ABCD的边长等于a，正方形BEFG的边长等于b（a＞b），其中，点G、E分别在AB、BC上．（1）用a、b的代数式表示图中的阴影部分面积；（2）当a＝5，b＝2时，求图中的阴影部分面积．【分析】（1）用正方形ABCD的面积减去正方形BEFG的面积再减去直角三角形AGD与在直角三角形DCE的和即可得出结论；（2）将a＝5，b＝2代入（1）中的代数式计算即可．【解答】解：S阴影＝S正方形ABCD﹣S正方形BEFG﹣（S△ADG+S△DEC）＝＝ab﹣b2．（2）当a＝5，b＝2时，ab﹣b2＝5×2﹣4＝6．【点评】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，正确使用图形的面积公式是解题的关键．31．（2021秋•黄浦区期中）老王想靠着一面足够长的旧墙EF，开垦一块长方形的菜地ABCD，如图所示，菜地的一边靠墙，另外三边用竹篱笆围起来，并在平行于墙的一边BC上留1米宽装门，已知现有竹篱笆长共32米．（1）设垂直于墙面的一边AB长为x米，则BC边的长用含x的代数式可表示为 （33﹣2x） 米．（2）设菜地面积为S，用含x的代数式来表示S．（3）当x＝8时，菜地面积为多少平方米？【分析】（1）根据AB＝x，可得BC＝（32+1）﹣2x，整理可得答案；（2）根据长方形的面积＝长×宽可得答案；（3）把x＝8代入可得菜地的面积．【解答】解：（1）BC＝（32+1）﹣2x＝（33﹣2x）米，故答案为：（33﹣2x）；（2）∵AB＝x，BC＝33﹣2x，∴S＝AB•BC＝x（33﹣2x）＝（﹣2x2+33x）平方米；（3）当x＝8时，S＝﹣2×64+33×8＝136（平方米）．【点评】本题考查列代数式和代数式的值，根据题意列出代数式是解题关键．32．（2020秋•浦东新区校级月考）观察．猜想并填空：观察：32﹣1×5＝4；52﹣3×7＝4；72﹣5×9＝4；猜想： 9 2﹣7×11＝4；132﹣ 11 × 15 ＝4．你通过观察能猜测出什么结论？（用关于n的等式来表示，这里n为正整数）．【分析】通过观察可得92﹣7×11＝4；132﹣11×113＝4，再根据发现的规律得出结论即可．【解答】解：92﹣7×11＝4；132﹣11×113＝4，结论：（2n+1）2﹣（2n﹣1）（2n+3）＝4．故答案为：9；11；15【点评】此题考查了列代数式，数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力，本题的关键规律是：（2n+1）2﹣（2n﹣1）（2n+3）＝4．33．（2021秋•长宁区校级期中）上海某中学准备从网上订购一批篮球和跳绳，经查阅店铺发现：每个篮球定价160元，每根跳绳定价40元．临近“双十一”，该店铺提出了两种优惠方案（两种方案均包邮）：方案A：买一个篮球送一根跳绳；方案B：篮球和跳绳都打9折．已知要购买30个篮球，x根跳绳（x＞30）．（1）若采取A方案，共需付款多少元？若采取B方案，共需付款多少元？（用含x的代数式表示）（2）若x＝80，你认为采取哪种方案更划算？请说明理由．【分析】（1）分别按照两种优惠方案计算篮球和跳绳的费用再相加即可；（2）将x＝80分别代入（1）中的两个代数式，通过比较计算结果即可得出结论．【解答】解：（1）A方案，共需付款：30×160+（x﹣30）×40＝（40x+3600）元；B方案，共需付款：（30×160+40x）×90%＝（36x+4320）元；（2）采取A方案更划算．理由：当x＝80时，40x+3600＝40×80+3600＝6800（元）；36x+4320＝36×80+4320＝7200（元）．∵6800＜7200，∴采取A方案更划算．【点评】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，理解每个方案的收费详情是解题的关键． 第n个图形12345…n的个数369____________…______的个数136____________…______
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