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沪教版七年级数学上学期考试满分全攻略第6讲提取公因式法、公式法分解因式(2大考点10种解题方法)(原卷版+解析)
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这是一份沪教版七年级数学上学期考试满分全攻略第6讲提取公因式法、公式法分解因式(2大考点10种解题方法)(原卷版+解析)，共51页。
第6讲 提取公因式法、公式法分解因式（2大考点10种解题方法）考点考向一：提取公因式法1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．2、因式分解与整式乘法互为逆变形：式中可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式．2、公因式：一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式．3、提取公因式法：多项式各项都含有公因式，可把公因式提到外面，将多项式写成与的乘积形式，此法叫做提取公因式法．4、提取公因式的步骤：（1）找出多项式各项的公因式．（2）提出公因式．（3）写成与的乘积形式．6、提取公因式法的几个技巧和注意点：（1）一次提净；（2）视“多”为“一”；（3）切勿漏1；（4）注意符号：在提出的公因式为负的时候，注意各项符号的改变；（5）化“分”为整：在分解过程中如出现分数，可先提出分数单位后再进行分解 ；（6）仔细观察：当各项看似无关的时候，仔细观察其中微妙的联系，转化后再分解．二：公式法1、平方差公式：①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积．2、完全平方公式： ①左边相当于一个二次三项式；②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定．考点精讲考点一：提公因式题型一：判断是否是因式分解一、单选题1．（2021·上海普陀·七年级期末）下列等式中，从左到右是因式分解的是（ ）A． B．C． D．2．（2020·上海市澧溪中学七年级阶段练习）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A． B．C． D．3．（2020·上海市建平中学西校七年级期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）A． B．C． D．4．（2021·上海·七年级期中）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）A．2 B．C． D．5．（2021·上海·七年级期中）下列从左到右的变形,是因式分解的是( )A．B．C．D．题型二：已知因式分解的结果求参数一、填空题1．（2022·上海·七年级专题练习），则__________2．（2021·上海·七年级期中）甲乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则2a+b＝_____．3．（2018·上海浦东新·七年级期中）已知a+3b=0，则式子-a3+ab（a+b）-33b3的值为______．题型三：提公因式法分解因式一、单选题1．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）用提公因式法分解因式正确的是（ ）A． B．C． D．二、填空题2．（2021·上海·七年级期中）分解因式：xy﹣3x+y﹣3＝______．3．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）________．三、解答题4．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：5．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：6．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）分解因式：7．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）考点二：公式法题型四：公因式一、单选题1．（2021·上海浦东新·七年级期末）多项式3x-9，x2-9与x2-6x+9的公因式为（ ）A．x+3 B．(x+3)2 C．x-3 D．x2+92．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）多项式8xmyn-1－12x3myn的公因式是（ ）A．xmyn B．xmyn-1 C．4xmyn D．4xmyn-1二、填空题3．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）单项式－12x12y3与8x10y6的公因式是________．4．（2020·上海浦东新·七年级期末）和的公因式是_________.题型五：判断能否用公式法因式分解一、单选题1．（2021·上海·七年级期中）下列各式中，能够运用完全平方公式分解因式的是（ ）A． B． C． D．2．（2021·上海·七年级期中）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是( )A． B． C． D．3．（2022·上海·七年级期末）下列多项式能用公式法分解因式的有（ ）① ② ③ ④ ⑤A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型六：运用平方差公式分解因式一、单选题1．（2022·上海·七年级专题练习）在有理数范围内，下列多项式不能因式分解的有( )①；②；③；④；⑤A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题2．（2021·上海浦东新区民办欣竹中学七年级期中）因式分解：__．3．（2022·上海·七年级专题练习）（________）；（________）； ________；三、解答题4．（2021·上海市傅雷中学七年级期中）因式分解：81a4-165．（2021·上海虹口·七年级期末）因式分解：6．（2021·上海金山·七年级期中）分解因式：7．（2022·上海·七年级期末）阅读理解：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：＝＝＝＝，像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．请利用“配方法”进行因式分解：(1)； (2)．题型七：运用完全平方公式分解因式一、单选题1．（2022·上海·七年级专题练习）在有理数范围内，下列多项式不能因式分解的有( )①；②；③；④；⑤A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题2．（2021·上海金山·七年级期中）分解因式：＝______．3．（2021·上海黄浦·七年级期中）分解因式：﹣x2y＋6xy﹣9y＝___．三、解答题4．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：5．（2021·上海市西延安中学七年级期中）分解因式：（x2+1）2﹣4x（x2+1）+4x2．6．（2021·上海·七年级期中）分解因式：（x2﹣2x）2﹣12（x2﹣2x）+36．7．（2021·上海·七年级期中）因式分解：8．（2021·上海浦东新区民办欣竹中学七年级期中）已知实数，，满足，，求的值．题型八：综合运用公式法分解因式一、填空题1．（2021·上海杨浦·七年级期中）由多项式与多项式相乘的法则可知：即：（a＋b）（a2﹣ab＋b2）＝a3﹣a2b＋ab2＋a2b﹣ab2＋b3＝a3＋b3即：（a＋b）（a2﹣ab＋b2）＝a3＋b3①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式．同理，（a﹣b）（a2＋ab＋b2）＝a3﹣b3②，我们把等式②叫做多项式乘法的立方差公式．请利用公式分解因式：﹣64x3＋y3＝___．二、解答题2．（2021·上海松江·七年级期中）因式分解：3．（2021·上海·七年级期中）4．（2021·上海金山·七年级期中）分解因式：5．（2021·上海市川沙中学南校七年级期中）因式分解：6．（2022·上海·七年级期末）因式分解：7．（2021·上海·七年级期中）因式分解：8．（2021·上海·七年级期中）因式分解：题型九：利用提公因式法和公式法分解因式一、填空题1．（2022·上海·七年级期末）因式分解：_________.2．（2021·上海·七年级期中）因式分解：=______．3．（2022·上海·七年级开学考试）分解因式：4x2﹣16y2＝_____．4．（2022·上海·新中初级中学七年级期末）分解因式：3x2-12x+12=___________________．二、解答题5．（2022·上海浦东新·七年级期末）分解因式：．6．（2021·上海浦东新·七年级期末）分解因式：2x3+12x2y+18xy2．7．（2021·上海金山·七年级期中）分解因式：8．（2021·上海民办浦东交中初级中学七年级期末）因式分解(1)5x2+6y﹣15x﹣2xy； (2)（1+ab）2﹣（a+b）2．9．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：10．（2022·上海·七年级期末）分解因式：.11．（2021·上海·七年级期中）阅读下列材料：让我们来规定一种运算：，例如：，再如： =按照这种运算的规定：请解答下列各个问题：(1)； (只写最后结果)(2)当x为何值时, ； (只写最后结果)(3)将下面式子进行因式分解： ．题型十：因式分解在有理数简算中的应用一、单选题1．（2018·上海市延安初级中学七年级期末）已知，，，那么的值是（ ）A． B． C． D．二、解答题2．（2017·上海浦东新区民办正达外国语学校七年级期中）计算：巩固提升一、选择题1.（普陀2017期末3）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）A. B. C. D. 2.（宝山2017期末17）下列多项式能因式分解的是（ ）； ； ； .3.（闵行2018期末4）数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是能在有理数的范围内因式分解，则整数的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你判断整数的值有几个？（ ）（A） 4； （B）5； （C） 6； （D）8． 二、填空题4.（闵行2018期末10）因式分解： ；5.（金山2017期末10）因式分解： ．6.（奉贤2017期末11）分解因式：＝ .7.（闵行2018期末11）因式分解： ． 三、解答题8.（松江2018期中24）因式分解：；9.（松江2017期中24）因式分解：；10.（松江2017期中26）因式分解：；11.（崇明2018期中24）分解因式：.12.（崇明2018期中25）分解因式：. 13．（2020·上海七年级期末）分解因式：.14．（2020·上海市蒙山中学七年级期中）因式分解：15．（2020·上海市梅陇中学）因式分解16．（2019·上海市徐汇中学七年级月考）因式分解：17．（2019·上海市天山第二中学七年级期中）因式分解：18．（2020·上海市梅陇中学）因式分解：19．（2020·上海市澧溪中学七年级月考）因式分解：20．（2020·上海七年级期末）分解因式：x2－y2－2x－2y21．（2019·上海市民办新竹园中学）因式分解：22.（黄浦2017期末28）多项式的乘法公式中，除了平方差公式、完全平方公式之外，还有立方和公式与立方差公式如下：立方和公式：；立方差公式：.如果把公式逆运用，则成为因式分解中的立方和与立方差公式.根据以上材料，请完成下列问题：（1）因式分解：＝ ；（2）因式分解：＝ ；（3）已知：，求的值.23.（浦东2017期末21）把多项式分解因式得，求a、b的值.24.（2019青教院附中10月考28）阅读理解：已知x3-8有一个因式x-2，我们可以用如下方法对x3-8进行因式分解。解：设x3-8=(x-2)(x2+ax+b)因为 (x-2)(x2+ax+b)=x3+(a-2)x2+(b-2a)x-2b所以 a-2=0，且b-2a=0，且-2b=-8所以 a=2，且b=4所以 x3-8=(x-2)(x2+2x+4)这种分解因式的方法叫做待定系数法。（1）已知x3+27有一个因式x+3，用待定系数法分解：x3+27.（2）观察上述因式分解，直接写出答案：因式分解：= ；= .25.（西延安2019期中24）已知,. 利用因式分解法求的值；（2）求的值 第6讲 提取公因式法、公式法分解因式（2大考点10种解题方法）考点考向一：提取公因式法1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．2、因式分解与整式乘法互为逆变形：式中可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式．2、公因式：一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式．3、提取公因式法：多项式各项都含有公因式，可把公因式提到外面，将多项式写成与的乘积形式，此法叫做提取公因式法．4、提取公因式的步骤：（1）找出多项式各项的公因式．（2）提出公因式．（3）写成与的乘积形式．6、提取公因式法的几个技巧和注意点：（1）一次提净；（2）视“多”为“一”；（3）切勿漏1；（4）注意符号：在提出的公因式为负的时候，注意各项符号的改变；（5）化“分”为整：在分解过程中如出现分数，可先提出分数单位后再进行分解 ；（6）仔细观察：当各项看似无关的时候，仔细观察其中微妙的联系，转化后再分解．二：公式法1、平方差公式：①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积．2、完全平方公式： ①左边相当于一个二次三项式；②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定．考点精讲考点一：提公因式题型一：判断是否是因式分解一、单选题1．（2021·上海普陀·七年级期末）下列等式中，从左到右是因式分解的是（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，进行求解即可．【详解】解：A、，不是整式积的形式，不是因式分解，不符而合题意；B、，是因式分解，符合题意；C、，不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；D、，不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；故选B．【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，熟知定义是解题的关键．2．（2020·上海市澧溪中学七年级阶段练习）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据因式分解的定义对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：A、右边是几个整式的积的形式，故此选项符合题意；B、从左到右是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；C、右边不是把多项式化成整式的积的形式，故此选项不符合题意．D、右边不是把多项式化成整式的积的形式，故此选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了分解因式的定义．解题的关键是掌握分解因式的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．3．（2020·上海市建平中学西校七年级期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】解：A、（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，从左到右是整式的乘法，不是因式分解；B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）+1，等式的右边不是几个整式的积，不是因式分解；C、a2﹣a﹣1＝a（a﹣1）﹣1，等式的右边不是几个整式的积，不是因式分解；D、a3+2a2+3a＝a（a2+2a+3），等式的右边是几个因式积的形式，故是因式分解；故选：D．【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积．4．（2021·上海·七年级期中）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）A．2 B．C． D．【答案】C【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可．【详解】A. 右边不是整式积的形式，不符合；B. 右边不是整式积的形式，不符合；C.符合因式分解的定义，故符合；D. 右边不是整式积的形式，不符合.故选C.【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的性质是解题关键.5．（2021·上海·七年级期中）下列从左到右的变形,是因式分解的是( )A．B．C．D．【答案】D【分析】根据把多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做分解因式逐项分析可得解.【详解】解：A. 不是因式分解；B. 不是因式分解；C. 不是因式分解；D. 是因式分解；故选D【点睛】本题考查了因式分解的定义，熟知把多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做分解因式是解题关键.题型二：已知因式分解的结果求参数一、填空题1．（2022·上海·七年级专题练习），则__________【答案】9【分析】利用多项式乘多项式，展开，再根据等式的性质列式求得m、n的值，即可求解【详解】解：∵，∴，∴9+n=8，m=9n，∴n=-1，m=-9，∴mn=-9×(-1)=9．故答案为：9．【点睛】本题考查了因式分解，多项式乘多项式，等式的性质，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．2．（2021·上海·七年级期中）甲乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则2a+b＝_____．【答案】21．【分析】根据题意：分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，但是a正确，分解结果为（x+2）（x+4），a为6；乙看错了a，但是b正确，分解结果为（x+1）（x+9），b为9．代入2a+b即可．【详解】∵分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），∴a＝6，乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），∴b＝9，∴2a+b＝12+9＝21．故答案为：21．【点睛】本题考查了因式分解，解决本题的关键是看错了一个系数，但是另一个没看错．学生做这类题时往往不能理解．3．（2018·上海浦东新·七年级期中）已知a+3b=0，则式子-a3+ab（a+b）-33b3的值为______．【答案】0【分析】由题可知a=-3b，把a=-3b代入原式即可求解．【详解】解：由题可知：a=-3b，把a=-3b代入原式， 则原式=-（-3b）3+a2b+ab2-33b3 =a2b+ab2-6b3 =b（a2+ab-6b2） =b[（-3b）2+（-3b）b-6b2] =0 ，故答案为0．【点睛】此题考查了因式分解的应用，灵活的代入消元是解本题的关键题型三：提公因式法分解因式一、单选题1．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）用提公因式法分解因式正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】此题通过提取公因式可对选项进行一一分析，排除错误的答案．【详解】解：A、12abc-9a2b2c2=3abc（4-3abc），故本选项错误；B、3x2y-3xy+6y=3y（x2-x+2），故本选项错误；C、-a2+ab-ac=-a（a-b+c），正确；D、x2y+5xy-y=y（x2+5x-1），故本选项错误．故选：C．【点睛】此题考查提取公因式的方法，通过得出结论推翻选项．二、填空题2．（2021·上海·七年级期中）分解因式：xy﹣3x+y﹣3＝______．【答案】（y﹣3）（x+1）【分析】直接利用分组分解法、提取公因式法分解因式得出答案．【详解】解：xy﹣3x+y﹣3＝x（y﹣3）+（y﹣3）＝（y﹣3）（x+1）．故答案为：（y﹣3）（x+1）．【点睛】本题主要考查了利用提取公因式的方法分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握提公因式的方法分解因式．3．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）________．【答案】【分析】提取公因式法分解因式，寻找相同的公因式即可．【详解】原式= = ．故答案为：．【点睛】本题主要考查了提公因式法分解因式，熟练掌握寻找公因式的方法是解题的关键．三、解答题4．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：【答案】【分析】先计算单项式乘多项式，合并后，再提取公式即可．【详解】解：．【点睛】本题考查了单项式乘多项式，同底数相乘，提公因式分解因式，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．5．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：【答案】【分析】先计算多项式乘法，再计算加法，最后提取公因式即可．【详解】解：．【点睛】本题考查多项式的乘法和提取公因法分解因式，熟练掌握运算法则并正确计算是解题的关键．6．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）分解因式：【答案】【分析】把看成整体，把化为，再利用提公因式法分解因式．【详解】解：【点睛】本题考查的是提公因式法分解因式，同时考查因式分解的彻底性，掌握以上知识是解题的关键．7．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）【答案】．【分析】利用提公因式法进行因式分解即可得．【详解】原式，，．【点睛】本题考查了利用提公因式法进行因式分解，因式分解的主要方法包括：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，熟练掌握各方法是解题关键．考点二：公式法题型四：公因式一、单选题1．（2021·上海浦东新·七年级期末）多项式3x-9，x2-9与x2-6x+9的公因式为（ ）A．x+3 B．(x+3)2 C．x-3 D．x2+9【答案】C【分析】先把这三个式子因式分解，再找到它们的公因式．【详解】解：，，，公因式是．故选：C．【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法．2．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）多项式8xmyn-1－12x3myn的公因式是（ ）A．xmyn B．xmyn-1 C．4xmyn D．4xmyn-1【答案】D【详解】由题意可得，这个多项式的公因式为4xmyn-1，注意数字的最大公约数也是公因式，容易出错，故选D二、填空题3．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）单项式－12x12y3与8x10y6的公因式是________．【答案】4x10y3【详解】运用公因式的概念，系数的最大公约数是4，相同字母的最低指数次幂是x10y3，可得公因式为4x10y3．故答案为4x10y3.点睛：此题主要考查了找公因式的方法，系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，即可求解.4．（2020·上海浦东新·七年级期末）和的公因式是_________.【答案】【分析】分别取系数和相同字母的最大公因数相乘即为所求．【详解】和中8和12的最大公因数是4，字母的公因式为x3y,所以它们的公因式是：4x3y.故答案是：4x3y.【点睛】考查了求公因式，常用的方法是先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确定公共因式．题型五：判断能否用公式法因式分解一、单选题1．（2021·上海·七年级期中）下列各式中，能够运用完全平方公式分解因式的是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据完全平方公式可直接进行排除选项．【详解】A、，故不符合题意；B、，故不符合题意；C、，故符合题意；D、，故不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查公式法，熟练掌握公式法进行因式分解是解题的关键．2．（2021·上海·七年级期中）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是( )A． B． C． D．【答案】C【分析】利用完全平方公式：，进而判断得出答案．【详解】解：A、，不能用完全平方公式进行因式分解；B、，不能用完全平方公式进行因式分解；C、，能用完全平方公式进行因式分解；D、，不能用完全平方公式进行因式分解；故选C．【点睛】本题考查用完全平方公式进行因式分解，解题的关键是熟练运用完全平方公式.3．（2022·上海·七年级期末）下列多项式能用公式法分解因式的有（ ）① ② ③ ④ ⑤A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据平方差公式，完全平方公式的结构即可判断．【详解】①不能用公式法因式分解；②原式＝，③不能用公式法因式分解；④原式＝（b-a）（b+a），⑤原式＝故选：C．【点睛】本题考查因式分解，涉及平方差公式，完全平方公式．题型六：运用平方差公式分解因式一、单选题1．（2022·上海·七年级专题练习）在有理数范围内，下列多项式不能因式分解的有( )①；②；③；④；⑤A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据因式分解的方法：提公因式法、公式法；进行判断．【详解】解： ①；②；③不能分解因式；④；⑤；故选：A．【点睛】本题考查因式分解的方法（提公因式法，公式法），解题的关键是抓住能利用公式法分解的多项式的特点．二、填空题2．（2021·上海浦东新区民办欣竹中学七年级期中）因式分解：__．【答案】【分析】将当作整体，对式子先进行配方，然后利用平方差公式求解即可．【详解】解：原式．故答案是：．【点睛】此题考查了因式分解，涉及了平方差公式，解题的关键是掌握因式分解的方法，并将当作整体，得到平方差的形式．3．（2022·上海·七年级专题练习）（________）；（________）； ________；【答案】 【分析】利用幂的乘方和积的乘方法则，即可得出结果；利用平方差公式，即可得出结果；利用完全平方公式，即可得出答案．【详解】解：．故答案为：．故答案为：∵；，∴，即．故答案为：【点睛】本题考查了幂的乘方、积的乘方、平方差公式、完全平方公式，解本题的关键在熟练掌握相关法则．积的乘方：；平方差公式：；完全平方公式：．三、解答题4．（2021·上海市傅雷中学七年级期中）因式分解：81a4-16【答案】【分析】利用平方差公式分解因式即可；【详解】解：原式=，=，=；【点睛】本题主要考查了利用平方差公式进行因式分解，准确计算是解题的关键．5．（2021·上海虹口·七年级期末）因式分解：【答案】【分析】把原式分组成，然后利用完全平方公式和平方差公式化简即可．【详解】解：原式【点睛】本题考查了利用完全平方公式和平方差公式因式分解，把原式有3项适合完全平方的放在一起进行因式分解是解答此题的关键．6．（2021·上海金山·七年级期中）分解因式：【答案】4（2x-y）（x+y）【分析】利用平方差公式分解因式即可．【详解】解：9x2-（x-2y）2，=（3x+x-2y）（3x-x+2y），=4（2x-y）（x+y）．【点睛】此题考查了公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．7．（2022·上海·七年级期末）阅读理解：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：＝＝＝＝，像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．请利用“配方法”进行因式分解：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）（2）都要如题中举例，先对整式进行配方，再利用平方差公式进行因式分解，注意（2）中配方时幂的指数要正确．(1)原式＝＝＝＝；(2)＝＝．【点睛】本题考查了利用完全平方公式进行配方、利用平方差公式进行因式分解，解题中注意整体法的运用．题型七：运用完全平方公式分解因式一、单选题1．（2022·上海·七年级专题练习）在有理数范围内，下列多项式不能因式分解的有( )①；②；③；④；⑤A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据因式分解的方法：提公因式法、公式法；进行判断．【详解】解： ①；②；③不能分解因式；④；⑤；故选：A．【点睛】本题考查因式分解的方法（提公因式法，公式法），解题的关键是抓住能利用公式法分解的多项式的特点．二、填空题2．（2021·上海金山·七年级期中）分解因式：＝______．【答案】##【分析】根据公式法因式分解即可【详解】解：＝故答案为：【点睛】本题考查了公式法分解因式，掌握公式法因式分解是解题的关键．3．（2021·上海黄浦·七年级期中）分解因式：﹣x2y＋6xy﹣9y＝___．【答案】【分析】根据因式分解的方法求解即可．分解因式的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．【详解】解：﹣x2y＋6xy﹣9y故答案为：．【点睛】此题考查了分解因式，解题的关键是熟练掌握分解因式的方法．分解因式的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．三、解答题4．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：【答案】．【分析】式子整理后分组，利用完全平方公式分解即可【详解】解：．【点睛】本题考查了因式分解-公式法，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．5．（2021·上海市西延安中学七年级期中）分解因式：（x2+1）2﹣4x（x2+1）+4x2．【答案】．【分析】根据完全平方公式因式分解，整理顺序后，再用完全平方公式因式分解，最后利用幂的乘方得到因式分解的结果．【详解】解：（x2+1）2﹣4x（x2+1）+4x2，=（x2+1）2﹣2×（x2+1）·2x +（2x）2，=，=，=，=．【点睛】本题考查因式分解，幂的乘方运算，掌握因式分解的各种方法，准确记住因式分解公式和公式特征是解题关键．6．（2021·上海·七年级期中）分解因式：（x2﹣2x）2﹣12（x2﹣2x）+36．【答案】（x2﹣2x﹣6）2【分析】仔细观察把看做一个整体，可以发现正好是一个完全平方式，直接利用公式法分解因式得出答案．【详解】解：原式＝（x2﹣2x﹣6）2．故答案为：（x2﹣2x﹣6）2．【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键在于能够准确观察出原式是一个完全平方式．7．（2021·上海·七年级期中）因式分解：【答案】【分析】观察式子可发现：，故可设，，将原式变为进行化简分解，最后将A、B替换再化简即可.【详解】解：设，，则,∴原式======.【点睛】本题考查因式分解，观察得出式子之间的关系是解答本题的关键.8．（2021·上海浦东新区民办欣竹中学七年级期中）已知实数，，满足，，求的值．【答案】【分析】先把化为 再代入可得，利用非负数的性质求解 从而可得的值，再代入代数式求值即可.【详解】解：，，，代入得：，， 可得：，，，，所以．【点睛】本题考查的是非负数的性质，二元方程组的代换思想，求解代数式的值，运用完全平方公式分解因式，掌握“把原条件转化为非负数的和”是解题的关键.题型八：综合运用公式法分解因式一、填空题1．（2021·上海杨浦·七年级期中）由多项式与多项式相乘的法则可知：即：（a＋b）（a2﹣ab＋b2）＝a3﹣a2b＋ab2＋a2b﹣ab2＋b3＝a3＋b3即：（a＋b）（a2﹣ab＋b2）＝a3＋b3①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式．同理，（a﹣b）（a2＋ab＋b2）＝a3﹣b3②，我们把等式②叫做多项式乘法的立方差公式．请利用公式分解因式：﹣64x3＋y3＝___．【答案】【分析】根据题意根据立方差公式因式分解即可．【详解】﹣64x3＋y3故答案为：【点睛】本题考查了因式分解，根据题意套用立方差公式是解题的关键．二、解答题2．（2021·上海松江·七年级期中）因式分解：【答案】【分析】观察原式可知出现了平方差的形式，这里的可化为，利用平方差公式进行因式分解得到.而此时分解还没有彻底，还能用完全平方公式继续进行分解，得到最终的结果.【详解】原式= 故答案为【点睛】本题综合性的考查了两种公式法分解因式，这里需要注意的是因式分解之后务必检查分解是否彻底，本题中用完平方差分解之后，分解还未完成，还需要用完全平方公式进行分解因式.涉及到的公式有：，，3．（2021·上海·七年级期中）【答案】【分析】先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式分解即可．【详解】解：原式．【点睛】本题考查因式分解-运用公式法，熟练掌握公式是解题的关键．4．（2021·上海金山·七年级期中）分解因式：【答案】（a-3）2（a+3）2【分析】直接利用完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案．【详解】解：a4-18a2+81=（a2-9）2=（a-3）2（a+3）2．【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．5．（2021·上海市川沙中学南校七年级期中）因式分解：【答案】（x+y）2（x-y）2【分析】首先利用平方差公式进行因式分解，得原式=接下来，对每个括号内的多项式利用完全平方公式进行二次分解即可．【详解】原式= =（x+y）2（x-y）2；【点睛】此题考查公式法分解因式，解决本题的关键是掌握平方差公式和完全平方公式.6．（2022·上海·七年级期末）因式分解：【答案】(a-1)2(a-3)(a+1)【分析】根据完全平方公式、平方差公式和十字交叉法进行因式分解．【详解】＝= ===(a-1)2(a-3)(a+1)【点睛】考查了利用公式法因式分解，解题关键是熟记完全平方公式和平方差公式的特点和将7．（2021·上海·七年级期中）因式分解：【答案】【分析】综合利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可得．【详解】原式====【点睛】本题考查了利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解，熟记公式是解题关键．8．（2021·上海·七年级期中）因式分解：【答案】【分析】先构造出完全平方公式，运用完全平方公式分解，最后利用平方差公式进行分解即可.【详解】解：原式===.【点睛】本题考查公式法分解因式，构造出完全平方公式是解答本题的关键.题型九：利用提公因式法和公式法分解因式一、填空题1．（2022·上海·七年级期末）因式分解：_________.【答案】【分析】根据完全平方公式分解因式即可.【详解】解：；故答案为.【点睛】本题考查了完全平方公式分解因式，解题的关键是熟练掌握能运用全平方公式分解的式子的特点.2．（2021·上海·七年级期中）因式分解：=______．【答案】【分析】先提公因数4，然后根据平方差公式因式分解即可【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．3．（2022·上海·七年级开学考试）分解因式：4x2﹣16y2＝_____．【答案】4（x+2y）（x﹣2y）．【分析】首先提取公因式4，进而利用平方差公式分解因式得出即可．【详解】解：4x2﹣16y2＝4（x2﹣4y2）＝4（x+2y）（x﹣2y）．故答案为：4（x+2y）（x﹣2y）．【点睛】本题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握提公因式法与公式法的综合运用是解题的关键.4．（2022·上海·新中初级中学七年级期末）分解因式：3x2-12x+12=___________________．【答案】3（x-2）2【详解】解：原式=3（x2-4x+4）=3（x-2）2故答案为：3（x-2）2【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用，解题关键是熟练运用公式法和提取公因式法进行因式分解．二、解答题5．（2022·上海浦东新·七年级期末）分解因式：．【答案】．【分析】综合利用提公因式法和完全平方公式进行因式分解即可得．【详解】解：原式．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的各方法是解题关键．6．（2021·上海浦东新·七年级期末）分解因式：2x3+12x2y+18xy2．【答案】2x（x+3y）2【分析】先提公因式，进而根据完全平方公式因式分解即可．【详解】解：2x3+12x2y+18xy2＝2x（x2+6xy+9y2）＝2x（x+3y）2．【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．7．（2021·上海金山·七年级期中）分解因式：【答案】ab（4+a2）（2+a）（2-a）【分析】直接提取公因式ab，再利用平方差公式分解因式得出答案．【详解】解：原式=ab（16-a4）=ab（4+a2）（4-a2）=ab（4+a2）（2+a）（2-a）．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．8．（2021·上海民办浦东交中初级中学七年级期末）因式分解(1)5x2+6y﹣15x﹣2xy；(2)（1+ab）2﹣（a+b）2．【答案】(1)（x﹣3）（5x﹣2y）(2)（1﹣a）（1﹣b）（1+a）（1+b）【分析】（1）根据题意将原式分为两组：（5x2﹣15x）、﹣（2xy﹣6y），然后利用提取公因式法进行因式分解；（2）根据题意利用平方差公式进行因式分解即可得出答案．(1)解：原式＝（5x2﹣15x）﹣（2xy﹣6y）＝5x（x﹣3）﹣2y（x﹣3）＝（x﹣3）（5x﹣2y）；(2)解：原式＝（1+ab﹣a﹣b）（1+ab+a+b）＝[（1﹣a）﹣b（1﹣a）][（1+a）+b（1+a）]＝（1﹣a）（1﹣b）（1+a）（1+b）．【点睛】本题考查平方差公式，分组分解法分解因式，要先把式子整理，再分解因式．对于一个四项式用分组分解法进行因式分解，难点是采用两两分组还是三一分组．9．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：【答案】【分析】综合利用提公因式法和公式法进行因式分解即可．【详解】解：．【点睛】本题考查了综合利用提公因式法和公式法进行因式分解，因式分解的主要方法包括：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，熟练掌握各种方法是解题关键．10．（2022·上海·七年级期末）分解因式：.【答案】(x-2-2y)(x-2+2y).【分析】将原式变为，前三项运用完全平方公式进行因式分解后，再与运用平方差公式运用因式分解即可.【详解】解：原式= ==(x-2-2y)(x-2+2y).【点睛】本题考查了运用完全平方公式和平方差公式进行因式分解，对原式适当变形后发现完全平方公式和平方差公式形式是解题关键.11．（2021·上海·七年级期中）阅读下列材料：让我们来规定一种运算：，例如：，再如： =按照这种运算的规定：请解答下列各个问题：(1)； (只写最后结果)(2)当x为何值时, ； (只写最后结果)(3)将下面式子进行因式分解： ．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据题中的运算法则即可求解；（2）根据题中的运算法则列出方程即可求解；（3）根据题中的运算法则列式，再进行因式分解．(1)；(2)∴x=；(3)= ．【点睛】此题主要考查新定义运算、解方程与因式分解，解题的关键是熟知解一元一次方程及因式分解的方法．题型十：因式分解在有理数简算中的应用一、单选题1．（2018·上海市延安初级中学七年级期末）已知，，，那么的值是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先将因式分解为(a-b)(a-c)，再将其值代入计算即可．【详解】∵，，，∴=a(a-b)-c(a-b)=(a-b)(a-c)=(2017x+2016-2017x-2017)×(2017x+2016-2017x-2018)=-1×(-2)=2．故选：A．【点睛】考查了利用因式分解进行简便计算，解题关键是要将因式分解为(a-b)(a-c)的形式．二、解答题2．（2017·上海浦东新区民办正达外国语学校七年级期中）计算：【答案】.【分析】利用平方差公式将各因式分解后进行约分即可得解.【详解】，= = =.【点睛】此题考查有理数的混合运算，运用规律拆分是解决问题的关键.巩固提升一、选择题1.（普陀2017期末3）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C.【解析】把一个多项式分解成几个整式的积的形式叫因式分解，等号右边是多项式，左边是几个整式积的形式. A选项是把几个整式积形式化成了一个多项式，因此不是因式分解；B选项是把一个合数分解素因素，不是因式分解；C选项是因式分解；D选项等号右边不是几个整式积的形式，因此不是因式分解。故正确答案为C.2.（宝山2017期末17）下列多项式能因式分解的是（ ）； ； ； .【答案】C.【解析】A、不能因式分解；B、不能因式分解；C、，能因式分解；D、不能因式分解；故选C.3.（闵行2018期末4）数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是能在有理数的范围内因式分解，则整数的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你判断整数的值有几个？（ ）（A） 4； （B）5； （C） 6； （D）8． 【答案】A.【解析】16可分解为，因此，所以，其中整数有4个，因此选A.二、填空题4.（闵行2018期末10）因式分解： ；【答案】；【解析】原式＝.5.（金山2017期末10）因式分解： ．【答案】 【解析】用提取公因式与平方差公式。原式＝.6.（奉贤2017期末11）分解因式：＝ .【答案】.【解析】提取公因式mn，原式＝.7.（闵行2018期末11）因式分解： ． 【答案】 ；【解析】直接用完全平方公式，原式＝.三、解答题8.（松江2018期中24）因式分解：；【答案】.【解析】原式＝.9.（松江2017期中24）因式分解：；【答案】【解析】提取公因式，原式＝；10.（松江2017期中26）因式分解：；【答案】.【解析】原式＝.先用平方差公式，然后用完全平方公式进行求解。.11.（崇明2018期中24）分解因式：.【答案】.【解析】原式＝.12.（崇明2018期中25）分解因式：.【答案】.【解析】原式＝. 13．（2020·上海七年级期末）分解因式：.【答案】【分析】根据分组因式分解即可求解.【详解】==【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知因式分解的方法.14．（2020·上海市蒙山中学七年级期中）因式分解：【答案】【分析】运用平方差公式分解后再提取公因式．【详解】解：原式．【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用，，熟记分解方法是解题的关键，注意分解因式要分解到每个因式都不能再分解为止．15．（2020·上海市梅陇中学）因式分解【答案】【分析】首先将（a2+6a）看作一个整体，利用完全平方公式进行分解因式，进而再利用完全平方公式得出结果即可．【详解】解： 【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式的结构特点和应用是解题关键．16．（2019·上海市徐汇中学七年级月考）因式分解：【答案】【分析】利用平方差公式即可因式分解.【详解】====【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知平方差公式进行因式分解.17．（2019·上海市天山第二中学七年级期中）因式分解：【答案】【分析】利用提公因式法即可得出答案.【详解】解：原式===【点睛】本题考查的是因式分解，需要熟练掌握因式分解的方法：①提公因式法；②公式法；③分组分解法；④十字相乘法.18．（2020·上海市梅陇中学）因式分解：【答案】【分析】三项式想到完全平方公式，观察各项发现，首末两项为完全平方式，而中间项恰好是两数积的二倍，变成两数差的完全平方，括号内两项符合平方差公式，利用平方差公式因式分解，再利用积的乘方的逆运用即可．【详解】，=，=，=．【点睛】本题考查因式分解的内容，掌握因式分解的方法，能灵活运用因式分解的方法进行因式分解，掌握因式分解的顺序，会根据多项式的特点选择恰当的方法因式分解．19．（2020·上海市澧溪中学七年级月考）因式分解：【答案】．【分析】先提公因式2b，再利用完全平方公式即可【详解】解：原式．【点睛】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握方法是解题的关键20．（2020·上海七年级期末）分解因式：x2－y2－2x－2y【答案】．【分析】综合利用平方差公式和提取公因式法分解因式即可得．【详解】原式，．【点睛】本题考查了因式分解，主要方法包括：提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，熟练掌握各方法是解题关键．21．（2019·上海市民办新竹园中学）因式分解：【答案】【分析】先提公因式x-y，整理后再进一步分解即可.【详解】原式====.【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法. 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.22.（黄浦2017期末28）多项式的乘法公式中，除了平方差公式、完全平方公式之外，还有立方和公式与立方差公式如下：立方和公式：；立方差公式：.如果把公式逆运用，则成为因式分解中的立方和与立方差公式.根据以上材料，请完成下列问题：（1）因式分解：＝ ；（2）因式分解：＝ ；（3）已知：，求的值.【答案】（1）；（2）； （3）322.【解析】（1）；（2）；（3）因为，所以；；所以.23.（浦东2017期末21）把多项式分解因式得，求a、b的值.【答案】.【解析】依题：，，所以，所以.24.（2019青教院附中10月考28）阅读理解：已知x3-8有一个因式x-2，我们可以用如下方法对x3-8进行因式分解。解：设x3-8=(x-2)(x2+ax+b)因为 (x-2)(x2+ax+b)=x3+(a-2)x2+(b-2a)x-2b所以 a-2=0，且b-2a=0，且-2b=-8所以 a=2，且b=4所以 x3-8=(x-2)(x2+2x+4)这种分解因式的方法叫做待定系数法。（1）已知x3+27有一个因式x+3，用待定系数法分解：x3+27.（2）观察上述因式分解，直接写出答案：因式分解：= ；= .【答案】（1）；（2）；【解析】解：（1）根据题意，设，则，故，解得，所以；（2）；.25.（西延安2019期中24）已知,. 利用因式分解法求的值；（2）求的值【答案】（1）2 （2）34，8；【解析】（1）, , , 所以;（2），所以，因为 ，所以所以 .
第6讲 提取公因式法、公式法分解因式（2大考点10种解题方法）考点考向一：提取公因式法1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．2、因式分解与整式乘法互为逆变形：式中可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式．2、公因式：一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式．3、提取公因式法：多项式各项都含有公因式，可把公因式提到外面，将多项式写成与的乘积形式，此法叫做提取公因式法．4、提取公因式的步骤：（1）找出多项式各项的公因式．（2）提出公因式．（3）写成与的乘积形式．6、提取公因式法的几个技巧和注意点：（1）一次提净；（2）视“多”为“一”；（3）切勿漏1；（4）注意符号：在提出的公因式为负的时候，注意各项符号的改变；（5）化“分”为整：在分解过程中如出现分数，可先提出分数单位后再进行分解 ；（6）仔细观察：当各项看似无关的时候，仔细观察其中微妙的联系，转化后再分解．二：公式法1、平方差公式：①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积．2、完全平方公式： ①左边相当于一个二次三项式；②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定．考点精讲考点一：提公因式题型一：判断是否是因式分解一、单选题1．（2021·上海普陀·七年级期末）下列等式中，从左到右是因式分解的是（ ）A． B．C． D．2．（2020·上海市澧溪中学七年级阶段练习）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A． B．C． D．3．（2020·上海市建平中学西校七年级期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）A． B．C． D．4．（2021·上海·七年级期中）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）A．2 B．C． D．5．（2021·上海·七年级期中）下列从左到右的变形,是因式分解的是( )A．B．C．D．题型二：已知因式分解的结果求参数一、填空题1．（2022·上海·七年级专题练习），则__________2．（2021·上海·七年级期中）甲乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则2a+b＝_____．3．（2018·上海浦东新·七年级期中）已知a+3b=0，则式子-a3+ab（a+b）-33b3的值为______．题型三：提公因式法分解因式一、单选题1．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）用提公因式法分解因式正确的是（ ）A． B．C． D．二、填空题2．（2021·上海·七年级期中）分解因式：xy﹣3x+y﹣3＝______．3．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）________．三、解答题4．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：5．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：6．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）分解因式：7．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）考点二：公式法题型四：公因式一、单选题1．（2021·上海浦东新·七年级期末）多项式3x-9，x2-9与x2-6x+9的公因式为（ ）A．x+3 B．(x+3)2 C．x-3 D．x2+92．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）多项式8xmyn-1－12x3myn的公因式是（ ）A．xmyn B．xmyn-1 C．4xmyn D．4xmyn-1二、填空题3．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）单项式－12x12y3与8x10y6的公因式是________．4．（2020·上海浦东新·七年级期末）和的公因式是_________.题型五：判断能否用公式法因式分解一、单选题1．（2021·上海·七年级期中）下列各式中，能够运用完全平方公式分解因式的是（ ）A． B． C． D．2．（2021·上海·七年级期中）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是( )A． B． C． D．3．（2022·上海·七年级期末）下列多项式能用公式法分解因式的有（ ）① ② ③ ④ ⑤A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型六：运用平方差公式分解因式一、单选题1．（2022·上海·七年级专题练习）在有理数范围内，下列多项式不能因式分解的有( )①；②；③；④；⑤A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题2．（2021·上海浦东新区民办欣竹中学七年级期中）因式分解：__．3．（2022·上海·七年级专题练习）（________）；（________）； ________；三、解答题4．（2021·上海市傅雷中学七年级期中）因式分解：81a4-165．（2021·上海虹口·七年级期末）因式分解：6．（2021·上海金山·七年级期中）分解因式：7．（2022·上海·七年级期末）阅读理解：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：＝＝＝＝，像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．请利用“配方法”进行因式分解：(1)； (2)．题型七：运用完全平方公式分解因式一、单选题1．（2022·上海·七年级专题练习）在有理数范围内，下列多项式不能因式分解的有( )①；②；③；④；⑤A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题2．（2021·上海金山·七年级期中）分解因式：＝______．3．（2021·上海黄浦·七年级期中）分解因式：﹣x2y＋6xy﹣9y＝___．三、解答题4．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：5．（2021·上海市西延安中学七年级期中）分解因式：（x2+1）2﹣4x（x2+1）+4x2．6．（2021·上海·七年级期中）分解因式：（x2﹣2x）2﹣12（x2﹣2x）+36．7．（2021·上海·七年级期中）因式分解：8．（2021·上海浦东新区民办欣竹中学七年级期中）已知实数，，满足，，求的值．题型八：综合运用公式法分解因式一、填空题1．（2021·上海杨浦·七年级期中）由多项式与多项式相乘的法则可知：即：（a＋b）（a2﹣ab＋b2）＝a3﹣a2b＋ab2＋a2b﹣ab2＋b3＝a3＋b3即：（a＋b）（a2﹣ab＋b2）＝a3＋b3①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式．同理，（a﹣b）（a2＋ab＋b2）＝a3﹣b3②，我们把等式②叫做多项式乘法的立方差公式．请利用公式分解因式：﹣64x3＋y3＝___．二、解答题2．（2021·上海松江·七年级期中）因式分解：3．（2021·上海·七年级期中）4．（2021·上海金山·七年级期中）分解因式：5．（2021·上海市川沙中学南校七年级期中）因式分解：6．（2022·上海·七年级期末）因式分解：7．（2021·上海·七年级期中）因式分解：8．（2021·上海·七年级期中）因式分解：题型九：利用提公因式法和公式法分解因式一、填空题1．（2022·上海·七年级期末）因式分解：_________.2．（2021·上海·七年级期中）因式分解：=______．3．（2022·上海·七年级开学考试）分解因式：4x2﹣16y2＝_____．4．（2022·上海·新中初级中学七年级期末）分解因式：3x2-12x+12=___________________．二、解答题5．（2022·上海浦东新·七年级期末）分解因式：．6．（2021·上海浦东新·七年级期末）分解因式：2x3+12x2y+18xy2．7．（2021·上海金山·七年级期中）分解因式：8．（2021·上海民办浦东交中初级中学七年级期末）因式分解(1)5x2+6y﹣15x﹣2xy； (2)（1+ab）2﹣（a+b）2．9．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：10．（2022·上海·七年级期末）分解因式：.11．（2021·上海·七年级期中）阅读下列材料：让我们来规定一种运算：，例如：，再如： =按照这种运算的规定：请解答下列各个问题：(1)； (只写最后结果)(2)当x为何值时, ； (只写最后结果)(3)将下面式子进行因式分解： ．题型十：因式分解在有理数简算中的应用一、单选题1．（2018·上海市延安初级中学七年级期末）已知，，，那么的值是（ ）A． B． C． D．二、解答题2．（2017·上海浦东新区民办正达外国语学校七年级期中）计算：巩固提升一、选择题1.（普陀2017期末3）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）A. B. C. D. 2.（宝山2017期末17）下列多项式能因式分解的是（ ）； ； ； .3.（闵行2018期末4）数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是能在有理数的范围内因式分解，则整数的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你判断整数的值有几个？（ ）（A） 4； （B）5； （C） 6； （D）8． 二、填空题4.（闵行2018期末10）因式分解： ；5.（金山2017期末10）因式分解： ．6.（奉贤2017期末11）分解因式：＝ .7.（闵行2018期末11）因式分解： ． 三、解答题8.（松江2018期中24）因式分解：；9.（松江2017期中24）因式分解：；10.（松江2017期中26）因式分解：；11.（崇明2018期中24）分解因式：.12.（崇明2018期中25）分解因式：. 13．（2020·上海七年级期末）分解因式：.14．（2020·上海市蒙山中学七年级期中）因式分解：15．（2020·上海市梅陇中学）因式分解16．（2019·上海市徐汇中学七年级月考）因式分解：17．（2019·上海市天山第二中学七年级期中）因式分解：18．（2020·上海市梅陇中学）因式分解：19．（2020·上海市澧溪中学七年级月考）因式分解：20．（2020·上海七年级期末）分解因式：x2－y2－2x－2y21．（2019·上海市民办新竹园中学）因式分解：22.（黄浦2017期末28）多项式的乘法公式中，除了平方差公式、完全平方公式之外，还有立方和公式与立方差公式如下：立方和公式：；立方差公式：.如果把公式逆运用，则成为因式分解中的立方和与立方差公式.根据以上材料，请完成下列问题：（1）因式分解：＝ ；（2）因式分解：＝ ；（3）已知：，求的值.23.（浦东2017期末21）把多项式分解因式得，求a、b的值.24.（2019青教院附中10月考28）阅读理解：已知x3-8有一个因式x-2，我们可以用如下方法对x3-8进行因式分解。解：设x3-8=(x-2)(x2+ax+b)因为 (x-2)(x2+ax+b)=x3+(a-2)x2+(b-2a)x-2b所以 a-2=0，且b-2a=0，且-2b=-8所以 a=2，且b=4所以 x3-8=(x-2)(x2+2x+4)这种分解因式的方法叫做待定系数法。（1）已知x3+27有一个因式x+3，用待定系数法分解：x3+27.（2）观察上述因式分解，直接写出答案：因式分解：= ；= .25.（西延安2019期中24）已知,. 利用因式分解法求的值；（2）求的值 第6讲 提取公因式法、公式法分解因式（2大考点10种解题方法）考点考向一：提取公因式法1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．2、因式分解与整式乘法互为逆变形：式中可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式．2、公因式：一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式．3、提取公因式法：多项式各项都含有公因式，可把公因式提到外面，将多项式写成与的乘积形式，此法叫做提取公因式法．4、提取公因式的步骤：（1）找出多项式各项的公因式．（2）提出公因式．（3）写成与的乘积形式．6、提取公因式法的几个技巧和注意点：（1）一次提净；（2）视“多”为“一”；（3）切勿漏1；（4）注意符号：在提出的公因式为负的时候，注意各项符号的改变；（5）化“分”为整：在分解过程中如出现分数，可先提出分数单位后再进行分解 ；（6）仔细观察：当各项看似无关的时候，仔细观察其中微妙的联系，转化后再分解．二：公式法1、平方差公式：①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积．2、完全平方公式： ①左边相当于一个二次三项式；②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定．考点精讲考点一：提公因式题型一：判断是否是因式分解一、单选题1．（2021·上海普陀·七年级期末）下列等式中，从左到右是因式分解的是（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，进行求解即可．【详解】解：A、，不是整式积的形式，不是因式分解，不符而合题意；B、，是因式分解，符合题意；C、，不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；D、，不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；故选B．【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，熟知定义是解题的关键．2．（2020·上海市澧溪中学七年级阶段练习）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据因式分解的定义对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：A、右边是几个整式的积的形式，故此选项符合题意；B、从左到右是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；C、右边不是把多项式化成整式的积的形式，故此选项不符合题意．D、右边不是把多项式化成整式的积的形式，故此选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了分解因式的定义．解题的关键是掌握分解因式的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．3．（2020·上海市建平中学西校七年级期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】解：A、（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，从左到右是整式的乘法，不是因式分解；B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）+1，等式的右边不是几个整式的积，不是因式分解；C、a2﹣a﹣1＝a（a﹣1）﹣1，等式的右边不是几个整式的积，不是因式分解；D、a3+2a2+3a＝a（a2+2a+3），等式的右边是几个因式积的形式，故是因式分解；故选：D．【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积．4．（2021·上海·七年级期中）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）A．2 B．C． D．【答案】C【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可．【详解】A. 右边不是整式积的形式，不符合；B. 右边不是整式积的形式，不符合；C.符合因式分解的定义，故符合；D. 右边不是整式积的形式，不符合.故选C.【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的性质是解题关键.5．（2021·上海·七年级期中）下列从左到右的变形,是因式分解的是( )A．B．C．D．【答案】D【分析】根据把多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做分解因式逐项分析可得解.【详解】解：A. 不是因式分解；B. 不是因式分解；C. 不是因式分解；D. 是因式分解；故选D【点睛】本题考查了因式分解的定义，熟知把多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做分解因式是解题关键.题型二：已知因式分解的结果求参数一、填空题1．（2022·上海·七年级专题练习），则__________【答案】9【分析】利用多项式乘多项式，展开，再根据等式的性质列式求得m、n的值，即可求解【详解】解：∵，∴，∴9+n=8，m=9n，∴n=-1，m=-9，∴mn=-9×(-1)=9．故答案为：9．【点睛】本题考查了因式分解，多项式乘多项式，等式的性质，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．2．（2021·上海·七年级期中）甲乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则2a+b＝_____．【答案】21．【分析】根据题意：分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，但是a正确，分解结果为（x+2）（x+4），a为6；乙看错了a，但是b正确，分解结果为（x+1）（x+9），b为9．代入2a+b即可．【详解】∵分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），∴a＝6，乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），∴b＝9，∴2a+b＝12+9＝21．故答案为：21．【点睛】本题考查了因式分解，解决本题的关键是看错了一个系数，但是另一个没看错．学生做这类题时往往不能理解．3．（2018·上海浦东新·七年级期中）已知a+3b=0，则式子-a3+ab（a+b）-33b3的值为______．【答案】0【分析】由题可知a=-3b，把a=-3b代入原式即可求解．【详解】解：由题可知：a=-3b，把a=-3b代入原式， 则原式=-（-3b）3+a2b+ab2-33b3 =a2b+ab2-6b3 =b（a2+ab-6b2） =b[（-3b）2+（-3b）b-6b2] =0 ，故答案为0．【点睛】此题考查了因式分解的应用，灵活的代入消元是解本题的关键题型三：提公因式法分解因式一、单选题1．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）用提公因式法分解因式正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】此题通过提取公因式可对选项进行一一分析，排除错误的答案．【详解】解：A、12abc-9a2b2c2=3abc（4-3abc），故本选项错误；B、3x2y-3xy+6y=3y（x2-x+2），故本选项错误；C、-a2+ab-ac=-a（a-b+c），正确；D、x2y+5xy-y=y（x2+5x-1），故本选项错误．故选：C．【点睛】此题考查提取公因式的方法，通过得出结论推翻选项．二、填空题2．（2021·上海·七年级期中）分解因式：xy﹣3x+y﹣3＝______．【答案】（y﹣3）（x+1）【分析】直接利用分组分解法、提取公因式法分解因式得出答案．【详解】解：xy﹣3x+y﹣3＝x（y﹣3）+（y﹣3）＝（y﹣3）（x+1）．故答案为：（y﹣3）（x+1）．【点睛】本题主要考查了利用提取公因式的方法分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握提公因式的方法分解因式．3．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）________．【答案】【分析】提取公因式法分解因式，寻找相同的公因式即可．【详解】原式= = ．故答案为：．【点睛】本题主要考查了提公因式法分解因式，熟练掌握寻找公因式的方法是解题的关键．三、解答题4．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：【答案】【分析】先计算单项式乘多项式，合并后，再提取公式即可．【详解】解：．【点睛】本题考查了单项式乘多项式，同底数相乘，提公因式分解因式，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．5．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：【答案】【分析】先计算多项式乘法，再计算加法，最后提取公因式即可．【详解】解：．【点睛】本题考查多项式的乘法和提取公因法分解因式，熟练掌握运算法则并正确计算是解题的关键．6．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）分解因式：【答案】【分析】把看成整体，把化为，再利用提公因式法分解因式．【详解】解：【点睛】本题考查的是提公因式法分解因式，同时考查因式分解的彻底性，掌握以上知识是解题的关键．7．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）【答案】．【分析】利用提公因式法进行因式分解即可得．【详解】原式，，．【点睛】本题考查了利用提公因式法进行因式分解，因式分解的主要方法包括：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，熟练掌握各方法是解题关键．考点二：公式法题型四：公因式一、单选题1．（2021·上海浦东新·七年级期末）多项式3x-9，x2-9与x2-6x+9的公因式为（ ）A．x+3 B．(x+3)2 C．x-3 D．x2+9【答案】C【分析】先把这三个式子因式分解，再找到它们的公因式．【详解】解：，，，公因式是．故选：C．【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法．2．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）多项式8xmyn-1－12x3myn的公因式是（ ）A．xmyn B．xmyn-1 C．4xmyn D．4xmyn-1【答案】D【详解】由题意可得，这个多项式的公因式为4xmyn-1，注意数字的最大公约数也是公因式，容易出错，故选D二、填空题3．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）单项式－12x12y3与8x10y6的公因式是________．【答案】4x10y3【详解】运用公因式的概念，系数的最大公约数是4，相同字母的最低指数次幂是x10y3，可得公因式为4x10y3．故答案为4x10y3.点睛：此题主要考查了找公因式的方法，系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，即可求解.4．（2020·上海浦东新·七年级期末）和的公因式是_________.【答案】【分析】分别取系数和相同字母的最大公因数相乘即为所求．【详解】和中8和12的最大公因数是4，字母的公因式为x3y,所以它们的公因式是：4x3y.故答案是：4x3y.【点睛】考查了求公因式，常用的方法是先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确定公共因式．题型五：判断能否用公式法因式分解一、单选题1．（2021·上海·七年级期中）下列各式中，能够运用完全平方公式分解因式的是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据完全平方公式可直接进行排除选项．【详解】A、，故不符合题意；B、，故不符合题意；C、，故符合题意；D、，故不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查公式法，熟练掌握公式法进行因式分解是解题的关键．2．（2021·上海·七年级期中）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是( )A． B． C． D．【答案】C【分析】利用完全平方公式：，进而判断得出答案．【详解】解：A、，不能用完全平方公式进行因式分解；B、，不能用完全平方公式进行因式分解；C、，能用完全平方公式进行因式分解；D、，不能用完全平方公式进行因式分解；故选C．【点睛】本题考查用完全平方公式进行因式分解，解题的关键是熟练运用完全平方公式.3．（2022·上海·七年级期末）下列多项式能用公式法分解因式的有（ ）① ② ③ ④ ⑤A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据平方差公式，完全平方公式的结构即可判断．【详解】①不能用公式法因式分解；②原式＝，③不能用公式法因式分解；④原式＝（b-a）（b+a），⑤原式＝故选：C．【点睛】本题考查因式分解，涉及平方差公式，完全平方公式．题型六：运用平方差公式分解因式一、单选题1．（2022·上海·七年级专题练习）在有理数范围内，下列多项式不能因式分解的有( )①；②；③；④；⑤A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据因式分解的方法：提公因式法、公式法；进行判断．【详解】解： ①；②；③不能分解因式；④；⑤；故选：A．【点睛】本题考查因式分解的方法（提公因式法，公式法），解题的关键是抓住能利用公式法分解的多项式的特点．二、填空题2．（2021·上海浦东新区民办欣竹中学七年级期中）因式分解：__．【答案】【分析】将当作整体，对式子先进行配方，然后利用平方差公式求解即可．【详解】解：原式．故答案是：．【点睛】此题考查了因式分解，涉及了平方差公式，解题的关键是掌握因式分解的方法，并将当作整体，得到平方差的形式．3．（2022·上海·七年级专题练习）（________）；（________）； ________；【答案】 【分析】利用幂的乘方和积的乘方法则，即可得出结果；利用平方差公式，即可得出结果；利用完全平方公式，即可得出答案．【详解】解：．故答案为：．故答案为：∵；，∴，即．故答案为：【点睛】本题考查了幂的乘方、积的乘方、平方差公式、完全平方公式，解本题的关键在熟练掌握相关法则．积的乘方：；平方差公式：；完全平方公式：．三、解答题4．（2021·上海市傅雷中学七年级期中）因式分解：81a4-16【答案】【分析】利用平方差公式分解因式即可；【详解】解：原式=，=，=；【点睛】本题主要考查了利用平方差公式进行因式分解，准确计算是解题的关键．5．（2021·上海虹口·七年级期末）因式分解：【答案】【分析】把原式分组成，然后利用完全平方公式和平方差公式化简即可．【详解】解：原式【点睛】本题考查了利用完全平方公式和平方差公式因式分解，把原式有3项适合完全平方的放在一起进行因式分解是解答此题的关键．6．（2021·上海金山·七年级期中）分解因式：【答案】4（2x-y）（x+y）【分析】利用平方差公式分解因式即可．【详解】解：9x2-（x-2y）2，=（3x+x-2y）（3x-x+2y），=4（2x-y）（x+y）．【点睛】此题考查了公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．7．（2022·上海·七年级期末）阅读理解：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：＝＝＝＝，像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．请利用“配方法”进行因式分解：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）（2）都要如题中举例，先对整式进行配方，再利用平方差公式进行因式分解，注意（2）中配方时幂的指数要正确．(1)原式＝＝＝＝；(2)＝＝．【点睛】本题考查了利用完全平方公式进行配方、利用平方差公式进行因式分解，解题中注意整体法的运用．题型七：运用完全平方公式分解因式一、单选题1．（2022·上海·七年级专题练习）在有理数范围内，下列多项式不能因式分解的有( )①；②；③；④；⑤A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据因式分解的方法：提公因式法、公式法；进行判断．【详解】解： ①；②；③不能分解因式；④；⑤；故选：A．【点睛】本题考查因式分解的方法（提公因式法，公式法），解题的关键是抓住能利用公式法分解的多项式的特点．二、填空题2．（2021·上海金山·七年级期中）分解因式：＝______．【答案】##【分析】根据公式法因式分解即可【详解】解：＝故答案为：【点睛】本题考查了公式法分解因式，掌握公式法因式分解是解题的关键．3．（2021·上海黄浦·七年级期中）分解因式：﹣x2y＋6xy﹣9y＝___．【答案】【分析】根据因式分解的方法求解即可．分解因式的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．【详解】解：﹣x2y＋6xy﹣9y故答案为：．【点睛】此题考查了分解因式，解题的关键是熟练掌握分解因式的方法．分解因式的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．三、解答题4．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：【答案】．【分析】式子整理后分组，利用完全平方公式分解即可【详解】解：．【点睛】本题考查了因式分解-公式法，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．5．（2021·上海市西延安中学七年级期中）分解因式：（x2+1）2﹣4x（x2+1）+4x2．【答案】．【分析】根据完全平方公式因式分解，整理顺序后，再用完全平方公式因式分解，最后利用幂的乘方得到因式分解的结果．【详解】解：（x2+1）2﹣4x（x2+1）+4x2，=（x2+1）2﹣2×（x2+1）·2x +（2x）2，=，=，=，=．【点睛】本题考查因式分解，幂的乘方运算，掌握因式分解的各种方法，准确记住因式分解公式和公式特征是解题关键．6．（2021·上海·七年级期中）分解因式：（x2﹣2x）2﹣12（x2﹣2x）+36．【答案】（x2﹣2x﹣6）2【分析】仔细观察把看做一个整体，可以发现正好是一个完全平方式，直接利用公式法分解因式得出答案．【详解】解：原式＝（x2﹣2x﹣6）2．故答案为：（x2﹣2x﹣6）2．【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键在于能够准确观察出原式是一个完全平方式．7．（2021·上海·七年级期中）因式分解：【答案】【分析】观察式子可发现：，故可设，，将原式变为进行化简分解，最后将A、B替换再化简即可.【详解】解：设，，则,∴原式======.【点睛】本题考查因式分解，观察得出式子之间的关系是解答本题的关键.8．（2021·上海浦东新区民办欣竹中学七年级期中）已知实数，，满足，，求的值．【答案】【分析】先把化为 再代入可得，利用非负数的性质求解 从而可得的值，再代入代数式求值即可.【详解】解：，，，代入得：，， 可得：，，，，所以．【点睛】本题考查的是非负数的性质，二元方程组的代换思想，求解代数式的值，运用完全平方公式分解因式，掌握“把原条件转化为非负数的和”是解题的关键.题型八：综合运用公式法分解因式一、填空题1．（2021·上海杨浦·七年级期中）由多项式与多项式相乘的法则可知：即：（a＋b）（a2﹣ab＋b2）＝a3﹣a2b＋ab2＋a2b﹣ab2＋b3＝a3＋b3即：（a＋b）（a2﹣ab＋b2）＝a3＋b3①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式．同理，（a﹣b）（a2＋ab＋b2）＝a3﹣b3②，我们把等式②叫做多项式乘法的立方差公式．请利用公式分解因式：﹣64x3＋y3＝___．【答案】【分析】根据题意根据立方差公式因式分解即可．【详解】﹣64x3＋y3故答案为：【点睛】本题考查了因式分解，根据题意套用立方差公式是解题的关键．二、解答题2．（2021·上海松江·七年级期中）因式分解：【答案】【分析】观察原式可知出现了平方差的形式，这里的可化为，利用平方差公式进行因式分解得到.而此时分解还没有彻底，还能用完全平方公式继续进行分解，得到最终的结果.【详解】原式= 故答案为【点睛】本题综合性的考查了两种公式法分解因式，这里需要注意的是因式分解之后务必检查分解是否彻底，本题中用完平方差分解之后，分解还未完成，还需要用完全平方公式进行分解因式.涉及到的公式有：，，3．（2021·上海·七年级期中）【答案】【分析】先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式分解即可．【详解】解：原式．【点睛】本题考查因式分解-运用公式法，熟练掌握公式是解题的关键．4．（2021·上海金山·七年级期中）分解因式：【答案】（a-3）2（a+3）2【分析】直接利用完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案．【详解】解：a4-18a2+81=（a2-9）2=（a-3）2（a+3）2．【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．5．（2021·上海市川沙中学南校七年级期中）因式分解：【答案】（x+y）2（x-y）2【分析】首先利用平方差公式进行因式分解，得原式=接下来，对每个括号内的多项式利用完全平方公式进行二次分解即可．【详解】原式= =（x+y）2（x-y）2；【点睛】此题考查公式法分解因式，解决本题的关键是掌握平方差公式和完全平方公式.6．（2022·上海·七年级期末）因式分解：【答案】(a-1)2(a-3)(a+1)【分析】根据完全平方公式、平方差公式和十字交叉法进行因式分解．【详解】＝= ===(a-1)2(a-3)(a+1)【点睛】考查了利用公式法因式分解，解题关键是熟记完全平方公式和平方差公式的特点和将7．（2021·上海·七年级期中）因式分解：【答案】【分析】综合利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可得．【详解】原式====【点睛】本题考查了利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解，熟记公式是解题关键．8．（2021·上海·七年级期中）因式分解：【答案】【分析】先构造出完全平方公式，运用完全平方公式分解，最后利用平方差公式进行分解即可.【详解】解：原式===.【点睛】本题考查公式法分解因式，构造出完全平方公式是解答本题的关键.题型九：利用提公因式法和公式法分解因式一、填空题1．（2022·上海·七年级期末）因式分解：_________.【答案】【分析】根据完全平方公式分解因式即可.【详解】解：；故答案为.【点睛】本题考查了完全平方公式分解因式，解题的关键是熟练掌握能运用全平方公式分解的式子的特点.2．（2021·上海·七年级期中）因式分解：=______．【答案】【分析】先提公因数4，然后根据平方差公式因式分解即可【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．3．（2022·上海·七年级开学考试）分解因式：4x2﹣16y2＝_____．【答案】4（x+2y）（x﹣2y）．【分析】首先提取公因式4，进而利用平方差公式分解因式得出即可．【详解】解：4x2﹣16y2＝4（x2﹣4y2）＝4（x+2y）（x﹣2y）．故答案为：4（x+2y）（x﹣2y）．【点睛】本题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握提公因式法与公式法的综合运用是解题的关键.4．（2022·上海·新中初级中学七年级期末）分解因式：3x2-12x+12=___________________．【答案】3（x-2）2【详解】解：原式=3（x2-4x+4）=3（x-2）2故答案为：3（x-2）2【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用，解题关键是熟练运用公式法和提取公因式法进行因式分解．二、解答题5．（2022·上海浦东新·七年级期末）分解因式：．【答案】．【分析】综合利用提公因式法和完全平方公式进行因式分解即可得．【详解】解：原式．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的各方法是解题关键．6．（2021·上海浦东新·七年级期末）分解因式：2x3+12x2y+18xy2．【答案】2x（x+3y）2【分析】先提公因式，进而根据完全平方公式因式分解即可．【详解】解：2x3+12x2y+18xy2＝2x（x2+6xy+9y2）＝2x（x+3y）2．【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．7．（2021·上海金山·七年级期中）分解因式：【答案】ab（4+a2）（2+a）（2-a）【分析】直接提取公因式ab，再利用平方差公式分解因式得出答案．【详解】解：原式=ab（16-a4）=ab（4+a2）（4-a2）=ab（4+a2）（2+a）（2-a）．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．8．（2021·上海民办浦东交中初级中学七年级期末）因式分解(1)5x2+6y﹣15x﹣2xy；(2)（1+ab）2﹣（a+b）2．【答案】(1)（x﹣3）（5x﹣2y）(2)（1﹣a）（1﹣b）（1+a）（1+b）【分析】（1）根据题意将原式分为两组：（5x2﹣15x）、﹣（2xy﹣6y），然后利用提取公因式法进行因式分解；（2）根据题意利用平方差公式进行因式分解即可得出答案．(1)解：原式＝（5x2﹣15x）﹣（2xy﹣6y）＝5x（x﹣3）﹣2y（x﹣3）＝（x﹣3）（5x﹣2y）；(2)解：原式＝（1+ab﹣a﹣b）（1+ab+a+b）＝[（1﹣a）﹣b（1﹣a）][（1+a）+b（1+a）]＝（1﹣a）（1﹣b）（1+a）（1+b）．【点睛】本题考查平方差公式，分组分解法分解因式，要先把式子整理，再分解因式．对于一个四项式用分组分解法进行因式分解，难点是采用两两分组还是三一分组．9．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：【答案】【分析】综合利用提公因式法和公式法进行因式分解即可．【详解】解：．【点睛】本题考查了综合利用提公因式法和公式法进行因式分解，因式分解的主要方法包括：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，熟练掌握各种方法是解题关键．10．（2022·上海·七年级期末）分解因式：.【答案】(x-2-2y)(x-2+2y).【分析】将原式变为，前三项运用完全平方公式进行因式分解后，再与运用平方差公式运用因式分解即可.【详解】解：原式= ==(x-2-2y)(x-2+2y).【点睛】本题考查了运用完全平方公式和平方差公式进行因式分解，对原式适当变形后发现完全平方公式和平方差公式形式是解题关键.11．（2021·上海·七年级期中）阅读下列材料：让我们来规定一种运算：，例如：，再如： =按照这种运算的规定：请解答下列各个问题：(1)； (只写最后结果)(2)当x为何值时, ； (只写最后结果)(3)将下面式子进行因式分解： ．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据题中的运算法则即可求解；（2）根据题中的运算法则列出方程即可求解；（3）根据题中的运算法则列式，再进行因式分解．(1)；(2)∴x=；(3)= ．【点睛】此题主要考查新定义运算、解方程与因式分解，解题的关键是熟知解一元一次方程及因式分解的方法．题型十：因式分解在有理数简算中的应用一、单选题1．（2018·上海市延安初级中学七年级期末）已知，，，那么的值是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先将因式分解为(a-b)(a-c)，再将其值代入计算即可．【详解】∵，，，∴=a(a-b)-c(a-b)=(a-b)(a-c)=(2017x+2016-2017x-2017)×(2017x+2016-2017x-2018)=-1×(-2)=2．故选：A．【点睛】考查了利用因式分解进行简便计算，解题关键是要将因式分解为(a-b)(a-c)的形式．二、解答题2．（2017·上海浦东新区民办正达外国语学校七年级期中）计算：【答案】.【分析】利用平方差公式将各因式分解后进行约分即可得解.【详解】，= = =.【点睛】此题考查有理数的混合运算，运用规律拆分是解决问题的关键.巩固提升一、选择题1.（普陀2017期末3）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C.【解析】把一个多项式分解成几个整式的积的形式叫因式分解，等号右边是多项式，左边是几个整式积的形式. A选项是把几个整式积形式化成了一个多项式，因此不是因式分解；B选项是把一个合数分解素因素，不是因式分解；C选项是因式分解；D选项等号右边不是几个整式积的形式，因此不是因式分解。故正确答案为C.2.（宝山2017期末17）下列多项式能因式分解的是（ ）； ； ； .【答案】C.【解析】A、不能因式分解；B、不能因式分解；C、，能因式分解；D、不能因式分解；故选C.3.（闵行2018期末4）数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是能在有理数的范围内因式分解，则整数的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你判断整数的值有几个？（ ）（A） 4； （B）5； （C） 6； （D）8． 【答案】A.【解析】16可分解为，因此，所以，其中整数有4个，因此选A.二、填空题4.（闵行2018期末10）因式分解： ；【答案】；【解析】原式＝.5.（金山2017期末10）因式分解： ．【答案】 【解析】用提取公因式与平方差公式。原式＝.6.（奉贤2017期末11）分解因式：＝ .【答案】.【解析】提取公因式mn，原式＝.7.（闵行2018期末11）因式分解： ． 【答案】 ；【解析】直接用完全平方公式，原式＝.三、解答题8.（松江2018期中24）因式分解：；【答案】.【解析】原式＝.9.（松江2017期中24）因式分解：；【答案】【解析】提取公因式，原式＝；10.（松江2017期中26）因式分解：；【答案】.【解析】原式＝.先用平方差公式，然后用完全平方公式进行求解。.11.（崇明2018期中24）分解因式：.【答案】.【解析】原式＝.12.（崇明2018期中25）分解因式：.【答案】.【解析】原式＝. 13．（2020·上海七年级期末）分解因式：.【答案】【分析】根据分组因式分解即可求解.【详解】==【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知因式分解的方法.14．（2020·上海市蒙山中学七年级期中）因式分解：【答案】【分析】运用平方差公式分解后再提取公因式．【详解】解：原式．【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用，，熟记分解方法是解题的关键，注意分解因式要分解到每个因式都不能再分解为止．15．（2020·上海市梅陇中学）因式分解【答案】【分析】首先将（a2+6a）看作一个整体，利用完全平方公式进行分解因式，进而再利用完全平方公式得出结果即可．【详解】解： 【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式的结构特点和应用是解题关键．16．（2019·上海市徐汇中学七年级月考）因式分解：【答案】【分析】利用平方差公式即可因式分解.【详解】====【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知平方差公式进行因式分解.17．（2019·上海市天山第二中学七年级期中）因式分解：【答案】【分析】利用提公因式法即可得出答案.【详解】解：原式===【点睛】本题考查的是因式分解，需要熟练掌握因式分解的方法：①提公因式法；②公式法；③分组分解法；④十字相乘法.18．（2020·上海市梅陇中学）因式分解：【答案】【分析】三项式想到完全平方公式，观察各项发现，首末两项为完全平方式，而中间项恰好是两数积的二倍，变成两数差的完全平方，括号内两项符合平方差公式，利用平方差公式因式分解，再利用积的乘方的逆运用即可．【详解】，=，=，=．【点睛】本题考查因式分解的内容，掌握因式分解的方法，能灵活运用因式分解的方法进行因式分解，掌握因式分解的顺序，会根据多项式的特点选择恰当的方法因式分解．19．（2020·上海市澧溪中学七年级月考）因式分解：【答案】．【分析】先提公因式2b，再利用完全平方公式即可【详解】解：原式．【点睛】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握方法是解题的关键20．（2020·上海七年级期末）分解因式：x2－y2－2x－2y【答案】．【分析】综合利用平方差公式和提取公因式法分解因式即可得．【详解】原式，．【点睛】本题考查了因式分解，主要方法包括：提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，熟练掌握各方法是解题关键．21．（2019·上海市民办新竹园中学）因式分解：【答案】【分析】先提公因式x-y，整理后再进一步分解即可.【详解】原式====.【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法. 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.22.（黄浦2017期末28）多项式的乘法公式中，除了平方差公式、完全平方公式之外，还有立方和公式与立方差公式如下：立方和公式：；立方差公式：.如果把公式逆运用，则成为因式分解中的立方和与立方差公式.根据以上材料，请完成下列问题：（1）因式分解：＝ ；（2）因式分解：＝ ；（3）已知：，求的值.【答案】（1）；（2）； （3）322.【解析】（1）；（2）；（3）因为，所以；；所以.23.（浦东2017期末21）把多项式分解因式得，求a、b的值.【答案】.【解析】依题：，，所以，所以.24.（2019青教院附中10月考28）阅读理解：已知x3-8有一个因式x-2，我们可以用如下方法对x3-8进行因式分解。解：设x3-8=(x-2)(x2+ax+b)因为 (x-2)(x2+ax+b)=x3+(a-2)x2+(b-2a)x-2b所以 a-2=0，且b-2a=0，且-2b=-8所以 a=2，且b=4所以 x3-8=(x-2)(x2+2x+4)这种分解因式的方法叫做待定系数法。（1）已知x3+27有一个因式x+3，用待定系数法分解：x3+27.（2）观察上述因式分解，直接写出答案：因式分解：= ；= .【答案】（1）；（2）；【解析】解：（1）根据题意，设，则，故，解得，所以；（2）；.25.（西延安2019期中24）已知,. 利用因式分解法求的值；（2）求的值【答案】（1）2 （2）34，8；【解析】（1）, , , 所以;（2），所以，因为 ，所以所以 .
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