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人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念习题
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念习题，共24页。
一．集合的含义（共5小题）
1．（2022秋•秀峰区校级期中）①联合国安全理事会常任理事国；
②充分接近的所有实数；
③方程x2+2x+2＝0的实数解；
④中国著名的高等院校．
以上对象能构成集合的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③④
2．（2022秋•裕华区校级月考）下列对象能构成集合的是（ ）
①所有很高的山峰；②方程x2+3x﹣4＝0的实根；③所有小于10的自然数；④cs60°，sin45°，cs45°．
A．①②B．②③C．①④D．③④
3．（2022秋•忻州月考）下列说法中正确的是（ ）
①某高级中学高一年级所有高个子男生能组成一个集合；
②∈Q；
③不等式x2﹣4x＜0的解集为{0＜x＜4}；
④在平面直角坐标系中，第二、四象限内的点构成的集合可表示为{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R}．
A．①②B．②④C．②③④D．③④
4．（2022秋•平阳县校级月考）下列说法正确的是（ ）
A．高一年级全体高个子同学可以组成一个集合
B．0∈N*
C．集合{1，1，2}含有三个元素
D．∅⊆{0}
5．（2022秋•邓州市校级月考）下列说法正确的是（ ）
A．由小于8的正整数组成一个集合
B．方程|x+1|+（x﹣1）2＝0的解构成的集合不是空集
C．由﹣1，0，1组成的集合和由﹣，1，0组成的集合不相等
D．某班中上课认真听讲的同学能够组成一个集合
二．元素与集合关系的判断（共7小题）
6．（2022秋•米东区校级期末）已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{a+b|a∈A，b∈A}，则集合B＝（ ）
A．{﹣1，1}B．{﹣1，0，1}
C．{﹣2，﹣1，1，2}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}
7．（2022秋•武陵区校级期末）若关于x的方程ax2﹣2x+1＝0的解集中有且仅有一个元素，则实数a的值组成的集合中的元素个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
（多选）8．（2022秋•沈阳期末）设集合A＝{﹣3，x+2，x2﹣4x}，且5∈A，则x的值可以为（ ）
A．3B．﹣1C．5D．﹣3
三．集合的确定性、互异性、无序性（共4小题）
9．（2022秋•萨尔图区校级月考）集合{3，x，x2﹣2x}中，x应满足的条件是（ ）
A．x≠﹣1B．x≠0
C．x≠﹣1且x≠0且x≠3D．x≠﹣1或x≠0或x≠3
10．（2022秋•天宁区校级月考）以实数x，﹣x，|x|，，﹣为元素所组成的集合最多含有（ ）个元素．
A．0B．1C．2D．3
11．（2022秋•黄浦区校级月考）若集合M＝{a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
12．（2022•安化县校级开学）集合A＝{x|kx2﹣8x+16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．
四．集合的表示法（共5小题）
13．（2022秋•奉贤区校级期末）用列举法表示中国国旗上所有颜色组成的集合 ．
14．（2022秋•遂宁期末）集合{x|﹣3＜2x﹣1＜3，x∈Z}用列举法表示为（ ）
A．{﹣2，﹣1，0，1，2}B．{﹣1，0，1，2}
C．{0，1}D．{1}
15．（2022秋•浏阳市期末）用列举法表示＝ ．
16．（2022秋•裕华区校级月考）集合{3，，，，…}用描述法可表示为（ ）
A．{x|x＝，n∈N*}B．{x|x＝，n∈N*}
C．{x|x＝，n∈N*}D．{x|x＝，n∈N*}
17．（2022秋•浦东新区校级期中）用描述法表示除以3余1的所有整数组成的集合 ．
【能力提升】
一．选择题（共5小题）
1．（2022秋•温江区校级期末）定义A⊕B＝{x|x＝，m∈A，n∈B}，若A＝{1，2，4}，B＝{2，4，8}，则A⊕B中元素个数为（ ）
A．1B．2C．4D．5
2．（2022秋•川汇区校级期末）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，|x﹣y|∈A}中所含元素的个数为（ ）
A．2B．4C．6D．8
3．（2022秋•湛江期末）对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或都为正奇数时，m※n＝m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{（a，b）|a※b＝8}中的元素个数是（ ）
A．10B．9C．8D．7
4．（2022秋•淮阳区校级期末）用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义，若A＝{1，2}，B＝{x|（x2+ax）⋅（x2+ax+2）＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C（S）等于（ ）
A．1B．3C．5D．7
5．（2022秋•昌平区期末）已知集合A，B都是N*的子集，A，B中都至少含有两个元素，且A，B满足：
①对于任意x，y∈A，若x≠y，则xy∈B；
②对于任意x，y∈B，若x＜y，则．
若A中含有4个元素，则A∪B中含有元素的个数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
二．填空题（共3小题）
6．（2022秋•如皋市期末）集合A＝{a2+a﹣2，1﹣a，2}，若4∈A，则a＝ ．
7．（2022秋•张家界期末）已知集合A＝{0，m，m2﹣3m+2}，且2∈A，求实数m的值 ．
8．（2022秋•石景山区期末）设P为非空实数集且满足：对任意给定的x，y∈P（x，y可以相同），都有x+y∈P，x﹣y∈P，xy∈P，则称P为幸运集．有以下结论：
①集合P＝{﹣2，﹣1，0，1，2}为幸运集；
②集合P＝{x|x＝2n，n∈Z}为幸运集；
③若集合P1，P2为幸运集，则P1∪P2为幸运集；
④若集合P为幸运集，则一定有0∈P．
其中正确结论的序号是 ．
三．解答题（共4小题）
9．（2022秋•顺义区期末）已知A是非空数集，如果对任意x，y∈A，都有x+y∈A，xy∈A，则称A是封闭集．
（Ⅰ）判断集合B＝{0}，C＝{﹣1，0，1}是否为封闭集，并说明理由；
（Ⅱ）判断以下两个命题的真假，并说明理由；
命题p：若非空集合A1，A2是封闭集，则A1∪A2也是封闭集；
命题q：若非空集合A1，A2是封闭集，且A1∩A2≠∅，则A1∩A2也是封闭集；
（Ⅲ）若非空集合A是封闭集合，且A≠R，R为全体实数集，求证：∁RA不是封闭集．
10．（2022秋•延庆区期末）已知集合A是集合N*的子集，对于i∈N*，定义．任取N*的两个不同子集A，B，对任意i∈N*．
（Ⅰ）判断fi（A∪B）＝fi（A）+fi（B）是否正确？并说明理由；
（Ⅱ）证明：fi（A∩B）＝fi（A）•fi（B）．
11．（2022秋•大兴区期末）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点（a，b）是点（c，d）的“上位点”．同时点（c，d）是点（a，b）的“下位点”；
（1）试写出点（3，5）的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
（2）已知点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，判断点是否是点（a，b）的“下位点”，证明你的结论；
（3）设正整数n满足以下条件：对集合{t|0＜t＜2022，t∈Z}内的任意元素m，总存在正整数k，使得点（n，k）既是点（2022，m）的“下位点”，又是点（2023，m+1）的“上位点”，求满足要求的一个正整数n的值，并说明理由．
12．（2022秋•昌平区期末）设有限集合E＝{1，2，3，⋯，N}，对于集合A⊆E，A＝{x1，x2，x3，⋯，xm}，给出两个性质：
①对于集合A中任意一个元素xk，当xk≠1时，在集合A中存在元素xi，xj（i≤j），使得xk＝xi+xj，则称A为E的封闭子集；
②对于集合A中任意两个元素xi，xj（i≠j），都有xi+xj∉A，则称A为E的开放子集．
（Ⅰ）若N＝20，集合A＝{1，2，4，6，8，10}，B＝{x|x＝3k+1，k≤6，k∈N*}，判断集合A，B为E的封闭子集还是开放子集；（直接写出结论）
（Ⅱ）若N＝100，1∈A，100∈A，且集合A为E的封闭子集，求m的最小值；
（Ⅲ）若N∈N*，且N为奇数，集合A为E的开放子集，求m的最大值．
1.1集合的概念（4种题型分类基础练+能力提升练）（分层作业）
【夯实基础】
一．集合的含义（共5小题）
1．（2022秋•秀峰区校级期中）①联合国安全理事会常任理事国；
②充分接近的所有实数；
③方程x2+2x+2＝0的实数解；
④中国著名的高等院校．
以上对象能构成集合的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③④
【分析】根据集合的定义进行判断即可．
【解答】解：对于①，联合国安全理事会常任理事国，能构成集合，故①正确；
对于②，充分接近的所有实数，没有确定性，不能构成集合，故②错误；
对于③，方程x2+2x+2＝0无实数解，方程x2+2x+2＝0的实数解构成空集，故③正确；
对于④，中国著名的高等院校．不能构成集合，故④错误．
故选：B．
【点评】本题考查了集合的概念和性质，属于基础题．
2．（2022秋•裕华区校级月考）下列对象能构成集合的是（ ）
①所有很高的山峰；②方程x2+3x﹣4＝0的实根；③所有小于10的自然数；④cs60°，sin45°，cs45°．
A．①②B．②③C．①④D．③④
【分析】根据集合的互异性、确定性原则判断即可．
【解答】解：对于①：不满足确定性，
对于④：不满足互异性，
对于②③：符合集合的三要素原则，
故选：B．
【点评】本题考查了集合的三要素，是一道基础题．
3．（2022秋•忻州月考）下列说法中正确的是（ ）
①某高级中学高一年级所有高个子男生能组成一个集合；
②∈Q；
③不等式x2﹣4x＜0的解集为{0＜x＜4}；
④在平面直角坐标系中，第二、四象限内的点构成的集合可表示为{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R}．
A．①②B．②④C．②③④D．③④
【分析】根据集合中元素的确定性判断①，由元素与集合的关系判断②，由不等式的解集的形式判断③，根据点所在的位置可知坐标满足的条件判断④．
【解答】解：①“高个子男生”标准不确定，不满足集合的确定性，故①错误；
②是有理数，故正确，故②正确；
③描述法中缺少代表元素，应该为{x|0＜x＜4}，故③错误；
④因为第二、第四象限点的横纵坐标符号相反，故点构成的集合可表示为{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R}，故④正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查集合的含义，属于基础题．
4．（2022秋•平阳县校级月考）下列说法正确的是（ ）
A．高一年级全体高个子同学可以组成一个集合
B．0∈N*
C．集合{1，1，2}含有三个元素
D．∅⊆{0}
【分析】由集合中元素特征对四个选项依次判断即可．
【解答】解：对于选项A，
高一年级全体高个子同学不能组成一个集合，
故错误；
对于选项B，0∉N*，
故错误；
对于选项C，
{1，1，2}的写法是不对的，
故错误；
对于选项D，∅⊆{0}，
故正确；
故选：D．
【点评】本题考查了集合中元素特征，属于基础题．
5．（2022秋•邓州市校级月考）下列说法正确的是（ ）
A．由小于8的正整数组成一个集合
B．方程|x+1|+（x﹣1）2＝0的解构成的集合不是空集
C．由﹣1，0，1组成的集合和由﹣，1，0组成的集合不相等
D．某班中上课认真听讲的同学能够组成一个集合
【分析】根据集合元素的确定性，集合相等的性质，集合的定义可求得答案．
【解答】解：对于A，小于8的正整数，符合集合的定义，能构成集合，故A正确，
对于B，|x+1|+（x﹣1）2＝0，可得|x+1|＝0，（x﹣1）2＝0，
由|x+1|＝0⇒x＝﹣1，由（x﹣1）2＝0⇒x＝1，
故方程|x+1|+（x﹣1）2＝0的解构成的集合是空集，故B错误，
对于C，{﹣1，0，1}＝{﹣，1，0}，故C错误，
对于D，某班中上课认真听讲的同学没有明确定义，不能构成集合，故D错误，
故选：A．
【点评】本题给出几组对象，要求我们找出能构成集合元素的对象，着重考查了集合元素的性质和集合的定义等知识，属于基础题．
二．元素与集合关系的判断（共7小题）
6．（2022秋•米东区校级期末）已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{a+b|a∈A，b∈A}，则集合B＝（ ）
A．{﹣1，1}B．{﹣1，0，1}
C．{﹣2，﹣1，1，2}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}
【分析】根据A＝{﹣1，0，1}求解B＝{a+b|a∈A，b∈A}即可．
【解答】解：由A＝{﹣1，0，1}，
B＝{a+b|a∈A，b∈A}，
当a∈A，b∈A时，
当a＝﹣1，b＝﹣1时，a+b＝﹣2，
当a＝﹣1，b＝0时，a+b＝﹣1，
当a＝﹣1，b＝1时，a+b＝0，
当a＝0，b＝﹣1时，a+b＝﹣1
当a＝0，b＝0时，a+b＝0，
当a＝0，b＝1时，a+b＝1，
当a＝1，b＝﹣1时，a+b＝0，
当a＝1，b＝0时，a+b＝1，
当a＝1，b＝1时，a+b＝2，
故集合B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}．
故选：D．
【点评】本题主要考查了集合与元素的关系，属于基础题．
7．（2022秋•武陵区校级期末）若关于x的方程ax2﹣2x+1＝0的解集中有且仅有一个元素，则实数a的值组成的集合中的元素个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】讨论a＝0与a≠0，从而求实数a的值组成的集合中的元素个数．
【解答】解：若a＝0，则﹣2x+1＝0，解集中有且仅有一个元素，成立；
若a≠0，Δ＝4﹣4a＝0，则a＝1．
故实数a的值组成的集合中的元素个数为2．
故选：B．
【点评】本题考查了集合中元素的个数问题及方程的解集有且仅有一个元素的判断，属于基础题．
（多选）8．（2022秋•沈阳期末）设集合A＝{﹣3，x+2，x2﹣4x}，且5∈A，则x的值可以为（ ）
A．3B．﹣1C．5D．﹣3
【分析】根据元素与集合的关系运算求解，注意检验，保证集合的互异性．
【解答】解：∵5∈A，则有：
若x+2＝5，则x＝3，此时x2﹣4x＝9﹣12＝﹣3，不符合题意，故舍去；
若x2﹣4x＝5，则x＝﹣1或x＝5，
当x＝﹣1时，A＝{﹣3，1，5}，符合题意；
当x＝5时，A＝{﹣3，7，5}，符合题意；
综上所述：x＝﹣1或x＝5．
故选：BC．
【点评】本题主要考查元素与集合的关系，考查运算求解能力，属于基础题．
三．集合的确定性、互异性、无序性（共4小题）
9．（2022秋•萨尔图区校级月考）集合{3，x，x2﹣2x}中，x应满足的条件是（ ）
A．x≠﹣1B．x≠0
C．x≠﹣1且x≠0且x≠3D．x≠﹣1或x≠0或x≠3
【分析】根据集合元素互异性可得x2﹣2x≠3，且x2﹣2x≠x，且x≠3解得答案．
【解答】解：集合{3，x，x2﹣2x}中，x2﹣2x≠3，且x2﹣2x≠x，且x≠3
解得：x≠3且x≠﹣1且x≠0
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是集合元素的互异性，难度不大，属于基础题．
10．（2022秋•天宁区校级月考）以实数x，﹣x，|x|，，﹣为元素所组成的集合最多含有（ ）个元素．
A．0B．1C．2D．3
【分析】当x＞0时，集合共有2个元素；当x＝0时，集合共有1个元素；当x＜0时，集合共有2个元素，从而由以实数x，﹣x，|x|，，﹣为元素所组成的集合最多含有元素的个数为2个．
【解答】解：当x＞0时，x＝|x|＝＞0，﹣＝﹣x＜0，此时集合共有2个元素；
当x＝0时，x＝|x|＝＝﹣＝﹣x＝0，此时集合共有1个元素；
当x＜0时，﹣x＝|x|＝＝﹣＞0，x＜0，此时集合共有2个元素，
故由以实数x，﹣x，|x|，，﹣为元素所组成的集合最多含有元素的个数为2个．
故选：C．
【点评】本题考查集合中元素个数的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意集合中元素性质的合理运用．
11．（2022秋•黄浦区校级月考）若集合M＝{a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
【分析】根据集合元素的互异性，在集合M＝{a，b，c}中，必有a、b、c互不相等，则△ABC不会是等腰三角形．
【解答】解：根据集合元素的互异性，
在集合M＝{a，b，c}中，必有a、b、c互不相等，
故△ABC一定不是等腰三角形；
故选：D．
【点评】本题较简单，注意到集合的元素特征即可．
12．（2022•安化县校级开学）集合A＝{x|kx2﹣8x+16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．
【分析】根据已知条件，分k＝0，k≠0两种情况讨论，即可求解．
【解答】解：①当k＝0时，方程kx2﹣8x+16＝0变为﹣8x+16＝0，解得x＝2，满足题意，
②当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2﹣8x+16＝0}中只有一个元素，
则方程kx2﹣8x+16＝0只有一个实数根，
所以Δ＝64﹣64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意，
综上所述，k＝0或k＝1，
故实数k的值组成的集合为{0，1}．
【点评】本题主要考查集合的应用，属于基础题．
四．集合的表示法（共5小题）
13．（2022秋•奉贤区校级期末）用列举法表示中国国旗上所有颜色组成的集合 {红色，黄色} ．
【分析】利用列举法直接写出答案即可．
【解答】解：由题意知，
中国国旗上所有颜色组成的集合为{红色，黄色}，
故答案为：{红色，黄色}．
【点评】本题考查了集合的表示法的应用，属于基础题．
14．（2022秋•遂宁期末）集合{x|﹣3＜2x﹣1＜3，x∈Z}用列举法表示为（ ）
A．{﹣2，﹣1，0，1，2}B．{﹣1，0，1，2}
C．{0，1}D．{1}
【分析】直接求出集合中的元素即可．
【解答】解：{x|﹣3＜2x﹣1＜3，x∈Z}＝{x|﹣1＜x＜2，x∈Z}＝{0，1}．
故选：C．
【点评】本题主要考查了集合列举法与描述法的转化，属于基础题．
15．（2022秋•浏阳市期末）用列举法表示＝ {1，2，3，6} ．
【分析】根据已知条件，先求出a的值，即可求解．
【解答】解：∵且a∈N，
∴a﹣1＝1或a﹣1＝2 或a﹣1＝3或a﹣1＝6，解得a＝2或a＝3或a＝4或a＝7，
∴对应的值为6，3，2，1，
故＝{1，2，3，6}．
故答案为：{1，2，3，6}．
【点评】本题主要考查集合的表示法，属于基础题．
16．（2022秋•裕华区校级月考）集合{3，，，，…}用描述法可表示为（ ）
A．{x|x＝，n∈N*}B．{x|x＝，n∈N*}
C．{x|x＝，n∈N*}D．{x|x＝，n∈N*}
【分析】集合{3，，，，…}中的第n项的分线为n，分子为2n+1，由此能求出结果．
【解答】解：集合{3，，，，…}中的第n项的分线为n，分子为2n+1，
∴集合{3，，，，…}用描述法可表示为：{x|x＝，n∈N*}．
故选：D．
【点评】本题考查集合的表示，考查集合的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．
17．（2022秋•浦东新区校级期中）用描述法表示除以3余1的所有整数组成的集合 {x|x＝3n+1，n∈Z} ．
【分析】根据描述法的定义求解即可．
【解答】解：用描述法表示除以3余1的所有整数组成的集合为{x|x＝3n+1，n∈Z}．
故答案为：{x|x＝3n+1，n∈Z}．
【点评】本题主要考查了集合的表示方法，属于基础题．
【能力提升】
一．选择题（共5小题）
1．（2022秋•温江区校级期末）定义A⊕B＝{x|x＝，m∈A，n∈B}，若A＝{1，2，4}，B＝{2，4，8}，则A⊕B中元素个数为（ ）
A．1B．2C．4D．5
【分析】根据新定义直接写出A⊕B中所有元素即可．
【解答】解：∵定义A⊕B＝{x|x＝，m∈A，n∈B}，A＝{1，2，4}，B＝{2，4，8}，
∴A⊕B＝{，，，1，2}，
∴A⊕B中元素个数为5个．
故选：D．
【点评】本题主要考查了元素与集合关系的判断，考查了元素的互异性，属于基础题．
2．（2022秋•川汇区校级期末）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，|x﹣y|∈A}中所含元素的个数为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】通过x的取值，确定y的取值，推出B中所含元素的个数．
【解答】解：由A＝{1，2，3}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，|x﹣y|∈A}，
当x＝3时，y＝1，2，满足集合B，
当x＝2时，y＝1，3；满足集合B，
当x＝1时，y＝2，3；满足集合B，
共有6个元素．
故选：C．
【点评】本题考查集合的基本运算，元素与集合的关系，考查计算能力．
3．（2022秋•湛江期末）对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或都为正奇数时，m※n＝m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{（a，b）|a※b＝8}中的元素个数是（ ）
A．10B．9C．8D．7
【分析】由定义分类讨论，列举出所有满足条件的元素即可．
【解答】解：由定义知，
当a，b都为正偶数或都为正奇数时，a※b＝a+b＝8，
故（a，b）是（1，7），（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），（7，1）；
当a，b中一个为正偶数，另一个为正奇数时，a※b＝ab＝8，
故（a，b）是（1，8），（8，1）；
故共9个元素，
故选：B．
【点评】本题考查了集合的应用及新定义的应用，应用了分类讨论的思想与列举法，属于中档题．
4．（2022秋•淮阳区校级期末）用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义，若A＝{1，2}，B＝{x|（x2+ax）⋅（x2+ax+2）＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C（S）等于（ ）
A．1B．3C．5D．7
【分析】结合题意知C（A）＝2，从而可得C（B）＝1或C（B）＝3，即方程（x2+ax）•（x2+ax+2）＝0有1个根或3个根，而由x2+ax＝0得x＝0或x+a＝0，分类讨论；当a＝0时，求解集合B，判断；当a≠0时，x2+ax＝0对应的根为0和﹣a，则C（B）＝3，再按方程x2+ax+2＝0的解的情况分两类讨论，进一步检验即可．
【解答】解：由题意知，C（A）＝2，
∵A*B＝1，
A*B＝，
∴C（B）＝1或C（B）＝3，
即方程（x2+ax）•（x2+ax+2）＝0有1个根或3个根，
若（x2+ax）•（x2+ax+2）＝0，
则x2+ax＝0或x2+ax+2＝0，
若x2+ax＝0，则x＝0或x+a＝0，
当a＝0时，B＝{0}，C（B）＝1，符合题意；
当a≠0时，x2+ax＝0对应的根为0和﹣a，
若C（B）＝3，则有以下两种情况，
①当x2+ax+2＝0有两个相等的实数根时，
Δ＝a2﹣8＝0，
解得a＝±2，
当a＝2时，B＝{0，﹣，﹣2}，
C（B）＝3，符合题意；
当a＝﹣2时，B＝{0，，2}，
C（B）＝3，符合题意；
②当x2+ax+2＝0有两个不相等的实数根时，
则﹣a是x2+ax+2＝0的一个根，
即（﹣a）2+a•（﹣a）+2＝0，
无解；
综上所述，S＝{0，2，﹣2}；
故C（S）＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了新定义的应用及分类讨论的思想方法的应用，属于中档题．
5．（2022秋•昌平区期末）已知集合A，B都是N*的子集，A，B中都至少含有两个元素，且A，B满足：
①对于任意x，y∈A，若x≠y，则xy∈B；
②对于任意x，y∈B，若x＜y，则．
若A中含有4个元素，则A∪B中含有元素的个数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】分别给出具体的集合A和集合B，然后证明正确性即可．
【解答】解：若取A＝{2，4，8，16}，则B＝{8，16，32，64，128}，
此时A∪B＝{2，4，8，16，32，64，128}，包含7个元素．
下面推导其正确性：
设A＝{a，b，c，d}且a＜b＜c，d，a，b，c，d∈N*，集合B的元素如下：
由表得：B＝{ab，ac，bc，ad，bd，cd}且ab＜ac＜min{bc，ad}＜max{bc，ad}＜bd＜cd，
此时要满足x＜y，有∈A，如下表：
当bc＞ad，上表第一列有＞＞＞＞且均属于集合A，而A＝{a，b，c，d}，矛盾；
当bc＜ad，上表第一列有＞＞＞，且均属于集合A，而A＝{a，b，c，d}，矛盾；
当bc＝ad时，则＞＞max{，，}＞min{，}＞＝，且均属于集合A，
而A＝{a，b，c，d}，此时只需满足＝＝，
则＝＝＝b，＝c，＝d，
可得S＝{a，a2，a3，a4}，且T＝{a3，a4，a5，a6，a7}，
注意a＝1，
所以A∪B＝{a，a2，a3，a4，a5，a6，a7}，故共有7个元素．
故选：C．
【点评】本题考查元素与集合的关系，考查列举法、集合中元素的性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
二．填空题（共3小题）
6．（2022秋•如皋市期末）集合A＝{a2+a﹣2，1﹣a，2}，若4∈A，则a＝ 2 ．
【分析】分类讨论A中元素与4的对应关系，得到方程解之，并验证互异性．
【解答】解：若4∈A，则a2+a﹣2＝4或1﹣a＝4，
当a2+a﹣2＝4时，a2+a﹣6＝0，解得：a＝﹣3或2，
若a＝﹣3，则1﹣a＝4，与互异性矛盾，舍去；
若a＝2，则1﹣a＝﹣1，满足题意；
当1﹣a＝4时，即a＝﹣3，此时a2+a﹣2＝4，与互异性矛盾，舍去；
综上a＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查集合中元素的互异性以及元素对应关系，属于基础题．
7．（2022秋•张家界期末）已知集合A＝{0，m，m2﹣3m+2}，且2∈A，求实数m的值 3 ．
【分析】利用2∈A，推出m＝2或m2﹣3m+2＝2，求出m的值，然后验证集合A是否成立，即可得到m的值．
【解答】解：因 A＝{0，m，m2﹣3m+2}，且2∈A
所以m＝2或m2﹣3m+2＝2
即m＝2或m＝0或m＝3
当m＝2时，A＝{0，2，0}与元素的互异性相矛盾，舍去；
当m＝0时，A＝{0，0，2}与元素的互异性相矛盾，舍去；
当m＝3时，A＝{0，3，2}满足题意
∴m＝3．
故答案是：3．
【点评】本题考查集合中元素与集合的关系，注意集合中元素的互异性的应用，考查计算能力．
8．（2022秋•石景山区期末）设P为非空实数集且满足：对任意给定的x，y∈P（x，y可以相同），都有x+y∈P，x﹣y∈P，xy∈P，则称P为幸运集．有以下结论：
①集合P＝{﹣2，﹣1，0，1，2}为幸运集；
②集合P＝{x|x＝2n，n∈Z}为幸运集；
③若集合P1，P2为幸运集，则P1∪P2为幸运集；
④若集合P为幸运集，则一定有0∈P．
其中正确结论的序号是 ②④ ．
【分析】直接利用幸运集的定义和赋值法判定①②③④四个结论．
【解答】解：P为非空实数集满足：对任意给定的x、∈P（x、y可以相同），都有x+y∈P，x﹣y∈P，xy∈P，则称P为幸运集．
对于①，由于﹣2﹣2＝﹣4∉A，故集合P＝{﹣2，﹣1，0，1，2}不为幸运集，故①错误；
对于②，设x，y∈A，则x＝2k1，y＝2k2，且k1，k2∈Z，故x+y＝2（k1+k2）∈A，x﹣y＝2（k1﹣k2）∈A，xy＝4k1k2∈A，
故集合p＝{x|x＝2n，n∈Z}为幸运集，故②正确；
对于③，若集合P1、P2为幸运集，设P1＝{x|x＝，k∈Z}，P2＝{x|x＝，k∈Z}为幸运集，但是P1∪P2不为幸运集，故③错误；
对于④，若集合P为幸运集，取x＝y，x﹣y＝0∈P，则一定有0∈P，故④正确．
故答案为：②④．
【点评】本题考查集合的新定义，注意运用赋值法，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
三．解答题（共4小题）
9．（2022秋•顺义区期末）已知A是非空数集，如果对任意x，y∈A，都有x+y∈A，xy∈A，则称A是封闭集．
（Ⅰ）判断集合B＝{0}，C＝{﹣1，0，1}是否为封闭集，并说明理由；
（Ⅱ）判断以下两个命题的真假，并说明理由；
命题p：若非空集合A1，A2是封闭集，则A1∪A2也是封闭集；
命题q：若非空集合A1，A2是封闭集，且A1∩A2≠∅，则A1∩A2也是封闭集；
（Ⅲ）若非空集合A是封闭集合，且A≠R，R为全体实数集，求证：∁RA不是封闭集．
【分析】（Ⅰ）根据封闭集的定义判断即可；
（Ⅱ）对命题p举反例A1＝{x|x＝2k，k∈Z}，A2＝{x|x＝3k，k∈Z}说明即可；
对于命题q：设a，b∈（A1∩A2），由A1，A2是封闭集，可得a+b∈（A1∩A2），ab∈（A1∩A2），从而判断为正确；
（Ⅲ）根据题意，令A＝Q，只需证明∁RQ不是封闭集即可，取∁RQ中的即可证明．
【解答】（Ⅰ）解：对于集合B＝{0}，因为0+0＝0∈B，0×0＝0∈B，
所以B＝{0}是封闭集；
对于集合C＝{﹣1，0，1}，因为﹣1+0＝﹣1∈C，﹣1×0＝0∈C，﹣1+1＝0∈C，﹣1×1＝﹣1∈C，
0+1＝1∈C，0×1＝0∈C，
所以集合C＝{﹣1，0，1}是封闭集；
（Ⅱ）解：对命题p：令A1＝{x|x＝2k，k∈Z}，A2＝{x|x＝3k，k∈Z}，
则集合A1，A2是封闭集，如A1＝{0，﹣2}，A2＝{0，3}，但A1∪A2＝{0，﹣2，3}不是封闭集，故错误；
对于命题q：设a，b∈（A1∩A2），则有a，b∈A1，又因为集合A1是封闭集，
所以a+b∈A1，ab∈A1，
同理可得a+b∈A2，ab∈A2．
所以a+b∈（A1∩A2），ab∈（A1∩A2），
所以A1∩A2是封闭集，故正确；
（Ⅲ）证明：因为非空集合A是封闭集合，且A≠R，
所以∁RA≠∅，∁RA≠R，
假设∁RA是封闭集，
由（Ⅱ）的命题q可知：若非空集合A1，A2是封闭集，且A1∩A2≠∅，则A1∩A2也是封闭集，
又因为A∩（∁RA）＝∅，
所以∁RA不是封闭集，得证．
【点评】本题考查了集合新定义的应用，属于中档题．
10．（2022秋•延庆区期末）已知集合A是集合N*的子集，对于i∈N*，定义．任取N*的两个不同子集A，B，对任意i∈N*．
（Ⅰ）判断fi（A∪B）＝fi（A）+fi（B）是否正确？并说明理由；
（Ⅱ）证明：fi（A∩B）＝fi（A）•fi（B）．
【分析】（1）通过举反例A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，A∪B＝{1，2，3，4}即可判断；
（2）若fi（A∩B）＝0，则i∉（A∩B），分i∈A且i∉B，或i∉A且i∈B，或i∉A且i∉B三种情况讨论，若f{（4∩B）＝1，则i∈（4∩B），此时fi（A∩B）＝1，综上即可证明．
【解答】解：（1）不正确，理由如下：
A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，A∪B＝{1，2，3，4}，
当i＝2时，因为2∈A，所以f2（A）＝1，
因为2∈B，所以f2（B）＝1，
因为2∈（A∪B），所以f2（A∪B）＝1，
此时f2（A∪B）≠f2（A）+f2（B），
所以对任意i∈N*，fi（A∪B）＝fi（A）+fi（B）不正确．
（2）证明：①若fi（A∩B）＝0，此时有i∉（A∩B），
当i∈A且i∉B时，fi（A）＝1，fi（B）＝0，此时fi（A）•fi（B）＝0；
当i∉A且i∈B时，fi（A）＝0，fi（B）＝1，此时fi（A）•fi（B）＝0；
当i∉A且i∉B时，fi（A）＝0，fi（B）＝0，此时fi（A）•fi（B）＝0，
因此fi（A∩B）＝fi（A）•fi（B）成立．
②若fi（A∩B）＝1，则i∈（A∩B），
此时i∈A且i∈B，则fi（A）＝1，fi（B）＝1，
此时fi（A）•fi（B）＝1，
因此fi（A∩B）＝fi（A）•fi（B）成立，
综合①②可知，fi（A∩B）＝fi（A）•fi（B）成立．
【点评】本题主要考查集合的新定义，集合间的基本关系，元素与集合的关系，考查逻辑推理能力，属于中档题．
11．（2022秋•大兴区期末）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点（a，b）是点（c，d）的“上位点”．同时点（c，d）是点（a，b）的“下位点”；
（1）试写出点（3，5）的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
（2）已知点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，判断点是否是点（a，b）的“下位点”，证明你的结论；
（3）设正整数n满足以下条件：对集合{t|0＜t＜2022，t∈Z}内的任意元素m，总存在正整数k，使得点（n，k）既是点（2022，m）的“下位点”，又是点（2023，m+1）的“上位点”，求满足要求的一个正整数n的值，并说明理由．
【分析】（1）由定义即可得所求点的坐标；
（2）先由点（a，b）是点（c，d）的“上位点”得＞，作差化简得ad﹣bc＞0，结合所得结论、定义，利用作差法可判断出点P（）是否是点（a，b）的“下位点”；
（3）借助（2）的结论，证明点P（a+c，b+d）既是点（c，d）的“上位点”，又是点（a，b）的“下位点”，再利用所证结论即可得到满足要求的一个正整数n的值．
【解答】解：（1）根据题设中的定义可得点（3，5）的一个上位点“坐标”和一个下位点坐标分别为（3，4）和（3，7）．
（2）点P（，）是点（a，b）的“下位点”．
证明：∵点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，∴，
∵a，b，c，d均大于0，∴ad＞bc，∴ad﹣bc＞0，
∴﹣＝＝＜0，∴，
∴点P（）是点（a，b）的“下位点”．
（3）可证点P（a+c，b+d）既是点（c，d）的“上位点”，又是点（a，b）的“下位点”．
证明：∵点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，∴，
∵a，b，c，d均大于0，∴ad＞bc，∴ad﹣bc＞0，
∴﹣＝＝＝＞0，
即＞，∴点P（a+c，b+d）是点（c，d）的“上位点”，
同理得＝＝，
即，∴点P（a+c，b+d）是点（a，b）的“下位点”，
∴点P（a+c，b+d）既是点（c，d）的“上位点”，又是点（a，b）的“下位点”，
根据题意知点（n，k）既是点（2022，m）的“下位点”，又是点（2023，m+1）的“上位点”对m∈{t|0＜t＜2022，t∈Z}时恒成立，
根据上述的结论知，当n＝2022+2023＝4045，k＝2m+1时，满足条件，故n＝4045．
【点评】本题考查“上位点”“下位点的定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
12．（2022秋•昌平区期末）设有限集合E＝{1，2，3，⋯，N}，对于集合A⊆E，A＝{x1，x2，x3，⋯，xm}，给出两个性质：
①对于集合A中任意一个元素xk，当xk≠1时，在集合A中存在元素xi，xj（i≤j），使得xk＝xi+xj，则称A为E的封闭子集；
②对于集合A中任意两个元素xi，xj（i≠j），都有xi+xj∉A，则称A为E的开放子集．
（Ⅰ）若N＝20，集合A＝{1，2，4，6，8，10}，B＝{x|x＝3k+1，k≤6，k∈N*}，判断集合A，B为E的封闭子集还是开放子集；（直接写出结论）
（Ⅱ）若N＝100，1∈A，100∈A，且集合A为E的封闭子集，求m的最小值；
（Ⅲ）若N∈N*，且N为奇数，集合A为E的开放子集，求m的最大值．
【分析】（Ⅰ）利用封闭子集，开放子集定义可得答案；
（Ⅱ）A＝{1，x2，x3，•••，xm﹣1，100}，设1＜x2＜x3＜•••＜xm﹣1＜100，因集合A中任意一个元素xk，当xk≠1时，在集合A中存在元素xi，xj（i≤j），使得xk＝xi+xj，则xn﹣1+1≤xn≤2xn﹣1，其中2≤n≤m，n∈N*，据此可得7≤x7≤64＜100，得m＞7，后排除m＝8，再说明m＝9符合题意即可；
（Ⅲ）因为N∈N*，且N为奇数，当N＝1时，得m＝1，当N≥3，将E＝{1，2，3，•••，N}里面的奇数组成集合A，说明集合A为E开放子集，且m＝为最大值即可．
【解答】解：（Ⅰ）对于A，∵2＝1+1，4＝2+2，6＝2+4，8＝2+6，10＝2+8，
且A⊆E，则A为E的封闭子集．
对于B，由题可得B＝{4，7，10，13，16，19}，
其中任意两个元素相加之和都不在集合B中，任意元素也不是其他两元素之和，且B⊆E，
∴B是E的开放子集．
（Ⅱ）由题意，A＝{1，x2，x3，•••，xm﹣1，100}，设1＜x2＜x3＜•••＜xm﹣1＜100，
∵集合A中任意一个元素中任意一个元素xk，当xk≠1时，在集合A中存在元素xi，xj（i≤j），
使得xk＝xi+xj，则xn﹣1+1≤xn≤2xn﹣1，其中n∈[2，m]，n，xn∈N*，
得x2＝2，3≤x3≤4，4≤x4≤8，5≤x5≤16，6≤x6≤32，7≤x7≤64，
∵7≤x7≤64＜100，则m＞7，
若m＝8，则x8＝100，则在A中存在元素xi，xj（i≤j），使它们的和为100，
又1＜x2＜x3＜•••＜xm﹣1＜100，
则当i＜j时，xi+xj≤x6+x7≤96＜100，得x8＝2x7，解得x7＝50，
∴在A中存在元素xi，xj（i≤j），使它们的和为50，
又当i＜j时，xi+xj≤x4+x5≤24＜25，
∴不存在元素xi，xj（i≤j），使x6＝xi+xj，
这与集合A为E的封闭子集矛盾，故m≠8，
当m＝9，取A＝{1，2，4，8，16，32，64，96，100}，
∴其符合E的封闭子集的定义，∴m的最小值为9．
（Ⅲ）∵N∈N*，且N为奇数，当N＝1时，得m＝1，
当N≥3时，将E＝{1，2，3，•••，N}里面的奇数组成集合A，
则A＝{1，3，5，7，•••，N}，
∵A中每个元素都是奇数，而任意两个奇数之和为偶数，且A⊆E，
则A为E开放子集，此时集合A元素个数为，
下面说明为m最大值，
N＝1，成立；当N≥3时，若m＞，则A中至少有一个属于E＝{1，2，3，•••，N}的偶数，
设为at，则2≤at≤N﹣1，得at+1为属于集合{1，3，5，7，•••，N，at}中的奇数，
这与E开放子集的定义矛盾，故m≤，
综上，m的最大值为．
【点评】本题考查封闭子集、开放子集的定义及应用等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
xy且x≠y
x＝a
x＝b
x＝c
x＝d
y＝a
﹣
ab
ac
ad
y＝b
ab
﹣
bc
bd
y＝c
ac
bc
﹣
cd
y＝d
ad
bd
cd
﹣
且x＜y
x＝ab
x＝ac
x＝bc
x＝ad
x＝bd
x＝cd
y＝ab
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣
y＝ac
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣
y＝bc
﹣
*
﹣
﹣
y＝ad
*
﹣
﹣
﹣
y＝bd
*
﹣
﹣
﹣
y＝cd
﹣
一．集合的含义（共5小题）
1．（2022秋•秀峰区校级期中）①联合国安全理事会常任理事国；
②充分接近的所有实数；
③方程x2+2x+2＝0的实数解；
④中国著名的高等院校．
以上对象能构成集合的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③④
2．（2022秋•裕华区校级月考）下列对象能构成集合的是（ ）
①所有很高的山峰；②方程x2+3x﹣4＝0的实根；③所有小于10的自然数；④cs60°，sin45°，cs45°．
A．①②B．②③C．①④D．③④
3．（2022秋•忻州月考）下列说法中正确的是（ ）
①某高级中学高一年级所有高个子男生能组成一个集合；
②∈Q；
③不等式x2﹣4x＜0的解集为{0＜x＜4}；
④在平面直角坐标系中，第二、四象限内的点构成的集合可表示为{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R}．
A．①②B．②④C．②③④D．③④
4．（2022秋•平阳县校级月考）下列说法正确的是（ ）
A．高一年级全体高个子同学可以组成一个集合
B．0∈N*
C．集合{1，1，2}含有三个元素
D．∅⊆{0}
5．（2022秋•邓州市校级月考）下列说法正确的是（ ）
A．由小于8的正整数组成一个集合
B．方程|x+1|+（x﹣1）2＝0的解构成的集合不是空集
C．由﹣1，0，1组成的集合和由﹣，1，0组成的集合不相等
D．某班中上课认真听讲的同学能够组成一个集合
二．元素与集合关系的判断（共7小题）
6．（2022秋•米东区校级期末）已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{a+b|a∈A，b∈A}，则集合B＝（ ）
A．{﹣1，1}B．{﹣1，0，1}
C．{﹣2，﹣1，1，2}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}
7．（2022秋•武陵区校级期末）若关于x的方程ax2﹣2x+1＝0的解集中有且仅有一个元素，则实数a的值组成的集合中的元素个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
（多选）8．（2022秋•沈阳期末）设集合A＝{﹣3，x+2，x2﹣4x}，且5∈A，则x的值可以为（ ）
A．3B．﹣1C．5D．﹣3
三．集合的确定性、互异性、无序性（共4小题）
9．（2022秋•萨尔图区校级月考）集合{3，x，x2﹣2x}中，x应满足的条件是（ ）
A．x≠﹣1B．x≠0
C．x≠﹣1且x≠0且x≠3D．x≠﹣1或x≠0或x≠3
10．（2022秋•天宁区校级月考）以实数x，﹣x，|x|，，﹣为元素所组成的集合最多含有（ ）个元素．
A．0B．1C．2D．3
11．（2022秋•黄浦区校级月考）若集合M＝{a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
12．（2022•安化县校级开学）集合A＝{x|kx2﹣8x+16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．
四．集合的表示法（共5小题）
13．（2022秋•奉贤区校级期末）用列举法表示中国国旗上所有颜色组成的集合 ．
14．（2022秋•遂宁期末）集合{x|﹣3＜2x﹣1＜3，x∈Z}用列举法表示为（ ）
A．{﹣2，﹣1，0，1，2}B．{﹣1，0，1，2}
C．{0，1}D．{1}
15．（2022秋•浏阳市期末）用列举法表示＝ ．
16．（2022秋•裕华区校级月考）集合{3，，，，…}用描述法可表示为（ ）
A．{x|x＝，n∈N*}B．{x|x＝，n∈N*}
C．{x|x＝，n∈N*}D．{x|x＝，n∈N*}
17．（2022秋•浦东新区校级期中）用描述法表示除以3余1的所有整数组成的集合 ．
【能力提升】
一．选择题（共5小题）
1．（2022秋•温江区校级期末）定义A⊕B＝{x|x＝，m∈A，n∈B}，若A＝{1，2，4}，B＝{2，4，8}，则A⊕B中元素个数为（ ）
A．1B．2C．4D．5
2．（2022秋•川汇区校级期末）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，|x﹣y|∈A}中所含元素的个数为（ ）
A．2B．4C．6D．8
3．（2022秋•湛江期末）对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或都为正奇数时，m※n＝m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{（a，b）|a※b＝8}中的元素个数是（ ）
A．10B．9C．8D．7
4．（2022秋•淮阳区校级期末）用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义，若A＝{1，2}，B＝{x|（x2+ax）⋅（x2+ax+2）＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C（S）等于（ ）
A．1B．3C．5D．7
5．（2022秋•昌平区期末）已知集合A，B都是N*的子集，A，B中都至少含有两个元素，且A，B满足：
①对于任意x，y∈A，若x≠y，则xy∈B；
②对于任意x，y∈B，若x＜y，则．
若A中含有4个元素，则A∪B中含有元素的个数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
二．填空题（共3小题）
6．（2022秋•如皋市期末）集合A＝{a2+a﹣2，1﹣a，2}，若4∈A，则a＝ ．
7．（2022秋•张家界期末）已知集合A＝{0，m，m2﹣3m+2}，且2∈A，求实数m的值 ．
8．（2022秋•石景山区期末）设P为非空实数集且满足：对任意给定的x，y∈P（x，y可以相同），都有x+y∈P，x﹣y∈P，xy∈P，则称P为幸运集．有以下结论：
①集合P＝{﹣2，﹣1，0，1，2}为幸运集；
②集合P＝{x|x＝2n，n∈Z}为幸运集；
③若集合P1，P2为幸运集，则P1∪P2为幸运集；
④若集合P为幸运集，则一定有0∈P．
其中正确结论的序号是 ．
三．解答题（共4小题）
9．（2022秋•顺义区期末）已知A是非空数集，如果对任意x，y∈A，都有x+y∈A，xy∈A，则称A是封闭集．
（Ⅰ）判断集合B＝{0}，C＝{﹣1，0，1}是否为封闭集，并说明理由；
（Ⅱ）判断以下两个命题的真假，并说明理由；
命题p：若非空集合A1，A2是封闭集，则A1∪A2也是封闭集；
命题q：若非空集合A1，A2是封闭集，且A1∩A2≠∅，则A1∩A2也是封闭集；
（Ⅲ）若非空集合A是封闭集合，且A≠R，R为全体实数集，求证：∁RA不是封闭集．
10．（2022秋•延庆区期末）已知集合A是集合N*的子集，对于i∈N*，定义．任取N*的两个不同子集A，B，对任意i∈N*．
（Ⅰ）判断fi（A∪B）＝fi（A）+fi（B）是否正确？并说明理由；
（Ⅱ）证明：fi（A∩B）＝fi（A）•fi（B）．
11．（2022秋•大兴区期末）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点（a，b）是点（c，d）的“上位点”．同时点（c，d）是点（a，b）的“下位点”；
（1）试写出点（3，5）的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
（2）已知点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，判断点是否是点（a，b）的“下位点”，证明你的结论；
（3）设正整数n满足以下条件：对集合{t|0＜t＜2022，t∈Z}内的任意元素m，总存在正整数k，使得点（n，k）既是点（2022，m）的“下位点”，又是点（2023，m+1）的“上位点”，求满足要求的一个正整数n的值，并说明理由．
12．（2022秋•昌平区期末）设有限集合E＝{1，2，3，⋯，N}，对于集合A⊆E，A＝{x1，x2，x3，⋯，xm}，给出两个性质：
①对于集合A中任意一个元素xk，当xk≠1时，在集合A中存在元素xi，xj（i≤j），使得xk＝xi+xj，则称A为E的封闭子集；
②对于集合A中任意两个元素xi，xj（i≠j），都有xi+xj∉A，则称A为E的开放子集．
（Ⅰ）若N＝20，集合A＝{1，2，4，6，8，10}，B＝{x|x＝3k+1，k≤6，k∈N*}，判断集合A，B为E的封闭子集还是开放子集；（直接写出结论）
（Ⅱ）若N＝100，1∈A，100∈A，且集合A为E的封闭子集，求m的最小值；
（Ⅲ）若N∈N*，且N为奇数，集合A为E的开放子集，求m的最大值．
1.1集合的概念（4种题型分类基础练+能力提升练）（分层作业）
【夯实基础】
一．集合的含义（共5小题）
1．（2022秋•秀峰区校级期中）①联合国安全理事会常任理事国；
②充分接近的所有实数；
③方程x2+2x+2＝0的实数解；
④中国著名的高等院校．
以上对象能构成集合的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③④
【分析】根据集合的定义进行判断即可．
【解答】解：对于①，联合国安全理事会常任理事国，能构成集合，故①正确；
对于②，充分接近的所有实数，没有确定性，不能构成集合，故②错误；
对于③，方程x2+2x+2＝0无实数解，方程x2+2x+2＝0的实数解构成空集，故③正确；
对于④，中国著名的高等院校．不能构成集合，故④错误．
故选：B．
【点评】本题考查了集合的概念和性质，属于基础题．
2．（2022秋•裕华区校级月考）下列对象能构成集合的是（ ）
①所有很高的山峰；②方程x2+3x﹣4＝0的实根；③所有小于10的自然数；④cs60°，sin45°，cs45°．
A．①②B．②③C．①④D．③④
【分析】根据集合的互异性、确定性原则判断即可．
【解答】解：对于①：不满足确定性，
对于④：不满足互异性，
对于②③：符合集合的三要素原则，
故选：B．
【点评】本题考查了集合的三要素，是一道基础题．
3．（2022秋•忻州月考）下列说法中正确的是（ ）
①某高级中学高一年级所有高个子男生能组成一个集合；
②∈Q；
③不等式x2﹣4x＜0的解集为{0＜x＜4}；
④在平面直角坐标系中，第二、四象限内的点构成的集合可表示为{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R}．
A．①②B．②④C．②③④D．③④
【分析】根据集合中元素的确定性判断①，由元素与集合的关系判断②，由不等式的解集的形式判断③，根据点所在的位置可知坐标满足的条件判断④．
【解答】解：①“高个子男生”标准不确定，不满足集合的确定性，故①错误；
②是有理数，故正确，故②正确；
③描述法中缺少代表元素，应该为{x|0＜x＜4}，故③错误；
④因为第二、第四象限点的横纵坐标符号相反，故点构成的集合可表示为{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R}，故④正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查集合的含义，属于基础题．
4．（2022秋•平阳县校级月考）下列说法正确的是（ ）
A．高一年级全体高个子同学可以组成一个集合
B．0∈N*
C．集合{1，1，2}含有三个元素
D．∅⊆{0}
【分析】由集合中元素特征对四个选项依次判断即可．
【解答】解：对于选项A，
高一年级全体高个子同学不能组成一个集合，
故错误；
对于选项B，0∉N*，
故错误；
对于选项C，
{1，1，2}的写法是不对的，
故错误；
对于选项D，∅⊆{0}，
故正确；
故选：D．
【点评】本题考查了集合中元素特征，属于基础题．
5．（2022秋•邓州市校级月考）下列说法正确的是（ ）
A．由小于8的正整数组成一个集合
B．方程|x+1|+（x﹣1）2＝0的解构成的集合不是空集
C．由﹣1，0，1组成的集合和由﹣，1，0组成的集合不相等
D．某班中上课认真听讲的同学能够组成一个集合
【分析】根据集合元素的确定性，集合相等的性质，集合的定义可求得答案．
【解答】解：对于A，小于8的正整数，符合集合的定义，能构成集合，故A正确，
对于B，|x+1|+（x﹣1）2＝0，可得|x+1|＝0，（x﹣1）2＝0，
由|x+1|＝0⇒x＝﹣1，由（x﹣1）2＝0⇒x＝1，
故方程|x+1|+（x﹣1）2＝0的解构成的集合是空集，故B错误，
对于C，{﹣1，0，1}＝{﹣，1，0}，故C错误，
对于D，某班中上课认真听讲的同学没有明确定义，不能构成集合，故D错误，
故选：A．
【点评】本题给出几组对象，要求我们找出能构成集合元素的对象，着重考查了集合元素的性质和集合的定义等知识，属于基础题．
二．元素与集合关系的判断（共7小题）
6．（2022秋•米东区校级期末）已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{a+b|a∈A，b∈A}，则集合B＝（ ）
A．{﹣1，1}B．{﹣1，0，1}
C．{﹣2，﹣1，1，2}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}
【分析】根据A＝{﹣1，0，1}求解B＝{a+b|a∈A，b∈A}即可．
【解答】解：由A＝{﹣1，0，1}，
B＝{a+b|a∈A，b∈A}，
当a∈A，b∈A时，
当a＝﹣1，b＝﹣1时，a+b＝﹣2，
当a＝﹣1，b＝0时，a+b＝﹣1，
当a＝﹣1，b＝1时，a+b＝0，
当a＝0，b＝﹣1时，a+b＝﹣1
当a＝0，b＝0时，a+b＝0，
当a＝0，b＝1时，a+b＝1，
当a＝1，b＝﹣1时，a+b＝0，
当a＝1，b＝0时，a+b＝1，
当a＝1，b＝1时，a+b＝2，
故集合B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}．
故选：D．
【点评】本题主要考查了集合与元素的关系，属于基础题．
7．（2022秋•武陵区校级期末）若关于x的方程ax2﹣2x+1＝0的解集中有且仅有一个元素，则实数a的值组成的集合中的元素个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】讨论a＝0与a≠0，从而求实数a的值组成的集合中的元素个数．
【解答】解：若a＝0，则﹣2x+1＝0，解集中有且仅有一个元素，成立；
若a≠0，Δ＝4﹣4a＝0，则a＝1．
故实数a的值组成的集合中的元素个数为2．
故选：B．
【点评】本题考查了集合中元素的个数问题及方程的解集有且仅有一个元素的判断，属于基础题．
（多选）8．（2022秋•沈阳期末）设集合A＝{﹣3，x+2，x2﹣4x}，且5∈A，则x的值可以为（ ）
A．3B．﹣1C．5D．﹣3
【分析】根据元素与集合的关系运算求解，注意检验，保证集合的互异性．
【解答】解：∵5∈A，则有：
若x+2＝5，则x＝3，此时x2﹣4x＝9﹣12＝﹣3，不符合题意，故舍去；
若x2﹣4x＝5，则x＝﹣1或x＝5，
当x＝﹣1时，A＝{﹣3，1，5}，符合题意；
当x＝5时，A＝{﹣3，7，5}，符合题意；
综上所述：x＝﹣1或x＝5．
故选：BC．
【点评】本题主要考查元素与集合的关系，考查运算求解能力，属于基础题．
三．集合的确定性、互异性、无序性（共4小题）
9．（2022秋•萨尔图区校级月考）集合{3，x，x2﹣2x}中，x应满足的条件是（ ）
A．x≠﹣1B．x≠0
C．x≠﹣1且x≠0且x≠3D．x≠﹣1或x≠0或x≠3
【分析】根据集合元素互异性可得x2﹣2x≠3，且x2﹣2x≠x，且x≠3解得答案．
【解答】解：集合{3，x，x2﹣2x}中，x2﹣2x≠3，且x2﹣2x≠x，且x≠3
解得：x≠3且x≠﹣1且x≠0
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是集合元素的互异性，难度不大，属于基础题．
10．（2022秋•天宁区校级月考）以实数x，﹣x，|x|，，﹣为元素所组成的集合最多含有（ ）个元素．
A．0B．1C．2D．3
【分析】当x＞0时，集合共有2个元素；当x＝0时，集合共有1个元素；当x＜0时，集合共有2个元素，从而由以实数x，﹣x，|x|，，﹣为元素所组成的集合最多含有元素的个数为2个．
【解答】解：当x＞0时，x＝|x|＝＞0，﹣＝﹣x＜0，此时集合共有2个元素；
当x＝0时，x＝|x|＝＝﹣＝﹣x＝0，此时集合共有1个元素；
当x＜0时，﹣x＝|x|＝＝﹣＞0，x＜0，此时集合共有2个元素，
故由以实数x，﹣x，|x|，，﹣为元素所组成的集合最多含有元素的个数为2个．
故选：C．
【点评】本题考查集合中元素个数的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意集合中元素性质的合理运用．
11．（2022秋•黄浦区校级月考）若集合M＝{a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
【分析】根据集合元素的互异性，在集合M＝{a，b，c}中，必有a、b、c互不相等，则△ABC不会是等腰三角形．
【解答】解：根据集合元素的互异性，
在集合M＝{a，b，c}中，必有a、b、c互不相等，
故△ABC一定不是等腰三角形；
故选：D．
【点评】本题较简单，注意到集合的元素特征即可．
12．（2022•安化县校级开学）集合A＝{x|kx2﹣8x+16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．
【分析】根据已知条件，分k＝0，k≠0两种情况讨论，即可求解．
【解答】解：①当k＝0时，方程kx2﹣8x+16＝0变为﹣8x+16＝0，解得x＝2，满足题意，
②当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2﹣8x+16＝0}中只有一个元素，
则方程kx2﹣8x+16＝0只有一个实数根，
所以Δ＝64﹣64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意，
综上所述，k＝0或k＝1，
故实数k的值组成的集合为{0，1}．
【点评】本题主要考查集合的应用，属于基础题．
四．集合的表示法（共5小题）
13．（2022秋•奉贤区校级期末）用列举法表示中国国旗上所有颜色组成的集合 {红色，黄色} ．
【分析】利用列举法直接写出答案即可．
【解答】解：由题意知，
中国国旗上所有颜色组成的集合为{红色，黄色}，
故答案为：{红色，黄色}．
【点评】本题考查了集合的表示法的应用，属于基础题．
14．（2022秋•遂宁期末）集合{x|﹣3＜2x﹣1＜3，x∈Z}用列举法表示为（ ）
A．{﹣2，﹣1，0，1，2}B．{﹣1，0，1，2}
C．{0，1}D．{1}
【分析】直接求出集合中的元素即可．
【解答】解：{x|﹣3＜2x﹣1＜3，x∈Z}＝{x|﹣1＜x＜2，x∈Z}＝{0，1}．
故选：C．
【点评】本题主要考查了集合列举法与描述法的转化，属于基础题．
15．（2022秋•浏阳市期末）用列举法表示＝ {1，2，3，6} ．
【分析】根据已知条件，先求出a的值，即可求解．
【解答】解：∵且a∈N，
∴a﹣1＝1或a﹣1＝2 或a﹣1＝3或a﹣1＝6，解得a＝2或a＝3或a＝4或a＝7，
∴对应的值为6，3，2，1，
故＝{1，2，3，6}．
故答案为：{1，2，3，6}．
【点评】本题主要考查集合的表示法，属于基础题．
16．（2022秋•裕华区校级月考）集合{3，，，，…}用描述法可表示为（ ）
A．{x|x＝，n∈N*}B．{x|x＝，n∈N*}
C．{x|x＝，n∈N*}D．{x|x＝，n∈N*}
【分析】集合{3，，，，…}中的第n项的分线为n，分子为2n+1，由此能求出结果．
【解答】解：集合{3，，，，…}中的第n项的分线为n，分子为2n+1，
∴集合{3，，，，…}用描述法可表示为：{x|x＝，n∈N*}．
故选：D．
【点评】本题考查集合的表示，考查集合的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．
17．（2022秋•浦东新区校级期中）用描述法表示除以3余1的所有整数组成的集合 {x|x＝3n+1，n∈Z} ．
【分析】根据描述法的定义求解即可．
【解答】解：用描述法表示除以3余1的所有整数组成的集合为{x|x＝3n+1，n∈Z}．
故答案为：{x|x＝3n+1，n∈Z}．
【点评】本题主要考查了集合的表示方法，属于基础题．
【能力提升】
一．选择题（共5小题）
1．（2022秋•温江区校级期末）定义A⊕B＝{x|x＝，m∈A，n∈B}，若A＝{1，2，4}，B＝{2，4，8}，则A⊕B中元素个数为（ ）
A．1B．2C．4D．5
【分析】根据新定义直接写出A⊕B中所有元素即可．
【解答】解：∵定义A⊕B＝{x|x＝，m∈A，n∈B}，A＝{1，2，4}，B＝{2，4，8}，
∴A⊕B＝{，，，1，2}，
∴A⊕B中元素个数为5个．
故选：D．
【点评】本题主要考查了元素与集合关系的判断，考查了元素的互异性，属于基础题．
2．（2022秋•川汇区校级期末）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，|x﹣y|∈A}中所含元素的个数为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】通过x的取值，确定y的取值，推出B中所含元素的个数．
【解答】解：由A＝{1，2，3}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，|x﹣y|∈A}，
当x＝3时，y＝1，2，满足集合B，
当x＝2时，y＝1，3；满足集合B，
当x＝1时，y＝2，3；满足集合B，
共有6个元素．
故选：C．
【点评】本题考查集合的基本运算，元素与集合的关系，考查计算能力．
3．（2022秋•湛江期末）对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或都为正奇数时，m※n＝m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{（a，b）|a※b＝8}中的元素个数是（ ）
A．10B．9C．8D．7
【分析】由定义分类讨论，列举出所有满足条件的元素即可．
【解答】解：由定义知，
当a，b都为正偶数或都为正奇数时，a※b＝a+b＝8，
故（a，b）是（1，7），（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），（7，1）；
当a，b中一个为正偶数，另一个为正奇数时，a※b＝ab＝8，
故（a，b）是（1，8），（8，1）；
故共9个元素，
故选：B．
【点评】本题考查了集合的应用及新定义的应用，应用了分类讨论的思想与列举法，属于中档题．
4．（2022秋•淮阳区校级期末）用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义，若A＝{1，2}，B＝{x|（x2+ax）⋅（x2+ax+2）＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C（S）等于（ ）
A．1B．3C．5D．7
【分析】结合题意知C（A）＝2，从而可得C（B）＝1或C（B）＝3，即方程（x2+ax）•（x2+ax+2）＝0有1个根或3个根，而由x2+ax＝0得x＝0或x+a＝0，分类讨论；当a＝0时，求解集合B，判断；当a≠0时，x2+ax＝0对应的根为0和﹣a，则C（B）＝3，再按方程x2+ax+2＝0的解的情况分两类讨论，进一步检验即可．
【解答】解：由题意知，C（A）＝2，
∵A*B＝1，
A*B＝，
∴C（B）＝1或C（B）＝3，
即方程（x2+ax）•（x2+ax+2）＝0有1个根或3个根，
若（x2+ax）•（x2+ax+2）＝0，
则x2+ax＝0或x2+ax+2＝0，
若x2+ax＝0，则x＝0或x+a＝0，
当a＝0时，B＝{0}，C（B）＝1，符合题意；
当a≠0时，x2+ax＝0对应的根为0和﹣a，
若C（B）＝3，则有以下两种情况，
①当x2+ax+2＝0有两个相等的实数根时，
Δ＝a2﹣8＝0，
解得a＝±2，
当a＝2时，B＝{0，﹣，﹣2}，
C（B）＝3，符合题意；
当a＝﹣2时，B＝{0，，2}，
C（B）＝3，符合题意；
②当x2+ax+2＝0有两个不相等的实数根时，
则﹣a是x2+ax+2＝0的一个根，
即（﹣a）2+a•（﹣a）+2＝0，
无解；
综上所述，S＝{0，2，﹣2}；
故C（S）＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了新定义的应用及分类讨论的思想方法的应用，属于中档题．
5．（2022秋•昌平区期末）已知集合A，B都是N*的子集，A，B中都至少含有两个元素，且A，B满足：
①对于任意x，y∈A，若x≠y，则xy∈B；
②对于任意x，y∈B，若x＜y，则．
若A中含有4个元素，则A∪B中含有元素的个数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】分别给出具体的集合A和集合B，然后证明正确性即可．
【解答】解：若取A＝{2，4，8，16}，则B＝{8，16，32，64，128}，
此时A∪B＝{2，4，8，16，32，64，128}，包含7个元素．
下面推导其正确性：
设A＝{a，b，c，d}且a＜b＜c，d，a，b，c，d∈N*，集合B的元素如下：
由表得：B＝{ab，ac，bc，ad，bd，cd}且ab＜ac＜min{bc，ad}＜max{bc，ad}＜bd＜cd，
此时要满足x＜y，有∈A，如下表：
当bc＞ad，上表第一列有＞＞＞＞且均属于集合A，而A＝{a，b，c，d}，矛盾；
当bc＜ad，上表第一列有＞＞＞，且均属于集合A，而A＝{a，b，c，d}，矛盾；
当bc＝ad时，则＞＞max{，，}＞min{，}＞＝，且均属于集合A，
而A＝{a，b，c，d}，此时只需满足＝＝，
则＝＝＝b，＝c，＝d，
可得S＝{a，a2，a3，a4}，且T＝{a3，a4，a5，a6，a7}，
注意a＝1，
所以A∪B＝{a，a2，a3，a4，a5，a6，a7}，故共有7个元素．
故选：C．
【点评】本题考查元素与集合的关系，考查列举法、集合中元素的性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
二．填空题（共3小题）
6．（2022秋•如皋市期末）集合A＝{a2+a﹣2，1﹣a，2}，若4∈A，则a＝ 2 ．
【分析】分类讨论A中元素与4的对应关系，得到方程解之，并验证互异性．
【解答】解：若4∈A，则a2+a﹣2＝4或1﹣a＝4，
当a2+a﹣2＝4时，a2+a﹣6＝0，解得：a＝﹣3或2，
若a＝﹣3，则1﹣a＝4，与互异性矛盾，舍去；
若a＝2，则1﹣a＝﹣1，满足题意；
当1﹣a＝4时，即a＝﹣3，此时a2+a﹣2＝4，与互异性矛盾，舍去；
综上a＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查集合中元素的互异性以及元素对应关系，属于基础题．
7．（2022秋•张家界期末）已知集合A＝{0，m，m2﹣3m+2}，且2∈A，求实数m的值 3 ．
【分析】利用2∈A，推出m＝2或m2﹣3m+2＝2，求出m的值，然后验证集合A是否成立，即可得到m的值．
【解答】解：因 A＝{0，m，m2﹣3m+2}，且2∈A
所以m＝2或m2﹣3m+2＝2
即m＝2或m＝0或m＝3
当m＝2时，A＝{0，2，0}与元素的互异性相矛盾，舍去；
当m＝0时，A＝{0，0，2}与元素的互异性相矛盾，舍去；
当m＝3时，A＝{0，3，2}满足题意
∴m＝3．
故答案是：3．
【点评】本题考查集合中元素与集合的关系，注意集合中元素的互异性的应用，考查计算能力．
8．（2022秋•石景山区期末）设P为非空实数集且满足：对任意给定的x，y∈P（x，y可以相同），都有x+y∈P，x﹣y∈P，xy∈P，则称P为幸运集．有以下结论：
①集合P＝{﹣2，﹣1，0，1，2}为幸运集；
②集合P＝{x|x＝2n，n∈Z}为幸运集；
③若集合P1，P2为幸运集，则P1∪P2为幸运集；
④若集合P为幸运集，则一定有0∈P．
其中正确结论的序号是 ②④ ．
【分析】直接利用幸运集的定义和赋值法判定①②③④四个结论．
【解答】解：P为非空实数集满足：对任意给定的x、∈P（x、y可以相同），都有x+y∈P，x﹣y∈P，xy∈P，则称P为幸运集．
对于①，由于﹣2﹣2＝﹣4∉A，故集合P＝{﹣2，﹣1，0，1，2}不为幸运集，故①错误；
对于②，设x，y∈A，则x＝2k1，y＝2k2，且k1，k2∈Z，故x+y＝2（k1+k2）∈A，x﹣y＝2（k1﹣k2）∈A，xy＝4k1k2∈A，
故集合p＝{x|x＝2n，n∈Z}为幸运集，故②正确；
对于③，若集合P1、P2为幸运集，设P1＝{x|x＝，k∈Z}，P2＝{x|x＝，k∈Z}为幸运集，但是P1∪P2不为幸运集，故③错误；
对于④，若集合P为幸运集，取x＝y，x﹣y＝0∈P，则一定有0∈P，故④正确．
故答案为：②④．
【点评】本题考查集合的新定义，注意运用赋值法，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
三．解答题（共4小题）
9．（2022秋•顺义区期末）已知A是非空数集，如果对任意x，y∈A，都有x+y∈A，xy∈A，则称A是封闭集．
（Ⅰ）判断集合B＝{0}，C＝{﹣1，0，1}是否为封闭集，并说明理由；
（Ⅱ）判断以下两个命题的真假，并说明理由；
命题p：若非空集合A1，A2是封闭集，则A1∪A2也是封闭集；
命题q：若非空集合A1，A2是封闭集，且A1∩A2≠∅，则A1∩A2也是封闭集；
（Ⅲ）若非空集合A是封闭集合，且A≠R，R为全体实数集，求证：∁RA不是封闭集．
【分析】（Ⅰ）根据封闭集的定义判断即可；
（Ⅱ）对命题p举反例A1＝{x|x＝2k，k∈Z}，A2＝{x|x＝3k，k∈Z}说明即可；
对于命题q：设a，b∈（A1∩A2），由A1，A2是封闭集，可得a+b∈（A1∩A2），ab∈（A1∩A2），从而判断为正确；
（Ⅲ）根据题意，令A＝Q，只需证明∁RQ不是封闭集即可，取∁RQ中的即可证明．
【解答】（Ⅰ）解：对于集合B＝{0}，因为0+0＝0∈B，0×0＝0∈B，
所以B＝{0}是封闭集；
对于集合C＝{﹣1，0，1}，因为﹣1+0＝﹣1∈C，﹣1×0＝0∈C，﹣1+1＝0∈C，﹣1×1＝﹣1∈C，
0+1＝1∈C，0×1＝0∈C，
所以集合C＝{﹣1，0，1}是封闭集；
（Ⅱ）解：对命题p：令A1＝{x|x＝2k，k∈Z}，A2＝{x|x＝3k，k∈Z}，
则集合A1，A2是封闭集，如A1＝{0，﹣2}，A2＝{0，3}，但A1∪A2＝{0，﹣2，3}不是封闭集，故错误；
对于命题q：设a，b∈（A1∩A2），则有a，b∈A1，又因为集合A1是封闭集，
所以a+b∈A1，ab∈A1，
同理可得a+b∈A2，ab∈A2．
所以a+b∈（A1∩A2），ab∈（A1∩A2），
所以A1∩A2是封闭集，故正确；
（Ⅲ）证明：因为非空集合A是封闭集合，且A≠R，
所以∁RA≠∅，∁RA≠R，
假设∁RA是封闭集，
由（Ⅱ）的命题q可知：若非空集合A1，A2是封闭集，且A1∩A2≠∅，则A1∩A2也是封闭集，
又因为A∩（∁RA）＝∅，
所以∁RA不是封闭集，得证．
【点评】本题考查了集合新定义的应用，属于中档题．
10．（2022秋•延庆区期末）已知集合A是集合N*的子集，对于i∈N*，定义．任取N*的两个不同子集A，B，对任意i∈N*．
（Ⅰ）判断fi（A∪B）＝fi（A）+fi（B）是否正确？并说明理由；
（Ⅱ）证明：fi（A∩B）＝fi（A）•fi（B）．
【分析】（1）通过举反例A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，A∪B＝{1，2，3，4}即可判断；
（2）若fi（A∩B）＝0，则i∉（A∩B），分i∈A且i∉B，或i∉A且i∈B，或i∉A且i∉B三种情况讨论，若f{（4∩B）＝1，则i∈（4∩B），此时fi（A∩B）＝1，综上即可证明．
【解答】解：（1）不正确，理由如下：
A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，A∪B＝{1，2，3，4}，
当i＝2时，因为2∈A，所以f2（A）＝1，
因为2∈B，所以f2（B）＝1，
因为2∈（A∪B），所以f2（A∪B）＝1，
此时f2（A∪B）≠f2（A）+f2（B），
所以对任意i∈N*，fi（A∪B）＝fi（A）+fi（B）不正确．
（2）证明：①若fi（A∩B）＝0，此时有i∉（A∩B），
当i∈A且i∉B时，fi（A）＝1，fi（B）＝0，此时fi（A）•fi（B）＝0；
当i∉A且i∈B时，fi（A）＝0，fi（B）＝1，此时fi（A）•fi（B）＝0；
当i∉A且i∉B时，fi（A）＝0，fi（B）＝0，此时fi（A）•fi（B）＝0，
因此fi（A∩B）＝fi（A）•fi（B）成立．
②若fi（A∩B）＝1，则i∈（A∩B），
此时i∈A且i∈B，则fi（A）＝1，fi（B）＝1，
此时fi（A）•fi（B）＝1，
因此fi（A∩B）＝fi（A）•fi（B）成立，
综合①②可知，fi（A∩B）＝fi（A）•fi（B）成立．
【点评】本题主要考查集合的新定义，集合间的基本关系，元素与集合的关系，考查逻辑推理能力，属于中档题．
11．（2022秋•大兴区期末）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点（a，b）是点（c，d）的“上位点”．同时点（c，d）是点（a，b）的“下位点”；
（1）试写出点（3，5）的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
（2）已知点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，判断点是否是点（a，b）的“下位点”，证明你的结论；
（3）设正整数n满足以下条件：对集合{t|0＜t＜2022，t∈Z}内的任意元素m，总存在正整数k，使得点（n，k）既是点（2022，m）的“下位点”，又是点（2023，m+1）的“上位点”，求满足要求的一个正整数n的值，并说明理由．
【分析】（1）由定义即可得所求点的坐标；
（2）先由点（a，b）是点（c，d）的“上位点”得＞，作差化简得ad﹣bc＞0，结合所得结论、定义，利用作差法可判断出点P（）是否是点（a，b）的“下位点”；
（3）借助（2）的结论，证明点P（a+c，b+d）既是点（c，d）的“上位点”，又是点（a，b）的“下位点”，再利用所证结论即可得到满足要求的一个正整数n的值．
【解答】解：（1）根据题设中的定义可得点（3，5）的一个上位点“坐标”和一个下位点坐标分别为（3，4）和（3，7）．
（2）点P（，）是点（a，b）的“下位点”．
证明：∵点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，∴，
∵a，b，c，d均大于0，∴ad＞bc，∴ad﹣bc＞0，
∴﹣＝＝＜0，∴，
∴点P（）是点（a，b）的“下位点”．
（3）可证点P（a+c，b+d）既是点（c，d）的“上位点”，又是点（a，b）的“下位点”．
证明：∵点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，∴，
∵a，b，c，d均大于0，∴ad＞bc，∴ad﹣bc＞0，
∴﹣＝＝＝＞0，
即＞，∴点P（a+c，b+d）是点（c，d）的“上位点”，
同理得＝＝，
即，∴点P（a+c，b+d）是点（a，b）的“下位点”，
∴点P（a+c，b+d）既是点（c，d）的“上位点”，又是点（a，b）的“下位点”，
根据题意知点（n，k）既是点（2022，m）的“下位点”，又是点（2023，m+1）的“上位点”对m∈{t|0＜t＜2022，t∈Z}时恒成立，
根据上述的结论知，当n＝2022+2023＝4045，k＝2m+1时，满足条件，故n＝4045．
【点评】本题考查“上位点”“下位点的定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
12．（2022秋•昌平区期末）设有限集合E＝{1，2，3，⋯，N}，对于集合A⊆E，A＝{x1，x2，x3，⋯，xm}，给出两个性质：
①对于集合A中任意一个元素xk，当xk≠1时，在集合A中存在元素xi，xj（i≤j），使得xk＝xi+xj，则称A为E的封闭子集；
②对于集合A中任意两个元素xi，xj（i≠j），都有xi+xj∉A，则称A为E的开放子集．
（Ⅰ）若N＝20，集合A＝{1，2，4，6，8，10}，B＝{x|x＝3k+1，k≤6，k∈N*}，判断集合A，B为E的封闭子集还是开放子集；（直接写出结论）
（Ⅱ）若N＝100，1∈A，100∈A，且集合A为E的封闭子集，求m的最小值；
（Ⅲ）若N∈N*，且N为奇数，集合A为E的开放子集，求m的最大值．
【分析】（Ⅰ）利用封闭子集，开放子集定义可得答案；
（Ⅱ）A＝{1，x2，x3，•••，xm﹣1，100}，设1＜x2＜x3＜•••＜xm﹣1＜100，因集合A中任意一个元素xk，当xk≠1时，在集合A中存在元素xi，xj（i≤j），使得xk＝xi+xj，则xn﹣1+1≤xn≤2xn﹣1，其中2≤n≤m，n∈N*，据此可得7≤x7≤64＜100，得m＞7，后排除m＝8，再说明m＝9符合题意即可；
（Ⅲ）因为N∈N*，且N为奇数，当N＝1时，得m＝1，当N≥3，将E＝{1，2，3，•••，N}里面的奇数组成集合A，说明集合A为E开放子集，且m＝为最大值即可．
【解答】解：（Ⅰ）对于A，∵2＝1+1，4＝2+2，6＝2+4，8＝2+6，10＝2+8，
且A⊆E，则A为E的封闭子集．
对于B，由题可得B＝{4，7，10，13，16，19}，
其中任意两个元素相加之和都不在集合B中，任意元素也不是其他两元素之和，且B⊆E，
∴B是E的开放子集．
（Ⅱ）由题意，A＝{1，x2，x3，•••，xm﹣1，100}，设1＜x2＜x3＜•••＜xm﹣1＜100，
∵集合A中任意一个元素中任意一个元素xk，当xk≠1时，在集合A中存在元素xi，xj（i≤j），
使得xk＝xi+xj，则xn﹣1+1≤xn≤2xn﹣1，其中n∈[2，m]，n，xn∈N*，
得x2＝2，3≤x3≤4，4≤x4≤8，5≤x5≤16，6≤x6≤32，7≤x7≤64，
∵7≤x7≤64＜100，则m＞7，
若m＝8，则x8＝100，则在A中存在元素xi，xj（i≤j），使它们的和为100，
又1＜x2＜x3＜•••＜xm﹣1＜100，
则当i＜j时，xi+xj≤x6+x7≤96＜100，得x8＝2x7，解得x7＝50，
∴在A中存在元素xi，xj（i≤j），使它们的和为50，
又当i＜j时，xi+xj≤x4+x5≤24＜25，
∴不存在元素xi，xj（i≤j），使x6＝xi+xj，
这与集合A为E的封闭子集矛盾，故m≠8，
当m＝9，取A＝{1，2，4，8，16，32，64，96，100}，
∴其符合E的封闭子集的定义，∴m的最小值为9．
（Ⅲ）∵N∈N*，且N为奇数，当N＝1时，得m＝1，
当N≥3时，将E＝{1，2，3，•••，N}里面的奇数组成集合A，
则A＝{1，3，5，7，•••，N}，
∵A中每个元素都是奇数，而任意两个奇数之和为偶数，且A⊆E，
则A为E开放子集，此时集合A元素个数为，
下面说明为m最大值，
N＝1，成立；当N≥3时，若m＞，则A中至少有一个属于E＝{1，2，3，•••，N}的偶数，
设为at，则2≤at≤N﹣1，得at+1为属于集合{1，3，5，7，•••，N，at}中的奇数，
这与E开放子集的定义矛盾，故m≤，
综上，m的最大值为．
【点评】本题考查封闭子集、开放子集的定义及应用等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
xy且x≠y
x＝a
x＝b
x＝c
x＝d
y＝a
﹣
ab
ac
ad
y＝b
ab
﹣
bc
bd
y＝c
ac
bc
﹣
cd
y＝d
ad
bd
cd
﹣
且x＜y
x＝ab
x＝ac
x＝bc
x＝ad
x＝bd
x＝cd
y＝ab
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣
y＝ac
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣
y＝bc
﹣
*
﹣
﹣
y＝ad
*
﹣
﹣
﹣
y＝bd
*
﹣
﹣
﹣
y＝cd
﹣
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