高考数学第一轮复习(新教材新高考)第05讲利用导数研究恒成立问题（核心考点精讲精练）(学生版+解析)

这是一份高考数学第一轮复习(新教材新高考)第05讲利用导数研究恒成立问题（核心考点精讲精练）(学生版+解析)，共58页。试卷主要包含了 4年真题考点分布， 命题规律及备考策略等内容，欢迎下载使用。


1. 4年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为12分
【备考策略】1能用导数证明函数的单调性
2能求出函数的极值或给定区间的最值
3恒成立，恒成立，
【命题预测】导数的综合应用是高考考查的重点内容,也是高考压轴题之一近几年高考命题的趋势，是稳中求变、变中求新、新中求活，纵观近几年的高考题,导数的综合应用题考查多个核心素养以及综合应用能力,有一定的难度,一般放在解答题的最后位置，对数学抽象、数学运算、逻辑推理等多个数学学科的核心素养都有较深入的考查，需综合复习
知识讲解
恒成立问题常见类型
假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式，
（1）的值域为
①，则只需要
，则只需要
②，则只需要
，则只需要
（2）若的值域为
① ，则只需要
，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）
② ，则只需要
，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）
恒成立问题的解决策略
= 1 \* GB3 ①构造函数，分类讨论；
②部分分离，化为切线；
③完全分离，函数最值；
= 4 \* GB3 ④换元分离，简化运算；
在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界.
一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解问题设计独特，试题形式多样、变化众多，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，有一定的综合性，属于能力题，在提升学生思维的灵活性、创造性等数学素养起到了积极的作用，成为高考的一个热点．
考点一、利用导数解决函数恒成立问题
1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
2．（2020·海南·高考真题）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．
3．（2020·全国·统考高考真题）已知函数.
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.
1．（2023·河北·模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若存在实数，使得关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
2．（2023·江苏盐城·统考三模）已知函数.
(1)当时，求的单调递增区间；
(2)若恒成立，求的取值范围.
3．（2023·浙江杭州·统考二模）已知函数．
(1)讨论函数零点个数；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
4．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校考模拟预测）设函数，且．
(1)求函数的单调性；
(2)若恒成立，求实数a的取值范围．
5．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）已知函数，其中．
(1)讨论方程实数解的个数；
(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围．
【基础过关】
1．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数，．
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)若时，恒成立，求的取值范围．
2．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知函数.
（1）求函数的单调增区间；
（2）函数，当时，恒成立，求整数的最小值.
3．（2023·安徽滁州·校考一模）已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当时，若关于x的不等式恒成立，试求a的取值范围．
4．（2023·辽宁鞍山·校联考一模）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若对任意的，都有成立，求a的取值范围．
5．（2023·广东惠州·统考一模）已知函数．
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围．
6．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）已知函数，．
(1)当，求的单调递减区间；
(2)若在恒成立，求实数a的取值范围．
7．（2023·浙江宁波·统考一模）已知函数，．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围．
8．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）已知函数，．
(1)求函数的极值点；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
9．（2023·河北·校联考一模）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
10．（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知函数
(1)当时，求函数的极值；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．
【能力提升】
1．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知函数．
(1)求的零点个数；
(2)当时，恒成立，求的取值范围．
2．（2023·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模）已知函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
3．（2023·海南·校考模拟预测）已知，函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
4．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）已知函数，其中．
(1)讨论方程实数解的个数；
(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围．
5．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）已知函数，.
(1)当时，证明：在上恒成立；
(2)判断函数的零点个数.
6．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知函数．
(1)当时，讨论在区间上的单调性；
(2)若，求的值．
7．（2023·广东·校联考模拟预测）已知函数
(1)当时，证明：；
(2)已知在上恒成立，求的取值范围.
8．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
(3)若，且在上恒成立，证明：．
9．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知函数.
(1)求函数的极值点个数；
(2)若不等式在上恒成立，求可取的最大整数值.
10．（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知函数，其中.
(1)讨论函数极值点的个数；
(2)对任意的，都有，求实数的取值范围.
【真题感知】
1．（北京·高考真题）已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求证：当时，；
（Ⅲ）设实数使得对恒成立，求的最大值．
2．（天津·高考真题）已知函数，其中.
（1）曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若对于任意的，不等式在上恒成立，求b的取值范围.
3．（江西·高考真题）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值
（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间
（2）若对，不等式恒成立，求c的取值范围.
4．（湖南·高考真题）函数，记 为的从小到大的第 个极值点．
（Ⅰ）证明：数列是等比数列；
（Ⅱ）若对一切恒成立，求 的取值范围．
5．（四川·高考真题）设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a ∈R.
（I）讨论f(x)的单调性；
（II）确定a的所有可能取值，使得在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)．
6．（天津·高考真题）已知函数，其中.
（Ⅰ）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；
（Ⅱ）讨论函数的单调性；
（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围.
第05讲 利用导数研究恒成立问题
（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为12分
【备考策略】1能用导数证明函数的单调性
2能求出函数的极值或给定区间的最值
3恒成立，恒成立，
【命题预测】导数的综合应用是高考考查的重点内容,也是高考压轴题之一近几年高考命题的趋势，是稳中求变、变中求新、新中求活，纵观近几年的高考题,导数的综合应用题考查多个核心素养以及综合应用能力,有一定的难度,一般放在解答题的最后位置，对数学抽象、数学运算、逻辑推理等多个数学学科的核心素养都有较深入的考查，需综合复习
知识讲解
恒成立问题常见类型
假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式，
（1）的值域为
①，则只需要
，则只需要
②，则只需要
，则只需要
（2）若的值域为
① ，则只需要
，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）
② ，则只需要
，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）
恒成立问题的解决策略
= 1 \* GB3 ①构造函数，分类讨论；
②部分分离，化为切线；
③完全分离，函数最值；
= 4 \* GB3 ④换元分离，简化运算；
在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界.
一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解问题设计独特，试题形式多样、变化众多，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，有一定的综合性，属于能力题，在提升学生思维的灵活性、创造性等数学素养起到了积极的作用，成为高考的一个热点．
考点一、利用导数解决函数恒成立问题
1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析.
(2)
【分析】（1）求导,然后令,讨论导数的符号即可;
（2）构造,计算的最大值,然后与0比较大小,得出的分界点,再对讨论即可.
【详解】（1）
令,则
则
当
当,即.
当,即.
所以在上单调递增,在上单调递减
（2）设
设
所以.
若,
即在上单调递减,所以.
所以当,符合题意.
若
当,所以.
.
所以,使得,即,使得.
当,即当单调递增.
所以当,不合题意.
综上,的取值范围为.
【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性在定义域内是减函数,若,当,对应当.
2．（2020·海南·高考真题）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）（2）
【分析】（1）利用导数的几何意义求出在点切线方程，即可得到坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；
（2）方法一：利用导数研究函数的单调性，当a=1时，由得,符合题意；当a>1时，可证，从而存在零点，使得，得到，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得恒成立；当时，研究.即可得到不符合题意.综合可得a的取值范围.
【详解】（1），，.
，∴切点坐标为(1,1+e),
∴函数在点(1,f(1)处的切线方程为,即,
切线与坐标轴交点坐标分别为,
∴所求三角形面积为．
（2）［方法一］：通性通法
,，且.
设,则
∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增，
当时，,∴,∴成立.
当时， ，，,
∴存在唯一，使得，且当时，当时，，，
因此
>1,
∴∴恒成立；
当时， ∴不是恒成立.
综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞).
［方法二］【最优解】：同构
由得，即，而，所以．
令，则，所以在R上单调递增．
由，可知，所以，所以．
令，则．
所以当时，单调递增；
当时，单调递减．
所以，则，即．
所以a的取值范围为．
［方法三］：换元同构
由题意知，令，所以，所以．
于是．
由于，而在时为增函数，故，即，分离参数后有．
令，所以．
当时，单调递增；当时，单调递减．
所以当时，取得最大值为．所以．
［方法四］：
因为定义域为，且，所以，即．
令，则，所以在区间内单调递增．
因为，所以时，有，即．
下面证明当时，恒成立．
令，只需证当时，恒成立．
因为，所以在区间内单调递增，则．
因此要证明时，恒成立，只需证明即可．
由，得．
上面两个不等式两边相加可得，故时，恒成立．
当时，因为，显然不满足恒成立．
所以a的取值范围为．
【整体点评】（2）方法一：利用导数判断函数的单调性，求出其最小值，由即可求出，解法虽稍麻烦，但是此类题，也是本题的通性通法；
方法二：利用同构思想将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法即可求出，是本题的最优解；
方法三：通过先换元，令，再同构，可将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法求出；
方法四：由特殊到一般，利用可得的取值范围，再进行充分性证明即可．
3．（2020·全国·统考高考真题）已知函数.
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.
【答案】（1）当时，单调递减，当时，单调递增.（2）
【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.
(2)方法一：首先讨论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a的取值范围.
【详解】(1)当时，，，
由于，故单调递增，注意到，故：
当时，单调递减，
当时，单调递增.
(2) [方法一]【最优解】：分离参数
由得，，其中，
①.当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意；
②.当时，分离参数a得，，
记，，
令，
则，，
故单调递增，，
故函数单调递增，，
由可得：恒成立，
故当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
因此，,
综上可得，实数a的取值范围是.
[方法二]：特值探路
当时，恒成立．
只需证当时，恒成立．
当时，．
只需证明⑤式成立．
⑤式，
令，
则，
所以当时，单调递减；
当单调递增；
当单调递减．
从而，即，⑤式成立．
所以当时，恒成立．
综上．
[方法三]：指数集中
当时，恒成立，
记，
，
①.当即时，，则当时，，单调递增，又，所以当时，，不合题意；
②.若即时，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，又，
所以若满足，只需，即，所以当时，成立；
③当即时，，又由②可知时，成立，所以时，恒成立，
所以时，满足题意.
综上，.
【整体点评】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，本题主要考查利用导数解决恒成立问题，常用方法技巧有：
方法一，分离参数，优势在于分离后的函数是具体函数，容易研究；
方法二，特值探路属于小题方法，可以快速缩小范围甚至得到结果，但是解答题需要证明，具有风险性；
方法三，利用指数集中，可以在求导后省去研究指数函数，有利于进行分类讨论，具有一定的技巧性！
1．（2023·河北·模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若存在实数，使得关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析.
(2)
【分析】（1）求导以后对导数中的参数进行分类讨论，根据不同的分类判断函数的单调性；
（2）根据第1问的结论，将恒成立问题转化为函数的最大（小）值问题，构造新函数，求出的范围.
【详解】（1）函数，，则，
当，即时，恒成立，即在上单调递增；
当，即时，令，解得，
综上所述，当是，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）等价于，令，
当时，，所以不恒成立，不合题意.
当时，等价于，
由（1）可知，
所以，对有解，所以对有解，
因此原命题转化为存在，使得.
令，，则，
，
令，则，
所以在上单调递增，又，
所以当时，，，故在上单调递减，
当时，，，故在上单调递增，
所以，所以，
即实数的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：第二问，问题化为存在，使得，利用导数研究右侧最小值，即可得范围.
2．（2023·江苏盐城·统考三模）已知函数.
(1)当时，求的单调递增区间；
(2)若恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）代入求导得，再次设导函数为新函数进行求导得到其单调性和其零点，从而得到的单调增区间；
（2）法一：令，利用导数和零点存在定理得存在唯一正实数使得，从而得到，再利用隐零点法得，再次设新函数进行求导从而得到的范围；
法二：同法一求得，则
，利用基本不等式有，从而得到的范围.
【详解】（1）当时，，，
设
又，∴在上单调递增，
又，∴当时，当时，
∴的单调递增区间为.
（2）对函数求导得，，令，
则，∴在上单调递增，
又，当时，
故存在唯一正实数使得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
∴，
由恒成立，得，
由得，∴
∴，∴，
∴，
设，则恒成立，
故在上单调递增，而，
∴，
又且函数在上是增函数，
故的取值范围为
法2：同法一得，
由得，
∴
，当且仅当时等号成立，
∴，
故的取值范围为
【点睛】关键点睛：本题第二问利用零点存在定理及隐零点法得到，从而有，再次重新设函数，根据其单调性和零点得到，从而得到.
3．（2023·浙江杭州·统考二模）已知函数．
(1)讨论函数零点个数；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2).
【分析】（1）将零点问题转化为函数图象交点问题，设，求出函数的导数，判断单调性，作出其大致图象，数形结合，即可求得答案.
（2）分三种情况分类讨论，利用导数判断函数的单调性，结合不等式恒成立考虑函数最值情况或利用单调性求解不等式，从而求得参数范围.
【详解】（1）由，得,
设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增；在上单调递减，
所以，
据此可画出大致图象如图，
所以（i）当或时，无零点：
（ii）当或时，有一个零点；
（iii)当时，有两个零点；
（2）①当时，即恒成立，符合题意；
②当时，由可得，则，
则，即，
设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，当时，，
即恒成立，即符合题意；
③当时，由（1）可知，，在上单调递增．
又，，
所以，使.
i）当时，，即，
设，
则，所以在上单调递减，
所以时，；
ii）当时，，即，
设，
因为，
令，则，
又令，
则，得在上单调递增，
有，
得在上单调递增，有，
则，得在上单调递增，
则时，，
又时，，
得当时，时，，
由上可知，在上单调递增，则此时，
综上可知，a的范围是.
【点睛】难点点睛：第二问解答不等式恒成立求解参数范围时，需要讨论a的正负，看能否保证不等式恒成立，特别是当时，要结合函数的零点情况，反复构造函数，判断函数单调性，由此求得参数a的范围，计算过程十分复杂，计算量较大，难度很大.
4．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校考模拟预测）设函数，且．
(1)求函数的单调性；
(2)若恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导后分与两种情况讨论即可；
（2）方法一：讨论当时成立，当时参变分离可得，再构造函数，，求导分析最小值即可；
方法二：将题意转化为，再构造函数，求导分类讨论单调性与最大值即可.
【详解】（1），，
当时，恒成立，则在上单调递增；
当时，时，，则在上单调递减；
时，，则在上单调递增．
（2）方法一：在恒成立，则
当时，，显然成立，符合题意；
当时，得恒成立，即
记，，，
构造函数，，则，故为增函数，则.
故对任意恒成立，则在递减，在递增，所以
∴．
方法二：在上恒成立，即．
记，，，
当时，在单增，在单减，则，得，舍：
当时，在单减，在单增，在单减，，，
得；
当时，在单减，成立；
当时，在单减，在单增，在单减，，，而，显然成立．
综上所述，．
5．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）已知函数，其中．
(1)讨论方程实数解的个数；
(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）由即方程有没有解的问题，转化为函数与轴有没有交点问题，分类讨论即可得出结果.
（2）不等式可化为：，就、分类讨论后可得参数的取值范围.
【详解】（1）由可得，，
令，令，可得，
当，函数单调递减，
当，函数单调递增，
所以函数在时取得最小值，
所以当时，方程无实数解，
当时，方程有一个实数解，
当时，，故，
而，，
设，则，
故在上为增函数，故，
故有两个零点即方程有两个实数解.
（2）由题意可知，
不等式可化为，，
即当时，恒成立，
所以，即，
令，
则在上单调递增，而，
当即时，在上单调递增，
故，
由题设可得，
设，则该函数在上为减函数，
而，故.
当即时，因为，
故在上有且只有一个零点，
当时，，而时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
故，
而，故，故
因为，故，故符合，
综上所述，实数的取值范围为．
【点睛】关键点睛：本题考查函数的单调性、最值问题，考查导数应用以及分类讨论思想、转化思想，考查函数恒成立问题，属于中档题.
【基础过关】
1．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数，．
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)若时，恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据导数的几何意义求出斜率，点斜式求出切线方程；
（2）转化为，对分类讨论，利用导数确定单调性求解即可.
【详解】（1）当时，，
，
所以，又，
所以在处的切线方程为，
即.
（2）令，则在上恒成立，
则，，，
当时，，
因为在上单调递增，
故存在，当时，，即在上单调递减，
所以时，，与题设矛盾，舍去.
当时，由可得，
故在上单调递增，
所以，满足题意.
综上，的取值范围为.
2．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知函数.
（1）求函数的单调增区间；
（2）函数，当时，恒成立，求整数的最小值.
【答案】（1）见解析；（2）2
【分析】（1）求导后，分类讨论，解不等式可得结果；
（2）分离参数后，构造函数，分两种情况利用导数可得结果.
【详解】（1）因为，
当时，，所以函数的单调递增区间是；
当时，由得，
所以函数的单调增区间是；
当时，由得，
所以函数的单调递增区间是；
（2）因为，即，因为，
所以，令，
（1）当时，因为，所以，
因此，所以只需；
（2）当时，因为，则，
所以，
因此只需，即，
构造函数，
，
当时，在上单调递减，；
当时，，
则，不满足题意；
当时，，
则，故不满足题意；
综上可知，整数的最小值为2.
【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，考查了利用导数处理不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想，属于中档题.
3．（2023·安徽滁州·校考一模）已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当时，若关于x的不等式恒成立，试求a的取值范围．
【答案】(1)的减区间为，增区间为
(2)
【分析】（1）利用导数求得的单调区间.
（2）利用分离参数法，结合构造函数法以及导数求得的取值范围.
【详解】（1）当时，，
，
所以在区间递减；在区间递增.
所以的减区间为，增区间为.
（2），恒成立.
构造函数，，
，
构造函数，，
所以在上递增，，
所以在上成立，
所以，
所以，即的取值范围是.
4．（2023·辽宁鞍山·校联考一模）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若对任意的，都有成立，求a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求出，分别讨论不同范围下的正负，分别求单调性；
（2）对任意的，都有成立，只需任意的，，然后，结合（1）的单调性求出即可求解
【详解】（1）该函数的定义域为，
，
①当时，恒成立，函数的递增区间为；
②当时，令，解得或，
所以函数的递增区间为，递减区间为，
所以当时，函数的递增区间为；
当时，函数的递增区间为，递减区间为．
（2）对任意的，都有成立，只需任意的，，
①当时，在上是增函数，所以只需，而，所以满足题意；
②当时，，在上是增函数，
所以只需，而，所以满足题意；
③当时，，在上是减函数，
在上是增函数，所以只需即可，
而，从而不满足题意；
综上①②③可得：实数a的取值范围为．
5．（2023·广东惠州·统考一模）已知函数．
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出函数的导数后可求切线的斜率，从而可求切线方程.
（2）利用参变分离结合导数可求参数的取值范围，我们也可以利用分类讨论求出函数的最值，根据最值的性质讨论参数的取值范围.
【详解】（1）当时，．
故切线的斜率，又切点为
切线方程为，化简得．
（2）法1：当时，恒成立，故，
也就是，即，
由得，令，
则，
令，则，
可知在单调递增，则，即在恒成立，．
故在单调递增，所以，故在恒成立．
所以在单调递增，而，所以，故．
法2：因为当时，恒成立，故，
由，
令，得或，
①当，即时，在上恒成立，
在上单调递减，，
不合题意，合题意．
②当，即时，
当时，当时，
故在上单调递增，在上单调递减，
，
设，则恒成立，
在上单调递减，故即，合题意．
综上，．
法3：因为当时，恒成立，也就是，
即恒成立，令，
令，
恒成立，在上单调递增．
．
①当，即时，在上单调递增，
，合题意；
②当，即时，，
因为，，
存在，使得，即．
在上单调递减，在上单调递增．
，不合题意．
综上，．
【点睛】思路点睛：含参数的函数不等式的恒成立问题，可以利用参变分离，利用导数求出新函数的最值，或者直接对含参数的函数就导数的符号分类讨论，从而可求函数的最值.
6．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）已知函数，．
(1)当，求的单调递减区间；
(2)若在恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)单调递减区间为
(2)
【分析】（1）根据导函数和原函数的单调性关系，先设求得，得到函数单调区间；
（2）把在上恒成立, 转化为在上恒成立，令,即得恒成立求参即可.
【详解】（1）当时，，
所以，令，所以，
当时，，故为增函数；
当时，，故为减函数，
所以，即，
所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间.
（2）因为，所以，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
转化为在上恒成立，
令，，则且
当时，恒成立，故在上为增函数，
所以，即时不满足题意；
当时，由，得，
若，则，故在上为减函数，在上为增函数，
所以存在，使得，即时不满足题意；
若，则，故在上为减函数，
所以，所以恒成立，
综上所述，实数的取值范围是.
7．（2023·浙江宁波·统考一模）已知函数，．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程；
（2）参变分离可得在上恒成立，令，，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得解.
【详解】（1）解：当时，，
所以，，
所以，
故所求切线方程为．
（2）解：因为在上恒成立，
令，，则，
令，则，
所以在上单调递减，
因为，，
由零点存在定理知，存在唯一，使，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
从而．
8．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）已知函数，．
(1)求函数的极值点；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)是的极大值点，无极小值点
(2)
【分析】（1）首先利用导数判断函数的单调区间，再确定函数的极值点；
（2）解法一，首先构造函数，，再根据函数的导数，判断函数的最大值，即可求解；解法二，首先证明，即可得，即，不等式恒成立，转化为，即可求解.
【详解】（1）由已知可得，函数的定义域为，且，
当时，；当时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以是的极大值点，无极小值点．
（2）解法一：设，，
则，
令，，则对任意恒成立，
所以在上单调递减．
又，，
所以，使得，即，则，即．
因此，当时，，即，则单调递增；
当时，，即，则单调递减，
故，解得，
所以当时，恒成立．
解法二：令，，当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即．
因为，所以，当时等号成立，
即，当时等号成立，
所以的最小值为1．
若恒成立，则，
所以当时，恒成立．
9．（2023·河北·校联考一模）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增；
(2).
【分析】（1）当时，对函数求二阶导可以得到二阶导大于等于零，即，，时，，即可得到答案.
（2）根据题意有不等式恒成立．令，则等价于不等式恒成立，
①若，不等式（*）显然成立，此时
②若时，不等式（*）等价于.求出的最小值即可得到答案.
【详解】（1），
∵，所以是的一个零点．
又令，，则，，时，
∴在，单调递减；在单调递增
（2）不等式在R上恒成立，即不等式恒成立．
令，则等价于不等式恒成立，
①若，不等式（*）显然成立，此时
②若时，不等式（*）等价于
设，当时，，
令，则，，
∵，∴在上单调递减，在单调递增，
∴
∴，在单调递增，
∴
综上所述，满足题意的实数a的取值范围为．
10．（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知函数
(1)当时，求函数的极值；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)极小值为，无极大值
(2)
【分析】（1）首先求函数的导数，判断导数的单调性，根据导数的零点，判断函数的单调性，即可求解函数的极值；
（2）由不等式参变分离为在恒成立，构造函数后，利用导数求函数的最值，即可求参数的取值范围.
【详解】（1）当时，，
则在上单调递增，因为，
所以，，单调递减，
，，单调递增，
所以函数的极小值为，无极大值.
（2）令，则即，因为
即在时恒成立，
令，
，故单调递增，
所以，故．
【能力提升】
1．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知函数．
(1)求的零点个数；
(2)当时，恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）容易判断为偶函数，求导，利用导数研究函数在的上零点个数，再由对称性求解即可.
（2）原式化简，得，构造新函数求导，利用导数求函数最值，分类讨论值得出答案.
【详解】（1）∵，∴，定义域R,为偶函数.
则只需讨论在上的零点即可，，
令，则恒成立，
在上单调递增，，
在上单调递增，又，
必然存在使得，
综上所述的零点个数为2．
（2），
令
则，∴在上单调递增．
①当时，在上单调递增，则，∴．
②时，恒成立，
③时，在上单调递减，即，
综上所述，的取值范围为．
【点睛】关键点睛：对于第（2）问，难点在于函数的分割，这个可以构造的函数形式比较多，找到构造是关键.
2．（2023·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模）已知函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)极小值为，没有极大值
(2)
【分析】（1）对函数进行求导、列表、判断函数的单调性，最后根据函数极值的定义进行求解即可；
（2）通过不等式的性质把原恒成立问题转化为不等式恒成立，然后构造新函数，对新函数进行求导，判断其单调性，进而求出新函数的最值，最后根据题意求出的取值范围即可.
【详解】（1）函数的定义域为，
当时，，，
令，可得，
当变化时，，的变化情况如下表
所以在上单调递减，上单调递增，
所以函数的极小值为，没有极大值.
（2）由恒成立，取，有，有，
又由函数单调递增，且，可得，
下面证明当时，恒成立，
由可化为，
又由，，有，
故只需证明：不等式恒成立，
令，有，上述不等式等价于，
令，
有
，
又由（当且仅当时取等号），
有，
令，可得，令，可得，
可得函数的单调递增区间为，递减区间为，
所以有，可得不等式成立，
若恒成立，则的取值范围为.
【点睛】方法点睛：根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.
3．（2023·海南·校考模拟预测）已知，函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求出切线方程；
(2)将原不等式变形为，设，构造函数
，根据导数研究函数m(t)的最小值和零点的存在性定理可得(当且仅当时“=”成立)，进而求出结果.
【详解】（1）当时，，所以
所以，
所以切线方程为，即.
（2）由题意得，即，
因为，所以
设，
令，则在区间上恒成立，即在区间上单调递增，又时，，又时，，所以存在，使，
令，因为，
所以当时，，即在区间上单调递减，
当时，，即在区间上单调递增，
所以，所以，
即，得到，当且仅当时取等号，
所以，
当且仅当时取等号，所以，又，
所以a的取值范围是.
【点睛】解恒（能）成立问题，通常通过构造函数，转化成求函数的最值来求解.
4．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）已知函数，其中．
(1)讨论方程实数解的个数；
(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）由即方程有没有解的问题，转化为函数与轴有没有交点问题，分类讨论即可得出结果.
（2）不等式可化为：，就、分类讨论后可得参数的取值范围.
【详解】（1）由可得，，
令，令，可得，
当，函数单调递减，
当，函数单调递增，
所以函数在时取得最小值，
所以当时，方程无实数解，
当时，方程有一个实数解，
当时，，故，
而，，
设，则，
故在上为增函数，故，
故有两个零点即方程有两个实数解.
（2）由题意可知，
不等式可化为，，
即当时，恒成立，
所以，即，
令，
则在上单调递增，而，
当即时，在上单调递增，
故，
由题设可得，
设，则该函数在上为减函数，
而，故.
当即时，因为，
故在上有且只有一个零点，
当时，，而时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
故，
而，故，故
因为，故，故符合，
综上所述，实数的取值范围为．
【点睛】关键点睛：本题考查函数的单调性、最值问题，考查导数应用以及分类讨论思想、转化思想，考查函数恒成立问题，属于中档题.
5．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）已知函数，.
(1)当时，证明：在上恒成立；
(2)判断函数的零点个数.
【答案】(1)证明见详解
(2)答案见详解
【分析】（1）证明不等式恒成立转化为求函数的最小值，最小值大于等于零即可求证；
（2）利用导数研究函数的单调性，极值最值，取极限从而分析函数零点的个数.含参要注意进行分类讨论.
【详解】（1）当时，，
所以，
所以在上单调递增.
故，
所以，即在上恒成立.
（2），其定义域为：.
.
当时，令得：.
若，，所以为减函数；
若，，所以为增函数.
所以，
所以此时没有零点；
当时，令得：，或.
若，，所以为增函数；
若，，所以为减函数；
若，，所以为增函数.
所以的极大值为，
极小值为.
此时时，，时，.
所以此时有个零点；
当时，，所以在单调递增.
此时时，；时，.
所以此时有个零点；
当时，令得：，或.
若，，所以为增函数；
若，，所以为减函数；
若，，所以为增函数.
所以的极大值为，
极小值为.
此时时，，时，，
所以有个零点.
综上所述：当时，没有零点；当时，有个零点.
【点睛】判断函数零点的个数，就是利用导数研究函数的单调性，极值最值，取极限从而分析函数零点的个数.含参要注意进行分类讨论.
6．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知函数．
(1)当时，讨论在区间上的单调性；
(2)若，求的值．
【答案】(1)在区间上的单调递增
(2)1
【分析】（1）代入，再根据结合指数函数、三角函数的范围判断导函数的正负即可；
（2）注意到，进而可得则，再分析当时，求导分析导函数的正负与单调性，进而可得的最小值为0判断即可.
【详解】（1）当时，
．
因为，所以．
所以在区间上的单调递增．
（2），
当时，，所以存在，当时，
则在区间上单调递减，
所以当时，，不满足题意
当时，，所以存在，当时，
则在区间上单调递增，
所以当时，，不满足题意
所以．
下面证明时，
由（1）知，在区间上的单调递增，
所以当时，
所以只要证明.
令
令，
则
①当时，，得
所以，所以，
所以在区间上单调递增
且，
所以，使得.
且当时，；当时，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增
且，
所以当时，
所以在区间上单调递减，
所以当时，
②当时，
因为，所以，所以
所以在区间上单调递减
且
所以，使得
当时，；当时，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减
且
所以当时，
综上，的值为1.
【点睛】本题主要考查了根据导数分析函数的单调性问题，同时也考查了利用导数分析函数的恒成立问题.需要根据函数的结构，注意以特殊点为突破口，不断对导数进行求导，结合三角函数的范围分区间讨论函数的正负与单调性，进而可得导数的正负与原函数的单调性与最值.属于难题.
7．（2023·广东·校联考模拟预测）已知函数
(1)当时，证明：；
(2)已知在上恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)或
【分析】（1）令，对求导，得到的单调性和最值，即可证明；
（2）分类讨论当时，不等式恒成立；当时，，可得，即，令，证明在上恒成立即可；当时，令，由题意可知与条件不符，即可求解.
【详解】（1）当时，，令
令可得，令可得，
∴在单调递增，在单调递减，
∴，即，结论得证.
（2）当时，当，，，
所以在上恒成立；
当时，∵，∴
令，∴，
当时，，令，
，∵，∴在单调递增，
∴时，，∴，∴成立.
当时，令，使得时，，
∴在递减，与条件不符，
综上：的取值范围为或.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式或解决导数恒成立问题，
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
8．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
(3)若，且在上恒成立，证明：．
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；
（2）依题意可得在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，求出的最小值，即可得解；
（3）依题意可得，参变分离可得在上恒成立，令，，求出函数的导函数，分、两种情况讨论，即可得到，令，，利用导数求出的最小值，即可得证.
【详解】（1）函数的定义域为，且，
令，令，解得，因为，，
所以当时，即，
所以的单调递增区间为；
当时，即，
所以的单调递减区间为；
（2）若函数在上单调递增，所以在上恒成立，
令，则，
即在上恒成立，
令，，
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递减，所以，
所以，则，即实数的取值范围为.
（3）因为，所以，解得，
所以，又在上恒成立，
即在上恒成立，
令，，
则，
所以当时，则在上单调递增，此时显然不恒成立；
当时，则当时，时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以时，
所以，
因为，所以，
令，，则，
所以当时，即单调递减，当时，即单调递增，
所以，所以.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
9．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知函数.
(1)求函数的极值点个数；
(2)若不等式在上恒成立，求可取的最大整数值.
【答案】(1)极值点个数为1
(2)4
【分析】（1）求出，然后证明只有一个变号零点即可；
（2）条件不等式可转化为，然后求出，分、两种情况得到的单调性，然后可得到成立，然后利用导数可分析出答案.
【详解】（1）已知，
可得
令，则，
函数单调递减，且当时，，故函数先增后减，
当时，，
其中，∴，∴
当时，，
∴函数只有一个零点，∴函数的极值点个数为1.
（2）变形，得，
整理得，
令，则，∵，∴，
若，则恒成立，即在区间上单调递增，
由，∴，∴，∴，此时可取的最大整数为2，
若，令，则，令，则，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以在区间上有最小值，，
于是问题转化为成立，求的最大值，
令，则，∵当时，，单调递减，
当时，单调递增，∴在处取得最大值，
∵，∴，∵，，
，此时可取的最大整数为4.
综上，可取的最大整数为4.
10．（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知函数，其中.
(1)讨论函数极值点的个数；
(2)对任意的，都有，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导后，将问题转化为与交点情况的讨论问题，利用导数可求得的单调性和极值，进而确定图象，采用数形结合的方式可求得结果；
（2）将恒成立的不等式转化为，构造函数，利用导数可证得，由此得到，进而确定的取值范围.
【详解】（1）由题意知：定义域为，，
令，则，
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
又，当时，恒成立，
大致图象如下图所示，

则当时，恒成立，即恒成立，
在上单调递减，无极值点；
当时，与有两个不同交点，
此时有两个变号零点，有两个极值点；
当时，与有且仅有一个交点，
此时有且仅有一个变号零点，有且仅有一个极值点；
综上所述：当时，无极值点；当时，有两个极值点；当时，有且仅有一个极值点.
（2）由题意知：当时，恒成立；
设，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，，
即，，
又恒成立，，即实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题对于含参函数极值点的讨论的解题关键是能够将问题转化为导函数零点个数的讨论，通过参变分离的方式进一步将问题转化为曲线与直线交点个数的问题，从而采用数形结合的方式来进行求解.
【真题感知】
1．（北京·高考真题）已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求证：当时，；
（Ⅲ）设实数使得对恒成立，求的最大值．
【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ）的最大值为2.
【详解】试题分析：（1）求导：，利用导数几何意义得切线斜率：，又，由点斜式得切线方程：（2）利用导数证明不等式，实质利用导数求对应函数最值：，令，只需证（3）恒成立问题，一般利用变量分离转化为对应函数最值，这较繁且难，本题由（2）知时在（0，1）上恒成立，只需证明当时，在（0，1）上不恒成立，这样就简单多了．
试题解析：（1），利用导数几何意义得切线斜率：，又，由点斜式得切线方程：
（2），结论成立
（3）由（2）知时在（0，1）上恒成立
当时，令则
当时，，即当时，在（0，1）上不恒成立
k的最大值为2．
考点：导数几何意义, 利用导数证明不等式，利用导数求数最值
【名师点睛】导数及其应用通常围绕四个点进行命题．第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值（最值）展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是围数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用．
2．（天津·高考真题）已知函数，其中.
（1）曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若对于任意的，不等式在上恒成立，求b的取值范围.
【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）
【分析】（1）有导数的几何意义，列方程求解，即可得出结果.
（2）对函数求导，分类讨论和，即可求出函数的单调区间.
（3）不等式在上恒成立，而对于任意的，无论与的关系如何，最大值都在端点处取得.经过计算即可得出结果.
【详解】（1），，解得
由切点在直线上可得，
函数解析式为
（2）
当时，，函数在上单调递增，
当时，，解得
当变化时，的变化情况如下：
所以在和单调递增，和单调递减
（3）由（2）知，在上的最大值为和中较大者，
对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，对任意的成立，可得
【点睛】关键点点睛：不等式在上恒成立，而对于任意的，无论与的关系如何，最大值都在端点处取得.本题考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.
3．（江西·高考真题）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值
（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间
（2）若对，不等式恒成立，求c的取值范围.
【答案】（1），单调递增区间为和 ，单调递减区间为；（2）或
【分析】（1）求出函数导数，由题可得即可求出；
（2）求出在的最大值即可建立关系求解.
【详解】（1），，
在与时都取得极值，
，解得，
，
令可解得或；令可解得，
的单调递增区间为和 ，单调递减区间为；
（2），
由（1）可得当时，为极大值，而，
所以，
要使对恒成立，则，解得或.
4．（湖南·高考真题）函数，记 为的从小到大的第 个极值点．
（Ⅰ）证明：数列是等比数列；
（Ⅱ）若对一切恒成立，求 的取值范围．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【详解】试题分析：（Ⅰ）由题 ，令 ，求出函数的极值点，根据等比数列定义即可得到结果；（Ⅱ）由题意问题等价于恒成立问题，设，然后运用导数知识得到，所以，求得，得到的取值范围；
试题解析：（Ⅰ）
令，由，得，即，
而对于，当时，
若，即，则；
若，即，则；
因此，在区间与上，的符号总相反，于是当时，取得极值，所以，此时，
，易知，而
是常数，
故数列是首项为，公比为的等比数列．
（Ⅱ）对一切恒成立，即恒成立，亦即
恒成立，
设，则，令得，
当时，，所以在区间上单调递减；
当时，，所以在区间上单调递增；
因为，且当时，所以
因此，恒成立，当且仅当，解得，
故实数的取值范围是．
考点：恒成立问题；等比数列的性质
【名师点睛】解决数列与函数的综合问题时，如果是证明题要根据等比数列的定义明确证明的方向，如果是不等式恒成立问题，要使用不等式恒成立的各种不同解法，如变量分离法、最值法、因式分解法等，总之解决这类问题把数列看做特殊函数，并把它和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了．
5．（四川·高考真题）设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a ∈R.
（I）讨论f(x)的单调性；
（II）确定a的所有可能取值，使得在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)．
【答案】（I） 见解析（II） .
【详解】试题分析：本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题，考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力.第（Ⅰ）问，对求导，再对a进行讨论，从而判断函数的单调性；第（Ⅱ）问，利用导数判断函数的单调性，从而证明结论.
试题解析：（Ⅰ）
<0，在内单调递减.
由=0，有.
此时，当时，<0，单调递减；
当时，>0，单调递增.
（Ⅱ）令=，=.
则=.
而当时，>0，
所以在区间内单调递增.
又由=0，有>0，
从而当时，>0.
当，时，=.
故当>在区间内恒成立时，必有.
当时，>1.
由（Ⅰ）有,从而，
所以此时>在区间内不恒成立.
当时，令，
当时，，
因此，在区间单调递增.
又因为，所以当时，，即恒成立.
综上，.
【考点】导数的计算，利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题
【名师点睛】本题考查导数的计算，利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题，考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力．求函数的单调性，基本方法是求，解方程，再通过的正负确定的单调性；要证明不等式，一般证明的最小值大于0，为此要研究函数的单调性．本题中注意由于函数的极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围．比较新颖，学生不易想到，有一定的难度．
6．（天津·高考真题）已知函数，其中.
（Ⅰ）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；
（Ⅱ）讨论函数的单调性；
（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见详解（Ⅲ）
【详解】本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等基础知识，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力．
（Ⅰ）解：，由导数的几何意义得，于是．
由切点在直线上可得，解得．
所以函数的解析式为．
（Ⅱ）解：．
当时，显然（）．这时在，上内是增函数．
当时，令，解得．
当变化时，，的变化情况如下表：
所以在，内是增函数，在，内是减函数．
综上，当时，在，上内是增函数；
当时，在，内是增函数，在，内是减函数．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，在上的最大值为与的较大者，对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，对任意的成立．
从而得，所以满足条件的的取值范围是．
4年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年新I卷，第19题,12分
利用导数研究不等式恒成立问题
含参分类讨论求函数的单调区间
2023年新Ⅱ卷，第22题,12分
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数求函数的单调区间
(不含参)
利用导数研究函数的零点
根据极值点求参数
2022年新Ⅱ卷，第22题,12分
利用导数研究不等式恒成立问题
含参分类讨论求函数的单调区间
裂项相消法求和
2020年新I卷，第21题,12分
利用导数研究不等式恒成立问题
求在曲线上一点处的切线方程
2020年新Ⅱ卷，第22题,12分
利用导数研究不等式恒成立问题
求在曲线上一点处的切线方程
4年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年新I卷，第19题,12分
利用导数研究不等式恒成立问题
含参分类讨论求函数的单调区间
2023年新Ⅱ卷，第22题,12分
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数求函数的单调区间
(不含参)
利用导数研究函数的零点
根据极值点求参数
2022年新Ⅱ卷，第22题,12分
利用导数研究不等式恒成立问题
含参分类讨论求函数的单调区间
裂项相消法求和
2020年新I卷，第21题,12分
利用导数研究不等式恒成立问题
求在曲线上一点处的切线方程
2020年新Ⅱ卷，第22题,12分
利用导数研究不等式恒成立问题
求在曲线上一点处的切线方程
+
0
↗
极大值
↘
-
0
+
单调递减
极小值
单调递增
+
0
-
-
0
+
极大值
极小值
＋
0
－
－
0
＋
↗
极大值
↘
↘
极小值
↗