第06讲 利用导数研究恒成立与能成立（有解）问题（2类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（新高考通用）

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1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为15-17分
【备考策略】1能用导数证明函数的单调性
2能求出函数的极值或给定区间的最值
3恒成立，恒成立，
4有解，有解，
【命题预测】导数的综合应用是高考考查的重点内容,也是高考压轴题之一近几年高考命题的趋势，是稳中求变、变中求新、新中求活，纵观近几年的高考题,导数的综合应用题考查多个核心素养以及综合应用能力,有一定的难度,一般放在解答题的最后位置，对数学抽象、数学运算、逻辑推理等多个数学学科的核心素养都有较深入的考查，需综合复习
知识讲解
恒成立问题常见类型
假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式，
（1）的值域为
①，则只需要
，则只需要
②，则只需要
，则只需要
（2）若的值域为
① ，则只需要
，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）
② ，则只需要
，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）
恒成立问题的解决策略
= 1 \* GB3 ①构造函数，分类讨论；
②部分分离，化为切线；
③完全分离，函数最值；
= 4 \* GB3 ④换元分离，简化运算；
在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界.
一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解问题设计独特，试题形式多样、变化众多，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，有一定的综合性，属于能力题，在提升学生思维的灵活性、创造性等数学素养起到了积极的作用，成为高考的一个热点．
能成立（有解）问题常见类型
假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式，
（1）若的值域为
①，则只需要
，则只需要
②，则只需要
，则只需要
（2）若的值域为
① ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）
，则只需要
② ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）
，则只需要
能成立（有解）问题的解决策略
= 1 \* GB3 ①构造函数，分类讨论；
②部分分离，化为切线；
③完全分离，函数最值；
= 4 \* GB3 ④换元分离，简化运算；
在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界.
一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解问题设计独特，试题形式多样、变化众多，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，有一定的综合性，属于能力题，在提升学生思维的灵活性、创造性等数学素养起到了积极的作用，成为高考的一个热点．
考点一、利用导数解决函数恒成立问题
1．（2024·全国·高考真题）已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)当时，，求的取值范围．
【答案】(1)极小值为，无极大值.
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.
（2）求出函数的二阶导数，就、、分类讨论后可得参数的取值范围.
【详解】（1）当时，，
故，
因为在上为增函数，
故在上为增函数，而，
故当时，，当时，，
故在处取极小值且极小值为，无极大值.
（2），
设，
则，
当时，，故在上为增函数，
故，即，
所以在上为增函数，故.
当时，当时，，
故在上为减函数，故在上，
即在上即为减函数，
故在上，不合题意，舍.
当，此时在上恒成立，
同理可得在上恒成立，不合题意，舍；
综上，.
【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.
2．（2023·全国·高考真题）已知函数
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析.
(2)
【分析】（1）求导,然后令,讨论导数的符号即可;
（2）构造,计算的最大值,然后与0比较大小,得出的分界点,再对讨论即可.
【详解】（1）
令,则
则
当
当,即.
当,即.
所以在上单调递增,在上单调递减
（2）设
设
所以.
若,
即在上单调递减,所以.
所以当,符合题意.
若
当,所以.
.
所以,使得,即,使得.
当,即当单调递增.
所以当,不合题意.
综上,的取值范围为.
【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性在定义域内是减函数,若,当,对应当.
3．（2022·全国·高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围；
(3)设，证明：．
【答案】(1)的减区间为，增区间为.
(2)
(3)见解析
【分析】（1）求出，讨论其符号后可得的单调性.
（2）设，求出，先讨论时题设中的不等式不成立，再就结合放缩法讨论符号，最后就结合放缩法讨论的范围后可得参数的取值范围.
（3）由（2）可得对任意的恒成立，从而可得对任意的恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.
【详解】（1）当时，，则，
当时，，当时，，
故的减区间为，增区间为.
（2）设，则，
又，设，
则，
若，则，
因为为连续不间断函数，
故存在，使得，总有，
故在为增函数，故，
故在为增函数，故，与题设矛盾.
若，则，
下证：对任意，总有成立，
证明：设，故，
故在上为减函数，故即成立.
由上述不等式有，
故总成立，即在上为减函数，
所以.
当时，有，
所以在上为减函数，所以.
综上，.
（3）取，则，总有成立，
令，则，
故即对任意的恒成立.
所以对任意的，有，
整理得到：，
故
，
故不等式成立.
【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.
1．（2024·广东汕头·三模）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若恒成立，求的最小值．
【答案】(1)答案见详解
(2)
【分析】（1）求导后，利用导数与函数单调性的关系，对与分类讨论即可得；
（2）结合函数的单调性求出函数的最值，即可得解.
【详解】（1）（），
当时，由于，所以恒成立，从而在上递增；
当时，，；，，
从而在上递增，在递减；
综上，当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）令，要使恒成立，
只要使恒成立，也只要使.
，
若，，所以恒成立，
当时，，当时，，
可知在内单调递增，在内单调递减，
所以，解得：，
可知的最小值为；
若，，所以恒成立，
当时，，当时，，
可知在内单调递减，在内单调递增，
所以在内无最大值，且当趋近于时，趋近于，不合题意；
综上所述：的最小值为.
2．（2024·江苏苏州·三模）已知函数.
(1)时，求的零点个数;
(2)若恒成立，求实数的最大值;
(3)求证:.
【答案】(1)2个
(2)
(3)证明见解答
【分析】（1），求导后令，再次求导可得，进而可判断的单调性，结合，的值可得结论；
（2）由题意可得，可得，进而判断时，不等式恒成立；
（3）利用，结合（2）以及放缩法可证明不等式.
【详解】（1）当时，，则，
所以，令，则，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
当时，，所以在上为增函数，
当时，，所以在上为减函数，
又，，
且时，，则存在，，使得，
所以有两个零点.
（2）令由，得，
令所以，
令，可得，
所以在上为增函数，所以，
所以，所以，
所以在上单调递增，所以，即，
所以恒成立，所以实数的最大值是实数；
（3）因为，
由（2）可得，所以，
所以，
所以，
又，
所以.
【点睛】方法点睛：第三问，考查放缩法证明不等式，其中证明不等式成立是关键.
3．（2024·浙江温州·模拟预测）函数
(1)求的单调区间.
(2)若在时恒成立，求的取值范围.
【答案】(1) 的单调递增区间是 单调递减区间是
(2)
【分析】（1）对函数求导有，根据导数判断函数的单调性区间即可；
（2）构造函数，将问题转化为：在时恒成立，求的取值范围；根据，求出命题成立的必要条件，再验证充分性即可确定的取值范围.
【详解】（1）因为，
所以，定义域为，
令，即，即，
解得，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
综上所述， 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
（2）记，则，
所以，
根据题意原题可化为：在时恒成立，求的取值范围；
因为，所以在时恒成立的必要条件为，
即，即；
构造函数，则，
所以在上单调递增，所以，
所以有，即在上恒成立，
令，当时，有，
所以在上恒成立，
因为，不等式两边同时乘以，
有在上恒成立，
即在上恒成立，
即时，在上恒成立，
综上，是在时恒成立的充要条件，
所以的取值范围为.
【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若在区间上有最值，则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数，.（注：是自然对数的底数）
(1)若无极值点，求实数的取值范围；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）法一，易知，无变号零点，考虑后参变分离为，原问题等价于的图像与无相交交点；法二，构建，分，，结合根的存在性定理即可求解；
（2）法一，式子转化为，即证即可，易知，则，分，， 讨论即可；法二，转化为，求的最大值即可.
【详解】（1）（方法一）易知，由无极值点可知，
无变号零点，令（*），
显然时，（*）无零点，此时无极值点，满足题意；
故当（*）可变形得，
令，原问题等价于的图像与无相交交点，
又，则，，单调递增；
，，单调递减；
又趋于，趋于；趋于，趋于；.
可得的图象如图：
由图可知，解得，
综上，
（方法二）构建，则
①当时，当时恒成立，在上单调递增，
因为，，
所以有一个零点，即为的一个极值点；
②当时，当时恒成立，即无极值点；
③当时，当，；当，，
所以在单调递减，在上单调递增，
故，
若，则即.
当时，，
当时，，
设，，故，
故在上为增函数，
故，
故，
故当时，有两个零点，此时有两个极值点.
当时，当时恒成立，即无极值点；
综上所述：
（2）（方法一）由可知，，
即，
令，即证，
易知，
则，
若，即时，
则，，单调递增，，不符合题意；
若，即时，
则，，单调递减，
，，单调递增，
，，单调递减，
又，故令，
解得，即，
若，即时，
则，，单调递减，
，，单调递增，
，，单调递减，
故令
，
记，则恒成立，
所以在上单调递减，
所以，即，
即对于任意，恒成立，
综上所述，
（方法二）①当时，不等式恒成立，可得；
②当时，可得恒成立，设，
则
.
可设，可得，
设，，
由，可得恒成立，可得在上单调递增，
在上单调递增，所以，
即恒成立，即在上单调递增，所以，
再令，可得，
当时，，在上单调递增；
时，，在上单调递减，
所以，
所以，综上可得的取值范围是.
【点睛】思路点睛：利用导数证明不等式，可通过构造函数，结合导数求得所构造函数的单调性、极值、最值.
考点二、利用导数解决函数能成立（有解）问题
1．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为；
(2)
【分析】（1）先对函数求导，结合导数与单调性关系即可求解；
（2）由已知不等式成立，先分离参数，结合成立与最值关系的转化即可求解．
【详解】（1）因为，，
令，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）依题意，存在，使得，
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故，因此，
故的取值范围为．
2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)若对任意有解，求的取值范围.
【答案】(1)极小值为1，无极大值；
(2).
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性即可求极值；
（2）由题意可得任意有解，设，分、及讨论即可求解.
【详解】（1），得，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以的极小值为，无极大值；
（2）对任意即，
设，，
①当时，单调递增，单调递增，，成立；
②当时，令单调递增，单调递增，，成立；
③当时，当时，单调递减，单调递减，，不成立.
综上，.
3．（2024·湖南娄底·一模）已知函数，其中为自然对数的底数.
(1)求函数的单调区间；
(2)证明：；
(3)设，若存在实数使得，求的最大值.
【答案】(1)增区间为，减区间为；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）求出，判断导数正负得到函数的单调区间；
（2）利用分析法转化要证结论，要证，即证，令，即证，利用导数判断单调性，求出最大值即可得证；
（3），分别讨论当时和时是否存在使得，即可求解.
【详解】（1）的定义域为，
所以当时，；当时，.
所以的增区间为，减区间为.
（2）要证，即证，令，即证，
，令，则，所以在上单调递减，又，
当时，；当时，.
在上单调递增，在上单调递减，
，所以，即得证.
（3）当时，，即存在满足题意；
当时，由（2）知，
，
此时恒成立，不满足题意；
综上，所以的最大值为.
1．（2024·湖北·模拟预测）已知函数，其中为常数.
(1)过原点作图象的切线，求直线的方程；
(2)若，使成立，求的最小值.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）设切点，求导得出切线方程，代入原点，求出参数即得切线方程；
（2）由题意，将其等价转化为在有解，即只需求在上的最小值，利用导数分析推理即得的最小值.
【详解】（1）
设切点坐标为，则切线方程为，
因为切线经过原点，所以，解得，
所以切线的斜率为，所以的方程为.
（2），，即成立，
则得在有解，
故有时，.
令，，，
令得；令得，
故在单调递减，单调递增，
所以，
则，故的最小值为.
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若不等式在区间上有解，求实数a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2)．
【分析】（1）求出，分类讨论确定和的解得单调性；
（2）用分离参数法转化问题为不等式在区间上有解，引入函数，求出的最小值即可得．
【详解】（1）由题意知函数的定义域为，
而，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得，
由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）因为不等式在区间上有解，
所以在区间上有解，此时，
即在区间上有解，
令，则．
令，则，
所以函数在上单调递增，所以．
当时；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
综上可知，实数a的取值范围是．
3．（2024·山西运城·一模）已知，函数，.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：存在唯一的极值点；
(3)若存在，使得对任意成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）求，代入计算即为斜率，求的值，结合点斜式即可求得切线方程.
（2）①研究当时，的单调性，②研究当时，令，运用导数研究单调性，结合零点存在性定理可知存在唯一，使得，即，进而可证得的单调性，进而可证得结果.
（3）将问题转化为，由（2）可知， ，，进而可得存在，使得，设，，进而将问题转化为求，运用导数求即可.
【详解】（1）由题意知，，
所以，
又，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）证明：由，，
①当时，，则在上单调递增，
②当时，设，则，
所以，故在上单调递减，
又，，
所以由零点存在性定理可知，存在唯一，使得，即.
所以当时，，即；当时，，即，
所以在上单调递增，在上单调递减，
综述：在上单调递增，在上单调递减，存在唯一，使得.
故存在唯一的极值点.
（3）由（2）可知，在上单调递增，在上单调递减，
故，
因为，所以，
由题意知，，
即，
化简得，，
设，，
由题存在，使得，
所以，.
又
设，，则，
所以在上单调递减，
故，
当时，，；当时，，，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以.
故的取值范围为.
【点睛】方法点睛：恒成立（能成立）问题解题策略：
方法1：分离参数法求最值：
(1)分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题；
(2)恒成立⇔；
恒成立⇔；
能成立⇔；
能成立⇔；
方法2：根据不等式恒成立（能成立）构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解．
1．（2023高三·全国·专题练习）设函数，若当时，求的取值范围．
【答案】
【分析】方法一：令，所以，，再对分和两种情况讨论判断是否成立即得解.
【详解】[方法一]：由题得，
令，所以，
当时，恒成立，仅当时，
在单调递增，所以，
所以函数在上单调递增.
所以满足题意；
当时，得，得，
所以在单调递减，在单调递增，
又，所以函数在单调递减，
又，所以函数在上，与已知矛盾，不合题意，所以舍去.
综上所述：.
[方法二]：，由指数不等式，当且仅当时，等号成立．
得，从而当，即时，，
而，于是当时，．
由可得
从而当时，1），
故当时，，而，当时，0，不合题意．
综合得的取值范围为．
2．（2023高三·全国·专题练习）已知，实数使得对恒成立，求实数的最大值．
【答案】2
【分析】转化为在上恒成立，根据且在上恒成立，得到，由得到，再论证时，即可.
【详解】因为实数使得对恒成立，
所以在上恒成立．
∵且在上恒成立，
∴，又．
由，，使在单调递增，解得．
当时，在上恒成立，
即在上递增，故恒成立．故满足题意．
3．（2023高三·全国·专题练习）设函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的值．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）利用导数的性质分类讨论进行求解即可；
（2）根据（1）的结论，结合构造函数法进行求解即可.
【详解】（1）的定义域为．．
若，则，在上单调递增．
若，则当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
（2）由（1）知，若，则当时，，矛盾．
因此．由（1）知此时．
恒成立等价于恒成立．
设，即恒成立，
则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，所以，
显然函数在处有唯一零点，且．
而恒成立，所以，
所以．
4．（23-24高三上·贵州安顺·期末）已知函数
(1)求的单调增区间；
(2)方程在有解，求实数m的范围.
【答案】(1)单调递增区间为，；
(2).
【分析】（1）求导，解不等式求出单调递增区间；
（2）先求出在区间上的最大值为4，最小值为1，从而得到答案.
【详解】（1）的定义域为R，
，
当时，；时，；
故单调增区间为，；
（2）由（1）知，函数在区间，上单调递增，
在区间上单调递减，
∵，，，，
∴，，
故函数在区间上的最大值为4，最小值为1，
∴，
∴.
5．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若对定义域内任意实数都有，求的取值范围．
【答案】(1)0
(2)
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性得到函数的最值.
（2）先利用端点效应猜想的取值范围再利用导数研究函数的单调性，求证出猜想的正确性.
【详解】（1）当时，，定义域为，
所以，令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值为．
（2）因为恒成立，所以，得，
下面证明：当时，．
证明如下：因为在上单调递减，
又因为，所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，又因为，所以时，．
综上，的取值范围为．
6．（22-23高三上·河南·阶段练习）已知函数（其中为自然对数的底数）．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若，求证：，．
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；
(2)见解析.
【分析】（1）求导，当时，，当时，，即可解决；（2）由令新函数，求导，由，再令新函数，证明在上恒成立，即可得证.
【详解】（1）由题知，
所以，
当时，，
当时，，当时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
（2）由题知，，，
所以，
因为，
所以
令
即证在上恒成立，
因为
当时，，
当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减，
因为，，
令，
所以，
因为，
所以，
所以在上单调递增，
所以，
所以恒成立，
因为，
所以在上恒成立，即得证.
7．（2023高三·全国·专题练习）已知函数，其图象在点处的切线方程为．
(1)求，的值与函数的单调区间；
(2)若对，，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)，；的单调递增区间为，；单调递减区间为
(2)
【分析】（1）利用导数的几何意义可得从而求得，．进而令得增区间，令得减区间；
（2）利用导数求得函数在上的最大值为8，进而转化为，解不等式即可.
【详解】（1），
，
函数的图象在点处的切线方程为．
解得，．
，
令，解得或；令，解得．
函数的单调递增区间为，；单调递减区间为．
（2）由（1）可得：，．
令，则，
所以当变化时，的变化情况如下：
由表格可知：当时，函数取得极大值，，又．
函数在上的最大值为8．
由，不等式恒成立，．
，
解得或．
的取值范围是．
8．（23-24高三上·江苏常州·期中）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)对于，使得，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2).
【分析】（1）对函数求导，讨论、研究导数符号确定区间单调性；
（2）问题化为对恒成立，讨论、求参数范围.
【详解】（1）由题设且，
当时在上递减；
当时，令，
当时在区间上递减；
当时在上递增．
所以当时，的减区间为，无增区间；
当时，的增区间为，减区间为.
（2）由题设知对恒成立．
当时，此时，不合题设，舍去．
当时，在上递增，只需符合．
综上：．
9．（2024·吉林白山·二模）已知函数.
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据导数的几何意义，结合导数的运算性质、直线的点斜式方程进行求解即可；
（2）对不等式进行常变量分离，构造函数，利用导数研究函数的最值即可.
【详解】（1） ，
因此，而，
故所求切线方程为，即；
（2）依题意，，故对任意恒成立.
令，则，
令，解得.
故当时，单调递增；
当时，单调递减，
则当时，取到极大值，也是最大值2.
故实数的取值范围为.
10．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围．
【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为
(2)
【分析】（1）根据导函数的正负判断函数的递增递减区间即得；
（2）通过代入不等式整理成在上存在实数解问题，故可转化成求函数在得最小值问题，计算即得.
【详解】（1）当时，，
∴，由，得，由，得，
所以函数的单调增区间为，单调减区间为；
（2）原条件等价于：在上存在实数解．
化为在上存在实数解，
令，
则，
∴在上，，得，故在上单调递增，
∴的最小值为，
∴时，不等式在上存在实数解．
1．（2024·浙江绍兴·二模）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出切线方程；
（2）分和讨论，利用导数结合不等式放缩判断导数正负，结合单调性验证恒成立是否满足.
【详解】（1）当时，，则，
所以切线斜率为，又，
所以，切线方程是.
（2）①当时，因为，所以，
所以.
记，则，
令，则.
因为当时，，所以在区间上单调递增，
所以，，
所以，在区间上单调递增，
所以，，所以.
②当时，，
因为当时，，
令，则，
若，则，即在区间上单调递增.
若，则，
所以在区间上单调递增.
所以当时，在区间上单调递增.
因为，，
所以，存在，使得，
所以，当时，，即在区间上单调递减，
所以，不满足题意.
综上可知，实数的取值范围为.
2．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知．
(1)讨论的单调性和极值；
(2)若时，有解，求的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）首先求函数的导数，，讨论和两种情况讨论函数的单调性和极值；
（2）首先不等式参变分离为，在时有解，再构造函数，，转化为利用导数求函数的最大值.
【详解】（1），
当时，恒成立，函数在区间上单调递减，无极值；
当时，令 ，得，
，得，函数在区间上单调递减，
，得，函数在区间上单调递增，
当，函数取得极小值，
综上可知，时，函数的单调递减区间是，无增区间，无极值；
时，函数的单调递增区间是，单调递减区间，极小值，无极大值.
（2）由题意可知，，时有解，
则，在时有解，即，
设，，
，
令，得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以的最大值为，即，
所以实数的取值范围是.
3．（2024·陕西渭南·二模）已知函数，.
(1)求函数的单调区间；
(2)若当时，恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)递减区间为，无递增区间；
(2).
【分析】（1）求出函数，再利用导数求出的单调区间.
（2）等价变形给定不等式得，令并求出值域，再换元并分离参数构造函数，求出函数的最小值即得.
【详解】（1）依题意，函数的定义域为，
求导得，当且仅当时取等号，
即在上单调递减，
所以函数的递减区间为，无递增区间.
（2）当时，恒成立，
令，求导得，
当时，，当时，，
即函数在上递减，在上递增，则当时，，
令，依题意，，恒成立，
令，求导得，则函数在上单调递增，
当时，，因此，
所以实数m的取值范围.
【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.
4．（2024·山东德州·三模）设函数，，曲线在点处的切线方程为.
(1)求的值;
(2)求证:方程仅有一个实根;
(3)对任意，有，求正数的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用导数的几何意义，结合切线和曲线，以及切点的关系，即可列式求解；
（2）分，和三种情况，分析函数的性质，判断函数的零点个数；
（3）令，分和两种情况，利用导数讨论函数的最值，即可求解.
【详解】（1）因为，所以，
又点在切线上，所以，所以，
又，即，所以；
（2）证明: 欲证方程仅有一个实根，只需证明仅有一个实根，
令，且，则，
令，则，
讨论: 当时，，
所以在上单调递增，所以，即，
所以在上单调递增，，即此时无零点；
当时，，即此时有一个零点:
当时， ，
即
所以，当时，，即此时无零点，
综上，仅有一个零点，得证.
（3）当时，，即恒成立，
令，则，
由（2） 可知，时，，
所以，
讨论: 当时，因为，所以，
即， 所以，
所以在时单调递增，
所以恒成立，即满足条件，
当时，由，可知，
又，所以存在，使得，
所以，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，即不能保证恒成立
综上，正数的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题的第二问的关键是需分三段讨论函数的性质，第三问的关键是对分2种情况讨论函数的性质.
5．（2024·江苏宿迁·三模）已知函数．
(1)若曲线在处的切线的方程为，求实数的值；
(2)若函数恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出，由建立等式求出，代入计算即可；
（2）先求出，令，设，使得，即，根据导函数求出，根据不等式恒成立建立不等式得，计算即可.
【详解】（1）因为，函数的定义域为，
所以，
由曲线在处的切线的方程为，得，
所以，
设，，
所以函数是上的递增函数，又，
所以方程有唯一解，
所以，，
所以切点坐标为，代入直线方程得．
（2），定义域为，
，
设，所以，
所以在上递减，又，，
所以当时，，即，函数递增，
当时，，即，函数递减，
所以函数的最大值 ，
又，
所以，
所以，
因为恒成立，即恒成立，
设，则，所以递增，
所以，即恒成立，
因为在上递减，且，
所以只需恒成立，即，
又，所以．
【点睛】关键点点睛：本题第一问求解的关键在于根据导数的几何意义建立等式求出，在解的过程中要注意说明解得唯一性；第二问求解关键在于分母恒大于零，在探究导函数单调性时只需对导函数分子求导，根据导数求出，再根据不等式恒成立建立不等式得，最后计算可得.
6．（2024·青海海西·模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)令，若恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)．
【分析】（1）求导得，利用判别式分类讨论可求单调区间；
（2），可得，进而证明时恒成立，利用放缩法与构造函数法可求解.
【详解】（1）由，，
①当时，，可得，此时函数在R上单调递增；
②当时，，关于x的一元方程的两根为，
此时函数的减区间为，增区间为，；
（2）若恒成立，必有，可得，
下面证明时恒成立.
由及，有，
要证不等式，只需证，
又由，只需证，
令，
有，
令，有，
①当时，，，
有；
②当时，，，
有．
由①②可知，故函数单调递增，
又由，可知当时，即；
当时，即，可得函数的减区间为，增区间为，
有．
由上知，若恒成立，则实数a的取值范围为.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
7．（2024·四川泸州·二模）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若，，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）对求导，利用导数的几何意义即可得解；
（2）先利用导数分析的单调性，再构造，将问题转化为，利用的单调性，分析得，从而得解.
【详解】（1）因为，则，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程；
（2）因为，且，
所以当时，，单调递减，
当或时，，单调递增；
不妨令，
当，即时，在单调递增，在单调递减，
且，
所以，此时符合题意；
当，即时，在和单调递增，在单调递减，
显然在处取得极小值，此时极小值为，
而，
所以，
要使，则必有，解得，故，
综上:的取值范围是.
【点睛】结论点睛：
（1）有解；有解．
（2）有解；有解．
（3）有解；有解．
（4），，．
8．（2024·广东梅州·一模）已知函数.
(1)若是函数的一个极值点，求的值；
(2)若在上恒成立，求的取值范围；
(3)证明：（为自然对数的底数）.
【答案】(1)
(2)
(3)证明详见解析
【分析】（1）由求得，验证后确定的值.
（2）对进行分类讨论，根据在区间上的最小值不小于求得的取值范围.
（3）将要证明的不等式转化为证明，结合（2）的结论来证得不等式成立.
【详解】（1），定义域为，
，因为是的一个极值点，
所以.
此时，所以在区间上单调递减，
在区间上单调递增，所以是的极小值点，符合题意，
所以.
（2）因为在上恒成立，所以.
当时，在上恒成立，
在上单调递增，所以成立，符合题意.
当时，令，得，
令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，，这与矛盾.
综上所述，的取值范围是.
（3）要证明，即证明，即证明，
由（2）得时，在上单调递增，
所以，
从而原不等式成立.
【点睛】求解函数在区间上的最值的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间；（5）根据单调区间来求得最值.
9．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知函数.
(1)求过原点的切线方程；
(2)求证：存在，使得在区间内恒成立，且在内有解.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数求解函数的切线方程；
（2）利用函数导数判断函数的单调性，进而判断恒成立问题
【详解】（1），设切点
切线方程：
切线过原点，解得
切线方程：
（2）设，
则，故
当时，，则，即在单调递增，
且且时，存在唯一使得①.
在上单调递减，上单调递增.
满足在区间内有唯一解，只需满足即可.
所以，
将①带入化简得：，
即，得（舍），，
则，此时①变形为，
不妨设，显然在上单调递增.
.
，则结论得证
10．（2024·贵州安顺·二模）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求出定义域，求导，分和两种情况，得到函数的单调性；
（2）变形得到，在（1）的基础上得到，从而，再令，，得到，令，，求导得到其单调性，求出最小值为，从而得到不等式，求出的取值范围.
【详解】（1）的定义域为，则，
当时，恒成立，故在上单调递增，
当时，令，解得，令，解得，
故在上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）由题意得，对任意的，存在，使得，即，
由（1）知，时，在上单调递增，在上单调递减；
故在处取得极小值，也是最小值，
故，即证，
令，，则，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在单调递减，故，
令，，则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值，且，
综上，都在上取得最值，从而，解得，
故实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
1．（2021·天津·高考真题）已知，函数．
（I）求曲线在点处的切线方程：
（II）证明存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．
【答案】（I）；（II）证明见解析；（III）
【分析】（I）求出在处的导数，即切线斜率，求出，即可求出切线方程；
（II）令，可得，则可化为证明与仅有一个交点，利用导数求出的变化情况，数形结合即可求解；
（III）令，题目等价于存在，使得，即，利用导数即可求出的最小值.
【详解】（I），则，
又，则切线方程为；
（II）令，则，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
当时，，，当时，，画出大致图像如下：
所以当时，与仅有一个交点，令，则，且，
当时，，则，单调递增，
当时，，则，单调递减，
为的极大值点，故存在唯一的极值点；
（III）由（II）知，此时，
所以，
令，
若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即，
，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，故，
所以实数b的取值范围.
【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明与仅有一个交点；第三问解题的关键是转化为存在，使得，即.
2．（2020·山东·高考真题）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）（2）
【分析】（1）利用导数的几何意义求出在点切线方程，即可得到坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；
（2）方法一：利用导数研究函数的单调性，当a=1时，由得,符合题意；当a>1时，可证，从而存在零点，使得，得到，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得恒成立；当时，研究.即可得到不符合题意.综合可得a的取值范围.
【详解】（1），，.
，∴切点坐标为(1,1+e),
∴函数在点(1,f(1)处的切线方程为,即,
切线与坐标轴交点坐标分别为,
∴所求三角形面积为．
（2）［方法一］：通性通法
,，且.
设,则
∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增，
当时，,∴,∴成立.
当时， ，，,
∴存在唯一，使得，且当时，当时，，，
因此
>1,
∴∴恒成立；
当时， ∴不是恒成立.
综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞).
［方法二］【最优解】：同构
由得，即，而，所以．
令，则，所以在R上单调递增．
由，可知，所以，所以．
令，则．
所以当时，单调递增；
当时，单调递减．
所以，则，即．
所以a的取值范围为．
［方法三］：换元同构
由题意知，令，所以，所以．
于是．
由于，而在时为增函数，故，即，分离参数后有．
令，所以．
当时，单调递增；当时，单调递减．
所以当时，取得最大值为．所以．
［方法四］：
因为定义域为，且，所以，即．
令，则，所以在区间内单调递增．
因为，所以时，有，即．
下面证明当时，恒成立．
令，只需证当时，恒成立．
因为，所以在区间内单调递增，则．
因此要证明时，恒成立，只需证明即可．
由，得．
上面两个不等式两边相加可得，故时，恒成立．
当时，因为，显然不满足恒成立．
所以a的取值范围为．
【整体点评】（2）方法一：利用导数判断函数的单调性，求出其最小值，由即可求出，解法虽稍麻烦，但是此类题，也是本题的通性通法；
方法二：利用同构思想将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法即可求出，是本题的最优解；
方法三：通过先换元，令，再同构，可将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法求出；
方法四：由特殊到一般，利用可得的取值范围，再进行充分性证明即可．
3．（2020·全国·高考真题）已知函数.
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.
【答案】（1）当时，单调递减，当时，单调递增.（2）
【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.
(2)方法一：首先讨论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a的取值范围.
【详解】(1)当时，，，
由于，故单调递增，注意到，故：
当时，单调递减，
当时，单调递增.
(2) [方法一]【最优解】：分离参数
由得，，其中，
①.当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意；
②.当时，分离参数a得，，
记，，
令，
则，，
故单调递增，，
故函数单调递增，，
由可得：恒成立，
故当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
因此，,
综上可得，实数a的取值范围是.
[方法二]：特值探路
当时，恒成立．
只需证当时，恒成立．
当时，．
只需证明⑤式成立．
⑤式，
令，
则，
所以当时，单调递减；
当单调递增；
当单调递减．
从而，即，⑤式成立．
所以当时，恒成立．
综上．
[方法三]：指数集中
当时，恒成立，
记，
，
①.当即时，，则当时，，单调递增，又，所以当时，，不合题意；
②.若即时，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，又，
所以若满足，只需，即，所以当时，成立；
③当即时，，又由②可知时，成立，所以时，恒成立，
所以时，满足题意.
综上，.
【整体点评】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，本题主要考查利用导数解决恒成立问题，常用方法技巧有：
方法一，分离参数，优势在于分离后的函数是具体函数，容易研究；
方法二，特值探路属于小题方法，可以快速缩小范围甚至得到结果，但是解答题需要证明，具有风险性；
方法三，利用指数集中，可以在求导后省去研究指数函数，有利于进行分类讨论，具有一定的技巧性！
4．（2019·全国·高考真题）已知函数f（x）=2sinx－xcsx－x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
【答案】（1）见解析；
（2）.
【分析】（1）求导得到导函数后，设为进行再次求导，可判断出当时，，当时，，从而得到单调性，由零点存在定理可判断出唯一零点所处的位置，证得结论；（2）构造函数，通过二次求导可判断出，；分别在，，和的情况下根据导函数的符号判断单调性，从而确定恒成立时的取值范围.
【详解】（1）
令，则
当时，令，解得：
当时，；当时，
在上单调递增；在上单调递减
又，，
即当时，，此时无零点，即无零点
，使得
又在上单调递减 为，即在上的唯一零点
综上所述：在区间存在唯一零点
（2）若时，，即恒成立
令
则，
由（1）可知，在上单调递增；在上单调递减
且，，
，
①当时，，即在上恒成立
在上单调递增
，即，此时恒成立
②当时，，，
，使得
在上单调递增，在上单调递减
又，
在上恒成立，即恒成立
③当时，，
，使得
在上单调递减，在上单调递增
时，，可知不恒成立
④当时，
在上单调递减
可知不恒成立
综上所述：
【点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.
5．（2017·全国·高考真题）设函数.
（I）讨论函数的单调性；
（II）当时，，求实数的取值范围.
【答案】（I）函数在和上单调递减，在上单调递增.
（II）.
【详解】试题分析：（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号确定单调区间；（2）对分类讨论，当a≥1时，，满足条件；当时，取，当0＜a＜1时，取，.
试题解析： 解（1）f ’(x)=(1-2x-x2)ex
令f’(x)=0得x=-1- ，x=-1+
当x∈（-∞，-1-）时，f’(x)<0；当x∈（-1-，-1+）时，f’(x)>0；当x∈（-1+，+∞）时，f’(x)<0
所以f(x)在（-∞，-1-），（-1+，+∞）单调递减，在（-1-，-1+）单调递增
(2) f (x)=(1+x)（1-x）ex
当a≥1时，设函数h(x)=（1-x）ex，h’(x)= -xex＜0（x＞0），因此h(x)在[0，+∞)单调递减，而h(0)=1，
故h(x)≤1，所以f(x)=（x+1）h(x)≤x+1≤ax+1
当0＜a＜1时，设函数g（x）=ex-x-1，g’（x）=ex-1＞0（x＞0），所以g（x）在[0，+∞)单调递增，而g(0)=0，故ex≥x+1
当0＜x＜1，，，取
则
当
综上，a的取值范围[1，+∞）
点睛:利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2024年新I卷，第18题,17分
利用导数研究不等式恒成立问题
证明函数的对称性
利用导数求函数的单调性
利用导数证明不等式
利用不等式求取值范围
2023年新I卷，第19题,12分
利用导数研究不等式恒成立问题
含参分类讨论求函数的单调区间
2023年新Ⅱ卷，第22题,12分
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数求函数的单调区间
(不含参)
利用导数研究函数的零点
根据极值点求参数
2022年新Ⅱ卷，第22题,12分
利用导数研究不等式恒成立问题
含参分类讨论求函数的单调区间
裂项相消法求和
2020年新I卷，第21题,12分
利用导数研究不等式恒成立问题
求在曲线上一点处的切线方程
2020年新Ⅱ卷，第22题,12分
利用导数研究不等式恒成立问题
求在曲线上一点处的切线方程
，
0
2
，
0
0
单调递增
极大值
单调递减
极小值
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