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高考数学第一轮复习(新教材新高考)第04讲平面向量系数和(等和线)问题(高阶拓展)（核心考点精讲精练）(学生版+解析)
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这是一份高考数学第一轮复习(新教材新高考)第04讲平面向量系数和(等和线)问题(高阶拓展)（核心考点精讲精练）(学生版+解析)，共61页。试卷主要包含了“x+y”或“λ+μ”型综合，“x-y”或“λ-μ”型综合，系数和的综合应用等内容，欢迎下载使用。
平面向量与代数、几何融合考查的题目综合性强，难度大，考试要求高。
平面向量是有效连接代数和几何的桥梁，已成为高考数学的一个命题热点。
近年，高考、模考中有关“系数和（等和线）定理”背景的试题层出不穷，学生在解决此类问题时，往往要通过建系或利用角度与数量积处理，结果因思路不清、解题繁琐，导致得分率不高，而向量三点共线定理与等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数运算转化为距离的比例运算，数形结合思想得到了有效体现，同时也为相关问题的解决提供了新的思路，大家可以学以致用
知识讲解
如图，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知：
存在，使得
下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①若时，则射线与无交点，由知，存在实数，使得
而，所以，于是
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②若时，
（i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则
，不妨设与的相似比为
由三点共线可知：存在使得：
所以
（ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在存在使得：
所以
于是
综合上面的讨论可知：图中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。
我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过作边的垂线，设点在上的射影为，直线交直线于点，则 (的符号由点的位置确定)，因此只需求出的范围便知的范围
考点一、“x+y”或“λ+μ”型综合
1．（全国·高考真题）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为
A．3B．2C．D．2
2.（衡水中学二模）边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段(含短点)上运动，是圆上及其内部的动点，设向量，则的取值范围是（ ）
在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，
若，则的最大值为( )
如图，正六边形，是内（包括边界）的动
点，设，则的取值范围是____________
如图，在直角梯形中，，，，动点在以为圆心，且与直线相切的圆内运动，设
则的取值范围是____________
考点二、“mx+ny”或“mλ+nμ”型综合
已知是内一点,且,点在内(不含边界),若,则的取值范围是
A. B. C. D.
已知为边长为2的等边三角形，动点在以为直径的半圆上.若，则的取值范围是__________
若点在以为圆心,6为半径的弧上,且,则的取值范围为______
设长方形的边长分别是,点是内(含边界)的动点,设,则的取值范围是_________
考点三、“x-y”或“λ-μ”型综合
如图,已知为锐角三角形的外心,,且,求的取值范围？
1．（2020·全国·高三专题练习）在矩形ABCD中，，，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若，则的最小值为（ ）
A．B．1C．-1D．
考点四、“mx-ny”或“mλ-nμ”型综合
1．（2023·浙江·高三专题练习）如图，在直角梯形中， ， ∥， ， ，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022春·安徽六安·高三阶段练习）在直角梯形中，，∥，，、分别为、的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上变动，（如图所示），若，其中，则的取值范围是 ．
1．（2023·四川·校联考三模）在直角梯形中，，，，，分别为，的中点，以为圆心，为半径的半圆分别交及其延长线于点，，点在上运动（如图）.若，其中，，则的取值范围是
A．B．C．D．
考点五、系数和（等和线）的综合应用
1．（2023·全国·高三专题练习）设是的外心(三角形外接圆的圆心)．若，则的度数等于( )
A．B．C．D．
2．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）在直角梯形中，，，，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上移动，设，则最大值是 .
3．（2022秋·江苏苏州·高一校考阶段练习）如图，在正方形中，为的中点，是以为圆心，为半径的圆弧上的任意一点，设，则的最小值为 ．
1．（2022春·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考期末）已知点是的外接圆圆心, .若存在非零实数使得且,则的值为
A．B．C．D．
2．（2022·全国·高一专题练习）如图，在正方形中，为的中点，为以为圆心，为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则的最小值为 ．
3．（2023·全国·高一专题练习）在直角梯形中，，，，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上或圆内移动，设，则最大值是 .
【能力提升】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）在边长为1的正方形中，动点在以点为圆心且与相切的圆上.若，则的最大值是
A．3B．C．D．4
2．（2022·全国·高三专题练习）在正方形中，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·湖北武汉·高三阶段练习）如图所示，在正六边形中，点是内（包括边界）的一个动点，设，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·浙江绍兴·浙江省柯桥中学校考模拟预测）在矩形中，，，动点在以为圆心且与相切的圆上，若，设的最大值为，最小值为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）在正六边形中，点是内（包括边界）的一个动点，设，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023春·四川成都·高一校联考期末）已知为的外心，为锐角且，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022秋·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）在直角梯形中，，，，，分别为，的中点，以为圆心，为半径的圆交于，点在弧上运动（如图）.若，其中，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）如图，四边形是边长为的正方形，，点为内（含边界）的动点，设，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·江西·校联考一模）如图，四边形是边长为1的正方形，，点为内（含边界）的动点，设，则的最大值等于（ ）
A．B．1C．D．
10．（2022秋·江西新余·高二开学考试）扇形中，，其中是的中点，是弧上的动点（含端点），若实数满足，则的取值范围是
A．B．C．D．
11．（2022春·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）在扇形中，，，为弧上的一个动点，且．则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
12．（2022·黑龙江·高三竞赛）如图，在直角梯形ABCD中，已知AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，动点P在以点C为圆心且与直线BD相切的圆内运动.若，则的取值范围是.
A．B．C．D．
13．（2022春·福建莆田·高一仙游一中阶段练习）在平行四边形中，，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上.若,则的最大值为( )
A．1B． C．D．3
14．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直角梯形中，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上或圆内移动，设，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
15．（2022秋·四川德阳·高二德阳五中校考开学考试）如图，在矩形中，，，点在以点为圆心且与相切的圆上，.若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
16．（2023·全国·高三专题练习）在直角梯形中， ， ， ， 分别为， 的中点，以为圆心， 为半径的圆交于，点在弧上运动（如图）.若，其中， ，则的取值范围是
A．B．C．D．
二、多选题
17．（2022秋·江苏南京·高二南京师大附中校考期中）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的可能取值有（ ）
A．B． C．3D．4
18．（2023·全国·高三专题练习）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则可能的整数值为（ ）
A．3B．1C．0D．
三、填空题
19．（2022·江西上饶·统考三模）在扇形中，，为弧上的一个动点.若，则的取值范围是 .
20．（2023·全国·高三专题练习）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最小值为 .
21．（2022春·上海宝山·高三上海交大附中校考开学考试）如图所示，，圆M与AB，AC分别相切于点D，E，AD=1，点P是圆M及其内部任意一点，且，则的取值范围是
22．（2023春·上海青浦·高三上海市青浦高级中学校考阶段练习）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为 ．
23．（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形是边长为1的正方形，点D在的延长线上，且，点P是(含边界)的动点，设，则的最大值为 ．
24．（2022秋·福建三明·高三三明一中校考阶段练习）在扇形中，，为弧上的动点，若，则的取值范围为 ．
25．（2023·全国·高三专题练习）在扇形中，，为弧上的一动点，若，则的取值范围是 ．
26．（2023·全国·高一专题练习）如图,在扇形OAB中,,C为弧AB上的一个动点.若，则的取值范围是 ．
27．（2022·全国·高三专题练习）在扇形中，，，C为弧上的一个动点，若，则的取值范围是 .
28．（2022秋·福建三明·高二三明一中校考开学考试）如图，在扇形中，，C为弧AB上的一个动点，若，则的取值范围是 .
29．（2022秋·江西南昌·高三南昌市第十九中学校考阶段练习）在边长为1的正方形ABCD中，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，若，则的最大值为 .
30．（2023·全国·高一专题练习）如图，在直角梯形中，，，，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上或圆内移动，设，则取值范围是 ．
第04讲 平面向量系数和（等和线）问题
（高阶拓展）（核心考点精讲精练）
平面向量与代数、几何融合考查的题目综合性强，难度大，考试要求高。
平面向量是有效连接代数和几何的桥梁，已成为高考数学的一个命题热点。
近年，高考、模考中有关“系数和（等和线）定理”背景的试题层出不穷，学生在解决此类问题时，往往要通过建系或利用角度与数量积处理，结果因思路不清、解题繁琐，导致得分率不高，而向量三点共线定理与等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数运算转化为距离的比例运算，数形结合思想得到了有效体现，同时也为相关问题的解决提供了新的思路，大家可以学以致用
知识讲解
如图，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知：
存在，使得
下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①若时，则射线与无交点，由知，存在实数，使得
而，所以，于是
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②若时，
（i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则
，不妨设与的相似比为
由三点共线可知：存在使得：
所以
（ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在存在使得：
所以
于是
综合上面的讨论可知：图中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。
我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过作边的垂线，设点在上的射影为，直线交直线于点，则 (的符号由点的位置确定)，因此只需求出的范围便知的范围
考点一、“x+y”或“λ+μ”型综合
1．（全国·高考真题）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为
A．3B．2C．D．2
【答案】A
【法一：系数和】
分析：如图 ，
由平面向量基底等和线定理可知，当等和线与圆相切时， 最大，此时
故选 .
【法二：坐标法】
【详解】如图所示，建立平面直角坐标系.
设,
易得圆的半径，即圆C的方程是，
，若满足，
则，，所以，
设，即，点在圆上，
所以圆心到直线的距离，即，解得，
所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A.
【点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
2，（衡水中学二模）边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段(含短点)上运动，是圆上及其内部的动点，设向量，则的取值范围是（ ）
分析:如图，设，由等和线结论，.此为的最小值；
同理，设，由等和线结论，.此为的最大值.
综上可知.
在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，
若，则的最大值为( )
解：如图所示：
过作的垂线，垂足为，则，当三点共线时，高线最长，即
如图，正六边形，是内（包括边界）的动
点，设，则的取值范围是____________
解：连接因为正六边形，由对称性知道
，设与交于点，与交于点，
当在上时，在上射影最小为；
当与重合时，在上射影最大为；
则
设则
则
如图在直角梯形中，，，，动点在以为圆心，且与直线相切的圆内运动，设
则的取值范围是____________
解：设圆与直线相切于点，过作于，作直线，且直线与圆相切与，连，则过圆心，且，由图可知，对圆内任意一点
在直线上的射影长度满足：，
又，
所以
而，所以
考点二、“mx+ny”或“mλ+nμ”型综合
已知是内一点,且,点在内(不含边界),若,则的取值范围是
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】因为是内一点,且，所以为的重心
在内(不含边界),且当与重合时,最小,
此时
所以,即
当与重合时,最大,此时
所以,即
因为在内且不含边界
所以取开区间,即.
已知为边长为2的等边三角形，动点在以为直径的半圆上.若，则的取值范围是__________
答案:
【解析】如图,取中点为,
显然,当与重合时,取最小值1.
将平行移动至与相切处,
为切点时,取最大值.
延长交于,易知.
由等和线及平行截割定理,.
所以的最大值为.
故的取值范围是.
若点在以为圆心,6为半径的弧上,且,则的取值范围为______
【解析】令,
则,
即,
其中.
由知点在线段上,如下图:
由于在中,,
且点在线段上(含端点,
因此,其中是边上的高.
可得.
可得.
所以,.
再由
可知.
设长方形的边长分别是,点是内(含边界)的动点,设,则的取值范围是_________
解:如图,取中点,则
此时的等和线为平行于的直线显然,当点与点重合时,最小为1,当点与重合时,最大,
由于,
所以,
于是的最大值为
所以的取值范围是.
考点三、“x-y”或“λ-μ”型综合
如图,已知为锐角三角形的外心,,且,求的取值范围？
解:
作圆的直径,则点在劣弧上运动.于是.其中.
考虑到问题涉及的代数式为,为了利用向量分解的系数和的几何意义,
将条件转化为.
此时可知连接向量的终点与向量的终点的直线即等系数和线,于是.
依次作出其余等系数和线,可得的取值范围是.
1．（2020·全国·高三专题练习）在矩形ABCD中，，，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若，则的最小值为（ ）
A．B．1C．-1D．
【答案】C
【解析】以A为原点，直线AB，AD为x，y轴建立平面直角坐标系，求出圆的标准方程，可得的坐标的参数形式，再由用坐标表示，这样就可表示为的三角函数，由三角函数恒等变换可求得其最小值．
【详解】以A为原点，直线AB，AD为x，y轴建立平面直角坐标系，则，，
直线，圆C与直线BD相切，所以圆C的半径，圆C的方程为，
设点，即，
又，
∴，
所以.
即时，取得最小值．
故选：C．
【点睛】本题考查向量的线性运算，解题关键是建立平面直角坐标系，把向量用两种不同方法表示，从而把表示为参数的三角函数，利用三角函数知识求得最小值．
考点四、“mx-ny”或“mλ-nμ”型综合
1．（2023·浙江·高三专题练习）如图，在直角梯形中， ， ∥， ， ，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】建立直角坐标系，将由点坐标转化后数形结合求解
【详解】以点为坐标原点， 方向为x,y轴正方向建立直角坐标系，则，
，设，则，解得，
故，即，
数形结合可得当时，取最小值2，
当直线与圆相切时，，取得最大值 .
故选：B
2．（2022春·安徽六安·高三阶段练习）在直角梯形中，，∥，，、分别为、的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上变动，（如图所示），若，其中，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】如图以为轴建立直角坐标系，设，则可表示出的坐标，可列出关于的不等式组，表示出，利用三角函数恒等变换公式化简，从而可求得结果
【详解】如图以为轴建立直角坐标系，则，，，，，，所以，，
设，
因为
所以，
所以，
解得，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，即，
故答案为：
1．（2023·四川·校联考三模）在直角梯形中，，，，，分别为，的中点，以为圆心，为半径的半圆分别交及其延长线于点，，点在上运动（如图）.若，其中，，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据直角坐标系，根据向量的坐标运算，即可表达出，进而用辅助角公式以及三角函数的性质即可求解.
【详解】
分别以所在直线为轴，轴，方向为正方向建立直角坐标系，知,
设，由得：，即 ,
则，
由可得：，则，故.
则的取值范围是 .
故选：C
考点五、系数和（等和线）的综合应用
1．（2023·全国·高三专题练习）设是的外心(三角形外接圆的圆心)．若，则的度数等于( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将向量式两边平方，结合三角形外心性质和已知条件可得，同理可得，然后根据夹角公式可得.
【详解】∵为的外心，
∴，
又
∴
∴，同理
故，
又
∴.
故选：C.
2．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）在直角梯形中，，，，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上移动，设，则最大值是 .
【答案】4
【分析】建立直角坐标系，写出点的坐标，求出BD的方程，求出圆的方程，设出，求出三个向量的坐标，用P的坐标表，则，根据直线AP:与有交点,求出范围．
【详解】解：以为原点，分别以方向为轴，建立如图所示直角坐标系：
所以，，，，所以，，
因为圆与直线相切，而，圆心，
所以半径，所以圆：，
设,则，，
又
所以，则，所以
所以表示坐标原点A与点P两点之间连线的斜率的2倍，
因为动点在圆上移动，所以直线AP:与有交点，
则圆心到的距离为
解得:，则
所以，则最大值是4.
故答案为：4．
3．（2022秋·江苏苏州·高一校考阶段练习）如图，在正方形中，为的中点，是以为圆心，为半径的圆弧上的任意一点，设，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，可得点轨迹，从而可设，；利用向量的坐标运算可构造方程求得，将所求式子整理为；令，；利用导数可求得当时，取得最小值，利用同角三角函数平方关系可构造方程求得，代入可求得最小值.
【详解】以为坐标原点可建立如下图所示的平面直角坐标系
设，则，，，，
，
由题意可得，点轨迹方程为：
设，
由得：，解得：
设，
当时，；当时，
当时，取最小值
由得：
即当，时，取最小值
即的最小值为
本题正确结果：
【点睛】本题考查平面向量在几何中的应用，利用导数求解函数的最值问题；解题关键是能够通过建立平面直角坐标系的方式将问题转化为函数最值的求解，从而利用导数来确定最值取得的情况，属于难题.
1．（2022春·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考期末）已知点是的外接圆圆心, .若存在非零实数使得且,则的值为
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据且判断出与线段中点三点共线，由此判断出三角形的形状，进而求得的值.
【详解】由于，由于，所以与线段中点三点共线，根据圆的几何性质可知直线垂直平分，于是是以为底边的等腰三角形，于是，故选D.
【点睛】本小题主要考查平面向量中三点共线的向量表示，考查圆的几何性质、等腰三角形的几何性质，属于中档题.
2．（2022·全国·高一专题练习）如图，在正方形中，为的中点，为以为圆心，为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，正方形的边长为1，求出各点坐标，设，，由列方程，利用和表示和，再由三角函数的性质可得的最小值.
【详解】
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
设正方形的边长为1，则，，，，
设，，
因为，，
所以，
所以，解得：，
所以，
令，可知当时，函数单调递增，
所以当时，的最小值为，
故答案为：.
3．（2023·全国·高一专题练习）在直角梯形中，，，，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上或圆内移动，设，则最大值是 .
【答案】
【分析】建立合适的直角坐标系，求出各个点的坐标，根据点到直线的距离公式求得圆的方程，再求出点坐标，建立关于的不等式，令代入不等式，根据判别式大于零可得的范围，化简为关于的二次函数，开口向下，可取得最大值，求出最大值时的值可证明其存在，即可得出结果.
【详解】解：以为原点，分别以方向为轴，建立如图所示直角坐标系：
所以，，，，所以，，
因为圆直线相切，而，圆心，
所以半径，所以圆：，
因为，
即，因为动点在圆上或圆内移动，
所以，设，则，
所以不等式可化为：，
所以，易得不等式有解，则，
所以，即，解得，
所以原式
，
所以当，，即，时，.
故答案为：
【点睛】思路点睛：该题考查向量结合直线与圆的综合应用，属于难题，关于该题的思路有：
（1）图形比较规则，建立直角坐标系来解决向量问题；
（2）得到关于的不等式中没有，所以取，建立之间的关系；
（3）用判别式求得的范围，化简所求式子至二次函数的形式；
（4）根据二次函数的最值及的范围求出最值.
【能力提升】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）在边长为1的正方形中，动点在以点为圆心且与相切的圆上.若，则的最大值是
A．3B．C．D．4
【答案】A
【分析】以为原点，以，所在的直线为，轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点的坐标为，，根据，求出，，根据三角函数的性质即可求出最值
【详解】如图：以为原点，以，所在的直线为，轴建立如图所示的坐标系，
则，，，，
动点在以点为圆心且与相切的圆上，
设圆的半径为，
，，，
圆的方程为，
设点的坐标为，，
，
即，=，，，，，，，，故的最大值为3，
故选：A.
【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是设点的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．
2．（2022·全国·高三专题练习）在正方形中，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设正方形的边长为，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，可得出圆的方程为，可设点的坐标为，根据向量的坐标运算可将用的三角函数表示，利用辅助角公式和正弦函数的有界性可求出的最大值.
【详解】设正方形的边长为，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点、、、，直线的方程为，即，
点到直线的距离为，
则以点为圆心且与直线相切的圆的方程为，
设点的坐标为，由，
得，，
所以，，
因此，的最大值为.
故选：C.
【点睛】本题考查利用平面向量的基本定理求参数和的最小值，利用圆的有界性结合圆的参数方程来求解是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
3．（2022秋·湖北武汉·高三阶段练习）如图所示，在正六边形中，点是内（包括边界）的一个动点，设，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】以直线FB为x轴，线段FB的中垂线为y建立平面直角坐标系，结合已知求出点P的坐标，再由点P所在区域求解作答.
【详解】在正六边形中，以直线FB为x轴，线段FB中垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图，
令，则点，
因此，因，则，
于是得点，又点是内（包括边界）的一个动点，
显然点P在直线及上方，点P纵坐标最大不超过3，即有，解得，
所以的取值范围是.
故选：B
4．（2022·浙江绍兴·浙江省柯桥中学校考模拟预测）在矩形中，，，动点在以为圆心且与相切的圆上，若，设的最大值为，最小值为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意建立直角坐标系，求出各个点的坐标进而求，，的坐标，再结合直线与圆相切的性质求出半径，再设出点的坐标求出关于的代数式，结合正弦型函数的图象与性质即可求出最大值与最小值，从而求出的值．
【详解】解：如图所示，以为原点建立平面直角坐标系
，，，，
直线，圆方程为：，
又，，
则，，，，
圆与直线相切，则半径．
点的坐标可表示为，
则，
当时，有最大值，
当有最小值，
所以．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆的标准方程，直线和圆的方程的应用，属于中档题．
5．（2023·全国·高三专题练习）在正六边形中，点是内（包括边界）的一个动点，设，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为为动点，所以不容易利用数量积来得到的关系，因为六边形为正六边形，所以建立坐标系各个点的坐标易于确定，
可得：，则，所以设，则由可得：，因为在内，且，所以所满足的可行域为，代入可得：，通过线性规划可得：.
6．（2023春·四川成都·高一校联考期末）已知为的外心，为锐角且，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】依题意建立直角坐标系，设外接圆的半径，从而求得所需各点坐标，进而利用向量相等求得点坐标，代入外接圆的方程得到，由此利用基本不等式即可得解.
【详解】以边所在的直线为轴，边的垂直平分线为轴建立直角坐标系，如图，
（为边的中点），由外接圆的性质得，
因为为锐角且，所以，
设外接圆的半径，则，
因为，所以，，
所以，，，设，
则外接圆的方程为：，
因为，
所以.
则，解得，
则，
代入外接圆方程得： ，整理得：，
由基本不等式得：，当且仅当取等号.
化简得：，解得或，
由图知：，所以，故的最大值为.
故选：D.
7．（2022秋·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）在直角梯形中，，，，，分别为，的中点，以为圆心，为半径的圆交于，点在弧上运动（如图）.若，其中，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】建立空间直角坐标系，求得，，，，由，得到，用表示，利用辅助角公式化简，再利用三角函数性质求解.
【详解】建立如图所示直角坐标系：
则，
所以，，，，
因为，
所以，
所以，
解得，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以的取值范围是.
故选：D
【点睛】方法点睛：（1）用平面向量解决平面几何问题时，在便于建立直角坐标系的情况下建立平面直角坐标系，可以使向量的运算更简便一些．在解决这类问题时，共线向量定理和平面向量基本定理起主导作用．
（2）解决平面向量与三角函数问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决.
8．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）如图，四边形是边长为的正方形，，点为内（含边界）的动点，设，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】以为原点，为轴建立平面直角坐标系，设，利用求出，将求的最大值转化为求的最大值，根据线性规划可求得结果.
【详解】以为原点，为轴建立如图所示的平面直角坐标系：
因为四边形是边长为的正方形，，
所以，，，
，，
所以，
设，则，所以，
所以，即求的最大值，
因为点为内（含边界）的动点，
所以由图可知，平移直线到经过点时，取得最大值，
所以的最大值是.
故选：D
【点睛】关键点点睛：建立平面直角坐标系，转化为线性规划求解是解题关键.
9．（2022·江西·校联考一模）如图，四边形是边长为1的正方形，，点为内（含边界）的动点，设，则的最大值等于（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【分析】建立平面直角坐标系，求出，由数形结合，利用线性规划求最值即可得解.
【详解】以为原点，以，所在直线分别为，轴建立直角坐标系，如图，
设点，
∵，则，
所以，，，由于点为内（包含边界），
所以目标函数为 ，斜率，
因为，
所以如图示，当点为点时，取得最大值，其最大值为，
故选：D．
10．（2022秋·江西新余·高二开学考试）扇形中，，其中是的中点，是弧上的动点（含端点），若实数满足，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】试题分析：以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立直角坐标系，设，，，设在圆，,所以，所以，设，则，当时，的最大值为，当在点时，时，取得最小值为，故选D．
考点：平面向量的基本定理及其意义．
【方法点晴】本题主要考查了平面向量的坐标表示及其运算、平面向量的基本定理的应用、圆的参数方程、辅助角公式等知识点的综合应用，解答中有，得，所以，设，则是解答问题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．
11．（2022春·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）在扇形中，，，为弧上的一个动点，且．则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，令，则， 则，易知为减函数，即可得出结果.
【详解】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
令，则，
因为，则，,，
又，
则，
则，
则，
又，
易知为减函数，
由单调性易得其值域为.
故选：B.
12．（2022·黑龙江·高三竞赛）如图，在直角梯形ABCD中，已知AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，动点P在以点C为圆心且与直线BD相切的圆内运动.若，则的取值范围是.
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】为求的最值，不妨假设点 在 上，易知，的半径为.故：
，
.
由点在内，知.
13．（2022春·福建莆田·高一仙游一中阶段练习）在平行四边形中，，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上.若,则的最大值为( )
A．1B． C．D．3
【答案】D
【分析】由题意结合平面向量数量积的运算法则整理计算即可求得最终结果.
【详解】由，，，得，
所以∠ABD=∠CDB=90°，故圆C与BD相切于点D，如图，
又，所以.
所以.
△ABC中，由余弦定理可得：
，，
据此可得，
当与方向相同时，取得最大值：，
所以的最大值是3.
故选：D.
14．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直角梯形中，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上或圆内移动，设，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由直角梯形可知依直角建立坐标系，则，直线，圆的半径
设，由可得：
在圆内
设，则
，其中
由可知
，且
所以.
15．（2022秋·四川德阳·高二德阳五中校考开学考试）如图，在矩形中，，，点在以点为圆心且与相切的圆上，.若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出圆的半径，然后以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，利用平面向量的坐标运算求出、的值，即可得解.
【详解】设圆的半径为，则，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则、、、，
，，，
由，得，
所以，，解得，因此，.
故选：B.
16．（2023·全国·高三专题练习）在直角梯形中， ， ， ， 分别为， 的中点，以为圆心， 为半径的圆交于，点在弧上运动（如图）.若，其中， ，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（2，2），E（2，1），F（1，1.5），P（csα，sinα）（0≤α），由λμ得，（csα，sinα）＝λ（2，1）+μ（﹣1，），λ，μ用参数α进行表示，利用辅助角公式化简，即可得出结论．
【详解】解：建立如图所示的坐标系，
则A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（2，2），E（2，1），F（1，1.5），
P（csα，sinα）（0≤α），
由λμ得，（csα，sinα）＝λ（2，1）+μ（﹣1，）
⇒csα＝2λ﹣μ，sinα＝λ
⇒λ，
∴6λ+μ＝6（）2（sinα+csα）＝2sin（）
∵，∴sin（）
∴2sin（）∈[2，2]，即6λ+μ的取值范围是[2，2]．
故选D．
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查学生的计算能力，正确利用坐标系是关键．属于中档题．
二、多选题
17．（2022秋·江苏南京·高二南京师大附中校考期中）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的可能取值有（ ）
A．B． C．3D．4
【答案】AC
【分析】建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，用坐标表示，用同角三角函数的平方关系换元，转化为三角函数的最值问题.
【详解】以为圆点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
则由已知有：，，，，即在圆上，
所以有，则．
故选：AC
18．（2023·全国·高三专题练习）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则可能的整数值为（ ）
A．3B．1C．0D．
【答案】AB
【分析】建系后利用坐标对应关系，结合圆的三角换元，表示出，利用三角函数最值即可求解.
【详解】
以点为原点，建立直角坐标系，则，，
所以,,
圆的半径为，
所以圆，
所以圆上点 ，
所以，
因为，
所以,
所以,
所以，其中，.
所以,
所以，
即，
所以可能的整数值为：1,2,3.
故答案为：AB.
三、填空题
19．（2022·江西上饶·统考三模）在扇形中，，为弧上的一个动点.若，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】不妨设，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，令，则， 则，再结合三角函数值域的求法求解即可.
【详解】解：由题意可知，在扇形中，，为弧上的一个动点.
不妨设，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
令，则，，,，
又，
则，则，
则，
又，
则，
则，
即，
故答案为：.
【点睛】本题考查了三角恒等变换的辅助角的应用，重点考查了三角函数值域的求法，属中档题.
20．（2023·全国·高三专题练习）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最小值为 .
【答案】1
【分析】建立坐标系，利用已知条件求得的关系，然后利用三角换元求解即可.
【详解】以为坐标原点，所在的直线为轴，轴，建立坐标系，
则，，，，
因为，
所以，又的方程为，
且到的距离为，
所以点为圆心且与相切的圆的方程为，
又在圆上，所以，
令，，
所以.
故答案为：1.
【点睛】本题考查向量的坐标运算，圆方程的求解，以及利用三角恒等变换化简三角函数.
21．（2022春·上海宝山·高三上海交大附中校考开学考试）如图所示，，圆M与AB，AC分别相切于点D，E，AD=1，点P是圆M及其内部任意一点，且，则的取值范围是
【答案】
【分析】建立直角坐标系，求出圆M的方程，则点P在圆M内或其圆周上，根据点P的范围，将原问题转化为线性规划求 目标函数的最大值和最小值问题.
【详解】如图以A为原点直线AB为x轴建立直角坐标系：
由题意 ， ， ，
过点D作AB的垂线，过点E作AC的垂线，两垂线的交点即为圆心M，在 中，
， ， ，圆M的半径为 ；
设 ，则P点圆M内或圆周上，
，， ，由题意 ， ，
， ，即是求z的取值范围，也就是求z的最大值和最小值，
根据几何意义，当直线 与圆M相切时z取最值，
.此时到直线 的距离为 ，
所以z的范围为；
故答案为：.
22．（2023春·上海青浦·高三上海市青浦高级中学校考阶段练习）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为 ．
【答案】
【详解】分析：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P的坐标为（csθ+1，sinθ+2），根据=λ+μ，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值．
详解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，
则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），
∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，
设圆的半径为r，
∵BC=2，CD=1，
∴BD==
∴BC•CD=BD•r，
∴r=，
∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=，
设点P的坐标为（csθ+1，sinθ+2），
∵=λ+μ，
∴（csθ+1，sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），
∴csθ+1=λ，sinθ+2=2μ，
∴λ+μ=csθ+sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，
∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，
∴1≤λ+μ≤3，
故λ+μ的最大值为3，
故答案为：3．
点睛：本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是设点P的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．
23．（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形是边长为1的正方形，点D在的延长线上，且，点P是(含边界)的动点，设，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】根据平面向量基本定理及向量共线定理即可求解.
【详解】当点P位于B点时，过点B作，交的延长线于G，H，
则，且，
，，
所以.
故答案为：.
24．（2022秋·福建三明·高三三明一中校考阶段练习）在扇形中，，为弧上的动点，若，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】不妨设，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，令，则， 则，易知为减函数，即可得出结果.
【详解】由题意可知，在扇形中，，为弧上的一个动点.
不妨设，
以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
令，
则，，,，
又，
则，
则，
则，
又，
易知为减函数，
由单调性易得其值域为.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算及三角变换.属于中档题.
25．（2023·全国·高三专题练习）在扇形中，，为弧上的一动点，若，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】以O为原点，分别为x，y轴正方向建立平面直角坐标系.向量坐标化进行坐标运算，利用三角函数求出的取值范围.
【详解】以O为原点，分别为x，y轴正方向建立平面直角坐标系.
则.不妨设.
因为，所以，解得：，
所以.
因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递减.
所以当时最大；当时最小.
所以的取值范围是.
故答案为：.
26．（2023·全国·高一专题练习）如图,在扇形OAB中,,C为弧AB上的一个动点.若，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由，两边同时平方可得到关于x,y的关系式，求得y关于x的函数关系，将x+3y表示为x的函数，进而考察函数的单调性，根据x的范围求得结论.
【详解】如图，过C分别作OB,OA的平行线，交OA,OB与M,N，不妨设圆半径为1.
则，∵，
，由图可知.
将两边平方得
1
所以,显然
得:,（负值舍去),
故.
不妨令
显然在上单调递减,,得.
故答案为：[1,3].
【点睛】本题考查平面向量的基本定理，平面向量的数量积，利用函数思想求最值.由已知得到x,y的关系式后，将所求式子表示为x的函数，利用函数的单调性是关键.
27．（2022·全国·高三专题练习）在扇形中，，，C为弧上的一个动点，若，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标表示，再利用三角函数的有界性即求.
【详解】如图所示，建立平面直角坐标系以O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则，，
设，则，
由得
从而
则，易知，
故在上单调递增，
∴，.
故.
故答案为：
28．（2022秋·福建三明·高二三明一中校考开学考试）如图，在扇形中，，C为弧AB上的一个动点，若，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则根据题意可知，，，设，根据把、用表示，然后可求得的取值范围．
【详解】解：如图所示，以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
则根据题意可知，，，设，．
由，得，，
，
点在弧上由运动，在，上逐渐变大，变小，逐渐变大，
当时取得最大值4，当时取得最小值．
的取值范围是，．
故答案为：．
29．（2022秋·江西南昌·高三南昌市第十九中学校考阶段练习）在边长为1的正方形ABCD中，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，若，则的最大值为 .
【答案】3
【分析】根据题意，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立坐标系，可得A、B、C、D的坐标以及直线BD的方程，进而可得圆C的方程，据此设P的坐标为；由向量的坐标公式可得的坐标，又由向量的坐标计算公式可得，进而可得的表达式，相加后分析可得答案．
【详解】解：根据题意，如图，
以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立坐标系：
则，
则BD的方程为x＋y＝1，
点C为圆心且与BD相切的圆C，其半径，
则圆C的方程为；
P在圆C上，设P的坐标为，
则，
若，则，
则有；
，
即的最大值为3；
故答案为：3．
【点睛】本题考查直线与圆方程的应用，涉及平面向量的基本定理，注意建立坐标系，分析P的坐标与的关系，是中档题．
30．（2023·全国·高一专题练习）如图，在直角梯形中，，，，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上或圆内移动，设，则取值范围是 ．
【答案】
【分析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，先求出以点为圆心，且与直线相切的圆方程，设，再根据，可求出点的坐标，再根据在圆内或圆上，可得关于的一个不等关系，设，进而可得出答案.
【详解】如图所示以为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则，，，，
直线的方程为，化简得，
点到的距离，
可得以点为圆心，且与直线相切的圆方程为，
设，则，，，
，
，
可得且，的坐标为，
在圆内或圆上，
，
设，得，
代入上式化简整理得，
若要上述不等式有实数解，
则，
化简得，
解得，
即，
取值范围是．
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：利用向量的坐标表示将点的坐标用表示是解决本题的关键.
平面向量与代数、几何融合考查的题目综合性强，难度大，考试要求高。
平面向量是有效连接代数和几何的桥梁，已成为高考数学的一个命题热点。
近年，高考、模考中有关“系数和（等和线）定理”背景的试题层出不穷，学生在解决此类问题时，往往要通过建系或利用角度与数量积处理，结果因思路不清、解题繁琐，导致得分率不高，而向量三点共线定理与等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数运算转化为距离的比例运算，数形结合思想得到了有效体现，同时也为相关问题的解决提供了新的思路，大家可以学以致用
知识讲解
如图，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知：
存在，使得
下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①若时，则射线与无交点，由知，存在实数，使得
而，所以，于是
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②若时，
（i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则
，不妨设与的相似比为
由三点共线可知：存在使得：
所以
（ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在存在使得：
所以
于是
综合上面的讨论可知：图中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。
我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过作边的垂线，设点在上的射影为，直线交直线于点，则 (的符号由点的位置确定)，因此只需求出的范围便知的范围
考点一、“x+y”或“λ+μ”型综合
1．（全国·高考真题）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为
A．3B．2C．D．2
2.（衡水中学二模）边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段(含短点)上运动，是圆上及其内部的动点，设向量，则的取值范围是（ ）
在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，
若，则的最大值为( )
如图，正六边形，是内（包括边界）的动
点，设，则的取值范围是____________
如图，在直角梯形中，，，，动点在以为圆心，且与直线相切的圆内运动，设
则的取值范围是____________
考点二、“mx+ny”或“mλ+nμ”型综合
已知是内一点,且,点在内(不含边界),若,则的取值范围是
A. B. C. D.
已知为边长为2的等边三角形，动点在以为直径的半圆上.若，则的取值范围是__________
若点在以为圆心,6为半径的弧上,且,则的取值范围为______
设长方形的边长分别是,点是内(含边界)的动点,设,则的取值范围是_________
考点三、“x-y”或“λ-μ”型综合
如图,已知为锐角三角形的外心,,且,求的取值范围？
1．（2020·全国·高三专题练习）在矩形ABCD中，，，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若，则的最小值为（ ）
A．B．1C．-1D．
考点四、“mx-ny”或“mλ-nμ”型综合
1．（2023·浙江·高三专题练习）如图，在直角梯形中， ， ∥， ， ，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022春·安徽六安·高三阶段练习）在直角梯形中，，∥，，、分别为、的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上变动，（如图所示），若，其中，则的取值范围是 ．
1．（2023·四川·校联考三模）在直角梯形中，，，，，分别为，的中点，以为圆心，为半径的半圆分别交及其延长线于点，，点在上运动（如图）.若，其中，，则的取值范围是
A．B．C．D．
考点五、系数和（等和线）的综合应用
1．（2023·全国·高三专题练习）设是的外心(三角形外接圆的圆心)．若，则的度数等于( )
A．B．C．D．
2．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）在直角梯形中，，，，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上移动，设，则最大值是 .
3．（2022秋·江苏苏州·高一校考阶段练习）如图，在正方形中，为的中点，是以为圆心，为半径的圆弧上的任意一点，设，则的最小值为 ．
1．（2022春·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考期末）已知点是的外接圆圆心, .若存在非零实数使得且,则的值为
A．B．C．D．
2．（2022·全国·高一专题练习）如图，在正方形中，为的中点，为以为圆心，为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则的最小值为 ．
3．（2023·全国·高一专题练习）在直角梯形中，，，，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上或圆内移动，设，则最大值是 .
【能力提升】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）在边长为1的正方形中，动点在以点为圆心且与相切的圆上.若，则的最大值是
A．3B．C．D．4
2．（2022·全国·高三专题练习）在正方形中，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·湖北武汉·高三阶段练习）如图所示，在正六边形中，点是内（包括边界）的一个动点，设，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·浙江绍兴·浙江省柯桥中学校考模拟预测）在矩形中，，，动点在以为圆心且与相切的圆上，若，设的最大值为，最小值为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）在正六边形中，点是内（包括边界）的一个动点，设，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023春·四川成都·高一校联考期末）已知为的外心，为锐角且，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022秋·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）在直角梯形中，，，，，分别为，的中点，以为圆心，为半径的圆交于，点在弧上运动（如图）.若，其中，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）如图，四边形是边长为的正方形，，点为内（含边界）的动点，设，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·江西·校联考一模）如图，四边形是边长为1的正方形，，点为内（含边界）的动点，设，则的最大值等于（ ）
A．B．1C．D．
10．（2022秋·江西新余·高二开学考试）扇形中，，其中是的中点，是弧上的动点（含端点），若实数满足，则的取值范围是
A．B．C．D．
11．（2022春·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）在扇形中，，，为弧上的一个动点，且．则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
12．（2022·黑龙江·高三竞赛）如图，在直角梯形ABCD中，已知AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，动点P在以点C为圆心且与直线BD相切的圆内运动.若，则的取值范围是.
A．B．C．D．
13．（2022春·福建莆田·高一仙游一中阶段练习）在平行四边形中，，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上.若,则的最大值为( )
A．1B． C．D．3
14．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直角梯形中，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上或圆内移动，设，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
15．（2022秋·四川德阳·高二德阳五中校考开学考试）如图，在矩形中，，，点在以点为圆心且与相切的圆上，.若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
16．（2023·全国·高三专题练习）在直角梯形中， ， ， ， 分别为， 的中点，以为圆心， 为半径的圆交于，点在弧上运动（如图）.若，其中， ，则的取值范围是
A．B．C．D．
二、多选题
17．（2022秋·江苏南京·高二南京师大附中校考期中）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的可能取值有（ ）
A．B． C．3D．4
18．（2023·全国·高三专题练习）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则可能的整数值为（ ）
A．3B．1C．0D．
三、填空题
19．（2022·江西上饶·统考三模）在扇形中，，为弧上的一个动点.若，则的取值范围是 .
20．（2023·全国·高三专题练习）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最小值为 .
21．（2022春·上海宝山·高三上海交大附中校考开学考试）如图所示，，圆M与AB，AC分别相切于点D，E，AD=1，点P是圆M及其内部任意一点，且，则的取值范围是
22．（2023春·上海青浦·高三上海市青浦高级中学校考阶段练习）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为 ．
23．（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形是边长为1的正方形，点D在的延长线上，且，点P是(含边界)的动点，设，则的最大值为 ．
24．（2022秋·福建三明·高三三明一中校考阶段练习）在扇形中，，为弧上的动点，若，则的取值范围为 ．
25．（2023·全国·高三专题练习）在扇形中，，为弧上的一动点，若，则的取值范围是 ．
26．（2023·全国·高一专题练习）如图,在扇形OAB中,,C为弧AB上的一个动点.若，则的取值范围是 ．
27．（2022·全国·高三专题练习）在扇形中，，，C为弧上的一个动点，若，则的取值范围是 .
28．（2022秋·福建三明·高二三明一中校考开学考试）如图，在扇形中，，C为弧AB上的一个动点，若，则的取值范围是 .
29．（2022秋·江西南昌·高三南昌市第十九中学校考阶段练习）在边长为1的正方形ABCD中，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，若，则的最大值为 .
30．（2023·全国·高一专题练习）如图，在直角梯形中，，，，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上或圆内移动，设，则取值范围是 ．
第04讲 平面向量系数和（等和线）问题
（高阶拓展）（核心考点精讲精练）
平面向量与代数、几何融合考查的题目综合性强，难度大，考试要求高。
平面向量是有效连接代数和几何的桥梁，已成为高考数学的一个命题热点。
近年，高考、模考中有关“系数和（等和线）定理”背景的试题层出不穷，学生在解决此类问题时，往往要通过建系或利用角度与数量积处理，结果因思路不清、解题繁琐，导致得分率不高，而向量三点共线定理与等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数运算转化为距离的比例运算，数形结合思想得到了有效体现，同时也为相关问题的解决提供了新的思路，大家可以学以致用
知识讲解
如图，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知：
存在，使得
下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①若时，则射线与无交点，由知，存在实数，使得
而，所以，于是
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②若时，
（i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则
，不妨设与的相似比为
由三点共线可知：存在使得：
所以
（ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在存在使得：
所以
于是
综合上面的讨论可知：图中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。
我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过作边的垂线，设点在上的射影为，直线交直线于点，则 (的符号由点的位置确定)，因此只需求出的范围便知的范围
考点一、“x+y”或“λ+μ”型综合
1．（全国·高考真题）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为
A．3B．2C．D．2
【答案】A
【法一：系数和】
分析：如图 ，
由平面向量基底等和线定理可知，当等和线与圆相切时， 最大，此时
故选 .
【法二：坐标法】
【详解】如图所示，建立平面直角坐标系.
设,
易得圆的半径，即圆C的方程是，
，若满足，
则，，所以，
设，即，点在圆上，
所以圆心到直线的距离，即，解得，
所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A.
【点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
2，（衡水中学二模）边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段(含短点)上运动，是圆上及其内部的动点，设向量，则的取值范围是（ ）
分析:如图，设，由等和线结论，.此为的最小值；
同理，设，由等和线结论，.此为的最大值.
综上可知.
在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，
若，则的最大值为( )
解：如图所示：
过作的垂线，垂足为，则，当三点共线时，高线最长，即
如图，正六边形，是内（包括边界）的动
点，设，则的取值范围是____________
解：连接因为正六边形，由对称性知道
，设与交于点，与交于点，
当在上时，在上射影最小为；
当与重合时，在上射影最大为；
则
设则
则
如图在直角梯形中，，，，动点在以为圆心，且与直线相切的圆内运动，设
则的取值范围是____________
解：设圆与直线相切于点，过作于，作直线，且直线与圆相切与，连，则过圆心，且，由图可知，对圆内任意一点
在直线上的射影长度满足：，
又，
所以
而，所以
考点二、“mx+ny”或“mλ+nμ”型综合
已知是内一点,且,点在内(不含边界),若,则的取值范围是
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】因为是内一点,且，所以为的重心
在内(不含边界),且当与重合时,最小,
此时
所以,即
当与重合时,最大,此时
所以,即
因为在内且不含边界
所以取开区间,即.
已知为边长为2的等边三角形，动点在以为直径的半圆上.若，则的取值范围是__________
答案:
【解析】如图,取中点为,
显然,当与重合时,取最小值1.
将平行移动至与相切处,
为切点时,取最大值.
延长交于,易知.
由等和线及平行截割定理,.
所以的最大值为.
故的取值范围是.
若点在以为圆心,6为半径的弧上,且,则的取值范围为______
【解析】令,
则,
即,
其中.
由知点在线段上,如下图:
由于在中,,
且点在线段上(含端点,
因此,其中是边上的高.
可得.
可得.
所以,.
再由
可知.
设长方形的边长分别是,点是内(含边界)的动点,设,则的取值范围是_________
解:如图,取中点,则
此时的等和线为平行于的直线显然,当点与点重合时,最小为1,当点与重合时,最大,
由于,
所以,
于是的最大值为
所以的取值范围是.
考点三、“x-y”或“λ-μ”型综合
如图,已知为锐角三角形的外心,,且,求的取值范围？
解:
作圆的直径,则点在劣弧上运动.于是.其中.
考虑到问题涉及的代数式为,为了利用向量分解的系数和的几何意义,
将条件转化为.
此时可知连接向量的终点与向量的终点的直线即等系数和线,于是.
依次作出其余等系数和线,可得的取值范围是.
1．（2020·全国·高三专题练习）在矩形ABCD中，，，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若，则的最小值为（ ）
A．B．1C．-1D．
【答案】C
【解析】以A为原点，直线AB，AD为x，y轴建立平面直角坐标系，求出圆的标准方程，可得的坐标的参数形式，再由用坐标表示，这样就可表示为的三角函数，由三角函数恒等变换可求得其最小值．
【详解】以A为原点，直线AB，AD为x，y轴建立平面直角坐标系，则，，
直线，圆C与直线BD相切，所以圆C的半径，圆C的方程为，
设点，即，
又，
∴，
所以.
即时，取得最小值．
故选：C．
【点睛】本题考查向量的线性运算，解题关键是建立平面直角坐标系，把向量用两种不同方法表示，从而把表示为参数的三角函数，利用三角函数知识求得最小值．
考点四、“mx-ny”或“mλ-nμ”型综合
1．（2023·浙江·高三专题练习）如图，在直角梯形中， ， ∥， ， ，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】建立直角坐标系，将由点坐标转化后数形结合求解
【详解】以点为坐标原点， 方向为x,y轴正方向建立直角坐标系，则，
，设，则，解得，
故，即，
数形结合可得当时，取最小值2，
当直线与圆相切时，，取得最大值 .
故选：B
2．（2022春·安徽六安·高三阶段练习）在直角梯形中，，∥，，、分别为、的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上变动，（如图所示），若，其中，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】如图以为轴建立直角坐标系，设，则可表示出的坐标，可列出关于的不等式组，表示出，利用三角函数恒等变换公式化简，从而可求得结果
【详解】如图以为轴建立直角坐标系，则，，，，，，所以，，
设，
因为
所以，
所以，
解得，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，即，
故答案为：
1．（2023·四川·校联考三模）在直角梯形中，，，，，分别为，的中点，以为圆心，为半径的半圆分别交及其延长线于点，，点在上运动（如图）.若，其中，，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据直角坐标系，根据向量的坐标运算，即可表达出，进而用辅助角公式以及三角函数的性质即可求解.
【详解】
分别以所在直线为轴，轴，方向为正方向建立直角坐标系，知,
设，由得：，即 ,
则，
由可得：，则，故.
则的取值范围是 .
故选：C
考点五、系数和（等和线）的综合应用
1．（2023·全国·高三专题练习）设是的外心(三角形外接圆的圆心)．若，则的度数等于( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将向量式两边平方，结合三角形外心性质和已知条件可得，同理可得，然后根据夹角公式可得.
【详解】∵为的外心，
∴，
又
∴
∴，同理
故，
又
∴.
故选：C.
2．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）在直角梯形中，，，，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上移动，设，则最大值是 .
【答案】4
【分析】建立直角坐标系，写出点的坐标，求出BD的方程，求出圆的方程，设出，求出三个向量的坐标，用P的坐标表，则，根据直线AP:与有交点,求出范围．
【详解】解：以为原点，分别以方向为轴，建立如图所示直角坐标系：
所以，，，，所以，，
因为圆与直线相切，而，圆心，
所以半径，所以圆：，
设,则，，
又
所以，则，所以
所以表示坐标原点A与点P两点之间连线的斜率的2倍，
因为动点在圆上移动，所以直线AP:与有交点，
则圆心到的距离为
解得:，则
所以，则最大值是4.
故答案为：4．
3．（2022秋·江苏苏州·高一校考阶段练习）如图，在正方形中，为的中点，是以为圆心，为半径的圆弧上的任意一点，设，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，可得点轨迹，从而可设，；利用向量的坐标运算可构造方程求得，将所求式子整理为；令，；利用导数可求得当时，取得最小值，利用同角三角函数平方关系可构造方程求得，代入可求得最小值.
【详解】以为坐标原点可建立如下图所示的平面直角坐标系
设，则，，，，
，
由题意可得，点轨迹方程为：
设，
由得：，解得：
设，
当时，；当时，
当时，取最小值
由得：
即当，时，取最小值
即的最小值为
本题正确结果：
【点睛】本题考查平面向量在几何中的应用，利用导数求解函数的最值问题；解题关键是能够通过建立平面直角坐标系的方式将问题转化为函数最值的求解，从而利用导数来确定最值取得的情况，属于难题.
1．（2022春·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考期末）已知点是的外接圆圆心, .若存在非零实数使得且,则的值为
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据且判断出与线段中点三点共线，由此判断出三角形的形状，进而求得的值.
【详解】由于，由于，所以与线段中点三点共线，根据圆的几何性质可知直线垂直平分，于是是以为底边的等腰三角形，于是，故选D.
【点睛】本小题主要考查平面向量中三点共线的向量表示，考查圆的几何性质、等腰三角形的几何性质，属于中档题.
2．（2022·全国·高一专题练习）如图，在正方形中，为的中点，为以为圆心，为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，正方形的边长为1，求出各点坐标，设，，由列方程，利用和表示和，再由三角函数的性质可得的最小值.
【详解】
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
设正方形的边长为1，则，，，，
设，，
因为，，
所以，
所以，解得：，
所以，
令，可知当时，函数单调递增，
所以当时，的最小值为，
故答案为：.
3．（2023·全国·高一专题练习）在直角梯形中，，，，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上或圆内移动，设，则最大值是 .
【答案】
【分析】建立合适的直角坐标系，求出各个点的坐标，根据点到直线的距离公式求得圆的方程，再求出点坐标，建立关于的不等式，令代入不等式，根据判别式大于零可得的范围，化简为关于的二次函数，开口向下，可取得最大值，求出最大值时的值可证明其存在，即可得出结果.
【详解】解：以为原点，分别以方向为轴，建立如图所示直角坐标系：
所以，，，，所以，，
因为圆直线相切，而，圆心，
所以半径，所以圆：，
因为，
即，因为动点在圆上或圆内移动，
所以，设，则，
所以不等式可化为：，
所以，易得不等式有解，则，
所以，即，解得，
所以原式
，
所以当，，即，时，.
故答案为：
【点睛】思路点睛：该题考查向量结合直线与圆的综合应用，属于难题，关于该题的思路有：
（1）图形比较规则，建立直角坐标系来解决向量问题；
（2）得到关于的不等式中没有，所以取，建立之间的关系；
（3）用判别式求得的范围，化简所求式子至二次函数的形式；
（4）根据二次函数的最值及的范围求出最值.
【能力提升】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）在边长为1的正方形中，动点在以点为圆心且与相切的圆上.若，则的最大值是
A．3B．C．D．4
【答案】A
【分析】以为原点，以，所在的直线为，轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点的坐标为，，根据，求出，，根据三角函数的性质即可求出最值
【详解】如图：以为原点，以，所在的直线为，轴建立如图所示的坐标系，
则，，，，
动点在以点为圆心且与相切的圆上，
设圆的半径为，
，，，
圆的方程为，
设点的坐标为，，
，
即，=，，，，，，，，故的最大值为3，
故选：A.
【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是设点的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．
2．（2022·全国·高三专题练习）在正方形中，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设正方形的边长为，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，可得出圆的方程为，可设点的坐标为，根据向量的坐标运算可将用的三角函数表示，利用辅助角公式和正弦函数的有界性可求出的最大值.
【详解】设正方形的边长为，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点、、、，直线的方程为，即，
点到直线的距离为，
则以点为圆心且与直线相切的圆的方程为，
设点的坐标为，由，
得，，
所以，，
因此，的最大值为.
故选：C.
【点睛】本题考查利用平面向量的基本定理求参数和的最小值，利用圆的有界性结合圆的参数方程来求解是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
3．（2022秋·湖北武汉·高三阶段练习）如图所示，在正六边形中，点是内（包括边界）的一个动点，设，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】以直线FB为x轴，线段FB的中垂线为y建立平面直角坐标系，结合已知求出点P的坐标，再由点P所在区域求解作答.
【详解】在正六边形中，以直线FB为x轴，线段FB中垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图，
令，则点，
因此，因，则，
于是得点，又点是内（包括边界）的一个动点，
显然点P在直线及上方，点P纵坐标最大不超过3，即有，解得，
所以的取值范围是.
故选：B
4．（2022·浙江绍兴·浙江省柯桥中学校考模拟预测）在矩形中，，，动点在以为圆心且与相切的圆上，若，设的最大值为，最小值为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意建立直角坐标系，求出各个点的坐标进而求，，的坐标，再结合直线与圆相切的性质求出半径，再设出点的坐标求出关于的代数式，结合正弦型函数的图象与性质即可求出最大值与最小值，从而求出的值．
【详解】解：如图所示，以为原点建立平面直角坐标系
，，，，
直线，圆方程为：，
又，，
则，，，，
圆与直线相切，则半径．
点的坐标可表示为，
则，
当时，有最大值，
当有最小值，
所以．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆的标准方程，直线和圆的方程的应用，属于中档题．
5．（2023·全国·高三专题练习）在正六边形中，点是内（包括边界）的一个动点，设，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为为动点，所以不容易利用数量积来得到的关系，因为六边形为正六边形，所以建立坐标系各个点的坐标易于确定，
可得：，则，所以设，则由可得：，因为在内，且，所以所满足的可行域为，代入可得：，通过线性规划可得：.
6．（2023春·四川成都·高一校联考期末）已知为的外心，为锐角且，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】依题意建立直角坐标系，设外接圆的半径，从而求得所需各点坐标，进而利用向量相等求得点坐标，代入外接圆的方程得到，由此利用基本不等式即可得解.
【详解】以边所在的直线为轴，边的垂直平分线为轴建立直角坐标系，如图，
（为边的中点），由外接圆的性质得，
因为为锐角且，所以，
设外接圆的半径，则，
因为，所以，，
所以，，，设，
则外接圆的方程为：，
因为，
所以.
则，解得，
则，
代入外接圆方程得： ，整理得：，
由基本不等式得：，当且仅当取等号.
化简得：，解得或，
由图知：，所以，故的最大值为.
故选：D.
7．（2022秋·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）在直角梯形中，，，，，分别为，的中点，以为圆心，为半径的圆交于，点在弧上运动（如图）.若，其中，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】建立空间直角坐标系，求得，，，，由，得到，用表示，利用辅助角公式化简，再利用三角函数性质求解.
【详解】建立如图所示直角坐标系：
则，
所以，，，，
因为，
所以，
所以，
解得，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以的取值范围是.
故选：D
【点睛】方法点睛：（1）用平面向量解决平面几何问题时，在便于建立直角坐标系的情况下建立平面直角坐标系，可以使向量的运算更简便一些．在解决这类问题时，共线向量定理和平面向量基本定理起主导作用．
（2）解决平面向量与三角函数问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决.
8．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）如图，四边形是边长为的正方形，，点为内（含边界）的动点，设，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】以为原点，为轴建立平面直角坐标系，设，利用求出，将求的最大值转化为求的最大值，根据线性规划可求得结果.
【详解】以为原点，为轴建立如图所示的平面直角坐标系：
因为四边形是边长为的正方形，，
所以，，，
，，
所以，
设，则，所以，
所以，即求的最大值，
因为点为内（含边界）的动点，
所以由图可知，平移直线到经过点时，取得最大值，
所以的最大值是.
故选：D
【点睛】关键点点睛：建立平面直角坐标系，转化为线性规划求解是解题关键.
9．（2022·江西·校联考一模）如图，四边形是边长为1的正方形，，点为内（含边界）的动点，设，则的最大值等于（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【分析】建立平面直角坐标系，求出，由数形结合，利用线性规划求最值即可得解.
【详解】以为原点，以，所在直线分别为，轴建立直角坐标系，如图，
设点，
∵，则，
所以，，，由于点为内（包含边界），
所以目标函数为 ，斜率，
因为，
所以如图示，当点为点时，取得最大值，其最大值为，
故选：D．
10．（2022秋·江西新余·高二开学考试）扇形中，，其中是的中点，是弧上的动点（含端点），若实数满足，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】试题分析：以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立直角坐标系，设，，，设在圆，,所以，所以，设，则，当时，的最大值为，当在点时，时，取得最小值为，故选D．
考点：平面向量的基本定理及其意义．
【方法点晴】本题主要考查了平面向量的坐标表示及其运算、平面向量的基本定理的应用、圆的参数方程、辅助角公式等知识点的综合应用，解答中有，得，所以，设，则是解答问题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．
11．（2022春·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）在扇形中，，，为弧上的一个动点，且．则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，令，则， 则，易知为减函数，即可得出结果.
【详解】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
令，则，
因为，则，,，
又，
则，
则，
则，
又，
易知为减函数，
由单调性易得其值域为.
故选：B.
12．（2022·黑龙江·高三竞赛）如图，在直角梯形ABCD中，已知AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，动点P在以点C为圆心且与直线BD相切的圆内运动.若，则的取值范围是.
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】为求的最值，不妨假设点 在 上，易知，的半径为.故：
，
.
由点在内，知.
13．（2022春·福建莆田·高一仙游一中阶段练习）在平行四边形中，，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上.若,则的最大值为( )
A．1B． C．D．3
【答案】D
【分析】由题意结合平面向量数量积的运算法则整理计算即可求得最终结果.
【详解】由，，，得，
所以∠ABD=∠CDB=90°，故圆C与BD相切于点D，如图，
又，所以.
所以.
△ABC中，由余弦定理可得：
，，
据此可得，
当与方向相同时，取得最大值：，
所以的最大值是3.
故选：D.
14．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直角梯形中，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上或圆内移动，设，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由直角梯形可知依直角建立坐标系，则，直线，圆的半径
设，由可得：
在圆内
设，则
，其中
由可知
，且
所以.
15．（2022秋·四川德阳·高二德阳五中校考开学考试）如图，在矩形中，，，点在以点为圆心且与相切的圆上，.若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出圆的半径，然后以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，利用平面向量的坐标运算求出、的值，即可得解.
【详解】设圆的半径为，则，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则、、、，
，，，
由，得，
所以，，解得，因此，.
故选：B.
16．（2023·全国·高三专题练习）在直角梯形中， ， ， ， 分别为， 的中点，以为圆心， 为半径的圆交于，点在弧上运动（如图）.若，其中， ，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（2，2），E（2，1），F（1，1.5），P（csα，sinα）（0≤α），由λμ得，（csα，sinα）＝λ（2，1）+μ（﹣1，），λ，μ用参数α进行表示，利用辅助角公式化简，即可得出结论．
【详解】解：建立如图所示的坐标系，
则A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（2，2），E（2，1），F（1，1.5），
P（csα，sinα）（0≤α），
由λμ得，（csα，sinα）＝λ（2，1）+μ（﹣1，）
⇒csα＝2λ﹣μ，sinα＝λ
⇒λ，
∴6λ+μ＝6（）2（sinα+csα）＝2sin（）
∵，∴sin（）
∴2sin（）∈[2，2]，即6λ+μ的取值范围是[2，2]．
故选D．
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查学生的计算能力，正确利用坐标系是关键．属于中档题．
二、多选题
17．（2022秋·江苏南京·高二南京师大附中校考期中）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的可能取值有（ ）
A．B． C．3D．4
【答案】AC
【分析】建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，用坐标表示，用同角三角函数的平方关系换元，转化为三角函数的最值问题.
【详解】以为圆点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
则由已知有：，，，，即在圆上，
所以有，则．
故选：AC
18．（2023·全国·高三专题练习）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则可能的整数值为（ ）
A．3B．1C．0D．
【答案】AB
【分析】建系后利用坐标对应关系，结合圆的三角换元，表示出，利用三角函数最值即可求解.
【详解】
以点为原点，建立直角坐标系，则，，
所以,,
圆的半径为，
所以圆，
所以圆上点 ，
所以，
因为，
所以,
所以,
所以，其中，.
所以,
所以，
即，
所以可能的整数值为：1,2,3.
故答案为：AB.
三、填空题
19．（2022·江西上饶·统考三模）在扇形中，，为弧上的一个动点.若，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】不妨设，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，令，则， 则，再结合三角函数值域的求法求解即可.
【详解】解：由题意可知，在扇形中，，为弧上的一个动点.
不妨设，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
令，则，，,，
又，
则，则，
则，
又，
则，
则，
即，
故答案为：.
【点睛】本题考查了三角恒等变换的辅助角的应用，重点考查了三角函数值域的求法，属中档题.
20．（2023·全国·高三专题练习）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最小值为 .
【答案】1
【分析】建立坐标系，利用已知条件求得的关系，然后利用三角换元求解即可.
【详解】以为坐标原点，所在的直线为轴，轴，建立坐标系，
则，，，，
因为，
所以，又的方程为，
且到的距离为，
所以点为圆心且与相切的圆的方程为，
又在圆上，所以，
令，，
所以.
故答案为：1.
【点睛】本题考查向量的坐标运算，圆方程的求解，以及利用三角恒等变换化简三角函数.
21．（2022春·上海宝山·高三上海交大附中校考开学考试）如图所示，，圆M与AB，AC分别相切于点D，E，AD=1，点P是圆M及其内部任意一点，且，则的取值范围是
【答案】
【分析】建立直角坐标系，求出圆M的方程，则点P在圆M内或其圆周上，根据点P的范围，将原问题转化为线性规划求 目标函数的最大值和最小值问题.
【详解】如图以A为原点直线AB为x轴建立直角坐标系：
由题意 ， ， ，
过点D作AB的垂线，过点E作AC的垂线，两垂线的交点即为圆心M，在 中，
， ， ，圆M的半径为 ；
设 ，则P点圆M内或圆周上，
，， ，由题意 ， ，
， ，即是求z的取值范围，也就是求z的最大值和最小值，
根据几何意义，当直线 与圆M相切时z取最值，
.此时到直线 的距离为 ，
所以z的范围为；
故答案为：.
22．（2023春·上海青浦·高三上海市青浦高级中学校考阶段练习）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为 ．
【答案】
【详解】分析：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P的坐标为（csθ+1，sinθ+2），根据=λ+μ，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值．
详解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，
则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），
∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，
设圆的半径为r，
∵BC=2，CD=1，
∴BD==
∴BC•CD=BD•r，
∴r=，
∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=，
设点P的坐标为（csθ+1，sinθ+2），
∵=λ+μ，
∴（csθ+1，sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），
∴csθ+1=λ，sinθ+2=2μ，
∴λ+μ=csθ+sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，
∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，
∴1≤λ+μ≤3，
故λ+μ的最大值为3，
故答案为：3．
点睛：本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是设点P的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．
23．（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形是边长为1的正方形，点D在的延长线上，且，点P是(含边界)的动点，设，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】根据平面向量基本定理及向量共线定理即可求解.
【详解】当点P位于B点时，过点B作，交的延长线于G，H，
则，且，
，，
所以.
故答案为：.
24．（2022秋·福建三明·高三三明一中校考阶段练习）在扇形中，，为弧上的动点，若，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】不妨设，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，令，则， 则，易知为减函数，即可得出结果.
【详解】由题意可知，在扇形中，，为弧上的一个动点.
不妨设，
以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
令，
则，，,，
又，
则，
则，
则，
又，
易知为减函数，
由单调性易得其值域为.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算及三角变换.属于中档题.
25．（2023·全国·高三专题练习）在扇形中，，为弧上的一动点，若，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】以O为原点，分别为x，y轴正方向建立平面直角坐标系.向量坐标化进行坐标运算，利用三角函数求出的取值范围.
【详解】以O为原点，分别为x，y轴正方向建立平面直角坐标系.
则.不妨设.
因为，所以，解得：，
所以.
因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递减.
所以当时最大；当时最小.
所以的取值范围是.
故答案为：.
26．（2023·全国·高一专题练习）如图,在扇形OAB中,,C为弧AB上的一个动点.若，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由，两边同时平方可得到关于x,y的关系式，求得y关于x的函数关系，将x+3y表示为x的函数，进而考察函数的单调性，根据x的范围求得结论.
【详解】如图，过C分别作OB,OA的平行线，交OA,OB与M,N，不妨设圆半径为1.
则，∵，
，由图可知.
将两边平方得
1
所以,显然
得:,（负值舍去),
故.
不妨令
显然在上单调递减,,得.
故答案为：[1,3].
【点睛】本题考查平面向量的基本定理，平面向量的数量积，利用函数思想求最值.由已知得到x,y的关系式后，将所求式子表示为x的函数，利用函数的单调性是关键.
27．（2022·全国·高三专题练习）在扇形中，，，C为弧上的一个动点，若，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标表示，再利用三角函数的有界性即求.
【详解】如图所示，建立平面直角坐标系以O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则，，
设，则，
由得
从而
则，易知，
故在上单调递增，
∴，.
故.
故答案为：
28．（2022秋·福建三明·高二三明一中校考开学考试）如图，在扇形中，，C为弧AB上的一个动点，若，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则根据题意可知，，，设，根据把、用表示，然后可求得的取值范围．
【详解】解：如图所示，以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
则根据题意可知，，，设，．
由，得，，
，
点在弧上由运动，在，上逐渐变大，变小，逐渐变大，
当时取得最大值4，当时取得最小值．
的取值范围是，．
故答案为：．
29．（2022秋·江西南昌·高三南昌市第十九中学校考阶段练习）在边长为1的正方形ABCD中，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，若，则的最大值为 .
【答案】3
【分析】根据题意，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立坐标系，可得A、B、C、D的坐标以及直线BD的方程，进而可得圆C的方程，据此设P的坐标为；由向量的坐标公式可得的坐标，又由向量的坐标计算公式可得，进而可得的表达式，相加后分析可得答案．
【详解】解：根据题意，如图，
以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立坐标系：
则，
则BD的方程为x＋y＝1，
点C为圆心且与BD相切的圆C，其半径，
则圆C的方程为；
P在圆C上，设P的坐标为，
则，
若，则，
则有；
，
即的最大值为3；
故答案为：3．
【点睛】本题考查直线与圆方程的应用，涉及平面向量的基本定理，注意建立坐标系，分析P的坐标与的关系，是中档题．
30．（2023·全国·高一专题练习）如图，在直角梯形中，，，，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上或圆内移动，设，则取值范围是 ．
【答案】
【分析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，先求出以点为圆心，且与直线相切的圆方程，设，再根据，可求出点的坐标，再根据在圆内或圆上，可得关于的一个不等关系，设，进而可得出答案.
【详解】如图所示以为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则，，，，
直线的方程为，化简得，
点到的距离，
可得以点为圆心，且与直线相切的圆方程为，
设，则，，，
，
，
可得且，的坐标为，
在圆内或圆上，
，
设，得，
代入上式化简整理得，
若要上述不等式有实数解，
则，
化简得，
解得，
即，
取值范围是．
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：利用向量的坐标表示将点的坐标用表示是解决本题的关键.
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