高考数学一轮复习精品导学案(新高考)第28讲三角恒等变换(2)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习精品导学案(新高考)第28讲三角恒等变换(2)(原卷版+解析)，共20页。试卷主要包含了 要注意对“1”的代换等内容，欢迎下载使用。

知识梳理
1. 在三角函数式的化简、求值、证明等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成同名的三角函数，如遇到正切、正弦、余弦并存的情况，一般要切化弦．
2. 要注意对“1”的代换：
如1＝sin2α＋cs2α＝taneq \f(π,4)，还有1＋csα＝2cs2eq \f(α,2)，1－csα＝2sin2eq \f(α,2).
3. 对于sinαcsα与sinβ±csα同时存在的试题，可通过换元完成：
如设t＝sinα±csα，则sinαcsα＝±eq \f(t2－1,2).
4. 要注意角的变换，熟悉角的拆拼技巧，理解倍角与半角是相对的，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，eq \f(α,3)是eq \f(2α,3)的半角，eq \f(α,2)是eq \f(α,4)的倍角等．
5. 用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式：
(1)y＝asinx＋bcsx＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中csφ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，sinφ＝eq \f(b,\r(a2＋b2)).则－eq \r(a2＋b2)≤y≤eq \r(a2＋b2).
(2)y＝asin2x＋bsinxcsx＋ccs2x可先降次，整理转化为上一种形式．
(3)y＝eq \f(asinx＋b,csinx＋d)(或y＝eq \f(acsx＋b,ccsx＋d))
可转化为只有分母含sinx或csx的函数式sinx＝f(y)的形式，由正、余弦函数的有界性求解．
6. 用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式：
(1)y＝asin2x＋bcsx＋c可转化为关于csx的二次函数式．
(2)y＝asinx＋eq \f(c,bsinx)(a，b，c＞0)，令sinx＝t，则转化为求y＝at＋eq \f(c,bt)(－1≤t≤1)的最值，一般可用基本不等式或单调性求解．
1、【2023年新高考1卷】 已知，则（ ）．
A. B. C. D.
2、【2021年新高考1卷】若，则（ ）
A．B．C．D．
3、【2018年新课标1卷文科】已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则
A．B．C．D．
4、【2018年新课标1卷文科】已知函数，则
A．的最小正周期为，最大值为
B．的最小正周期为，最大值为
C．的最小正周期为，最大值为
D．的最小正周期为，最大值为
1、若tan α＝eq \f(1,3)，tan(α＋β)＝eq \f(1,2)，则tan β＝ .
2、已知锐角α，β满足sin α＝eq \f(\r(5),5)，cs β＝eq \f(3\r(10),10)，则α＋β等于( )
A.eq \f(3π,4) B.eq \f(π,4)或eq \f(3π,4)
C.eq \f(π,4) D．2kπ＋eq \f(π,4)(k∈Z)
3、已知，，则的值为_______．
4、设为锐角，若，则的值为 ．
5、 （2022年福建诏安县模拟试卷）已知，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
考向一 变角的运用
例1、已知α为锐角，若cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝ eq \f(4,5)，求 sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,12)))的值．
变式1、（1）（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
（2）（2022·广东湛江·二模）若，，则___________.
变式2、（1）（2021·山东烟台市·高三二模）已知，，则的值为______．
（2）已知α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))，sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(24,25)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝________.
方法总结：所谓边角就是用已知角表示所求的角，要重点把握住它们之间的关系，然后运用有关公式进行求解。
考向二 求角
例2、已知锐角α，β满足sin α＝ eq \f(\r(5),5)，cs β＝ eq \f(3\r(10),10)，求α＋β的值．
变式1、已知α，β为锐角，且sin α＝ eq \f(\r(5),5)，cs β＝ eq \f(\r(10),10)，求α－β的值．
变式2、若sin 2α＝ eq \f(\r(5),5)，sin (β－α)＝ eq \f(\r(10),10)，且α∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，π))，β∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，则α＋β的值为__________．
变式3、（1）（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知且，则=（ ）
A．B．
C．D．或
（2）（2022·河北张家口·高三期末）（多选题）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
方法总结：求角的步棸：1、求角的某一个三角函数值，（结合具体情况确定是正弦、余弦还是正切）2、确定角的范围（范围尽量缩小）3、根据范围和值确定角的大小。
考向三 公式的综合运用
例3、已知函数f(x)＝sin (x＋θ)＋a cs (x＋2θ)，其中a∈R，θ∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))).
(1) 当a＝ eq \r(2)，θ＝ eq \f(π,4)时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；
(2) 若f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝0，f(π)＝1，求a，θ的值．
变式1、(1) 函数f(x)＝sin (x＋φ)－2sin φcs x的最大值为 ；
(2) 函数f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))－2 eq \r(2)sin2x的最小正周期是 ．
变式2、（2022·山东青岛·高三期末）（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．是图象的一条对称轴
C．的最小正周期为
D．将的图象向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称
方法总结：降幂公式是解决含有cs2x、sin2x式子的问题较常用的变形之一，它体现了逆用二倍角公式的解题技巧．
1、（2022·广东韶关·一模）若，则__________.
2、（2022年福建连城县模拟试卷）已知，且，则（ ）
A. B.
C. D.
3、（2022年广东揭阳市模拟试卷）已知，则
A. B. C. D. .
4、（2022年福建上杭县模拟试卷）已知，，则（ ）
A. B. C. D. 0
5、（2022·江苏宿迁·高三期末）已知，则____________.
6、（2022·江苏通州·高三期末）若，则α的一个可能角度值为__________.
7、（2022·江苏如东·高三期末）写出一个满足tan20°＋4csθ＝的θ＝_________.
8、（2022·江苏南京·模拟预测）已知，．
(1)求的值；
(2)若，，求的值．
第28讲 三角恒等变换（2）
知识梳理
1. 在三角函数式的化简、求值、证明等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成同名的三角函数，如遇到正切、正弦、余弦并存的情况，一般要切化弦．
2. 要注意对“1”的代换：
如1＝sin2α＋cs2α＝taneq \f(π,4)，还有1＋csα＝2cs2eq \f(α,2)，1－csα＝2sin2eq \f(α,2).
3. 对于sinαcsα与sinβ±csα同时存在的试题，可通过换元完成：
如设t＝sinα±csα，则sinαcsα＝±eq \f(t2－1,2).
4. 要注意角的变换，熟悉角的拆拼技巧，理解倍角与半角是相对的，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，eq \f(α,3)是eq \f(2α,3)的半角，eq \f(α,2)是eq \f(α,4)的倍角等．
5. 用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式：
(1)y＝asinx＋bcsx＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中csφ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，sinφ＝eq \f(b,\r(a2＋b2)).则－eq \r(a2＋b2)≤y≤eq \r(a2＋b2).
(2)y＝asin2x＋bsinxcsx＋ccs2x可先降次，整理转化为上一种形式．
(3)y＝eq \f(asinx＋b,csinx＋d)(或y＝eq \f(acsx＋b,ccsx＋d))
可转化为只有分母含sinx或csx的函数式sinx＝f(y)的形式，由正、余弦函数的有界性求解．
6. 用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式：
(1)y＝asin2x＋bcsx＋c可转化为关于csx的二次函数式．
(2)y＝asinx＋eq \f(c,bsinx)(a，b，c＞0)，令sinx＝t，则转化为求y＝at＋eq \f(c,bt)(－1≤t≤1)的最值，一般可用基本不等式或单调性求解．
1、【2023年新高考1卷】 已知，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答.
【详解】因为，而，因此，
则，
所以.
故选：B
2、【2021年新高考1卷】若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．
【详解】
将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
3、【2018年新课标1卷文科】已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据两点都在角的终边上，得到，利用，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得，从而得到，再结合，从而得到，从而确定选项.
【详解】
由三点共线，从而得到，
因为，
解得，即，
所以，故选B.
4、【2018年新课标1卷文科】已知函数，则
A．的最小正周期为，最大值为
B．的最小正周期为，最大值为
C．的最小正周期为，最大值为
D．的最小正周期为，最大值为
【答案】B
【解析】
【分析】
首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.
【详解】
根据题意有，
所以函数的最小正周期为，
且最大值为，故选B.
1、若tan α＝eq \f(1,3)，tan(α＋β)＝eq \f(1,2)，则tan β＝ .
【答案】 eq \f(1,7)
【解析】 tan β＝tan[(α＋β)－α]
＝eq \f(tanα＋β－tan α,1＋tanα＋βtan α)
＝eq \f(\f(1,2)－\f(1,3),1＋\f(1,2)×\f(1,3))＝eq \f(1,7).
2、已知锐角α，β满足sin α＝eq \f(\r(5),5)，cs β＝eq \f(3\r(10),10)，则α＋β等于( )
A.eq \f(3π,4) B.eq \f(π,4)或eq \f(3π,4)
C.eq \f(π,4) D．2kπ＋eq \f(π,4)(k∈Z)
【答案】 C
【解析】 由sin α＝eq \f(\r(5),5)，cs β＝eq \f(3\r(10),10)，
且α，β为锐角，
可知cs α＝eq \f(2\r(5),5)，sin β＝eq \f(\r(10),10)，
故cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β
＝eq \f(2\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)－eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)
＝eq \f(\r(2),2)，
3、已知，，则的值为_______．
【答案】3
【解析】．
4、设为锐角，若，则的值为 ．
【答案】
【解析】 因为为锐角，cs(=，∴sin(=，∴sin2(cs2(，所以sin(
5、 （2022年福建诏安县模拟试卷）已知，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
因为，则，所以，，
所以，.
故选：B.
考向一 变角的运用
例1、已知α为锐角，若cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝ eq \f(4,5)，求 sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,12)))的值．
【解析】 设β＝α＋ eq \f(π,6)，则β∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，
所以sin β＝ eq \f(3,5)，sin 2β＝2sin βcs β＝ eq \f(24,25)，
cs 2β＝2cs2β－1＝ eq \f(7,25)，
所以sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,12)))＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)－\f(π,4)))
＝sin （2β－ eq \f(π,4)）＝sin 2βcs eq \f(π,4)－cs 2βsin eq \f(π,4)＝ eq \f(17\r(2),50).
变式1、（1）（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
.
故选：C.
（2）（2022·广东湛江·二模）若，，则___________.
【答案】
【解析】因为，，
所以，
故答案为：
变式2、（1）（2021·山东烟台市·高三二模）已知，，则的值为______．
【答案】
【解析】，而，
∴，
∴.
故答案为：.
（2）已知α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))，sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(24,25)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝________.
【答案】 －eq \f(4,5)
【解析】 由题意知，α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)＜0，
所以cs(α＋β)＝eq \f(4,5)，因为β－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝－eq \f(7,25)，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（α＋β）－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))))
＝cs(α＋β)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＋sin(α＋β)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))
＝－eq \f(4,5).
方法总结：所谓边角就是用已知角表示所求的角，要重点把握住它们之间的关系，然后运用有关公式进行求解。
考向二 求角
例2、已知锐角α，β满足sin α＝ eq \f(\r(5),5)，cs β＝ eq \f(3\r(10),10)，求α＋β的值．
【解析】 因为α，β为锐角，且sin α＝ eq \f(\r(5),5)，cs β＝ eq \f(3\r(10),10)，
所以cs α＝ eq \r(1－sin2α)＝ eq \r(1－\f(1,5))＝ eq \f(2\r(5),5)，sinβ＝ eq \r(1－cs2β)＝ eq \r(1－\f(9,10))＝ eq \f(\r(10),10)，
所以cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β＝ eq \f(2\r(5),5)× eq \f(3\r(10),10)－ eq \f(\r(5),5)× eq \f(\r(10),10)＝ eq \f(\r(2),2).
由0＜α＜ eq \f(π,2)，0＜β＜ eq \f(π,2)，得0＜α＋β＜π.
又cs (α＋β)＞0，所以α＋β为锐角，
所以α＋β＝ eq \f(π,4).
变式1、已知α，β为锐角，且sin α＝ eq \f(\r(5),5)，cs β＝ eq \f(\r(10),10)，求α－β的值．
【解析】 因为α，β为锐角，
所以由sin α＝ eq \f(\r(5),5)，cs β＝ eq \f(\r(10),10)，
得cs α＝ eq \f(2\r(5),5)，sin β＝ eq \f(3\r(10),10)，所以α＜β，
所以－ eq \f(π,2)＜α－β＜0，
所以cs (α－β)＝ eq \f(2\r(5),5)× eq \f(\r(10),10)＋ eq \f(\r(5),5)× eq \f(3\r(10),10)＝ eq \f(\r(2),2)，
故α－β＝－ eq \f(π,4).
变式2、若sin 2α＝ eq \f(\r(5),5)，sin (β－α)＝ eq \f(\r(10),10)，且α∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，π))，β∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，则α＋β的值为__________．
【答案】 eq \f(7π,4)
【解析】 因为α∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，π))，所以2α∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，2π)).又sin 2α＝ eq \f(\r(5),5)，所以2α∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则α∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，故cs 2α＝－ eq \f(2\r(5),5).又β∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，所以β－α∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(5π,4)))，故cs (β－α)＝－ eq \f(3\r(10),10)，所以cs (α＋β)＝cs [2α＋(β－α)]＝cs 2α·cs (β－α)－sin 2αsin (β－α)＝－ eq \f(2\r(5),5)×（－ eq \f(3\r(10),10)）－ eq \f(\r(5),5)× eq \f(\r(10),10)＝ eq \f(\r(2),2).又α＋β∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，2π))，故 α＋β＝ eq \f(7π,4).
变式3、（1）（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知且，则=（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】C
【解析】因，则，
，
因，，则，又，有，
于是得，因此，，
所以.
故选：C
（2）（2022·河北张家口·高三期末）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【解析】，
故，
所以或，
故或.
又，所以或，
故选：BD.
方法总结：求角的步棸：1、求角的某一个三角函数值，（结合具体情况确定是正弦、余弦还是正切）2、确定角的范围（范围尽量缩小）3、根据范围和值确定角的大小。
考向三 公式的综合运用
例3、已知函数f(x)＝sin (x＋θ)＋a cs (x＋2θ)，其中a∈R，θ∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))).
(1) 当a＝ eq \r(2)，θ＝ eq \f(π,4)时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；
(2) 若f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝0，f(π)＝1，求a，θ的值．
【解析】 (1) 由题意，得f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))＋ eq \r(2)cs（x＋ eq \f(π,2)）＝ eq \f(\r(2),2)(sin x＋cs x)－ eq \r(2)sin x＝ eq \f(\r(2),2)cs x－ eq \f(\r(2),2)sin x＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)).
因为x∈[0，π]，所以 eq \f(π,4)－x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3π,4)，\f(π,4)))，
故f(x)在区间[0，π]上的最大值为 eq \f(\r(2),2)，最小值为－1.
(2) 由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝0，,f(π)＝1，))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs θ(1－2a sin θ)＝0，,2a sin2θ－sinθ－a＝1.))
由θ∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))知cs θ≠0，解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,θ＝－\f(π,6)．))
变式1、(1) 函数f(x)＝sin (x＋φ)－2sin φcs x的最大值为 ；
【答案】 1
【解析】 因为f(x)＝sin (x＋φ)－2sin φcs x＝sin x cs φ－cs x sin φ＝sin (x－φ)，且－1≤sin (x－φ)≤1，所以f(x)的最大值为1.
(2) 函数f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))－2 eq \r(2)sin2x的最小正周期是 ．
【答案】 π
【解析】f(x)＝ eq \f(\r(2),2)sin 2x－ eq \f(\r(2),2)cs 2x－ eq \r(2)(1－cs 2x)＝ eq \f(\r(2),2)sin 2x＋ eq \f(\r(2),2)cs 2x－ eq \r(2)＝sin （2x＋ eq \f(π,4)）－ eq \r(2)，所以T＝ eq \f(2π,2)＝π.
变式2、（2022·山东青岛·高三期末）（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．是图象的一条对称轴
C．的最小正周期为
D．将的图象向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称
【答案】AC
【解析】，A正确；
，由于在对称轴处函数值要取到最值，故B错误；
，C正确；
将的图象向左平移个单位后得
，其为偶函数，不关于原点对称，D错误.
故选：AC.
方法总结：降幂公式是解决含有cs2x、sin2x式子的问题较常用的变形之一，它体现了逆用二倍角公式的解题技巧．
1、（2022·广东韶关·一模）若，则__________.
【答案】
【分析】
先求出，利用两角差的正切公式即可求出.
【详解】
因为，所以，所以，所以.
故答案为：
2、（2022年福建连城县模拟试卷）已知，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
，，又，，
，
，
.
故选：A.
3、（2022年广东揭阳市模拟试卷）已知，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
，
解得，
，故.
4、（2022年福建上杭县模拟试卷）已知，，则（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】D
【解析】因为，
所以，所以，
所以，所以或，
因为，所以，所以，
所以
.
故选：D
5、（2022·江苏宿迁·高三期末）已知，则____________.
【答案】
【解析】
因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以，
所以，
故答案为：.
6、（2022·江苏通州·高三期末）若，则α的一个可能角度值为__________.
【答案】等答案较多
【解析】
则，故，或
故答案为：等均符合题意.
7、（2022·江苏如东·高三期末）写出一个满足tan20°＋4csθ＝的θ＝_________.
【答案】（答案不唯一）．
【解析】
，
因此（实际上）．
故答案为：（答案不唯一）．
8、（2022·江苏南京·模拟预测）已知，．
(1)求的值；
(2)若，，求的值．
【解析】
解：因为，，
又，所以，
所以.
(2)解：因为，
，
又因为，所以，
由（1）知，，
所以．
因为，，则，所以．