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    高考数学一轮复习精品导学案(新高考)第02讲常用逻辑用语(原卷版+解析)
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    高考数学一轮复习精品导学案(新高考)第02讲常用逻辑用语(原卷版+解析)

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    这是一份高考数学一轮复习精品导学案(新高考)第02讲常用逻辑用语(原卷版+解析),共22页。试卷主要包含了 充分条件与必要条件,全称量词与全称命题,存在量词与特称命题,已知p等内容,欢迎下载使用。

    1、 充分条件与必要条件
    (1)充分条件、必要条件与充要条件的概念
    (2)从集合的角度:
    若条件p,q以集合的形式出现,即A={x|p(x)},B={x|q(x)},则由A⊆B可得,p是q的充分条件,请写出集合A,B的其他关系对应的条件p,q的关系.
    提示 若AB,则p是q的充分不必要条件;
    若A⊇B,则p是q的必要条件;
    若AB,则p是q的必要不充分条件;
    若A=B,则p是q的充要条件;
    若A⊈B且A⊉B,则p是q的既不充分也不必要条件.
    2、全称量词与全称命题
    (1)全称量词:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词.
    (2)全称命题:含有全称量词的命题.
    (3)全称命题的符号表示:
    形如“对M中的任意一个x,有p(x)成立”的命题,用符号简记为∀x∈M,p(x).
    3、存在量词与特称命题
    (1)存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词.
    (2)特称命题:含有存在量词的命题.
    (3)特称命题的符号表示:
    形如“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”的命题,用符号简记为∃x0∈M,p(x0).
    1、【2022年浙江省高考】设,则“”是“”的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
    2、【2022年新高考北京高考】设是公差不为0的无穷等差数列,则“为递增数列”是“存在正整数,当时,”的( )
    A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
    C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
    3、【2021年乙卷文科】已知命题﹔命题﹐,则下列命题中为真命题的是( )
    A.B.C.D.
    1、命题“∀x≥0,tanx≥sinx”的否定为( )
    A.x0≥0,tanx0<sinx0 B.x0<0,tanx0<sinx0
    C.∀x≥0,tanx<sinx D.∀x<0,tanx<sinx
    2、【2022·广东省深圳市六校上学期第二次联考中学10月月考】
    已知条件,那么是的( )
    A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
    C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
    3、(2022·江苏宿迁·高三期末)不等式成立的一个充分条件是( )
    A.B.C.D.
    4、已知p:|x|≤m(m>0),q:-1≤x≤4,若p是q的充分条件,则m的最大值为________;若p是q的必要条件,则m的最小值为________.
    考向一 充要条件、必要条件的判断
    例1、(1)“”是“直线与直线平行”的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件
    C.充要条件D.既不充分也不必要条件
    (2)在中,“”是“为钝角三角形”的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件
    C.充要条件D.既不充分也不必要条件
    (3)“”是“复数为纯虚数”的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件
    C.充要条件D.既不充分也不必要条件
    变式1、(2022·湖北江岸·高三期末)“”是“”的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件
    C.充要条件D.既不充分也不必要条件
    变式2、(2022·山东济南·高三期末)已知函数的定义域为,则“是偶函数”是“是偶函数”的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件
    C.充要条件D.既不充分又不必要条件
    方法总结:充要条件的三种判断方法
    (1)定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断.
    (2)集合法:根据使p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.
    (3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题,
    考向二 充分、必要条件等条件的应用
    例2、(多选题)下列选项中,是的必要不充分条件的是
    A.;:方程的曲线是椭圆
    B.;:对,不等式恒成立
    C.设是首项为正数的等比数列,:公比小于0;:对任意的正整数,
    D.已知空间向量,1,,,0,,;:向量与的夹角是
    变式1、知集合A={x|x2-6x+8<0},B={x|(x-a)(x-3a)<0}.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数a的取值范围.
    变式2、已知p:|1- eq \f(x-1,3)|≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
    变式3、 已知p:|1- eq \f(x-1,3)|≤2,q:x2-2x+1-m2≤0,若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
    方法总结:充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意:
    (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
    考向三 含有量词的否定
    例3、(1)写出下列命题的否定,并判断真假.
    (1),都有;
    (2),;
    (3)至少有一个二次函数没有零点;
    (4)存在一个角,使得.
    (2)下列四个命题:
    ①∃x∈(0,+∞),;
    ②∃x∈(0,1),;
    ③∀x∈(0,+∞),eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x>;
    ④∀x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(1,3))),eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x<.
    其中真命题的序号为________.
    变式1、(2022·广东佛山·高三期末)设命题,则p的否定为( )
    A.B.C.D.
    变式2、(深圳市南山区期末试题)命题“存在无理数,使得是有理数”的否定为( )
    A. 任意一个无理数,都不是有理数B. 存在无理数,使得不是有理数
    C. 任意一个无理数,都是有理数D. 不存在无理数,使得是有理数
    方法总结:1、判定全称命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立;要判定存在性命题是真命题,只要在限定集合内找到一个x,使p(x)成立.
    2、全称(或存在性)命题的否定是将其全称(或存在)量词改为存在量词(或全称量词),并把结论否定.
    考向四 存在性问题与恒成立问题
    例4 已知函数f(x)=x+ eq \f(4,x),g(x)=2x+a.若∀x1∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2),1)),∃x2∈[2,3],使得f(x1)≥g(x2),求实数a的取值范围.
    变式1、已知函数f(x)=x+ eq \f(4,x),g(x)=2x+a,若∀x2∈[2,3],∃x1∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2),1)),使得f(x1)≥g(x2),求实数a的取值范围.
    变式2、若∀x∈(0,+∞),eq \f(4x\s\up6(2)+9,x)≥m,则实数m的取值范围为 .
    变式3、 若命题“存在x∈R,ax2+4x+a≤0”为假命题,则实数a的取值范围是________.
    方法总结:应用含有量词的命题求参数的策略:(1)对于全称量词命题(或)为真的问题实质就是不等式恒成立问题,通常转化为求的最大值(或最小值),即(或).(2)对于存在量词命题(或)为真的问题实质就是不等式能成立问题,通常转化为求的最小值(或最大值),即(或).
    1、(2022·河北深州市中学高三期末)已知,则“a,b的平均数大于1”是“a,b,c的平均数大于1”的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件
    C.充要条件D.既不充分也不必要条件
    2、(2022·山东德州·高三期末)已知向量,,则是为钝角的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
    3、(2022·山东烟台·高三期末)命题“,”的否定为( )
    A.,B.,
    C.,D.,
    4、(汕头市高三期末试题)已知集合,集合,则以下命题为真命题的是( )
    A. ,B. ,
    C. ,D. ,
    5、(2022·浙江绍兴·模拟预测)中,“”是“”的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件
    C.充要条件D.既不充分也不必要条件
    6、已知p:|1- eq \f(x-1,3)|≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),若q是p的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
    7、(2022·江苏扬州期中)(本小题满分10分)已知集合eq A={x|x\s\up6(2)-x≤0},记函数eq f(x)=\r(,1-ax\s\up6(2))(a>0)的定义域为集合B.
    (1)当a=1时,求A∪B;
    (2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,求实数a的取值范围.若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件
    p是q的充分不必要条件
    p是q的必要不充分条件
    p是q的充要条件
    p是q的既不充分也不必要条件
    第02讲 常用逻辑用语
    1、 充分条件与必要条件
    (1)充分条件、必要条件与充要条件的概念
    (2)从集合的角度:
    若条件p,q以集合的形式出现,即A={x|p(x)},B={x|q(x)},则由A⊆B可得,p是q的充分条件,请写出集合A,B的其他关系对应的条件p,q的关系.
    提示 若AB,则p是q的充分不必要条件;
    若A⊇B,则p是q的必要条件;
    若AB,则p是q的必要不充分条件;
    若A=B,则p是q的充要条件;
    若A⊈B且A⊉B,则p是q的既不充分也不必要条件.
    2、全称量词与全称命题
    (1)全称量词:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词.
    (2)全称命题:含有全称量词的命题.
    (3)全称命题的符号表示:
    形如“对M中的任意一个x,有p(x)成立”的命题,用符号简记为∀x∈M,p(x).
    3、存在量词与特称命题
    (1)存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词.
    (2)特称命题:含有存在量词的命题.
    (3)特称命题的符号表示:
    形如“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”的命题,用符号简记为∃x0∈M,p(x0).
    1、【2022年浙江省高考】设,则“”是“”的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
    【答案】A
    【解析】因为可得:
    当时,,充分性成立;
    当时,,必要性不成立;
    所以当,是的充分不必要条件.
    故选:A.
    2、【2022年新高考北京高考】设是公差不为0的无穷等差数列,则“为递增数列”是“存在正整数,当时,”的( )
    A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
    C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
    【答案】C
    【解析】设等差数列的公差为,则,记为不超过的最大整数.
    若为单调递增数列,则,
    若,则当时,;若,则,
    由可得,取,则当时,,
    所以,“是递增数列”“存在正整数,当时,”;
    若存在正整数,当时,,取且,,
    假设,令可得,且,
    当时,,与题设矛盾,假设不成立,则,即数列是递增数列.
    所以,“是递增数列”“存在正整数,当时,”.
    所以,“是递增数列”是“存在正整数,当时,”的充分必要条件.
    故选:C.
    3、【2021年乙卷文科】已知命题﹔命题﹐,则下列命题中为真命题的是( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【解析】由于,所以命题为真命题;
    由于在上为增函数,,所以,所以命题为真命题;
    所以为真命题,、、为假命题.
    故选:A.
    1、命题“∀x≥0,tanx≥sinx”的否定为( )
    A.x0≥0,tanx0<sinx0 B.x0<0,tanx0<sinx0
    C.∀x≥0,tanx<sinx D.∀x<0,tanx<sinx
    【答案】A
    【解析】由题意可知,命题“∀x≥0,tanx≥sinx”的否定为“x≥0,tanx<sinx”,故选项A正确
    2、【2022·广东省深圳市六校上学期第二次联考中学10月月考】
    已知条件,那么是的( )
    A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
    C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
    【答案】B
    【解析】∵,,∴:,∵:,∴,
    所以是的必要不充分条件,故选:B.
    3、(2022·江苏宿迁·高三期末)不等式成立的一个充分条件是( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【解析】或,
    因为或,
    所以不等式成立的一个充分条件是.
    故选:C
    4、已知p:|x|≤m(m>0),q:-1≤x≤4,若p是q的充分条件,则m的最大值为________;若p是q的必要条件,则m的最小值为________.
    【答案】1 4
    【解析】由|x|≤m(m>0),得-m≤x≤m.
    若p是q的充分条件⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(-m≥-1,m≤4))⇒0则m的最大值为1.
    若p是q的必要条件⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(-m≤-1,m≥4))⇒m≥4.
    考向一 充要条件、必要条件的判断
    例1、(1)“”是“直线与直线平行”的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件
    C.充要条件D.既不充分也不必要条件
    【答案】A
    【解析】若直线与直线平行,则,解得或,
    因为,因此,“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件.
    故选:A.
    (2)在中,“”是“为钝角三角形”的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件
    C.充要条件D.既不充分也不必要条件
    【答案】A
    【解析】由:
    若,则为钝角;
    若,则,
    此时,故充分性成立.
    △为钝角三角形,若为钝角,则不成立;
    ∴“”是“△为钝角三角形”的充分不必要条件.
    故选:.
    (3)“”是“复数为纯虚数”的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件
    C.充要条件D.既不充分也不必要条件
    【答案】C
    【解析】
    当时,,则为纯虚数
    可知“”是“复数为纯虚数”的充分条件;
    当复数为纯虚数时,,解得:
    可知“”是“复数为纯虚数”的必要条件;
    综上所述,“”是“复数为纯虚数”的充要条件
    故选:C
    变式1、(2022·湖北江岸·高三期末)“”是“”的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件
    C.充要条件D.既不充分也不必要条件
    【答案】D
    【解析】由,可得或,
    当时,此时,即充分性不成立;
    反之当时,,其中可为,此时,即必要性不成立,
    所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
    故选:D.
    变式2、(2022·山东济南·高三期末)已知函数的定义域为,则“是偶函数”是“是偶函数”的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件
    C.充要条件D.既不充分又不必要条件
    【答案】A
    【解析】
    【分析】
    根据偶函数的图像性质,结合充分,必要条件的定义进行判断
    【详解】
    偶函数的图像关于轴对称,奇函数图像关于原点对称,根据这一特征,若是偶函数,则是偶函数,若是奇函数,也是偶函数,所以“是偶函数”是“是偶函数”的充分不必要条件
    故选:A
    方法总结:充要条件的三种判断方法
    (1)定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断.
    (2)集合法:根据使p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.
    (3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题,
    考向二 充分、必要条件等条件的应用
    例2、(多选题)下列选项中,是的必要不充分条件的是
    A.;:方程的曲线是椭圆
    B.;:对,不等式恒成立
    C.设是首项为正数的等比数列,:公比小于0;:对任意的正整数,
    D.已知空间向量,1,,,0,,;:向量与的夹角是
    【答案】:.
    【解析】,若方程的曲线是椭圆,
    则,即且,
    即“”是“方程的曲线是椭圆”的必要不充分条件;
    ,,不等式恒成立等价于恒成立,等价于;
    “”是“对,不等式恒成立”必要不充分条件;
    是首项为正数的等比数列,公比为,
    当,时,满足,但此时,则不成立,即充分性不成立,
    反之若,则
    ,,即,
    则,即成立,即必要性成立,
    则“”是“对任意的正整数,”的必要不充分条件.
    :空间向量,1,,,0,,
    则,
    ,,
    解得,
    故“”是“向量与的夹角是”的充分不必要条件.
    变式1、知集合A={x|x2-6x+8<0},B={x|(x-a)(x-3a)<0}.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数a的取值范围.
    【解析】 由x2-6x+8<0,得(x-2)(x-4)<0,
    解得2因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件,
    所以A⊆B.
    因为B={x|(x-a)(x-3a)<0},
    ①若a=0,则B=∅,不合题意,故舍去;
    ②若a>0,则B=(a,3a),
    则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≤2,,3a≥4,))解得 eq \f(4,3)≤a≤2;
    ③若a<0,则B=(3a,a),与A⊆B矛盾,故舍去.
    综上所述,实数a的取值范围是 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4,3),2)).
    变式2、已知p:|1- eq \f(x-1,3)|≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
    【解析】 由p:|1- eq \f(x-1,3)|≤2,得-2≤1- eq \f(x-1,3)≤2,
    解得-2≤x≤10.
    由q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),
    得[x-(1+m)][x-(1-m)]≤0,
    解得1-m≤x≤1+m.
    因为p是q的充分不必要条件,
    所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1-m≤-2,,1+m≥10,))且等号不同时成立,
    解得m≥9,
    所以实数m的取值范围是[9,+∞).
    变式3、 已知p:|1- eq \f(x-1,3)|≤2,q:x2-2x+1-m2≤0,若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
    【解析】 由p:|1- eq \f(x-1,3)|≤2,
    得-2≤x≤10.
    由q:x2-2x+1-m2≤0,
    得[x-(1+m)][x-(1-m)]≤0.
    设集合A=[-2,10],B={x|x2-2x+1-m2≤0}.
    因为p是q的充分不必要条件,所以A⊆B.
    ①若m>0,则B=[1-m,1+m],
    则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1-m≤-2,,1+m≥10,))且等号不同时成立,
    解得m≥9;
    ②若m=0,则B={1}与A⊆B矛盾,故舍去;
    ③若m<0,则B=[1+m,1-m],
    则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1+m≤-2,,1-m≥10,))且等号不同时成立,
    解得m≤-9.
    综上,实数m的取值范围是(-∞,-9]∪[9,+∞).
    方法总结:充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意:
    (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
    考向三 含有量词的否定
    例3、(1)写出下列命题的否定,并判断真假.
    (1),都有;
    (2),;
    (3)至少有一个二次函数没有零点;
    (4)存在一个角,使得.
    (2)下列四个命题:
    ①∃x∈(0,+∞),;
    ②∃x∈(0,1),;
    ③∀x∈(0,+∞),eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x>;
    ④∀x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(1,3))),eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x<.
    其中真命题的序号为________.
    【解析】(1)(1)是全称命题.:,所以是真命题.
    (2)是全称命题.:,,如时,(-1)3=-1×(-1)2=-1,即(-1)3≤(-1)2,所以是真命题.
    (3)是存在性命题.:所有二次函数都有零点,如二次函数.,.因为是真命题,所以是假命题.
    (4)是存在性命题.:,设任意角终边与单位圆的交点为则显然有,所以是真命题.
    (2) ②④ 对于①,当x∈(0,+∞)时,总有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x成立,故①是假命题;
    对于②,当x=eq \f(1,2)时,有成立,故②是真命题;
    对于③,当01>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x,故③是假命题;
    对于④,∀x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(1,3))),eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x<1<,故④是真命题
    变式1、(2022·广东佛山·高三期末)设命题,则p的否定为( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】
    根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可得出答案.
    【详解】
    解:因为存在量词命题的否定为全称量词命题,
    所以命题的否定为.
    故选:B.
    变式2、(深圳市南山区期末试题)命题“存在无理数,使得是有理数”的否定为( )
    A. 任意一个无理数,都不是有理数B. 存在无理数,使得不是有理数
    C. 任意一个无理数,都是有理数D. 不存在无理数,使得是有理数
    【答案】A
    【解析】
    【详解】根据特称命题否定是全称命题得
    命题“存在无理数,使得是有理数”的否定为“任意一个无理数,都不是有理数”
    故选:A.
    方法总结:1、判定全称命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立;要判定存在性命题是真命题,只要在限定集合内找到一个x,使p(x)成立.
    2、全称(或存在性)命题的否定是将其全称(或存在)量词改为存在量词(或全称量词),并把结论否定.
    考向四 存在性问题与恒成立问题
    例4 已知函数f(x)=x+ eq \f(4,x),g(x)=2x+a.若∀x1∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2),1)),∃x2∈[2,3],使得f(x1)≥g(x2),求实数a的取值范围.
    【解析】 因为f(x)=x+ eq \f(4,x)的定义域为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2),1)),
    所以f′(x)=1- eq \f(4,x2)= eq \f((x+2)(x-2),x2)<0,
    所以f(x)在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2),1))上单调递减,
    所以f(x)min=f(1)=1+4=5,
    f(x)max=f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))= eq \f(1,2)+8= eq \f(17,2).
    因为g(x)=2x+a在区间[2,3]上单调递增,
    所以g(x)min=g(2)=4+a,g(x)max=g(3)=8+a.
    因为∀x1∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2),1)),∃x2∈[2,3],使得f(x1)≥g(x2),
    所以f(x)min≥g(x)min,
    所以5≥4+a,解得a≤1,
    故实数a的取值范围是(-∞,1].
    变式1、已知函数f(x)=x+ eq \f(4,x),g(x)=2x+a,若∀x2∈[2,3],∃x1∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2),1)),使得f(x1)≥g(x2),求实数a的取值范围.
    【解析】 由例4可知f(x)max= eq \f(17,2),
    g(x)max=8+a.
    因为∀x2∈[2,3],∃x1∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2),1)),使得f(x1)≥g(x2),
    所以f(x)max≥g(x)max,
    所以 eq \f(17,2)≥8+a,解得a≤ eq \f(1,2),
    故实数a的取值范围是 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(-∞,\f(1,2))).
    变式2、若∀x∈(0,+∞),eq \f(4x\s\up6(2)+9,x)≥m,则实数m的取值范围为 .
    【答案】(-,12]
    【解析】由题意可知,x∈(0,+∞),所以eq \f(4x\s\up6(2)+9,x)=4x+eq \f(9,x)≥2EQ \R(,4x·\F(9,x))=12,当且仅当4x=eq \f(9,x),即x=EQ \F(\R(,6),2)时取等号,则m≤12,即实数m的取值范围为(-,12].
    变式3、 若命题“存在x∈R,ax2+4x+a≤0”为假命题,则实数a的取值范围是________.
    【答案】 (2,+∞)
    【解析】“存在x∈R,ax2+4x+a≤0”为假命题,则其否定“对任意x∈R,ax2+4x+a>0”为真命题,当a=0,4x>0不恒成立,故不成立;当a≠0时,eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0,,Δ=16-4a2<0,))解得a>2,所以实数a的取值范围是(2,+∞).
    方法总结:应用含有量词的命题求参数的策略:(1)对于全称量词命题(或)为真的问题实质就是不等式恒成立问题,通常转化为求的最大值(或最小值),即(或).(2)对于存在量词命题(或)为真的问题实质就是不等式能成立问题,通常转化为求的最小值(或最大值),即(或).
    1、(2022·河北深州市中学高三期末)已知,则“a,b的平均数大于1”是“a,b,c的平均数大于1”的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件
    C.充要条件D.既不充分也不必要条件
    【答案】C
    【解析】若a,b,c的平均数大于1,则,∴,∴,即a,b,c的平均数大于1,反之亦成立,
    故选:C.
    2、(2022·山东德州·高三期末)已知向量,,则是为钝角的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
    【答案】B
    【解析】
    【分析】
    由充分条件与必要条件的概念,以及向量的夹角公式,即可得出结果.
    【详解】
    因为,,所以,则,
    若,则,
    当时,得,但当时 反向,此时依然成立,而夹角为,所以由不能推出为钝角;
    反之,若为钝角,则且,即且,能推出;
    因此,“”是为钝角的必要不充分条件.
    故选:B
    3、(2022·山东烟台·高三期末)命题“,”的否定为( )
    A.,B.,
    C.,D.,
    【答案】A
    【解析】
    【分析】
    利用全称命题的否定可得出结论.
    【详解】
    命题“,”为全称命题,该命题的否定为“,”.
    故选:A.
    4、(汕头市高三期末试题)已知集合,集合,则以下命题为真命题的是( )
    A. ,B. ,
    C. ,D. ,
    【答案】A
    【解析】
    【详解】由题知,集合,集合,
    所以是真子集,
    所以,或,或,,
    只有A选项符合要求,
    故选:A.
    5、(2022·浙江绍兴·模拟预测)中,“”是“”的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件
    C.充要条件D.既不充分也不必要条件
    【答案】C
    【解析】
    【分析】
    等价于,由正弦定理以及充分必要条件的定义判断即可.
    【详解】
    在三角形中,因为,所以,即
    若,则,即,
    若,由正弦定理,得,根据大边对大角,可知
    所以“”是“”的充要条件
    故选:C
    6、已知p:|1- eq \f(x-1,3)|≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),若q是p的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
    【解析】 由p:|1- eq \f(x-1,3)|≤2,
    得-2≤x≤10.
    由q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),
    得1-m≤x≤1+m.
    设集合A=[-2,10],B=[1-m,1+m].
    因为q是p的充分不必要条件,所以B⊆A,
    所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(-2≤1-m,,1+m≤10,))且等号不同时成立,
    解得m≤3,
    所以0故实数m的取值范围是(0,3].
    7、(2022·江苏扬州期中)(本小题满分10分)已知集合eq A={x|x\s\up6(2)-x≤0},记函数eq f(x)=\r(,1-ax\s\up6(2))(a>0)的定义域为集合B.
    (1)当a=1时,求A∪B;
    (2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
    【解析】
    (1)当a=1时,A={x|0≤x≤1},eq f(x)=\r(,1-x\s\up6(2)),则B={x|-1≤x≤1},
    所以A∪B={x|-1≤x≤1}.
    (2)由题意可知,AB,且A={x|0≤x≤1},B={x|-EQ \R(,\F(1,a))≤x≤EQ \R(,\F(1,a))},
    则EQ \R(,\F(1,a))≥1,解得0<a≤1,所以实数a的取值范围为(0,1]若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件
    p是q的充分不必要条件
    p⇒q且q⇏p
    p是q的必要不充分条件
    p⇏q且q⇒p
    p是q的充要条件
    p⇔q
    p是q的既不充分也不必要条件
    p⇏q且q⇏p
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