四川省成都市第七中学2024-2025学年高三上学期入学考试数学

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æ ö 2 2 2 1
（2） MN = a - a + = ça - ÷ + ，当 时， 最小，
2 1
a = | MN |
2 2 2
è ø
æ 1 1 ö æ 1 1 ö
此时，M，N 为中点，则M ,0, ，N , ,0 ），取 MN 的中点 G，连接 AG，BG，
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
2 2 2 2
æ 1 1 1 ö
则G , , ，因为AM = AN ，BM = BN ，所以AG ^ MN ，BG ^ MN ，
ç ÷
è ø
2 4 4
所以ÐAGB 是平面 MNA 与平面 MNB 的夹角或其补角，
!!!" 1 1 1
!!!"
æ 1 1 1 ö æ ö
因为 = ç - - ÷， ，
GA GB = ç- ,- ,- ÷
, ,
è ø è ø
2 4 4 2 4 4
!!!" !!!"
GA×GB 1 所以csáGA,GBñ = !!!" !!!" = - ，
| GA | ×| GB | 3
1
所以平面 MNA 与平面 MNB 夹角的余弦值是 ． （15 分）
3
17. （1）由散点图可知，这些数据集中在图中曲线的附近，
而曲线的形状与函数 y = x 的图象相似，
故可用类似的表达式 yˆ = b x + a 来描述 y 与 x 的关系，
故三个函数中 yˆ = b x + a 的图象是拟合 y 与 x 的关系“最好”的曲线，
令u = x ，
则 yˆ = bu + a ，
7 7 ! x = 20 u = 4 i = 668 y = 8 å å
2 2
， ， ， ， x = 4676， u =140，
i i i=1 i=1
! yˆ = bu + a (4,8)
经过点 ，
\a = 8 - 2.1´ 4 = -0.4 ，
故 y 关于 x 的回归直线方程为 yˆ = 2.1u - 0.4，即 yˆ = 2.1 x - 0.4 ． （7 分）
（2）说法“高度从1000cm 长到1001cm 所需时间超过一年”成立，
设其幼苗从观察之日起，第 m 天的高度为1000cm ，
有1000 = 2.1 m - 0.4 ，解得 m » 226939 ，
第 n 天的高度为1001cm ，
有 ，解得 ，
}\
7
å
u y - 7u × y
i i
283 - 7´ 4´8
ˆ 2.1
b = = » ，
i=1
7
140 - 7´16
å
2 2
u - 7u
i
i=1
n - m = 227393- 226939 = 454 天，
故说法“高度从1000cm 长到1001cm 所需时间超过一年”成立． （15 分）
æ ö
2 6 5
18.（1）设 ，F c ．由 F PF 的垂心为H ,- ，得F H ^ PF ．
F1 (-c,0) 2 ( ,0) !
ç ÷
1 2 ç ÷ 1 2
3 3
è ø
5
-
1
24 5
3 1
所以 ， -c = ，解得c2 = 1．
k ×k = × = - 2
F H PF
1 2 2 6 2 6
9 3
+ c - c
3 3
æ ö
2 6 24 1
由点 在椭圆 上，得 + = ．结合a2 -b2 = c2 =1，解得a2 = 4，b2 = 3．
P ,1 C 1
ç ÷
ç ÷
3 9a b
2 2
è ø
x y
2 2
所以椭圆 的方程为 + =1． (5 分)
C
4 3
（2）由（1）知 ，F ．
A(-2, 0) 2 (1, 0)
若l 的斜率不存在，则由对称性，知 1 2 0，不符合要求．
k + k =
若l 的存在，设为k ，则l 的方程为y = k (x -1)．
ìy = k (x - )
1
ï
( )
4k +3 x -8k x + 4k -12 = 0
2 2 2 2
由í ，得 ．
2 2
x y
+ =1 ï
î 4 3
8k 4k -12
2 2
设 ， 2, 2 ，则 ， ．
D(x y ) ( )
1, 1 E x y
x + x = x x =
1 2 2 1 2 2
4k +3 4k +3
y y k (x -1) k (x -1)
所以k + k = + = +
1 2
1 2
1 2
x + 2 x + 2 x + 2 x + 2
1 2 1 2
æ ö é 3 x + x + 4 ù
( ) 3 3
= ç1- +1- ÷ = ×ê2- ú
k k
1 2
x x x x
+ 2 + 2 ê ( + 2)( + 2)ú è ø ë û
1 2 1 2
é æ 8k ö ù
2
3 + 4
ê ç ÷ ú
é x + x + ù ê è k + ø ú
3( 4) 4 3
2
= k ×ê - ú = k × -
2 2
1 2
x x + 2(x + x )+ 4 ê - ú
4k 12 8k
2 2
ê ú
ë û ê + ´ + ú
1 2 1 2 2 4
4k + 3 4k + 3
2 2
ë û
又 ，因此 ，直线 的方程为 ． （11 分）
(3) 设 ,则
}3(8k 16k 12) 2k 1 1
é ù + + æ + ö
= × - = ×ç - ÷ = -
k ê2 ú k 2
4k -12 +16k +16k +12 k k
2 2 2 2
ê ú è ø
ë û
．
设过 Q 点处的切线方程为 ,与椭圆联立求解出切线方程为
. 则坐标原点到切线距离 d： .（*）
又因为 ,所以
代入到（*）中，故 (17 分)
19. (1)由于 ,且 ，所以 ，原函数在定义域内单调
递增. （3 分）
(2) 考 虑 . 令 ， 由 于
.所以 ,从而 .故
. 令
, , 在 单调递减，在
单调递增, . 所以 单调递增， .
. 故值域为 . （10 分）
(3) 令 ，考虑函数 .考虑对
求导，则 .只需证明：
(a)当
(b)当
(b)在第二问中已经说明，考虑（a），令 ,则 ，故
}