2024届四川省成都市第七中学高三上学期入学考试数学（文）试题含答案

2024届四川省成都市第七中学高三上学期入学考试数学（文）试题

一、单选题

1．设集合A={-1，0，1，2，3}，B={x|x∈A且-x∈A}，则集合B中元素的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】根据集合A={-1，0，1，2，3}，B={x|x∈A且-x∈A}，即集合B中的元素有0，1，-1．

【详解】解：由于集合A={-1，0，1，2，3}，B={x|x∈A且-x∈A}，

∵-1∈A且1∈A，0的相反数是0，0∈A∴-1∈B，1∈B，0∈B．

∴B={-1，0，1}

故B中元素个数为3个；

故选C．

【点睛】本题考查了元素与集合的关系，属于基础题．

2．欧拉公式（其中i是虚数单位，e是自然对数的底数）是数学中的一个神奇公式．根据欧拉公式，复数在复平面上所对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】由复数的几何意义判断.

【详解】由欧拉公式，在复平面内对应点在第一象限．

故选：A．

3．椭圆的焦距是2，则m的值为（    ）

A．5 B．3 C．5或3 D．20

【答案】C

【分析】由题意可得，讨论焦点在轴或轴，根据即可求解.

【详解】因为焦距是，所以，

当焦点在轴时，

解得，，

当焦点在轴时，

解得，，

故选：C．

4．已知幂函数，下列能成为“是上奇函数”充分条件的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】根据幂函数的定义域、奇偶性的判断方法依次判断各个选项即可.

【详解】对于A，，的定义域为，

又，是定义在上的奇函数，充分性不成立，A错误；

对于B，，的定义域为，

为非奇非偶函数，充分性不成立，B错误；

对于C，，的定义域为，

又，是定义在上的偶函数，充分性不成立，C错误；

对于D，，的定义域为，

又，是定义在上的奇函数，充分性成立，D正确.

故选：D.

5．某几何体的正视图与侧视图如图所示：则下列两个图形①②中，可能是其俯视图的是

A．①②都可能 B．①可能，②不可能

C．①不可能，②可能 D．①②都不可能

【答案】A

【解析】由三视图的正视图和侧视图分析，几何体上部、中部、下部的形状，判断，可得出选项．

【详解】若是①，可能是三棱锥；

若是②，可能是棱锥和圆锥的组合；

所以①②都有可能，

故选：A.

【点睛】本题考查简单空间图形的三视图，考查空间想象能力，是基础题．

6．若实数满足约束条件，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由线性约束条件画出可行域，再将目标函数化为斜截式，结合图形去的最优解，将最优解代入目标函数取得最值.

【详解】由实数满足约束条件作可行域如图:

目标函数可化为，为直线的纵截距的相反数，

令与交点为,则，

由图可知过时直线的纵截距最小，则最大，

最大值为，

故选：B

7．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，则移动3次后质点位于1的位置的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据古典概型求解即可；

【详解】设向右移动一次的事件为，则

因为质点位于1的位置，所以该质点向右移动2次，向左移动1次，

所以

故选: C.

8．已知是两个非零向量，设．给出定义：经过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，则称向量，为在上的投影向量．已知，则在上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求向量的单位向量，再利用投影向量的求法求解即可.

【详解】设与的夹角为，由，

可得与方向相同的单位向量为，

所以在上的投影向量为：

，

故选：D.

9．如图，圆柱的轴截面为矩形ABCD，点M，N分别在上、下底面圆上，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】作出异面直线与所成角，然后通过解三角形求得所成角的余弦值.

【详解】连接，设，则是的中点，

设是的中点，连接，则，

则是异面直线与所成角或其补角.

由于，，

所以，由于，

而是圆柱底面圆的直径，则，

所以，则，

，而，

在三角形中，由余弦定理得.

故选：B

10．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】对等是进行变形，根据函数的单调性即可得解.

【详解】由题可得：，

函数是定义在的增函数，

，

所以.

故选：A

11．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用图明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理图假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车的半径为，筒车转动的角速度为，如图所示，盛水桶视为质点的初始位置距水面的距离为，则后盛水桶到水面的距离近似为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求出初始位置时对应的角，再根据题意求出盛水桶到水面的距离与时间的函数关系式，将代入，即可求解.

【详解】设初始位置时对应的角为，则，则，

因为筒车转到的角速度为，

所以水桶到水面的距离，

当时，可得.

故选：A.

12．函数的图像如图所示，已知，则方程在上有（    ）个非负实根.

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】利用导数研究函数的单调性，结合零点存在性定理判断方程在上的根的个数.

【详解】由图象可得函数在上有3个极值点，不妨设其极值点为，其中，

设，，，

由图象可得，，时，函数单调递增，，又函数的图象由陡峭变为平缓，故逐渐变小，

所以当时，函数单调递减，，

当时，函数单调递减，所以，函数的图象先由平缓变为陡峭，再由陡峭变为平缓，先变大再变小，函数先单调递减再单调递增，所以取值先负后正，所以存在，使得，当，，当，，

当时，函数单调递增，函数的图象由平缓变为陡峭，函数单调递增，所以当时，，

当时，，当时，，

所以当时，，函数在单调递增，

当时，，函数在单调递减，

因为，函数在单调递增，

所以函数在上不存在零点，且，

因为，

因为表示点与点的连线的斜率，表示曲线在点处的切线的斜率，结合图象可得，故，所以函数

在上存在唯一零点，

故方程在上有1个非负零点，

故选：B.

二、填空题

13．命题p：“”则为               .

【答案】

【分析】直接根据特称命题的否定为全称命题，即可得答案.

【详解】因为命题p为特称命题，所以命题p：“”的否定为：.

故答案为：.

14．已知函数，则      ．

【答案】8

【分析】根据题意代入分段函数计算即可.

【详解】由题意得.

故答案为：8

15．在中，内角 的对边长分别为 ，且，，则b的值为      ．

【答案】

【分析】由可得，即而得，利用正余弦定理化简可得，结合条件，即可求得答案.

【详解】由，可得，

即，即有 ，

即 ，

故，化简得，结合，

可得，解得或0（舍），

故答案为：4．

16．如图抛物线的顶点为A，焦点为F，准线为，焦准距为4；抛物线的顶点为B，焦点也为F，准线为，焦准距为6．和交于P、Q两点，分别过P、Q作直线与两准线垂直，垂足分别为M、N、S、T，过F的直线与封闭曲线APBQ交于C、D两点，则下列说法正确的是     

①；②四边形MNST的面积为；③；④的取值范围为.

【答案】①②③④

【分析】根据抛物线的定义可得判断①，以为原点建立平面直角坐标系，根据条件可得抛物线的方程为，可得，进而判断②，利用抛物线的定义结合条件可得可判断③，利用抛物线的性质结合焦点弦的性质可判断④.

【详解】设直线与直线分别交于由题可知，

所以，，故①正确；

如图以为原点建立平面直角坐标系，则，，

所以抛物线的方程为，

连接，由抛物线的定义可知，又，

所以，代入，可得，

所以，又，故四边形的面积为，故②正确；

连接，因为，所以，

所以，

故，故③正确；

根据抛物线的对称性不妨设点在封闭曲线的上部分，

设在直线上的射影分别为，

当点在抛物线，点在抛物线上时，，

当与重合时，最小，最小值为，

当与重合，点在抛物线上时，因为，

直线，

与抛物线的方程为联立，可得，

设，则，，

所以；

当点在抛物线，点在抛物线上时，设，

与抛物线的方程为联立，可得，

设，则，，

当，即时取等号，故此时；

当点在抛物线，点在抛物线上时，根据抛物线的对称性可知，；

综上，，故④正确.

故答案为：①②③④.

【点睛】构建平面直角坐标系，结合抛物线定义可求解长度和角度问题，判断①②，

根据抛物线的对称性，判断，

从而，从而判断③，

分别讨论的位置，然后判断的取值范围，判断④，是本题的难点.

三、解答题

17．新冠状病毒严重威胁着人们的身体健康，我国某医疗机构为了调查新冠状病毒对我国公民的感染程度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下：

(1)根据已知数据，把表格数据填写完整；

(2)能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为感染新冠状病与不同年龄有关？

附：，．

【答案】(1)列联表见解析

(2)能

【分析】(1)根据总数100求解；

(2)根据卡方计算并判断；

【详解】（1）由于所选居民总人数为100，列联表如下表所示：

（2），

所以能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为感染新冠状病与不同年龄有关；

18．已知矩形ABCD中，，，M，N分别为AD，BC中点，O为对角线AC，BD交点，如图1所示．现将和剪去，并将剩下的部分按如下方式折叠：沿MN将折叠，并使OA与OB重合，OC与OD重合，连接MN，得到由平面OAM，OBN，ODM，OCN围成的无盖几何体，如图2所示．

(1)求证：MN⊥平面；

(2)求此多面体体积V的最大值．

【答案】(1)证明见解析

(2)1

【分析】（1）取中点E，通过证明平面，平面，证得即可得出线面垂直；

（2）由几何体的对称性化为求的最值，即M到面的距离最大，再结合三棱锥体积公式计算即可.

【详解】（1）  

在图2中，取的中点E，连，

因为，E为的中点，所以，同理得，，

因为，平面，所以平面，

因为平面，所以，

因为，平面，所以平面，

因为平面，所以，

因为，平面，所以平面．

（2）根据图形的对称性可知，，

因为的面积为，为定值，

所以当点M到平面OCN的距离最大值时，三棱锥体积最大，

此时平面OMC⊥平面ONC，点M到平面OCN的距离等于点M到OC的距离，等于，

所以此多面体体积V的最大值为．

19．记为数列的前n项和，且，已知．

(1)若，求数列的通项公式；

(2)若对任意恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由已知得为公差为的等差数列，求得，利用与的关系求得，再利用累乘法即可得到结果.

（2）利用等差数列前项和公式表示出，即可得出，然后利用裂项相消法求得其前项的和，即可得到结论.

【详解】（1）由题意得为公差为，首项为的等差数列，

则，

即，

两式作差得，

即，

所以，

即，，

因为也适合上式，所以.

（2）由（1）知，

由可得，

所以，

则

，

当时，有，

因为，所以恒成立等价于，从而.

20．已知函数，.

(1)若经过点的直线与函数的图像相切于点，求实数a的值；

(2)设，若有两个极值点为，，且不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意，对函数求导，根据导数的几何意义进行求解即可；

（2）将有两个极值点为，，转化为方程在上有两个不同的根，根据根的判别式求出的取值范围，将不等式恒成立，转化为恒成立，通过构造函数，将问题转化为函数极值问题，进而即可求解.

【详解】（1）的定义域为，

由，得，则，

因为经过点的直线与函数的图像相切于点，

所以，

所以，解得，

（2），则，

因为有两个极值点为，，

所以在上有两个不同的根，

此时方程在上有两个不同的根，

则，且，解得，

若不等式恒成立，则恒成立，

因为

不妨设，

则，

因为，所以，

所以在上递减，所以，

所以，

即实数的取值范围为.

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数几何意义，考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是将极值点问题转化为方程在上有两个不同的根，求出的范围，再将不等式恒成立，则恒成立，然后构造关于的函数，利用导数求出其范围，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.

21．已知双曲线的离心率为，左焦点到双曲线的渐近线的距离为，过点作直线与双曲线的左、右支分别交于点、，过点作直线与双曲线的左、右支分别交于点、，且点、关于原点对称．

(1)求双曲线的方程；

(2)设，试用表示点的横坐标；

(3)求证：直线过定点．

【答案】(1)

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）根据已知，利用双曲线的性质建立方程求解.

（2）根据已知，联立直线方程与双曲线方程，再利用韦达定理求解.

（3）根据已知，借助第（2）问的结论，再利用直线的点斜式方程，根据直线方程来确定直线恒过定点.

【详解】（1）设，由，则，即，

所以渐近线方程为．

又到双曲线的渐近线的距离为，则，

即，．

所以双曲线方程为．

（2）设，，直线的方程为，

直线的方程与双曲线联立，

．

又，则

所以，即，.

（3）  

由（2）同理，，

则，

则直线方程为，

令，则，即

所以直线过定点．

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．

(1)求和的直角坐标方程；

(2)若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求．

【答案】(1)；当时，直线的直角坐标方程为，当时，直线的参数方程为．

(2)

【分析】（1）利用平方法，结合同角的三角函数关系式进行求解即可；

（2）根据直线参数方程中参数的几何意义进行求解即可.

【详解】（1），

，

曲线的直角坐标方程为；

当时，，

当时，可得直线的参数方程为；

（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，

整理可得：．①

因为

所以曲线截直线所得线段的中点在椭圆内，

则方程①有两解，设为，

则，

故，解得的倾斜角为．

23．已知.

(1)求的最小值M；

(2)关于的不等式有解，求实数的取值范围.

【答案】(1)3

(2)

【分析】（1）确定，，，相加得到答案.

（2）根据得到，解得答案.

【详解】（1），则，，

，

则，所以，

当且仅当时等号成立，的最小值为．

（2），

当且仅当且时取最大值．

的最大值为，

解得．