2024年广东省东莞市部分学校中考三模数学试题（解析版）

这是一份2024年广东省东莞市部分学校中考三模数学试题（解析版），共24页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。

本试卷共8页，24小题，满分120分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
第一部分选择题(共30分)
一、选择题(在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分)
1. 中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，用正、负数来表示具有相反意义的量．若气温上升记作，则气温下降记作（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，正负数是一对具有相反意义的量，把气温上升用正数表示，那么气温下降用负数表示，据此求解即可．
【详解】解：若气温上升记作，则气温下降记作，
故选：C．
2. “全民行动，共同节约”．我国14.1亿人口如果都响应国家号召每人每年节约1度电，一年可节约电度．将“”用科学记数法表示，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法．利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：．
故选：B．
3. 分式方程的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：，
去分母，得，
移项、合并同类项，得，
检验：把代入，
∴分式方程的解为，
故选：B．
4. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了几何体的三视图，根据几何体的三视图判断几何体的形状即可得到答案．
【详解】解：根据三视图可知几何体为：
，
故选：D
5. 如图是某品牌躺椅的侧面示意图，其中，当，时，人躺着最舒服，则此时的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出．
由平行线的性质推出，由平角定义求出．
【详解】解：如图所示，
∵，
，
，
．
故选：D．
6. 某段河堤的横断面如图所示，堤高，迎水坡的坡比为，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据坡比的定义，由坡比为得到，则，再由勾股定理即可得到，从而得到答案．
【详解】解：在中，堤高，迎水坡的坡比为，
，则，
由勾股定理得到，
故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形，涉及坡比定义及勾股定理求线段长，熟记坡比定义是解决问题的关键．
7. 如图，中，，，，是上的一点，垂足为，若，则的长为（ ）
A. B. 2C. 3D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，先利用勾股定理得到，再解直角三角形得到，则．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∴，
在中，，
故选：C．
8. 若实数满足，则关于的方程根的情况是（ ）
A. 有两个相等实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．求出，即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
关于的方程根的情况是有两个不相等的实数根，
故选：B．
9. 如图，是的外接圆，且，，在上取点D（不与点A，B重合），连接，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接，根据题意，得，结合，，得到，计算即可，本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，等腰三角形的性质是解题的关键．
【详解】连接，根据题意，得，
∵，，
∴，
∴,
故选C．
．
10. 二次函数的图象如图所示，下列结论中正确的有：①；②；③；④；⑤．（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，根据二次函数开口向下，与y轴交于坐标轴得到，再根据对称轴的位置得到，则，据此可判断①③；根据二次函数与x轴有两个不相同的交点即可判断③；根据当时，，时，，得到，据此可判断④；根据当时，可判断⑤．
【详解】解：∵二次函数开口向下，与y轴交于正半轴，
∴，
∵对称轴在直线和y轴之间，
∴，
∴，故③错误；
∴，故①正确；
∵二次函数与x轴有两个不相同的交点，
∴，故②错误；
∵当时，，时，，
∴，
∴，
∴，故④正确；
∵当时，，
∴，
∴，故⑤正确；
∴正确的有3个，
故选：B．
第二部分 非选择题(共90分)
二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分)
11. 计算______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的除法运算，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据同底数幂的除法运算计算即可．
【详解】解：原式，
故答案为：．
12. 已知点，点在直线上，则_______．（填“”“”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一次函数的图象上点的坐标特征、比较函数值的大小，熟知一次函数的增减性是解题的关键．根据一次函数的增减性求解即可．
【详解】解：，
中，随的增大而减小，
，
，
故答案为：．
13. 如图，一枚飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是__________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用黑色区域的面积除以游戏板的面积即可；
【详解】设每个小正方形格子的长度都是1，
∴ 黑色区域的面积=6，游戏板的面积=16，
所以击中黑色区域的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率，计算方法是长度比、面积比、体积比等．
14. 有一个正多边形的内角和等于它外角和的2倍，则这个正多边形每一个内角的大小为_____．
【答案】##度
【解析】
【分析】先由多边形的内角和和外角和的关系判断出多边形的边数，即可得到结论．
【详解】设多边形的边数为n．
因为正多边形内角和为（n−2）•180°，正多边形外角和为360°，
根据题意得：（n−2）•180°＝360°×2，
解得：n＝6．
∴这个正多边形的每个外角＝＝60°，
则这个正多边形的每个内角是180°−60°＝120°，
故答案为：120°．
【点睛】本题考查了正多边形的内角与外角，正多边形的性质；熟练掌握正多边形的性质，求出正多边形的边数是解决问题的关键．
15. 在中，，D为平面内一点，连接，连接．则线段的最小值为_________．
【答案】-4
【解析】
【分析】如图，以AC为边作等边三角形OAC，再以O为圆心，OA为半径作圆O，交BC于D2，由圆周角定理可得点D是圆O上一动点，AD2为直径，利用勾股定理可求得CD2，连接OB交圆O于D1，当点D在D1位置时，BD最小，过O作OE⊥BC于E，根据垂径定理和三角形的中位线性质求得OE、CE、BE，利用勾股定理求解OB即可解答．
【详解】解：∵∠ADC=30°，D为平面内一点，AC=4，
∴点以AC为边作等边三角形OAC，再以O为圆心，OA为半径作圆O，交BC于D2，由∠AOC=60°=2∠ADC可知点D是圆O上一动点，
∵∠ACB=90°，
∴AD2为直径，则AD2=2OA=2AC=8，
∴CD2= = ，
连接OB交圆于D1，当点D位于D1位置时，BD最小，
过O作OE⊥BC于E，则CE=ED2= CD2= ，
∴BE=BC-CE=，
∴OE为△ACD2的中位线，
∴OE= AC=2，
在Rt△OEB中，OB===，
∴BD最小值为-4．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、三角形的中位线，借助隐形圆解决最值问题是解题的关键．
三 、解答题一(本大题共2个小题，每题6分)
16.
【答案】
【解析】
【分析】根据零指数幂、二次根式、锐角三角函数值、负指数幂的运算法则进行计算后，再进行加减运算即可．
【详解】解：原式．
【点睛】此题考查了实数的混合运算，准确求解零指数幂、二次根式、锐角三角函数值、负指数幂是解题的关键．
17. 如图，四边形中，，，E，F是对角线上两点，且．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
根据得，证明即可．
【详解】∵，
∴，
在和中
∴．
四、解答题二(本大题共2个小题，每题7分)
18. 已知．
（1）化简A；
（2）若点是抛物线上的一点，求A的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了分式的化简求值、抛物线上的点的特征，准确掌握分式的混合运算顺序和二次函数的性质是解题的关键．
（1）先计算括号内的加法，再计算除法即可；
（2）把点的坐标代入得到，则，整体代入（1）中结果即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
∵点是抛物线上的一点，
∴
∴
∴
19. 数学中的轴对称就像镜子一样，可以展现出图形对称的美，初中常见的轴对称图形有：等腰三角形、菱形、圆等．如图，在等腰中，．
（1）尺规作图：作关于直线对称的（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接，交于点，若，四边形周长为，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）4
【解析】
【分析】（1）分别以点A、C为圆心，为半径画弧，两弧相交于点D，连接、即可；
（2）先根据轴对称的性质，得，，则可求得，再根据（1）知四边形为菱形，根据菱形的周长可求得，由勾股定理，可求出，从而求得，然后由菱形的面积公式可求解．
【小问1详解】
解：如图，即为所求，
由作图可知：，
∵
∴
∴四边形为菱形，
∴与关于直线对称．
【小问2详解】
解：如图，
∵与关于直线对称．
∴，，
∴，
由（1）知四边形为菱形，
∴，
∵四边形周长为，
∴，
由勾股定理，得，
∴．
∴四边形的面积．
【点睛】本题考查尺规作三角形，轴对称的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，菱形的面积．熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
五、解答题三（本大题共3个小题，20题8分，21题8分，22题9分）
20. 每年的6月6日是全国爱眼日．科学防控近视，关注孩子用眼健康，某校在爱眼日这天随机抽取50名学生进行视力检测，分成A（4.0≤x<4.3），B（4.3≤x<4.6），
C（），D（），E（）五组，将所得数据进行整理，信息如下：
信息一：视力频数分布表：
信息二：C组的数据分别为：4.6，4.6，4.7，4.6，4.8，4.7，4.8，4.6，4.7，4.7，4.6，4.8，4.6，4.8，4.8，4.7．
信息三：视力情况频数分布直方图．
请根据图表信息，解答下列问题：
（1）_________，_________，并补全视力情况频数分布直方图；
（2）本次调查视力情况中位数为_______，视力正常（大于等于4.9）的人数占被调查人数的百分比为________；
（3）请对该校学生的视力情况作出评价，并提出一条合理化建议．
【答案】（1）18，3
（2）4.8，
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查的是频数分布直方图和频数分布表的知识，读懂频数分布直方图和利用统计图获取信息是解题的关键．
（1）由频数分布直方图可知，再根据样本容量是50求出，补全频数分布直方图即可；
（2）根据组的数据结合中位数的定义求出中位数即可，求出视力正常（大于等于的人数即可解答；
（3）根据视力正常（大于等于4.9）的人数占被调查人数的百分比提出建议即可．
【小问1详解】
解：由频数分布直方图可知，
，
补全频数分布直方图如下：
故答案为：18，3；
【小问2详解】
组的数据排序为：4.6，4.6，4.6，4.6，4.6，4.6，4.7，4.7，4.7，4.7，4.7，4.8，4.8，4.8，4.8，4.8，
根据组的数据可得第25个数据为4.8，第26个数据为4.8，
本次调查视力情况的中位数为4.8，
视力正常（大于等于的人数占被调查人数的百分比为：．
故答案为：4.8，；
【小问3详解】
从统计图可知，该校学生实力正常的人数占比较低，所以该校要进一步采取措施科学防控近视，关注孩子用眼健康．
21. 如图，中，，，反比例函数的图象经过点．直线垂直平分，交于点，交轴于点，交轴于点．
（1）求点A的坐标及的长；
（2）求点E的坐标．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握两直线垂直值互为负倒数是解答本题的关键．
（1）将代入反比例函数解析式得到，即可得到点坐标；
（2）先求出，再求出，设直线解析式为，将点坐标代入求出解析式为，最后求出直线与轴交点坐标即可得到长．
【小问1详解】
，
点的横坐标为，
点在反比例函数的图象上，
，
，
垂直平分线段，
，
；
【小问2详解】
由中点坐标公式可知，
，
，
直线垂直平分，
，
设直线解析式为，将点坐标代入得：，
解得，
直线的解析式为，
令，则．
．
22. 金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
（1）用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元．
分别求出这两款车的每千米行驶费用．
若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？年费用年行驶费用年其它费用
【答案】（1）新能源车的每千米行驶费用为元，
（2）①燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；②当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低
【解析】
【分析】（1）根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用；
（2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；②根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可．
【小问1详解】
解：由表格可得，
新能源车的每千米行驶费用为：（元），
即新能源车的每千米行驶费用为元；
【小问2详解】
解：①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
，，
答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；
设每年行驶里程为，
由题意得：，
解得，
答：当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低．
【点睛】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式．
六、解答题四(本大题共2个小题，每题12分)
23. 如图，在中，弦与弦相交于点，于点，过点直线与的延长线交于点，．

（1）若，求证：是的切线．
（2）若，，求半径．
（3）请问的值为定值吗？如是，请写出计算过程
【答案】（1）见解析 （2）
（3）是定值；理由见解析
【解析】
【分析】（1）等边对等角，得到，根据等角的余角，得到，进而得到，即可；
（2）平行得到，垂径定理，得到，进而得到，求出的长，连接，设圆的半径为r，则，利用勾股定理进行求解即可；
（3）证明，得到，得到，代入求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，即，
∴，
∵是的弦，
∴点B在上，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
解得，
连接，如图1所示：

设圆的半径为r，则，
在中，，
即，
解得：；
【小问3详解】
解：是定值；理由如下：
连接，如图2所示：

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴．
【点睛】本题考查切线的判定，垂径定理，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
24. 如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度运动，同时点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动时间为秒．
①求的面积S与的函数关系式，并求S的最值；
②当的面积最大时，在第二象限的抛物线上，是否存在点E，使得，若存在，请求点E的横坐标，若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）①，最大值是；②点横坐标是．
【解析】
【分析】（1）将点、分别代入，解方程即可；
（2）①过点作于点．利用，得．用的代数式表示出的面积，再利用二次函数的性质求最值即可；
②首先求得，设，直线的解析式为，交轴于点，解得的解析式为，得到，，利用解得：，进而得到点坐标．
【小问1详解】
把点，分别代入得：
，
解得，
该抛物线的解析式为：；
【小问2详解】
①由题意知，，，
，
由题意得，点的坐标为，
在中，，
如图1，过点作于点．
，
，
，即，
．
∵，
∴，
，
当存在时，，
当时，．
，运动1秒使的面积最大，其最大面积是；
②存在；理由如下：
由①知，
，
，
设，直线的解析式为，交轴于点，
代入得：，
解得：，
的解析式为，
令，则，
则，
，
，
解得：或（不合题意，舍去），
∴点横坐标．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，二次函数的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
组别
A
B
C
D
E
视力
人数（频数）
5
8
16
a
b
燃油车
油箱容积：升
油价：元升
续航里程：千米
每千米行驶费用：元
新能源车
电池电量：千瓦时
电价：元千瓦时
续航里程：千米
每千米行驶费用：_____元