2024年广东省东莞市光正实验学校中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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1. 如果温度上升，记作，那么温度下降记作（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正数和负数，能理解正数和负数的定义是解此题的关键．
根据正数和负数的定义和已知得出即可．
【详解】解：如果温度上升，记作，
那么温度下降记作．
故选：D．
2. 下列关于体育运动的图标是轴对称图形的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用轴对称图形的定义进行判断即可．
【详解】沿一条直线对折，两部分完全重合的图形称为轴对称图形，选项A中沿中间竖直线对折，两部分完全重合，其他选项图形均无法找到符合条件的对折直线，故只有A选项图形为轴对称图形，
故选A．
【点睛】本题考查轴对称图形定义的应用，须注意图形细节的不同之处．
3. 如图所示，该几何体的俯视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据俯视图定义直接判断即可得到答案．
【详解】解：从上面看该几何体，所看到的图形是长方形，中间有一条实线，
故选：C．
【点睛】本题考查几何体俯视图，解题的关键是掌握俯视图定义及熟练掌握三视图中直接看到的是实线，遮挡的是虚线．
4. 清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“苔花如米小，也学牡丹开”，已知，若苔花的花粉直径约为，则用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：．
故选：A
5. 如图，是的半径，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的度数的一半是解答此题的关键．
根据圆周角定理可求得的度数．
【详解】解：∵与是同弧所对的圆心角与圆周角，，
∴，
故选：D．
6. 化简的结果为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】先将改写为，再进行合并，最后约分化简即可．
【详解】解：原式
；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式的化简，解题的关键掌握分式通分计算的方法和约分的法则．
7. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差．根据表中数据，要从中选择一名成绩好且又发挥稳定的运动员参加比赛，应选择( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】D
【解析】
【分析】根据甲、乙、丙、丁平均数与方差的情况进行判断即可.
【详解】解：由题意得：乙、丁的平均数最大, 但是丁的方差小于乙的方差, 所以丁成绩好且发挥稳定, 故选丁运动员参加比赛.
故本题正确答案为D.
点睛】本题主要考查利用平均数、方差、标准差进行决策比较，题中平均数表示整体水平, 方差表示波动大小.
8. 已知点在第二象限，则a的取值范围是（ ）
A. 或B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查根据点所在的象限求参数的范围，根据点在第二象限的符号特征：，列出不等式组，求解即可．
【详解】解：∵点在第二象限，
∴，
∴；
故选B．
9. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了对顶角相等，平行线的性质，三角形外角的性质．明确角度之间的数量关系是解题的关键．
由题意知，，由平行线的性质可得，，即，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
由平行线的性质可得，，即，
∴，
故选：C．
10. 如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线上，过点A、E分别作y轴的垂线，交抛物线于点B、F，分别过点E、F作x轴的垂线交线段AB于两点C、D．当点，四边形为正方形时，则线段的长为（ ）

A. 4B. C. 5D.
【答案】B
【解析】
【分析】通过待定系数法求出函数解析式，然后设点A横坐标为m，则，从而得出，将点坐标代入解析式求解．
【详解】解：把点代入中得，
解得，
∴，
∵点，四边形为正方形，
∴，
设点A横坐标为m，则，
代入得，
解得或（舍去）．
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数与正方形的结合，解题关键是利用待定系数法求得函数解析式．
二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．
11. 分解因式：2x2﹣8=_______
【答案】2（x+2）（x﹣2）
【解析】
【分析】先提公因式，再运用平方差公式．
【详解】2x2﹣8，
=2（x2﹣4），
=2（x+2）（x﹣2）．
【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键．
12. 已知菱形的两条对角线长分别为2和6，则菱形的周长为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可求出、的长，再利用勾股定理可求出菱形的边长，进而得到周长．
【详解】解：如图，菱形对角线，交于点O，
∵菱形对角线，交于点O，且，，
∴，，，
∴，
∴菱形的周长＝．
故答案为：
【点睛】本题主要考查菱形的性质，熟练运用菱形的性质是解题的关键．
13. 计算：___________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算，首先计算负整数指数幂、二次根式的化简，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
14. 小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1000N和0.6m，当动力臂由1.5m增加到2m时，撬动这块石头可以节省________N的力．（杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂）
【答案】100
【解析】
【分析】设动力为，根据阻力阻力臂动力动力臂，分别解得动力臂在1.5m和2m时的动力，即可解答．
【详解】解：设动力为，
根据阻力阻力臂动力动力臂，
当动力臂在1.5m时，可得方程，解得，
当动力臂在2m时，可得方程，解得，
，故节省100N的力，
故答案为：100．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题目中给出的等量关系，正确列方程是解题的关键．
15. 如图，点C是的中点，弦米，半径米．则____________米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，根据点C是的中点，得到，，结合，求解即可得到答案；
【详解】解：∵点C是的中点，，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
16. 如图，在中，，点D为斜边上一点，点E在直角边上且，垂足为D，若，，，则的面积为___________．
【答案】；
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，根据，得到，结合得到，即可得到答案；
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
故答案为：．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
17. 某公司打算购买一批相同数量的玻璃杯和保温杯，计划用2000元购买玻璃杯，用2800元购买保温杯．已知一个保温杯比一个玻璃杯贵10元，求一个玻璃杯的价格．
【答案】一个玻璃杯的价格是25元．
【解析】
【分析】由题目可知等量关系即相同数量的玻璃杯和保温杯，根据数量相等可以列出方程，进行解答．
【详解】解：设一个玻璃杯的价格是x元．
由题意，得：，
解这个方程，得：x＝25．
经检验，x＝25是原方程的解，且符合题意．
答：一个玻璃杯的价格是25元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，其中根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
18. 如图，点A是∠MON边OM上一点，AE//ON．
(1)尺规作图：作∠MON的角平分线OB，交AE于点B（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若∠MAE=48°，则∠OBE的大小为________．
【答案】（1）见解析；（2）156°
【解析】
【分析】（1）利用基本作图作OB平分∠MON；
（2）先利用平行线的性质得到∠MON=∠MAE=48°，再根据角平分线的定义得到∠NOB=24°，接着根据平行线的性质得到∠OBA的度数，然后利用邻补角的定义计算∠OBE的度数．
【详解】解：（1）如图，OB为所作；
（2）∵AE∥ON，
∴∠MON=∠MAE=48°，
∵OB平分∠MON，
∴∠NOB=∠MON=24°，
∵AB∥ON，
∴∠OBA=∠NOB=24°，
∴∠OBE=180°-∠OBA=180°-24°=156°．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行线的性质．
19. 数学兴趣小组利用无人机测量旗杆高度，在距离旗杆水平距离处，无人机垂直上升到处，此时测得点的俯角为点的仰角为，求旗杆的高度约为多少米？（结果保留整数）（参考数据：）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点B作于E，则四边形是矩形，可得，解得到，解得到，则．
【详解】解：如图所示，过点B作于E，则四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
答：旗杆的高度约为．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
20. 某中学持续开展了“：青年大学习；：青年学党史；：中国梦宣传教育；：社会主义核心价值观培育践行”等一系列活动，学生可以任选一项参加．为了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了 名学生，并补全条形统计图；
（2）若该校共有学生1280名，请估计参加项活动的学生数；
（3）小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率．
【答案】（1），图见解析
（2）512名 （3）见解析，
【解析】
【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图，样本估计总体，利用树状图法求概率，掌握这些知识点是解题的关键．
（1）先求出抽取的学生总数，再求出参加C项活动的人数，再补全条形统计图即可；
（2）利用样本估计总体即可得出答案；
（3）画出树状图，利用概率公式计算即可．
【小问1详解】
解：在这次调查中，一共抽取了学生（名），
参加C项活动的人数为（名），补全条形统计图如下：

故答案为：．
【小问2详解】
解：（名），
故估计参加B项活动的学生为512名；
【小问3详解】
解：画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有4种，
小杰和小慧参加同一项活动的概率为．
21. 如图1．直线与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点．图2将线段向右平移m个单位长度，得到对应线段，连接，．当点D恰好落在反比例函数图象上时，过点C作轴于点F，交反比函数图象于点E．

（1）求反比例函数表达式；
（2）求的长度．
【答案】（1）；
（2）；
【解析】
【分析】本题考查求反比例函数，平行四边形的性质，反比例函数与一次函数的综合应用：
（1）将点代入求出，再代入反比例函数求解即可得到答案；
（2）求出点坐标，根据平移得到是平行四边形，得到点D的纵坐标，从而得到点C、D的坐标，代入反比例函数得到点E坐标即可得到答案；
【小问1详解】
解：∵过点，
∴，
∵过点，
∴，
解得：，
∴；
【小问2详解】
解：当时，，
∴，
∵向右平移m个单位长度，得到对应线段，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，解得：，
∴，，
∴，
当时，
，解得：，
即：，
∴．
22. 为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环与水平地面相切于点C，推杆与铅垂线的夹角为点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆与铁环相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果．

（1）求证：．
（2）实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离最小，测得．已知铁环的半径为，推杆的长为，求此时的长．
【答案】（1）证明见详解；
（2）；
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形，直角三角形两锐角互余，切线的性质：
（1）过B作，根据切线得到，结合得到，再根据直角三角形两锐角互余求解即可得到答案；
（2）根据（1）及得到，结合三角函数求出，即可得到答案；
【小问1详解】
解：过B作，
由题意可得，
，
∵铁环与水平地面相切于点C，
∴，
∵，
∴，
∵推杆与铁环相切于点B，
，
∴，
∴，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∵的半径为，推杆的长为，
∴，，
∴，
∴．
五、解答题（三）（本大题2小，每小题12分，共24分）
23. 如图1所示，把一个含角的直角三角板和一个正方形摆放在一起，三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边，上，连接、．

（1）求证：是等腰三角形；
（2）图2取的中点M，的中点为N，连接，，请判断线段与的关系，并证明；
（3）将图2中的直角三角板，绕点C旋转，如图3所示，其他条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）证明见详解；
（2），，理由见详解；
（3）成立，证明见详解；
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定，以及全等三角形的判定与性质等知识：
（1）先证明，再利用全等三角形的性质即可证明是等腰三角形；
（2）利用三角形中位线定理，直角三角形斜边中线定理可证明，再证明，即可解决问题；
（3）连接，交于O，交于G，同（2）证明方法类似，可证明，再证明，即可得出结论；
【小问1详解】
解：∵四边形是正方形，
，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
【小问2详解】
解：，，理由如下，
证明：∵在中， M是的中点，
∴，
∵M是的中点，N是的中点，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
【小问3详解】
解：结论仍然成立．
理由：如图，连接，设交于O，交于G，
∵四边形是正方形，
，
∴，，
又∵，即，
∴，
∴，，
∵在中，M是的中点，
∴，
∵M是的中点，N是的中点，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，．
24. 如图，抛物线和直线交于，点，点B在直线上，直线与x轴交于点C．
（1）求的度数．
（2）点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点B运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段向点A运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒．以为边作矩形，使点N在直线上．
①当t为何值时，矩形面积最小？并求出最小面积；
②直接写出当为何值时，恰好有矩形的顶点落在抛物线上．
【答案】（1）
（2）①，矩形面积的最小值为②、或2
【解析】
分析】（1）设直线与轴交于点，求出点坐标，得到，即可得出结果；
（2）①分别用t表示，证明，表示及，列出矩形面积与t的函数关系式问题可解；
②由①利用线段中点坐标公式，表示点坐标，分别讨论M、N、Q在抛物线上时的情况，并分别求出t值即可．
【小问1详解】
解：设直线与轴交于点，如图：
当时，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
①如图，过点P作轴于点E，
∵，P点速度为每秒个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，
∴，，，
∵点为直线与x轴的交点，
∴，，
∴t秒时点E坐标为，Q点坐标为，
∴，
∵矩形，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴矩形的面积，
∵，
∴，
当时，
矩形的面积最小：；
②由①点Q坐标为，，，
∵，
∴，
∴，
∴N点坐标为，
∵矩形对边平行且相等，Q，，N，
∴点M坐标为
当M在抛物线上时，则有
，
解得：，
当点Q到A时，Q在抛物线上，此时，
当N在抛物线上时，重合：
∴，
∴，
综上所述当、或2时，矩形的顶点落在抛物线上．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及一次函数与坐标轴的交点问题，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，二次函数求最值等知识点，综合性强，属于压轴题，熟练掌握相关知识以及应用数形结合和分类讨论的数学思想是解题的关键．甲
乙
丙
丁
平均数(环)
914
9.15
9.14
9.15
方差
6.6
6.8
6.7
6.6