湖南省益阳市万源教育集团2024-2025学年八年级上学期开学数学试题（解析版）

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1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题（本大题共10小题，共30分）
1. 已知，，，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据，，，即可得到，，，再根据求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，，，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了分式的求值，解题的关键在于能够准确观察出．
2. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的除法运算，把除法变形为乘法，即可求解．
【详解】解：
．
故选：B
3. 如果，，，那么的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了零指数幂，负整数指数幂，
首先计算零指数幂，负整数指数幂，然后比较大小即可．
【详解】解：，，，
所以，
故选：B．
4. 已知a是方程的根，则的值是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】由a是方程的根，可得，再根据分式的混合运算法则化简，然后将整体代入计算即可．
【详解】解：∵a是方程的根，
∴，即
，
，
，
，
．
故选B．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值、一元二次方程的解等知识点，理解方程的解的定义是解答本题的关键．
5. 《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”（粟指带売的谷子，粝米指糙米，其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”，问题：有3斗的粟（1斗=10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为（ ）
A. 6 升B. 8 升C. 16 升D. 18 升
【答案】D
【解析】
【分析】先把3斗换算成30升，设可以换得粝米x升，再根据50单位的粟：30单位的粝米＝30升粟：x升粝米，列分式方程，求出x即可．
【详解】根据题意得：3斗＝30升，
设可以换得的粝米为x升，
则 ，
解得，
经检验：是原分式方程的解，
答：可以换得的粝米为18升．
故选：D．
【点睛】本题考查的是列分式方程解古代数学问题，弄清题意列出正确的方程是解题的关键．注意解分式方程必须要检验．
6. 如图，将四边形纸片ABCD沿PR翻折得到三角形PC′R，恰好C′P∥AB，C′R∥AD．若∠B＝120°，∠D＝50°，则∠C＝（ ）
A. 85°B. 95°C. 90°D. 80°
【答案】B
【解析】
【分析】根据折叠前后图形全等和平行线，先求出∠CPR和∠CRP，再根据三角形内角和定理即可求出∠C．
【详解】因为折叠前后两个图形全等，C′P∥AB，C′R∥AD
∴∠CPR＝∠C′PC =∠B＝×120°＝60°，
∠CRP＝∠C′RC =∠D＝×50°＝25°；
∴∠C＝180°−25°−60°＝95°
故选：B．
【点睛】本题主要考查翻折变换的知识，解答本题的关键是熟练掌握解题过程中应注意折叠前后的对应关系．
7. 给出下列命题：①等边三角形是等腰三角形；②三角形的重心是三角形三条中线的交点；③三角形的外角等于两个内角的和；④三角形的角平分线是射线；⑤三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角；⑥三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外．其中正确命题的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据等边三角形的性质可以判断①，根据三角形重心的定义可判断②，根据三角形内角和定理可判断③，根据三角形角平分线的定义可以判断④，根据三角形的内角的定义可以判断⑤，根据三角形的高的定义以及直角三角形的高可以判断⑥．
【详解】①等边三角形是等腰三角形，①正确；
②三角形的重心是三角形三条中线的交点，②正确；
③三角形外角等于不相邻的两个内角的和，故③不正确；
④三角形的角平分线是线段，故④不正确；
⑤三角形相邻两边组成的角且位于三角形内部的角，叫三角形的内角，⑤错误；
⑥三角形的高所在的直线交于一点，这一点可以在三角形内或在三角形外或者在三角形的边上．
正确的有①②，共计2个，
故选B
【点睛】本题考查了命题的判断，等边三角形的性质，三角形的重心，三角形的内角和定理，三角形的角平分线，三角形的内角的定义，三角形垂心的位置，掌握相关性质定理是解题的关键．
8. 已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）
A. 50°B. 130°C. 50°或130°D. 65°或130°
【答案】C
【解析】
【分析】分别从此等腰三角形是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案．
【详解】解：①当为锐角三角形时，如图1，
∵∠ABD＝40°，BD⊥AC，
∴∠A＝90°−40°＝50°，
∴三角形的顶角为50°；
②当为钝角三角形时，如图2，
∵∠ABD＝40°，BD⊥AC，
∴∠BAD＝90°−40°＝50°，
∵∠BAD＋∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝130°
∴三角形的顶角为130°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中．
9. 如图，是的边的垂直平分线，若，，，则的周长为（ ）

A. 14B. 13C. 12D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】根据垂直平分线的性质得出，根据，求出结果即可．
【详解】解：∵是的边的垂直平分线，
∴，
∴，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握到线段两个端点的距离相等．
10. 如图，在和中，连接AC，BD交于点M，AC与OD相交于E，BD与OA相较于F，连接OM，则下列结论中：①；②；③；④MO平分，正确的个数有( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA=∠ODB，AC=BD，①正确；
由全等三角形的性质得出∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，得出∠AMB=∠AOB=30°，②正确；
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，则∠OGC=∠OHD=90°，由AAS证明△OCG≌△ODH，得出OG=OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠BMC，④正确；
由∠AOB=∠COD，得出当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM=∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM=∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO=∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB=OC，而OA=OB，所以OA=OC，而OA＞OC，故③错误；即可得出结论．
【详解】解：，
∴，
即，
在和中，，
，
，，①正确；
，
由三角形的外角性质得：，
，②正确；
作于，于，如图所示：
则，
和中，，
，
，
平分，④正确；
∵∠AOB=∠COD，
∴当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM=∠AOM，
∵△AOC≌△BOD，
∴∠COM=∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO=∠BMO，
在△COM和△BOM中，，
∴△COM≌△BOM（ASA），
∴OB=OC，
∵OA=OB
∴OA=OC
与OA＞OC矛盾，
∴③错误；
正确的个数有3个；
故选择：.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
11. 函数y=中，自变量x的取值范围是_____．
【答案】x≥﹣3且x≠5
【解析】
【详解】试题解析：根据二次根式有意义，分式有意义得：且
解得：且
故答案为且
点睛：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
12. 已知x为整数，且分式的值为正整数，则x可取的值有______．
【答案】2，3，5
【解析】
【分析】本题考查分式的化简，先根据分式的性质化简分式，然后根据题意得到x的取值，进而可求解．
【详解】解：
，
∵x为整数，且分式即的值为正整数，
∴x可取的值有2，3，5，
故答案为：2，3，5．
13. 华为于2023年8月29日开售，该款手机搭载的是华为自主研发的麒麟9000s芯片，该款芯片达到了7纳米工艺水平，1纳米米，7纳米用科学计数法表示为：______米．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：7纳米米，
故答案为：．
14. 若，则分式________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的求值，先根据条件式得到，再由，利用整体代入法求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：．
15. 为响应承办“绿色奥运”的号召，九年级（1）班全体师生义务植树300棵．原计划每小时植树棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务．则方程为__________________________________
【答案】.
【解析】
【分析】原计划每小时植树x棵，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，故每小时植1.2x棵，原计划植300棵树可用时小时，实际用了小时，根据关键语句“结果提前20分钟完成任务”可得方程．
【详解】解：原计划每小时植树x棵，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，故每小时植1.2x棵，由题意得：
故答案为
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是弄清题意，表示出原计划植300棵树所用时间与实际所用时间,然后根据时间关系来列方程．
16. 如图，等边的边长为，点Q是的中点，若动点P以/秒的速度从点A出发沿方向运动设运动时间为t秒，连接，当是等腰三角形时，则t的值为________秒．
【答案】1或3##3或1
【解析】
【分析】此题考查了等边三角形的性质和判定．此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用．
由等边的边长为，点是的中点，可求得的长，然后，可得为等边三角形，分析为等边三角形即可求得答案．
【详解】解：∵等边的边长为，点是的中点，
∴，
∴当是等腰三角形时，可得三角形为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵动点的速度为/秒，
∴当从时，，当从时，．
故答案为：1或3．
17. 如图，在中，，点是上一点，交延长线于点，连接．若图中两阴影三角形的面积之差为32（即，），则___________．

【答案】8
【解析】
【分析】延长交于点E，过点C作于点H，于点G，则，先证明，可得四边形是正方形， 从而得到，再证得，可得，，从而得到，然后证明，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：如图，延长交于点E，过点C作于点H，于点G，则，

在中，∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴，四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：8
【点睛】本题主要考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
18. 方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形周长是________．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，以及三角形三条边的关系．先求出方程的根，再分类讨论，确定是否符合题意．
【详解】解：解方程，得，，
当2为腰，4为底时，不能构成等腰三角形；
当4为腰，2为底时，能构成等腰三角形，周长为．
故答案为10．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19. 先化简再求值：，其中．
【答案】，．
【解析】
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
=，
当时，原式=．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
20. 先化简，再求值．其中为的整数．
【答案】，−或−
【解析】
【分析】先根据分式的加减法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，求出x＝−2或−1，再代入化简后的结果，即可求出答案．
【详解】解：
＝
＝
＝
＝
＝
＝，
要使分式有意义，1−x≠0，x≠0，x−2≠0，
∴x不能为1，0，2，
∵x为−2≤x≤2的整数是−2，−1，0，1，2，
∴x＝−2或−1，
当x＝−2时，原式＝＝−，
当x＝−1时，原式＝＝−，
即分式的值是−或−．
【点睛】本题考查了分式的化简求值和不等式组的整数解，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
21. 小明发现爸爸和妈妈的加油习惯不同，妈妈每次加油都说“师博，给我加200元油．”（油箱未加满）．而爸爸则说：“师傅，帮我把油箱加满！”小明很好奇：现实生活中油价常有变动，爸爸妈妈不同的加油方式，哪种方式会更省钱呢？现以两次加油为例来研究．设爸爸妈妈第一次加油油价为x元/升，第二次加油油价为y元/升．
（1）求妈妈两次加油的总量和两次加油的平均价格．（用含x．y的代数式表示）
（2）爸爸和妈妈的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由．
【答案】（1）两次加油的总量是：升，平均价是元/升．（2）当时，爸爸的加油方式和妈妈的加油方式一样省钱．当时，妈妈的加油方式比爸爸的加油方式更省钱．理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意找出对应量，列式即可；
（2）设爸爸每次加满油箱的油是a升，则爸爸两次加油的平均价是（元/升），根据题意列出式子，讨论即可．
【详解】（1）妈妈两次加油总量是：升；
妈妈两次加油的平均价是（元/升）．
（2）设爸爸每次加满油箱的油是a升，则爸爸两次加油的平均价是（元/升），
∵，
∴．当时，爸爸的加油方式和妈妈的加油方式一样省钱；
当时，妈妈的加油方式比爸爸的加油方式更省钱．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，理解题意是解题关键．
22. “节能减排，绿色出行”，越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车车行经营的型自行车去年销售总额为元，今年该自行车每辆售价比去年降低元．若该自行车今年的销售总额与去年相同，那么今年的销售总量需要比去年增加．请解答以下问题：
（1）型自行车今年每辆售价为多少？
（2）该车行今年计划新进一批型车和新款型车共辆，且型进货数量不超过型车数量的倍．型车和型车每辆的进价分别为元和元，型车每辆的售价为元，该自行车行应如何组织进货才能使这批自行车获利最多？获利最多是多少？
【答案】（1）型自行车今年每辆售价为元
（2）购进型车辆，购进型车共辆，才能使这批自行车获利最多，获利最多元．
【解析】
【分析】（1）设型自行车今年每辆售价为元，则去年每辆售价为元，根据题意列出分式方程，解方程即可求解；
（2）设购进型车辆，则购进型车共辆，求得，设利润为元，根据题意，列出函数关系式，根据一次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
解：设型自行车今年每辆售价为元，则去年每辆售价为元，根据题意得，
解得：
经检验，是原方程的解，
答：型自行车今年每辆售价为元；
【小问2详解】
解：设购进型车辆，则购进型车共辆，
依题意，
解得：，
根据题意，型车和型车每辆的进价分别为元和元，型自行车今年每辆售价为元；型车每辆的售价为元，
设利润为元，则
即
∵，
∴当时取得最大值，最大值为（元）
∴购进型车辆，购进型车共辆，才能使这批自行车获利最多，获利最多元．
【点睛】本题考查了分式方程的意义，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意找到等量关系，列出方程与不等式是解题的关键．
23. ▱ABCD中，点E在AD上，DE=CD，请仅用无刻度的直尺，按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）
（1）在图1中，画出∠C的角平分线；
（2）在图2中，画出∠A的角平分线．

【答案】（1）作图参见解析；（2）作图参见解析.
【解析】
【分析】（1）连结CE，由DE=DC得到∠DEC=∠DCE，由AD∥BC得∠DEC=∠BCE，则∠DCE=∠BCE，即CE平分∠BCD；
（2）连结AC、BD，它们相交于点O，延长EO交BC于F，则AF为所作．
【详解】（1）如图1，由DE=DC得到∠DEC=∠DCE，由AD∥BC得∠DEC=∠BCE，则∠DCE=∠BCE，即CE平分∠BCD.CE为所求作；

（2）如图2，连结AC、BD，它们相交于点O，延长EO交BC于F，则AF为所作.因为三角形BOF和三角形DOE全等，导出BF=DE=AB=CD,从而得出∠BAF=∠BFA=∠FAD，则AF是所求作的角平分线.

考点：1.基本作图；2.三角形全等的判定与性质；3.平行四边形的性质.
24. 如图，在中，的角平分线交于点D．
（1）用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线分别与、、交于点E、点F、点H．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，连接、，完成下面证明的过程．
证明：∵的角平分线交于点D，
∴______．
∵垂直平分，
∴，______，______，
∴，
∴，
∴______．
∴．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质与尺规作图、全等三角形的性质与判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质与尺规作图是解题的关键；
（1）分别以点A、D为圆心，大于长为半径画弧，即可求解；
（2）根据线段垂直平分线的性质及全等三角形的性质与判定可进行求证．
【小问1详解】
解：所作图形如下：
【小问2详解】
证明：∵的角平分线交于点D，
∴，
∵垂直平分，
∴，，．
∴．
∴．
∴．
∴．
25. 如图，点C在线段上，平分．
（1）证明：；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）12
【解析】
分析】（1）根据，可以得到，然后根据即可证明结论成立；
（2）根据（1）中的结果和等腰三角形的性质，可以得到的长，，再根据三角形的面积计算公式即可计算出的面积．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
【小问2详解】
解：由（1）知，
∴，
又∵平分，
∴，
∴垂直平分，
∵．
∴，
∴，
即的面积是12．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是找出需要的条件，其中用到的数学思想是数形结合的思想．
26. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，将线段沿y轴向上平移4个单位，得到线段．
（1）写出点C，D的坐标；
（2）若点E在x轴上，求出点E坐标，使得；
（3）线段沿轴向下平移得线段，轴上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在请直接写出点坐标，并写出求其中一个点坐标的过程；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）
（3）x轴上存在点P，使得为等腰直角三角形，点坐标为：或或
【解析】
【分析】（1）根据平移性质作答即可；
（2）设，，，过点作轴于点，连接，，，则，求得，进而求出点坐标；
（3）使为等腰直角三角形，分三种情况，设，①当时，②当时，，③当时，，根据平移和三角形全等的性质进行答题即可．
【小问1详解】
解： ，，将线段沿轴向上平移4个单位，
，；
【小问2详解】
解：设，
，，
，
又，
过点作轴于点，连接，，，
则，
解得，
；
【小问3详解】
解：轴上存在点，使得为等腰直角三角形，
使为等腰直角三角形，分三种情况，设，
①当时，连接，过点作轴，交延长线于点，如图，
，
，
，
又，，
，
，
，
，
，
；
②当时，，
，，
，
，
，，
，
解得，
；
③当时，，
过点作轴，作轴，分别交于点和点，如图，
由题意知，，
，，
，
，
，
，
；
综上，存在，点坐标为或或．
【点睛】本题考查平移的性质，平移的坐标变换，三角形的面积，坐标与图形，三角形全等的判定与性质综合问题，解题的关键是对等腰直角三角形的分类讨论．