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北师大版初中八年级数学上册期末素养综合测试(一)课件
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这是一份北师大版初中八年级数学上册期末素养综合测试(一)课件，共60页。
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.(情境题·数学文化)(2024辽宁沈阳铁西期末)公元前6世纪 古希腊的毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”,意思是一切量 都可以用整数或整数的比(分数)表示.后来,这一学派的希帕 索斯发现,边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或 整数的比表示(如图),由此引发了第一次数学危机.这里“不 能用整数或整数的比表示的数”是指 ( )
A.正数 B.负数C.有理数 D.无理数
2.(2023湖南湘西州中考)已知直线a∥b,将一块直角三角板按 如图所示的方式摆放.若∠1=40°,则∠2的度数是 ( )A.40° B.50° C.140° D.150°
3.(2024甘肃敦煌期末)一次函数y=mx+2中,y随x的增大而增 大,则m的值可能是 ( )A.-2 B.-1 C.0 D.3
解析 ∵一次函数y=mx+2中,y随x的增大而增大,∴m>0,∴m的值可能是3.故选D.
4.(2023上海中考)为了调查不同时间段的车流量,某学校的 兴趣小组统计了不同时间段的车流量,如图所示的是各时间 段的小车与公车的车流量,则下列说法正确的是 ( )A.小车的车流量比公车的车流量稳定B.小车的车流量的平均数较大C.小车与公车车流量在同一时间段达到最小值D.小车与公车车流量的变化趋势相同
解析 A.公车的车流量比小车的车流量稳定,则此项错误,不 符合题意;B.小车的车流量的平均数较大,则此项正确,符合题意;C.小车车流量达到最小值的时间段早于公车车流量,则此项 错误,不符合题意;D.小车车流量的变化趋势是先增加、再减小、又增加;公车 车流量的变化趋势是先增加、再减小,则此项错误,不符合题 意.故选B.
5.下列各式正确的是 ( )A. =±0.8 B. - = C. =-|-5| D.3-(- )2=-4
6.(2023四川宜宾中考)如图,AB∥CD,且∠A=40°,∠D=24°,则 ∠E等于 ( )A.40° B.32° C.24° D.16°
解析 ∵AB∥CD,∠A=40°,∴∠ACD=∠A=40°.∵∠ACD=∠D+∠E,∠D=24°,∴40°=24°+∠E,∴∠E=16°,故选D.
7.(情境题·生命安全与健康)(2023山东泰安中考)为了解学生 的身体素质状况,国家每年都会进行中小学生身体素质抽测. 在今年的抽测中,某校九年级二班随机抽取了10名男生进行 引体向上测试,他们的成绩(单位:个)如下:7,11,10,11,6,14,11, 10,11,9.根据这组数据判断下列结论中错误的是 ( )A.这组数据的众数是11B.这组数据的中位数是10C.这组数据的平均数是10D.这组数据的方差是4.6
解析 A.这组数据中出现次数最多的是11,故众数是11,正 确,不符合题意;B.这组数据按从小到大的顺序排列为6,7,9,10,10,11,11,11,11,14,故中位数是 =10.5,错误,符合题意;C.这组数据的平均数是(7+11+10+11+6+14+11+10+11+9)÷10=100÷10=10,故平均数是10,正确,不符合题意;D.这组数据的平均数是10,方差是 =4.6,故方差是4.6,正确,不符合题意.故选B.
8.(2024江西吉安期末)在平面直角坐标系中,点P的横坐标是-2,且点P到x轴的距离为5,则点P的坐标是 ( )A.(5,-2)或(-5,-2) B.(-2,5)或(-2,-5)C.(-2,5) D.(-2,-5)
解析 点P到x轴的距离为5,所以点P的纵坐标为5或-5,所以 点P的坐标为(-2,5)或(-2,-5),故选B.
9.(跨学科·语文)(2023甘肃兰州十九中期末)如图所示的是8× 8的“密码图”,“今天考试”解密为“祝你成功”,用此 “密码图”解密“遇水架桥”为 ( )A.“一带一路” B.“中国崛起”C.“逢山开路” D.“中国声音”
解析 建立如图所示的平面直角坐标系,令“今”的坐标为 (3,2),则“祝”的坐标为(4,4),“天”的坐标为(5,1),“你”的 坐标为(6,3),故“遇水架桥”解密为“中国崛起”.故选B.
10.(一题多解)(2024河北保定莲池期末)老师利用两块大小一 样的长方体木块测量一张桌子的高度,首先按照图①的方式 放置,再交换两木块的位置,按照图②的方式放置,测量的数 据如图,则桌子的高度是 ( )A.77 cm B.78 cmC.79 cm D.80 cm
解析 解法一(二元一次方程组):设桌子的高度是x cm,长方 体木块截面的长比宽多y cm,依题意,得 解得 故桌子的高度是78 cm.解法二(三元一次方程组):设桌子的高度是x cm,长方体木块 截面的长为a cm,宽为b cm,
则 两式相加得2x=156,解得x=78,故选B.
11.(新独家原创)河北保定淮军公所博物馆2023年9月23日开 馆,大戏楼是最具有特色的观光点,大殿正面八根下檐柱上有 木制雕龙缠绕,开馆前夕,戏迷朋友们想把盘龙雕柱用彩带装 饰,为了美观,每根立柱需要按如图所示的方式从点A沿立柱 表面缠绕三周到其正上方的点B处.若每根立柱的底面周长 为2 m,高为6 m,则每根立柱所用彩带的最短长度为( ) A.6 m B.2 m C.6 m D.3 m
解析 如图,将圆柱侧面展开成长方形,则彩带的长度为3个 小长方形的对角线长之和. 由题意可知,在长方形ACDE中,AC=2 m,CD=2 m,∠C=90°,则 由勾股定理得AD= =2 m,∵3×2 =6 m,∴每根立柱所用彩带的最短长度为6 m.
12.(2022山东聊城月考)甲、乙两名同学在一段2 000 m长的 笔直公路上进行自行车比赛,开始时甲在起点,乙在甲的前方 200 m处,他们同时同向出发匀速前进,甲的速度是8 m/s,乙的 速度是6 m/s,先到达终点者在终点处等待.设甲、乙两人之 间的距离是y(m),比赛时间是x(s),整个过程中y与x之间的函 数关系的图象大致是( )
解析 甲到达终点所用的时间为2 000÷8=250(s),甲到达终点时,甲、乙两人之间的距离为2 000-200-6×250=300(m),乙到达终点所用的时间为(2 000-200)÷6=300(s),从比赛开始到甲、乙两名同学第一次相遇所用的时间为200 ÷(8-6)=100(s).当0≤x≤100时,设y关于x的函数解析式为y=k1x+b1,易知(0,200),(100,0)满足此解析式,
∴ 解得 ∴当0≤x≤100时,y=-2x+200;当100≤x≤250时,设y关于x的函数解析式为y=k2x+b2,易知(100,0),(250,300)满足此解析式,∴ 解得 ∴当100≤x≤250时,y=2x-200;当250≤x≤300时,设y关于x的函数解析式为y=k3x+b3,易知(250,300),(300,0)满足此解析式,
∴ 解得 ∴当250≤x≤300时,y=-6x+1 800.∴整个过程中y与x之间的函数关系的图象大致是C.故选C.
二、填空题(每小题3分,共18分)
13.(2023黑龙江绥化月考)把命题“同号两数的积是正数” 改写成“如果……那么……”的形式是 .
如果两数同号,那么这两个数的积是正数
14.(2024四川达州大竹期末)小明某学期数学平时成绩为70 分,期中考试成绩为80分,期末考试成绩为90分,计算学期总 评成绩的方法:平时成绩占30%,期中成绩占30%,期末成绩占 40%,则小明这学期的总评成绩是 分.
解析 小明这学期总评成绩是70×30%+80×30%+90×40%=21+24+36=81分.
15.(2024辽宁沈阳铁西期末)同一地点从高空中自由下落的 物体,其落到地面所需的时间与物体的质量无关,只与该物体 的高度有关.若物体从离地面为h(单位:m)的高处自由下落, 落到地面所用的时间为t(单位:s),且t与h的关系可以表示为t= (k为常数),当h=80时,t=4.则从高度为100 m的空中自由下落的物体,其落到地面所需的时间为 s.
解析 由题意得 =4,解得k=5,则t= ,∴当h=100时,t= = =2 ,∴从高度为100 m的空中自由下落的物体,其落到地面所需 的时间为2 s.
16.(2024河南信阳月考)如图,下列说法中,错误的是 (填序号).①如果∠ADE=∠B,那么DE∥BC;②如果∠AED=∠C,那么DE∥BC;③如果∠ADE=∠C,那么DE∥BC;④如果∠DFB=∠C,那么DF∥EC;⑤如果∠DFB=∠AED,那么DF∥EC.
解析 ①②④都可根据同位角相等,两直线平行证明,正确;因为③⑤中两角都不是同位角、内错角,故无法判定平行关 系.故答案为③⑤.
17.(2024安徽六安期末)在平面直角坐标系xOy中,A(0,3),B(8, 3),点C是x轴上的一个动点,当AC+BC的值最小时,点C的坐 标是 .
解析 作A关于x轴的对称点A',连接A'B, A'B与x轴的交点C满足AC+BC的值最小,此时A'(0,-3),B(8,3),∴A'B= =10,设直线A'B的解析式为y=kx+b,将A'(0,-3),B(8,3)代入得 解得
∴y= x-3,将y=0代入得 x-3=0,解得x=4,∴点C的坐标是(4,0).故答案为(4,0).
18.(新考向·规律探究试题)对于每个非零自然数n,x轴上有点 An(x,0),Bn(y,0),以AnBn表示这两点间的距离,其中An,Bn的横坐 标分别是 的解,则A1B1+A2B2+…+A2 024B2 024的值等于 .
解析 用换元法解方程组 得 ∵n是非零自然数,且x>y,∴AnBn=x-y= - ,∴A1B1+A2B2+…+A2 024B2 024=1- + - +…+ - =1- = .
三、解答题(共66分)
19.[答案含评分细则](2023广东深圳福田期末)(12分)(1)计算: -(π-3)0.(2)计算: × +3 - .(3)解方程组:
解析 (1)原式= -1= -1 ···························2分=-1-1=-2. ······································4分(2)原式= +3× -3 ···············6分= + -3 =- . ··································8分
(3) 由②得x=2y+4③, ·························9分把③代入①,得2(2y+4)+y=3,解得y=-1, ································11分把y=-1代入③,得x=2,∴方程组的解为 ···············12分
20.[答案含评分细则](10分)在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c, 设c为最大边的长.当a2+b2=c2时,△ABC是直角三角形;当a2+b2 ≠c2时,利用代数式比较a2+b2与c2的大小关系,探究△ABC的 形状(按角分类).(1)当△ABC的三边长分别为6,8,9时,△ABC为 三角 形;当△ABC的三边长分别为6,8,11时,△ABC为 三 角形.(2)猜想:当a2+b2 c2时,△ABC为锐角三角形;当a2+b2 c2时,△ABC为钝角三角形.
(3)当a=2,b=4时,判断△ABC的形状,并求出对应的c2的取值 范围.
解析 (1)锐角;钝角. ······························2分(2)>;<. ············································4分(3)因为c为最大边的长,所以4≤c<6. 5分①当a2+b2>c2,即16≤c2<20时,△ABC为锐角三角形. ·····6分②当a2+b2=c2,即c2=20时,△ABC为直角三角形. ·········8分③当a2+b2
(2)共享单车安装公司计划抽调出熟练工人若干,并且招聘新工人共同安装共享单车.如果25天后刚好交付运营公司3 500 辆合格品投入市场,求熟练工人和新工人各多少人.
解析 (1)设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车,每名 新工人每天可以安装y辆共享单车,根据题意,得 解得 答:每名熟练工人和新工人每天分别可以安装10辆和8辆共 享单车. ·········································5分(2)设熟练工人有m人,新工人有n人,由题意得25×10m+25×8n=3 500,整理得5m+4n=70, ································6分
∵m,n都为正整数,∴ 或 或 答:熟练工人和新工人分别有10人、5人或6人、10人或2 人、15人. ······································10分
22.[答案含评分细则](2023山东潍坊中考)(10分)某中学积极 推进校园文学创作,倡导每名学生每学期向校报编辑部至少 投1篇稿件.学期末,学校对七、八年级的学生投稿情况进行 调查.【数据的收集与整理】分别从两个年级随机抽取相同数量的学生,统计每人在本学 期投稿的篇数,制作了频数分布表如下:
【数据的描述与分析】(1)如图,求扇形统计图中圆心角α的度数,并补全频数直方图.
(2)根据频数分布表计算有关统计量:
直接写出表格中m,n的值,并求出 的值.【数据的应用与评价】(3)从中位数、众数、平均数、方差中,任选两个统计量,对 七、八年级学生的投稿情况进行比较,并做出评价.
解析 (1)七年级随机抽取的学生人数为7+10+15+12+6=50,则α=360°× =72°. ·······················2分补全频数直方图如下: ·····················4分(2)m=3.5,n=4. ····································6分
= =3. ···············7分详解:将八年级学生的投稿篇数按从小到大进行排序后,第25 个数和第26个数的平均数即为其中位数,∵2+10+13=25,2+10+13+21=46,∴m= =3.5.∵在八年级学生的投稿篇数中,投稿篇数为4出现的次数最 多,∴n=4.(3)答案不唯一.从平均数来看,八年级学生的平均数高于七
年级学生的平均数,从方差来看,八年级学生的稳定性较好, 所以八年级学生的投稿情况比七年级学生的投稿情况好. ·······································································10分
23.[答案含评分细则](2023山西大学附中期末)(12分)综合与 实践:问题情境:数学课上,同学们探索三角形中角之间的关系.如 图,在△ABC中,点E是边AC上一点,∠AEB=∠ABC.
特例分析:(1)如图1,作∠BAC的平分线交CB、BE于D、F两点.若∠ABC=70°,∠C=30°,求∠EFD和∠ADC的度数.类比猜想:(2)奋斗小组在(1)的基础上改变∠ABC的大小,经过探究,他 们发现∠EFD与∠ADC之间存在特定的等量关系,请直接写 出这一等量关系.
拓展探究:(3)如图2,作△ABC的外角∠BAG的平分线,交CB的延长线 于点D,延长BE、DA交于点F,请在图2中画出符合题意的图 形,并探究(2)中的结论是否成立.若成立,请说明理由;若不成立,请写出结论并说明理由.
解析 (1)∵∠AEB=∠ABC,∠ABC=70°,∴∠AEB=∠ABC=70°, ···························1分∵∠C=30°,∴∠BAC=180°-70°-30°=80°, ···················2分∵AD是∠BAC的平分线,∴∠BAD=∠DAC= ∠BAC=40°, ··············3分∴∠EFD=∠DAC+∠AEB=110°,∠ADC=∠ABD+∠BAD=110°. ···········································4分
(2)∠EFD=∠ADC. ·····························7分详解:∵AD是∠BAC的平分线,∴∠BAD=∠DAC,∵∠EFD=∠DAC+∠AEB,∠ADC=∠BAD+∠ABC,且∠AEB=∠ABC,∴∠EFD=∠ADC.(3)画出符合题意的图形如图. ··········8分
(2)中的结论成立. ······························9分理由:∵AD平分∠GAB,∴∠GAD=∠DAB,∵∠ABC是△ABD的外角,∴∠ABC=∠ADC+∠DAB,∵∠AEB是△AEF的外角,∴∠AEB=∠EFD+∠FAE, ·····················10分∵∠FAE=∠GAD,
∴∠AEB=∠EFD+∠GAD,∵∠AEB=∠ABC,∴∠ADC+∠DAB=∠EFD+∠GAD,∴∠EFD=∠ADC. ·····························12分
24.[答案含评分细则](2024山东济南高新区期中)(12分)如图, 在平面直角坐标系中,一次函数y1=x+2的图象与x轴,y轴分别 交于点A,B,y2=- x+b的图象与x轴,y轴分别交于点D,E,且两个函数图象相交于点C(m,5).(1)填空:m= ,b= .(2)求△ACD的面积.(3)在线段AD上是否存在一点M(异于点A,D),使得△ABM的 面积与四边形BMDC的面积比为4∶21?若存在,请求出点M
的坐标;若不存在,请说明理由.(4)点P在线段AD上,连接CP,若△ACP是直角三角形,请直接 写出所有符合条件的点P的坐标.
解析 (1)3;6. ··································2分详解:把C(m,5)代入y1=x+2,得5=m+2,解得m=3,∴C(3,5).把C(3,5)代入y2=- x+b,得5=- ×3+b,解得b=6.(2)一次函数y1=x+2中,当y1=0时,x=-2;当x=0时,y1=2,∴A(-2,0),B(0,2). ·······························4分一次函数y2=- x+6中,当y2=0时,x=18,∴D(18,0), ·····································5分∴AD=18-(-2)=20,
∴S△ACD= ×20×5=50. ·····················7分(3)如图: 在线段AD上存在一点M,使得△ABM的面积与四边形 BMDC的面积比为4∶21,∴S△ABM= S△ACD= ×50=8,
∴ AM·OB=8,即 AM×2=8,∴AM=8.∵点M在线段AD上,∴点M的坐标为(6,0). ····························10分(4)点P的坐标为(3,0)或(8,0). ······················12分详解:设点P的坐标为(k,0).①当∠APC=90°时,PC∥y轴,则k=3,即P(3,0).②当∠ACP=90°时,AC2=(3+2)2+52=50,CP2=(k-3)2+52,AP2=(k+
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.(情境题·数学文化)(2024辽宁沈阳铁西期末)公元前6世纪 古希腊的毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”,意思是一切量 都可以用整数或整数的比(分数)表示.后来,这一学派的希帕 索斯发现,边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或 整数的比表示(如图),由此引发了第一次数学危机.这里“不 能用整数或整数的比表示的数”是指 ( )
A.正数 B.负数C.有理数 D.无理数
2.(2023湖南湘西州中考)已知直线a∥b,将一块直角三角板按 如图所示的方式摆放.若∠1=40°,则∠2的度数是 ( )A.40° B.50° C.140° D.150°
3.(2024甘肃敦煌期末)一次函数y=mx+2中,y随x的增大而增 大,则m的值可能是 ( )A.-2 B.-1 C.0 D.3
解析 ∵一次函数y=mx+2中,y随x的增大而增大,∴m>0,∴m的值可能是3.故选D.
4.(2023上海中考)为了调查不同时间段的车流量,某学校的 兴趣小组统计了不同时间段的车流量,如图所示的是各时间 段的小车与公车的车流量,则下列说法正确的是 ( )A.小车的车流量比公车的车流量稳定B.小车的车流量的平均数较大C.小车与公车车流量在同一时间段达到最小值D.小车与公车车流量的变化趋势相同
解析 A.公车的车流量比小车的车流量稳定,则此项错误,不 符合题意;B.小车的车流量的平均数较大,则此项正确,符合题意;C.小车车流量达到最小值的时间段早于公车车流量,则此项 错误,不符合题意;D.小车车流量的变化趋势是先增加、再减小、又增加;公车 车流量的变化趋势是先增加、再减小,则此项错误,不符合题 意.故选B.
5.下列各式正确的是 ( )A. =±0.8 B. - = C. =-|-5| D.3-(- )2=-4
6.(2023四川宜宾中考)如图,AB∥CD,且∠A=40°,∠D=24°,则 ∠E等于 ( )A.40° B.32° C.24° D.16°
解析 ∵AB∥CD,∠A=40°,∴∠ACD=∠A=40°.∵∠ACD=∠D+∠E,∠D=24°,∴40°=24°+∠E,∴∠E=16°,故选D.
7.(情境题·生命安全与健康)(2023山东泰安中考)为了解学生 的身体素质状况,国家每年都会进行中小学生身体素质抽测. 在今年的抽测中,某校九年级二班随机抽取了10名男生进行 引体向上测试,他们的成绩(单位:个)如下:7,11,10,11,6,14,11, 10,11,9.根据这组数据判断下列结论中错误的是 ( )A.这组数据的众数是11B.这组数据的中位数是10C.这组数据的平均数是10D.这组数据的方差是4.6
解析 A.这组数据中出现次数最多的是11,故众数是11,正 确,不符合题意;B.这组数据按从小到大的顺序排列为6,7,9,10,10,11,11,11,11,14,故中位数是 =10.5,错误,符合题意;C.这组数据的平均数是(7+11+10+11+6+14+11+10+11+9)÷10=100÷10=10,故平均数是10,正确,不符合题意;D.这组数据的平均数是10,方差是 =4.6,故方差是4.6,正确,不符合题意.故选B.
8.(2024江西吉安期末)在平面直角坐标系中,点P的横坐标是-2,且点P到x轴的距离为5,则点P的坐标是 ( )A.(5,-2)或(-5,-2) B.(-2,5)或(-2,-5)C.(-2,5) D.(-2,-5)
解析 点P到x轴的距离为5,所以点P的纵坐标为5或-5,所以 点P的坐标为(-2,5)或(-2,-5),故选B.
9.(跨学科·语文)(2023甘肃兰州十九中期末)如图所示的是8× 8的“密码图”,“今天考试”解密为“祝你成功”,用此 “密码图”解密“遇水架桥”为 ( )A.“一带一路” B.“中国崛起”C.“逢山开路” D.“中国声音”
解析 建立如图所示的平面直角坐标系,令“今”的坐标为 (3,2),则“祝”的坐标为(4,4),“天”的坐标为(5,1),“你”的 坐标为(6,3),故“遇水架桥”解密为“中国崛起”.故选B.
10.(一题多解)(2024河北保定莲池期末)老师利用两块大小一 样的长方体木块测量一张桌子的高度,首先按照图①的方式 放置,再交换两木块的位置,按照图②的方式放置,测量的数 据如图,则桌子的高度是 ( )A.77 cm B.78 cmC.79 cm D.80 cm
解析 解法一(二元一次方程组):设桌子的高度是x cm,长方 体木块截面的长比宽多y cm,依题意,得 解得 故桌子的高度是78 cm.解法二(三元一次方程组):设桌子的高度是x cm,长方体木块 截面的长为a cm,宽为b cm,
则 两式相加得2x=156,解得x=78,故选B.
11.(新独家原创)河北保定淮军公所博物馆2023年9月23日开 馆,大戏楼是最具有特色的观光点,大殿正面八根下檐柱上有 木制雕龙缠绕,开馆前夕,戏迷朋友们想把盘龙雕柱用彩带装 饰,为了美观,每根立柱需要按如图所示的方式从点A沿立柱 表面缠绕三周到其正上方的点B处.若每根立柱的底面周长 为2 m,高为6 m,则每根立柱所用彩带的最短长度为( ) A.6 m B.2 m C.6 m D.3 m
解析 如图,将圆柱侧面展开成长方形,则彩带的长度为3个 小长方形的对角线长之和. 由题意可知,在长方形ACDE中,AC=2 m,CD=2 m,∠C=90°,则 由勾股定理得AD= =2 m,∵3×2 =6 m,∴每根立柱所用彩带的最短长度为6 m.
12.(2022山东聊城月考)甲、乙两名同学在一段2 000 m长的 笔直公路上进行自行车比赛,开始时甲在起点,乙在甲的前方 200 m处,他们同时同向出发匀速前进,甲的速度是8 m/s,乙的 速度是6 m/s,先到达终点者在终点处等待.设甲、乙两人之 间的距离是y(m),比赛时间是x(s),整个过程中y与x之间的函 数关系的图象大致是( )
解析 甲到达终点所用的时间为2 000÷8=250(s),甲到达终点时,甲、乙两人之间的距离为2 000-200-6×250=300(m),乙到达终点所用的时间为(2 000-200)÷6=300(s),从比赛开始到甲、乙两名同学第一次相遇所用的时间为200 ÷(8-6)=100(s).当0≤x≤100时,设y关于x的函数解析式为y=k1x+b1,易知(0,200),(100,0)满足此解析式,
∴ 解得 ∴当0≤x≤100时,y=-2x+200;当100≤x≤250时,设y关于x的函数解析式为y=k2x+b2,易知(100,0),(250,300)满足此解析式,∴ 解得 ∴当100≤x≤250时,y=2x-200;当250≤x≤300时,设y关于x的函数解析式为y=k3x+b3,易知(250,300),(300,0)满足此解析式,
∴ 解得 ∴当250≤x≤300时,y=-6x+1 800.∴整个过程中y与x之间的函数关系的图象大致是C.故选C.
二、填空题(每小题3分,共18分)
13.(2023黑龙江绥化月考)把命题“同号两数的积是正数” 改写成“如果……那么……”的形式是 .
如果两数同号,那么这两个数的积是正数
14.(2024四川达州大竹期末)小明某学期数学平时成绩为70 分,期中考试成绩为80分,期末考试成绩为90分,计算学期总 评成绩的方法:平时成绩占30%,期中成绩占30%,期末成绩占 40%,则小明这学期的总评成绩是 分.
解析 小明这学期总评成绩是70×30%+80×30%+90×40%=21+24+36=81分.
15.(2024辽宁沈阳铁西期末)同一地点从高空中自由下落的 物体,其落到地面所需的时间与物体的质量无关,只与该物体 的高度有关.若物体从离地面为h(单位:m)的高处自由下落, 落到地面所用的时间为t(单位:s),且t与h的关系可以表示为t= (k为常数),当h=80时,t=4.则从高度为100 m的空中自由下落的物体,其落到地面所需的时间为 s.
解析 由题意得 =4,解得k=5,则t= ,∴当h=100时,t= = =2 ,∴从高度为100 m的空中自由下落的物体,其落到地面所需 的时间为2 s.
16.(2024河南信阳月考)如图,下列说法中,错误的是 (填序号).①如果∠ADE=∠B,那么DE∥BC;②如果∠AED=∠C,那么DE∥BC;③如果∠ADE=∠C,那么DE∥BC;④如果∠DFB=∠C,那么DF∥EC;⑤如果∠DFB=∠AED,那么DF∥EC.
解析 ①②④都可根据同位角相等,两直线平行证明,正确;因为③⑤中两角都不是同位角、内错角,故无法判定平行关 系.故答案为③⑤.
17.(2024安徽六安期末)在平面直角坐标系xOy中,A(0,3),B(8, 3),点C是x轴上的一个动点,当AC+BC的值最小时,点C的坐 标是 .
解析 作A关于x轴的对称点A',连接A'B, A'B与x轴的交点C满足AC+BC的值最小,此时A'(0,-3),B(8,3),∴A'B= =10,设直线A'B的解析式为y=kx+b,将A'(0,-3),B(8,3)代入得 解得
∴y= x-3,将y=0代入得 x-3=0,解得x=4,∴点C的坐标是(4,0).故答案为(4,0).
18.(新考向·规律探究试题)对于每个非零自然数n,x轴上有点 An(x,0),Bn(y,0),以AnBn表示这两点间的距离,其中An,Bn的横坐 标分别是 的解,则A1B1+A2B2+…+A2 024B2 024的值等于 .
解析 用换元法解方程组 得 ∵n是非零自然数,且x>y,∴AnBn=x-y= - ,∴A1B1+A2B2+…+A2 024B2 024=1- + - +…+ - =1- = .
三、解答题(共66分)
19.[答案含评分细则](2023广东深圳福田期末)(12分)(1)计算: -(π-3)0.(2)计算: × +3 - .(3)解方程组:
解析 (1)原式= -1= -1 ···························2分=-1-1=-2. ······································4分(2)原式= +3× -3 ···············6分= + -3 =- . ··································8分
(3) 由②得x=2y+4③, ·························9分把③代入①,得2(2y+4)+y=3,解得y=-1, ································11分把y=-1代入③,得x=2,∴方程组的解为 ···············12分
20.[答案含评分细则](10分)在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c, 设c为最大边的长.当a2+b2=c2时,△ABC是直角三角形;当a2+b2 ≠c2时,利用代数式比较a2+b2与c2的大小关系,探究△ABC的 形状(按角分类).(1)当△ABC的三边长分别为6,8,9时,△ABC为 三角 形;当△ABC的三边长分别为6,8,11时,△ABC为 三 角形.(2)猜想:当a2+b2 c2时,△ABC为锐角三角形;当a2+b2 c2时,△ABC为钝角三角形.
(3)当a=2,b=4时,判断△ABC的形状,并求出对应的c2的取值 范围.
解析 (1)锐角;钝角. ······························2分(2)>;<. ············································4分(3)因为c为最大边的长,所以4≤c<6. 5分①当a2+b2>c2,即16≤c2<20时,△ABC为锐角三角形. ·····6分②当a2+b2=c2,即c2=20时,△ABC为直角三角形. ·········8分③当a2+b2
(2)共享单车安装公司计划抽调出熟练工人若干,并且招聘新工人共同安装共享单车.如果25天后刚好交付运营公司3 500 辆合格品投入市场,求熟练工人和新工人各多少人.
解析 (1)设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车,每名 新工人每天可以安装y辆共享单车,根据题意,得 解得 答:每名熟练工人和新工人每天分别可以安装10辆和8辆共 享单车. ·········································5分(2)设熟练工人有m人,新工人有n人,由题意得25×10m+25×8n=3 500,整理得5m+4n=70, ································6分
∵m,n都为正整数,∴ 或 或 答:熟练工人和新工人分别有10人、5人或6人、10人或2 人、15人. ······································10分
22.[答案含评分细则](2023山东潍坊中考)(10分)某中学积极 推进校园文学创作,倡导每名学生每学期向校报编辑部至少 投1篇稿件.学期末,学校对七、八年级的学生投稿情况进行 调查.【数据的收集与整理】分别从两个年级随机抽取相同数量的学生,统计每人在本学 期投稿的篇数,制作了频数分布表如下:
【数据的描述与分析】(1)如图,求扇形统计图中圆心角α的度数,并补全频数直方图.
(2)根据频数分布表计算有关统计量:
直接写出表格中m,n的值,并求出 的值.【数据的应用与评价】(3)从中位数、众数、平均数、方差中,任选两个统计量,对 七、八年级学生的投稿情况进行比较,并做出评价.
解析 (1)七年级随机抽取的学生人数为7+10+15+12+6=50,则α=360°× =72°. ·······················2分补全频数直方图如下: ·····················4分(2)m=3.5,n=4. ····································6分
= =3. ···············7分详解:将八年级学生的投稿篇数按从小到大进行排序后,第25 个数和第26个数的平均数即为其中位数,∵2+10+13=25,2+10+13+21=46,∴m= =3.5.∵在八年级学生的投稿篇数中,投稿篇数为4出现的次数最 多,∴n=4.(3)答案不唯一.从平均数来看,八年级学生的平均数高于七
年级学生的平均数,从方差来看,八年级学生的稳定性较好, 所以八年级学生的投稿情况比七年级学生的投稿情况好. ·······································································10分
23.[答案含评分细则](2023山西大学附中期末)(12分)综合与 实践:问题情境:数学课上,同学们探索三角形中角之间的关系.如 图,在△ABC中,点E是边AC上一点,∠AEB=∠ABC.
特例分析:(1)如图1,作∠BAC的平分线交CB、BE于D、F两点.若∠ABC=70°,∠C=30°,求∠EFD和∠ADC的度数.类比猜想:(2)奋斗小组在(1)的基础上改变∠ABC的大小,经过探究,他 们发现∠EFD与∠ADC之间存在特定的等量关系,请直接写 出这一等量关系.
拓展探究:(3)如图2,作△ABC的外角∠BAG的平分线,交CB的延长线 于点D,延长BE、DA交于点F,请在图2中画出符合题意的图 形,并探究(2)中的结论是否成立.若成立,请说明理由;若不成立,请写出结论并说明理由.
解析 (1)∵∠AEB=∠ABC,∠ABC=70°,∴∠AEB=∠ABC=70°, ···························1分∵∠C=30°,∴∠BAC=180°-70°-30°=80°, ···················2分∵AD是∠BAC的平分线,∴∠BAD=∠DAC= ∠BAC=40°, ··············3分∴∠EFD=∠DAC+∠AEB=110°,∠ADC=∠ABD+∠BAD=110°. ···········································4分
(2)∠EFD=∠ADC. ·····························7分详解:∵AD是∠BAC的平分线,∴∠BAD=∠DAC,∵∠EFD=∠DAC+∠AEB,∠ADC=∠BAD+∠ABC,且∠AEB=∠ABC,∴∠EFD=∠ADC.(3)画出符合题意的图形如图. ··········8分
(2)中的结论成立. ······························9分理由:∵AD平分∠GAB,∴∠GAD=∠DAB,∵∠ABC是△ABD的外角,∴∠ABC=∠ADC+∠DAB,∵∠AEB是△AEF的外角,∴∠AEB=∠EFD+∠FAE, ·····················10分∵∠FAE=∠GAD,
∴∠AEB=∠EFD+∠GAD,∵∠AEB=∠ABC,∴∠ADC+∠DAB=∠EFD+∠GAD,∴∠EFD=∠ADC. ·····························12分
24.[答案含评分细则](2024山东济南高新区期中)(12分)如图, 在平面直角坐标系中,一次函数y1=x+2的图象与x轴,y轴分别 交于点A,B,y2=- x+b的图象与x轴,y轴分别交于点D,E,且两个函数图象相交于点C(m,5).(1)填空:m= ,b= .(2)求△ACD的面积.(3)在线段AD上是否存在一点M(异于点A,D),使得△ABM的 面积与四边形BMDC的面积比为4∶21?若存在,请求出点M
的坐标;若不存在,请说明理由.(4)点P在线段AD上,连接CP,若△ACP是直角三角形,请直接 写出所有符合条件的点P的坐标.
解析 (1)3;6. ··································2分详解:把C(m,5)代入y1=x+2,得5=m+2,解得m=3,∴C(3,5).把C(3,5)代入y2=- x+b,得5=- ×3+b,解得b=6.(2)一次函数y1=x+2中,当y1=0时,x=-2;当x=0时,y1=2,∴A(-2,0),B(0,2). ·······························4分一次函数y2=- x+6中,当y2=0时,x=18,∴D(18,0), ·····································5分∴AD=18-(-2)=20,
∴S△ACD= ×20×5=50. ·····················7分(3)如图: 在线段AD上存在一点M,使得△ABM的面积与四边形 BMDC的面积比为4∶21,∴S△ABM= S△ACD= ×50=8,
∴ AM·OB=8,即 AM×2=8,∴AM=8.∵点M在线段AD上,∴点M的坐标为(6,0). ····························10分(4)点P的坐标为(3,0)或(8,0). ······················12分详解:设点P的坐标为(k,0).①当∠APC=90°时,PC∥y轴,则k=3,即P(3,0).②当∠ACP=90°时,AC2=(3+2)2+52=50,CP2=(k-3)2+52,AP2=(k+
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