新高考物理一轮复习重难点练习专题10 万有引力定律及应用（2份打包，原卷版+解析版）

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1.理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题.
2.掌握计算天体质量和密度的方法．
考点一 开普勒定律

1．行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理．
2.由开普勒第二定律可得eq \f(1,2)Δl1r1＝eq \f(1,2)Δl2r2，eq \f(1,2)v1·Δt·r1＝eq \f(1,2)v2·Δt·r2，解得eq \f(v1,v2)＝eq \f(r2,r1)，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小．
3．开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间．
【典例1】（2021·上海·上外浦东附中高一期末）在人类对行星运动规律的认识过程，开普勒作出了划时代的贡献。对开普勒行星运动定律的理解，下列说法中正确的是（ ）
A．此定律不仅适用于行星绕太阳运动，也适用于宇宙中其他卫星绕行星的运动
B．牛顿发现万有引力定律后，开普勒整理牛顿的观测数据，发现了行星运动规律
C．行星绕太阳做椭圆轨道运动时，线速度方向时刻在变，但大小始终不变
D．由开普勒第三定律 SKIPIF 1 < 0 ，月亮绕地球运动的k值与人造卫星绕地球运动的k不同
【答案】A
【解析】A．开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳运动，还适用于宇宙中其他卫星绕行星的运动，A正确；
B．在开普勒发现了行星的运行规律后，牛顿才发现万有引力定律，开普勒整理第谷的观测数据后，发现了行星运动的规律，B错误；
C．由开普勒第二定律可知，日星连线相同时间内扫过面积相等，行星绕太阳在椭圆轨道上运动时，线速度大小在变化，越靠近太阳，线速度越大，反之，则越小，C错误；
D．公式中的值由中心天体决定，只要是中心天体一样，k值一样，而月亮和人造卫星都是绕地球运动，则k值相同，D错误。
故选A。
【典例2】（2022·浙江宁波·高一期末）北京冬奥开幕式24节气倒计时惊艳全球，如图是地球沿椭圆轨道绕太阳运行所处不同位置对应的节气，下列说法正确的是（ ）
A．夏至时地球的运行速度最大
B．从冬至到春分的运行时间为公转周期的 SKIPIF 1 < 0
C．若用 SKIPIF 1 < 0 代表椭圆轨道的半长轴， SKIPIF 1 < 0 代表公转周期，则 SKIPIF 1 < 0 ，地球和火星对应的 SKIPIF 1 < 0 值是不同的
D．太阳既在地球公转轨道的焦点上，也在火星公转轨道的焦点上
【答案】D
【解析】A．根据开普勒第二定律可知，地球与太阳中心连线在相同时间内扫过的面积相等，根据
SKIPIF 1 < 0
可知近日点离太阳最近，近日点的运行速度最大，远日点离太阳最远，远日点的运行速度最小，故夏至时地球的运行速度最小，A错误；
B．根据对称性可知，从冬至到夏至的运行时间为公转周期的 SKIPIF 1 < 0 ，由于从冬至到春分地球的运行速度大于从春分到夏至地球的运行速度，可知从冬至到春分的运行时间小于从春分到夏至的运行时间，故从冬至到春分的运行时间小于公转周期的 SKIPIF 1 < 0 ，B错误；
C．根据开普勒第三定律可知，所有绕太阳转动的行星轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方成正比，则有
SKIPIF 1 < 0
其中 SKIPIF 1 < 0 与中心天体的质量有关，地球和火星都是绕太阳转动，故地球和火星对应的 SKIPIF 1 < 0 值相同，C错误；
D．根据开普勒第一定律可知，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上，故太阳既在地球公转轨道的焦点上，也在火星公转轨道的焦点上，D正确。
故选D。
考点二 万有引力定律
1．内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比．
2．表达式
F＝Geq \f(m1m2,r2)，G为引力常量，通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由英国物理学家卡文迪什测定．
3．适用条件
(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离．

1．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示．
(1)在赤道上：Geq \f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R.
(2)在两极上：Geq \f(Mm,R2)＝mg0.
(3)在一般位置：万有引力Geq \f(Mm,R2)等于重力mg与向心力F向的矢量和．
越靠近两极，向心力越小，g值越大．由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即eq \f(GMm,R2)＝mg.
2．星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
(1)地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝Geq \f(Mm,R2)，得g＝eq \f(GM,R2).
(2)地球上空的重力加速度g′
地球上空距离地球中心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝eq \f(GMm,R＋h2)，得g′＝eq \f(GM,R＋h2).所以eq \f(g,g′)＝eq \f(R＋h2,R2).
3．万有引力的“两点理解”和“两个推论”
(1)两点理解
①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力．
②地球上的物体(两极除外)受到的重力只是万有引力的一个分力．
(2)星体内部万有引力的两个推论
①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0.
②推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的万有引力，即F＝Geq \f(M′m,r2).
【典例3】(2019·全国卷Ⅱ·14)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆．在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图像是( )
【答案】D
【解析】在嫦娥四号探测器“奔向”月球的过程中，根据万有引力定律F＝Geq \f(Mm,R＋h2)，可知随着h的增大，探测器所受的地球引力逐渐减小，但不是均匀减小的，故能够描述F随h变化关系的图像是D.
【典例4】(2020·全国卷Ⅰ·15)火星的质量约为地球质量的eq \f(1,10)，半径约为地球半径的eq \f(1,2)，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为( )
A．0.2 B．0.4 C．2.0 D．2.5
【答案】B
【解析】万有引力表达式为F＝Geq \f(Mm,r2)，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值为eq \f(F火引,F地引)＝eq \f(M火r地2,M地r火2)＝0.4，选项B正确．
【典例5】 某类地天体可视为质量分布均匀的球体，由于自转的原因，其表面“赤道”处的重力加速度为g1，“极点”处的重力加速度为g2，若已知自转周期为T，则该天体的半径为( )
A.eq \f(4π2,g1T2) B.eq \f(4π2,g2T2)
C.eq \f(g2－g1T2,4π2) D.eq \f(g1＋g2T2,4π2)
【答案】C
【解析】在“极点”处：mg2＝eq \f(GMm,R2)；在其表面“赤道”处：eq \f(GMm,R2)－mg1＝m(eq \f(2π,T))2R；解得：R＝eq \f(g2－g1T2,4π2)，故选C.
【典例6】某兴趣小组想在地球建造从地表直达地心的隧道。若将地球视为质量分布均匀的标准球体，质量为M，半径为R。已知质量分布均匀的球壳对内部引力处处为零，万有引力常量为G，忽略地球自转。则沿该隧道从地表静止释放的物体，到达地心处的速度为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】如果物体在距地心为r处（ SKIPIF 1 < 0 ），那么这个物体只会受到以地心为球心、以r为半径的那部分球体的万有引力，因为质量分布均匀的球壳对内部引力处处为零。
设物体的质量为m，地球密度为ρ，以半径为r的那部分球体的质量为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
联立可得
SKIPIF 1 < 0
物体所受的万有引力
SKIPIF 1 < 0
由上可知物体所受万有引力与距地心距离成正比，则该过程中万有引力的平均值
SKIPIF 1 < 0
对该过程列动能定理
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故A正确，BCD错误。
故选A。
考点三 天体质量和密度的计算
应用万有引力定律估算天体的质量、密度
(1)利用天体表面重力加速度
已知天体表面的重力加速度g和天体半径R.
①由Geq \f(Mm,R2)＝mg，得天体质量M＝eq \f(gR2,G).
②天体密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3g,4πGR).
(2)利用运行天体(以已知周期为例)
测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T.
①由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，得M＝eq \f(4π2r3,GT2).
②若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3πr3,GT2R3).
③若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝eq \f(3π,GT2)，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．
【典例7】宇航员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地．若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面．已知引力常量为G，月球的半径为R.求：(不考虑月球自转的影响)
(1)月球表面的自由落体加速度大小g月；
(2)月球的质量M；
(3)月球的密度ρ.
【答案】(1)eq \f(2h,t2) (2)eq \f(2hR2,Gt2) (3)eq \f(3h,2πRGt2)
【解析】(1)月球表面附近的物体做自由落体运动，有h＝eq \f(1,2)g月t2
月球表面的自由落体加速度大小g月＝eq \f(2h,t2)
(2)不考虑月球自转的影响，有Geq \f(Mm,R2)＝mg月
得月球的质量M＝eq \f(2hR2,Gt2)
(3)月球的密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(\f(2hR2,Gt2),\f(4π,3)R3)＝eq \f(3h,2πRGt2).
【典例8】(2021·全国乙卷·18)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示．科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1 000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞．这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖．若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为( )
A．4×104M B．4×106M
C．4×108M D．4×1010M
【答案】B
一、单选题
1.（2022·上海市建青实验学校模考）两颗人造卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，它们的半径之比为1：8，则它们运动周期之比为（ ）
A．1：2B．1：4C．1：8D．1：16 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】根据开普勒第三定律可知
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
故选D。
2.如图所示，八大行星沿椭圆轨道绕太阳公转，下列说法中正确的是（ ）
A．太阳处在椭圆的中心
B．火星绕太阳运行过程中，速率不变
C．土星比地球的公转周期大
D．地球和土星分别与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等
【答案】C
【解析】A．根据开普勒第一定律可知，太阳处在椭圆的一个焦点上，故A错误；
B．根据开普勒第二定律可知，火星绕太阳运行过程中，在离太阳较近的位置运行速率较大，在离太阳较远的位置运行速率较小，故B错误；
C．由图可知土星轨道的半长轴比地球轨道的半长轴长，根据开普勒第三定律 SKIPIF 1 < 0 可知土星比地球的公转周期大，故C正确；
D．根据开普勒第二定律可知，同一颗行星与太阳连线在相等的时间内扫过的面积相等，而地球和土星不是同一颗行星，二者分别与太阳的连线在相同时间内扫过的面积不等，故D错误。
故选C。
3.可以看成质点的两个均匀球体，它们之间的万有引力大小为F。若它们的质量不变，距离增大到原来的2倍，则它们之间的万有引力大小变为（ ）
A．2FB． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．F
【答案】B
【解析】由万有引力公式
SKIPIF 1 < 0
可知，两球体的质量不变，距离增大到原来的2倍时，它们之间的万有引力大小变为 SKIPIF 1 < 0 。
故选B。
4.发现万有引力定律和测出引力常量的科学家分别是（ ）
A．牛顿、卡文迪许B．开普勒、卡文迪许
C．开普勒、库仑D．牛顿、库仑
【答案】A
【解析】牛顿根据行星的运动规律推导出了万有引力定律。经100多年后，由英国物理学家卡文迪许在实验室里利用扭秤装置巧妙的测量出了几个铅球间的引力，从而第一次较为准确的得到万有引力常量，A正确，BCD错误。
故选A。
5．（2022·江苏南通一模）有一质量为M、半径为R的密度均匀球体，在距离球心O为3R的地方有一质量为m的质点。先从M中挖去一半径为 SKIPIF 1 < 0 的球体，如图所示，则剩余部分对质点的万有引力大小为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】半径为R密度均匀完整球体对距离球心O为3R的地方有一质量为m的质点万有引力为
SKIPIF 1 < 0
挖去部分的质量为
SKIPIF 1 < 0
挖去部分产生的万有引力为
SKIPIF 1 < 0
剩余部分对质点的万有引力大小为
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
故选C。
6．（2022·北京市顺义区第一中学高三阶段练习）牛顿在发现万有引力定律时曾用月球的运动来检验，物理学史上称为著名的“月地检验”。已经知道地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球中心与地球中心距离是地球半径的k倍，根据万有引力定律，可以求得月球受到万有引力产生的加速度为 SKIPIF 1 < 0 。又根据月球绕地球运动周期为T，可求得月球的向心加速度为 SKIPIF 1 < 0 ，两者数据代入后结果相等万有引力定律得到验证，以下说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】由万有引力即题意可知，在地球表面有
SKIPIF 1 < 0
月球围绕地球运动，有
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
月球绕地球运动周期为T，由向心加速度计算公式可得
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故选B。
7．（2022·湖南一模）2021年10月16日凌晨，“神舟十三号”乘组从酒泉卫星发射中心出发，开始了太空之旅，之后在中国空间站在轨驻留了6个月。“蛟龙号”载人深潜器是我国首台自主设计、自主集成研制的作业型深海载人潜水器，对于我国开发利用深海的资源有着重要的意义。若地球半径为 SKIPIF 1 < 0 ，把地球看成质量分布均匀的球体，不计地球自转的影响，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则“蛟龙号”下潜深度为 SKIPIF 1 < 0 时的重力加速度大小与“神舟十三号”距地面高 SKIPIF 1 < 0 时的加速度大小之比为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】设地球的密度为 SKIPIF 1 < 0 ，在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等
SKIPIF 1 < 0
则
SKIPIF 1 < 0
由于地球的质量为
SKIPIF 1 < 0
因此重力加速度的表达式可转换为
SKIPIF 1 < 0
根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于（ SKIPIF 1 < 0 ）的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙号”的重力加速度
SKIPIF 1 < 0
所以有
SKIPIF 1 < 0
根据万有引力提供向心力，有
SKIPIF 1 < 0
“神舟十三号”所在处的加速度为
SKIPIF 1 < 0
所以
SKIPIF 1 < 0
则
SKIPIF 1 < 0
故C正确。
故选C。
8．（2022·江苏省昆山中学模拟预测）中国新闻网宣布：在摩洛哥坠落的陨石被证实来自火星。某同学想根据平时收集的部分火星资料（如图所示）计算出火星的密度，再与这颗陨石的密度进行比较。下列计算火星密度的公式错误的是（引力常量G已知，忽略火星自转的影响）（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】设近地卫星的质量为 SKIPIF 1 < 0 ，火星的质量为 SKIPIF 1 < 0 ，对近地卫星，火星的万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，则有
SKIPIF 1 < 0
可得
SKIPIF 1 < 0
可得火星的密度为
SKIPIF 1 < 0
将 SKIPIF 1 < 0 代入上式可得
SKIPIF 1 < 0
又火星对近地卫星的万有引力近似等于近地卫星的重力，则有
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
因此火星的密度为
SKIPIF 1 < 0
ACD正确，B错误。
故错误的选B。
9．（2022·安徽·阜阳市第三中学高三阶段练习）2021年10月27日，我国在酒泉卫星发射中心用“快舟一号”甲运载火箭，成功将“吉林一号”高分02F卫星送入预定轨道。卫星入轨后，将在自然资源调查、生态环境监测、城市综合治理以及防灾减灾等领域广泛应用，推动社会发展和进步！该卫星绕地球做匀速圆周运动，运行的周期为T，运行轨道离地球表面的高度为h，地球的半径为R，引力常量为G，则地球的质量可表示为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】根据
SKIPIF 1 < 0
解得地球的质量
SKIPIF 1 < 0
故选B。
10．（2022·江西·临川一中高三阶段练习）火星探测器的发射时间要求很苛刻，必须在每次地球和火星相距最近之前几个月发射。设地球环绕太阳的运动周期为T，轨道半径为 SKIPIF 1 < 0 ；火星环绕太阳的轨道半径为 SKIPIF 1 < 0 ，火星的半径为R，万有引力常量为G。下列结论正确的有（ ）
A．太阳质量为 SKIPIF 1 < 0
B．火星的公转周期为 SKIPIF 1 < 0
C．火星表面的重力加速度为 SKIPIF 1 < 0
D．从火星与地球相距最近开始计时到火星与地球第一次相距最远的时间为 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】A．设太阳质量为 SKIPIF 1 < 0 ，根据万有引力提供向心力可得
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
A错误；
B．设火星公转周期为 SKIPIF 1 < 0 ，根据开普勒第三定律得
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
B正确；
C．根据题意无法求出火星的质量，所以无法求出火星表面的重力加速度，C错误；
D．地球绕太阳运转角速度
SKIPIF 1 < 0
火星绕太阳运转的角速度
SKIPIF 1 < 0
设地球和火星相距最近到第一次相距最远时间为 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0
结合B选项，联立解得
SKIPIF 1 < 0
D错误；
故选B。
二、多选题
11．（2022·山东·德州市第一中学高三阶段练习）在万有引力定律的学习中，月—地检验的内容是这样说的：地球绕太阳运动，月球绕地球运动，它们之间的作用力是同一种性质的力吗？这种力与地球对树上苹果（如图所示）的吸引力也是同一种性质的力吗？假设地球与月球间的作用力与太阳与行星间的作用力是同一种力，它们的表达式也应该满足 SKIPIF 1 < 0 。根据牛顿第二定律，月球绕地球做圆周运动的向心加速度 SKIPIF 1 < 0 （式中m地是地球质量，r是地球中心与月球中心的距离）。进一步，假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，同理可知，苹果的自由落体加速度 SKIPIF 1 < 0 （式中m地是地球质量，R是地球中心与苹果间的距离）。由以上两式可得 SKIPIF 1 < 0 。由于月球与地球中心的距离r约为地球半径R的60倍，所以 SKIPIF 1 < 0 。下列哪些数据能通过计算验证前面的假设。（ ）
A．月球的质量7.342×1022kg
B．自由落体加速度g为9.8m/s2
C．月球公转周期为27.3d，约2.36×106s
D．月球中心距离地球中心的距离为3.8×108m
【答案】BCD
【解析】根据题意可知，对月球
SKIPIF 1 < 0
在运算中需要月球公转周期、月球中心距离地球中心的距离。对于地表
SKIPIF 1 < 0
需要自由落体加速度g，不需要月球质量。
故选BCD。
12．（2022·河南焦作一模）我国“天问一号”携带的“祝融号”火星车成功着陆火星。如图所示，“天问一号”首先在I轨道上绕火星做匀速圆周运动，选定好着陆地点后在B点实施变轨进入轨道II，随后在近火点A时实施降轨进入轨道III（轨道半径可看成火星半径R），随后软着陆在火星表面。已知“天问一号”在II轨道上的周期为T，II轨道半长轴为a，则（ ）
A．“天问一号”在III轨道上的周期 SKIPIF 1 < 0
B．“天问一号”在III轨道上的线速度 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
C．火星的质量 SKIPIF 1 < 0
D．火星表面重力加速度 SKIPIF 1 < 0
【答案】CD
【解析】A．由开普勒第三定律可知
SKIPIF 1 < 0
“天问一号”在III轨道上的周期
SKIPIF 1 < 0
A错误；
B．由圆周运动公式可知，“天问一号”在III轨道上的线速度
SKIPIF 1 < 0
B错误；
C．由
SKIPIF 1 < 0
解得火星的质量
SKIPIF 1 < 0
C正确；
D．由
SKIPIF 1 < 0
解得火星表面重力加速度
SKIPIF 1 < 0
D正确。
故选CD。
三、解答题
13．（2021·全国·高三专题练习）两个质量分别是m1、m2的人造地球卫星，分别绕地球做匀速圆周运动，若它们的轨道半径分别是R1和R2，则它们的运行周期之比是多少?
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】所有人造卫星在绕地球运转时，都遵守开普勒第三定律。因此，对这两个卫星有
SKIPIF 1 < 0
所以它们的运行周期之比
SKIPIF 1 < 0
14．（2021·全国·高三专题练习）如图所示，一个质量为M的匀质实心球，半径为R。如果通过球心挖去一个直径为R的小实心球，然后置于相距为d的地方，试计算空心球与小实心球之间的万有引力。
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】实心球挖去一个半径为 SKIPIF 1 < 0 的小实心球后，质量分布不均匀。因此挖去小实心球剩余的部分，不能看成质量集中于球心的质点，直接求空心球和小实心球之间的万有引力很困难。
假设用与挖去的小实心球完全相同的球填补挖去的位置，则空心球变成一个实心球，可看作质量集中于球心的质点，则大、小实心球之间的万有引力为
F＝G SKIPIF 1 < 0
小实心球的质量为
m＝ρ· SKIPIF 1 < 0 π SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ρ· SKIPIF 1 < 0 πR3＝ SKIPIF 1 < 0 M
代入上式得
F＝G SKIPIF 1 < 0
填入的小实心球与挖去的小实心球之间的万有引力为
F1＝G SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 · SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0
设空心球与小实心球之间的万有引力为F2，则有F＝F1＋F2因此，空心球与小实心球之间的万有引力为
F2＝F－F1＝ SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0
15．（2021·河北·沧县中学高三阶段练习）2021年2月10日19时52分我国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，成功实现环绕火星运动，成为我国第一颗人造火星卫星。在“天问一号”环绕火星做匀速圆周运动时，周期为T，轨道半径为r，已知火星的半径为R，引力常量为G，不考虑火星的自转。求：
（1）火星的密度 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）火星表面的重力加速度g的大小。
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）设“天问一号”的质量为m，其绕火星做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，有
SKIPIF 1 < 0
解得火星质量
SKIPIF 1 < 0
火星半径为R，则其体积为
SKIPIF 1 < 0
火星密度为
SKIPIF 1 < 0
（2）忽略火星自转，火星表面质量为 SKIPIF 1 < 0 的物体，其所受万有引力等于重力，有
SKIPIF 1 < 0
解得火星表面的重力加速度为
SKIPIF 1 < 0
16．（2022·上海·模拟预测）2021 年 5 月 15 日，“天问一号”着陆巡视器带着“祝融号”火星车成功着陆于火星，我国首次火星探测任务着陆火星取得圆满成功，图为“祝融号”火星车和“天问一号”着陆巡视器。（本题结果保留一位有效数字）
(1)“天问一号”需要完成 9 分钟减速软着陆，若其在“降落伞减速”阶段，垂直速度由396m/s 减至 61m/s，用时 168s。计算此阶段减速的平均加速度。
(2)若火星质量为地球质量的 0.11 倍，火星半径为地球半径的 0.53 倍，地球表面重力加速度g = 10m/s2，估算火星表面重力加速度大小。
(3)“天问一号”质量约为 5.3 吨，请估算“天问一号”在“降落伞减速”阶段受到的平均空气阻力。
【答案】(1)2m/s2，方向与运动方向相反；(2)4 m/s2；(3)3×104N
【解析】(1)减速阶段的平均加速度
SKIPIF 1 < 0
方向与速度方向相反；
(2)根据
SKIPIF 1 < 0
可得
SKIPIF 1 < 0
则
SKIPIF 1 < 0
(3)根据牛顿第二定律可得
SKIPIF 1 < 0
解得
F=3×104N
定律
内容
图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律(面积定律)
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律(周期定律)
所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等
eq \f(a3,T2)＝k，k是一个与行星无关的常量