长春市第二实验中学2024届九年级上学期10月月考数学试卷(含解析)

这是一份长春市第二实验中学2024届九年级上学期10月月考数学试卷(含解析)，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若二次根式有意义，则x取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
详解：解：根据二次根式的意义，可知其被开方数为非负数，
因此可得x-2≥0，即x≥2.
故选D
2. 下列运算中错误的是（ ）
A B. C. D.
答案：A
解析：
详解：根据二次根式的运算法则分别判断即可：
A、和不是同类根式，不可合并，故此选项运算错误，符合题意；
B、，故此选项运算正确，不合题意；
C、，故此选项运算故此选项运算正确，不合题意；
D、，故此选项运算正确，不合题意．
故选A．
3. 下列事件是必然事件的是（ ）
A. 经过有信号灯的十字路口，遇见红灯
B. 从一副扑克中任意抽出一张是黑桃
C. 在一个三角形中，任意两边之和大于第三边
D. 明天一定下雨
答案：C
解析：
详解：经过有信号灯的十字路口，遇见红灯是随机事件，故A不符合题意；
从一副扑克中任意抽出一张是黑桃是随机事件，故B不符合题意；
在一个三角形中，任意两边之和大于第三边是必然事件，故C符合题意；
明天一定下雨是随机事件，故D不符合题意；
故选：C．
4. 如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔40 海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离BP的长可以表示为（ ）
A. 40海里B. 海里C. 海里D. 海里
答案：D
解析：
详解：∵一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，
∴∠BAP=37°，
∵AP=40海里，
∴BP=AP•sin37°=40sin37°海里；
故选D．
5. 关于x的一元二次方程kx2+2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 且
答案：D
解析：
详解：解：∵一元二次方程kx2+2x－1=0有两个不相等的实数根,
∴△=22﹣4k×（﹣1）＞0，且k≠0，
解得：k＞﹣1，且k≠0.
故选D.
6. 在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则tanA的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
详解：解：在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，
由勾股定理得：AC=4，
∴tanA=
故选C．
7. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上的一点，DE⊥AB于点E,若AC＝8， BC＝6，DE＝3，则AD的长为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
答案：C
解析：
详解：根据AC=8，BC=6，∠C=90°则AB=10，根据DE⊥AB，∠A为公共角，则△ADE∽△ABC，则，即，解得：AD=5．
8. 如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）
A. ∠ABP=∠CB. ∠APB=∠ABC
C. D.
答案：D
解析：
详解：解：A．当∠ABP=∠C时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
B．当∠APB=∠ABC时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
C．当时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9. 计算的结果是______．
答案：6
解析：
详解：解：
=6．
故答案为：6．
10. 某人沿着坡度i＝1：的山坡走到离地面25米高的地方，则他走的路程为____米．
答案：50
解析：
详解：解：根据题意，如下图：

由题意可知：，
坡度i＝1：可知，
∴
∴
故答案为50
11. 在一个不透明的箱子里装有红色、蓝色、黄色的球共个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小明通过多次摸球实验后发现摸到红色、黄色球的频率分别稳定在和，则箱子里蓝色球的个数很可能是______个．
答案：
解析：
详解：解：根据题意得摸到红色、黄色球的概率为和，
∴摸到蓝色球的概率为，
∵（个），
∴可估计袋中蓝色球的个数为个．
故答案为．
12. 一元二次方程根的判别式的值是__________．
答案：
解析：
详解：解：由题意得：
；
故答案为．
13. 如图，a∥b∥c，BC=1，DE=4.5，EF=1.5，则AC=______．

答案：4
解析：
详解：∵a∥b∥c，
∴，即，
解得，AB=3，
∴AC=AB+BC=4，
故答案为4．
14. 已知△ABC的三个顶点分别为A（－2，3）、B（－4，－1）、C（2，0），现将△ABC平移至△A′B′C′处，且A′坐标为（－1，2），则B′、C′点的坐标分别为_________．
答案：B′（－3，-2）C′（3，-1）
解析：
详解：A（－2，3）平移后A′坐标为（－1，2）易知x轴上向右平移了1个单位，y轴方向向下移动了1个单位．所以同样BC平移后也同样在x轴上向右平移了1个单位，y轴方向向下移动了1个单位．故B′（-3，-2）C′（3，-1）
三、解答题：
15. 计算：
（1）
（2）
答案：（1）；
（2）
解析：
小问1详解：
解：
；
小问2详解：
解：
．
16. 解方程：．
答案：；
解析：
详解：解：原方程可化：．
∵
∴＞0，
∴，
∴；．
17. 北京冬奥会于年月日至日在我国首都北京举行，北京也成为奥运史上第一个举办过夏季奥运会和冬季奥运会的城市，小冬是个集邮爱好者，他收集了如图所示的张纪念邮票，分别是冬奥会会徽记为、吉祥物冰墩墩记为、吉祥物雪容融记为张邮票除正面内容不同外，其余均相同，现将张邮票背面朝上，洗匀放好．
（1）小冬从中随机抽取一张邮票是“吉祥物”的概率是______．
（2）小冬从中随机抽取一张邮票记下图案后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求抽到的两张邮票都是吉祥物的概率．
答案：（1）
（2）
解析：
小问1详解：
解：∵有张纪念邮票，分别是冬奥会会徽记为、吉祥物冰墩墩记为、吉祥物雪容融记为，
∴小冬从中随机抽取一张邮票是“吉祥物”的概率是．
故答案为：；
小问2详解：
解：画树状图如图：

共有种等可能的结果数，其中抽到的两张邮票都是吉祥物的结果有种，
则抽到的两张邮票都是吉祥物的概率为．
18. 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，其顶点称为格点，的顶点均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹，不要求写出画法.
（1）在图中边上找到一点，连接，使；
（2）在图中边上找到一点，连接，使；
（3）在图中边上找到一点，连接，使.
答案：（1）画图见解析；
（2）画图见解析； （3）画图见解析
解析：
小问1详解：
解：如图中，点即为所求；
小问2详解：
解：如图中，点即为所求；
小问3详解：
解：如图中，点即为所求．
19. 如图，平地上两栋建筑物AB和CD相距30m，在建筑物AB的顶部测得建筑物CD底部的俯角为26.6°，测得建筑物CD顶部的仰角为45°．求建筑物CD的高度．（参考数据：sin26.6°≈0.45，cs26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）
答案：建筑物CD的高度约为45m．
解析：
详解：解：如图所示，过点A作AE⊥CD于E，
∴∠AEC=∠AED=90°，
∵∠CAE=45°，
∴∠C=45°，
∴∠C=∠CAE，
∴AE=CE，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD=∠BDE=90°，
∴四边形ABDE是矩形，
∴AE=BD=30m，
∴CE=AE=30m，，
∴CD=CE+DE=45m，
答：建筑物CD的高度约为45m．
20. 如图，交于点E，，且平分．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
答案：（1）见解析 （2）
解析：
小问1详解：
解：证明：∵
∴
∵平分，
∴，
∴，
又∵，
∴；
小问2详解：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
21. 某医疗器械生产厂家的甲、乙两车间要完成一批生产口罩的任务．如图折线和折线分别表示甲、乙生产的数量y（万件）与时间x（天）之间的函数关系的图象．根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）乙车间每天生产 万件，点C的坐标为 ．
（2）求线段对应的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围．
（3）当乙车间完成任务时，甲车间还需完成多少万件．
答案：（1）10，
（2）,
（3）4万件
解析：
小问1详解：
由图可得，
乙车间每天产量是：万件/天，
点C的横坐标为：，
∴点C的坐标为，
故答案为：；
小问2详解：
设函数表达式为
将，代入
解得：
所以线段AB对应的函数表达式为
由线段的端点A、B的横坐标可知自变量的取值范围为：
小问3详解：
当时，
∴万件
答：甲车间还需完成4万件．
22. 直播购物已经逐渐走进了人们的生活，某电商直播销售一款水杯，每个水杯的成本为30元．当每个水杯的售价为40元时，平均每月售出600个．通过市场调查发现，若售价每上涨1元，其月销售量就减少10个．
（1）当每个水杯的售价为45元时，平均每月售出______个水杯，月销售利润是______元．
（2）若每个水杯售价上涨x元，每月能售出______个水杯（用含x的代数式表示）．
（3）若月销售利润恰好为10000元，且尽量减少库存，求每个水杯的售价．
答案：（1）550，8250
（2）
（3）50元
解析：
小问1详解：
解∶ 依题意，（个）；（元）；
故答案为：550，8250；
小问2详解：
解：依题意：若每个水杯售价上涨x元，每月能售出个水杯，
故答案为：；
小问3详解：
设每个水杯售价上涨x元，根据题意，得
解得，，
∵要尽可能使顾客得到优惠
∴，
∴，
答：每个水杯的售价为50元．
23. 感知：小明同学复习“相似三角形”的时候遇到了这样的一道题目：
如图，在中，，D为BC上一点，
过点D作，交AC于点E．
求证：∽．
小明同学分析后发现，是的外角，可得，再结合已知条件可以得到∽．请根据小明的分析，结合图①，写出完整的证明过程．
探究：在中，，，D为BC上一点．
（1）如图②，过点D作，交AC于点E．当时，AD的长为______．
（2）如图③，过点D作，分别交AB、AC于点F、E．当时，BF的长的取值范围为______．
答案：[感知]见解析；[探究]（1）；（2）
解析：
详解：[感知]证明：，
是的外角，
[探究]（1）
设，则，
即
即
解得
故答案为：
（2）当与点重合时，如图，
解得
当与点重合时，，
故答案为：
24. 在中，，点Q在边上，，动点P从点A出发，沿射线运动，速度为每秒1个单位长度，当点P不与点Q重合时，以为边构造，使，且M与点B在直线的同侧，设点P运动时间为t秒．
（1）的长为______；
（2）点M落在边上时，求t的值；
（3）当点P在线段上时，设与重合部分图形周长为l，求l与t之间的函数关系式；
（4）当点M与的一个顶点（点C除外）连线所在的直线平分面积时，直接写出t的值．
答案：（1）5，（2），（3），（4）或或．
解析：
详解：解：（1）∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴AB＝，
故答案为：5．
（2）如图1中，

∵∠APM＝∠QPM＝90°，
∴∠A+∠AMP＝90°，
∵∠PMQ＝∠A，
∴∠AMP+∠PMQ＝90°，
∴∠AMQ＝∠ACB＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△AMQ∽△ACB，
∴，
∴，
∴AM＝，MQ＝，
∵PM∥BC，
∴△APM∽△ACB，
∴，
∴，
∴AP＝，
∴t＝．
（3）如图2中，当0≤t≤时，重叠部分是四边形PKJQ．

由题意PA＝t，PK＝t，AK＝t，
∴PQ＝3﹣t．KJ＝﹣t，
∴四边形PKJQ的周长＝PK+KJ+QJ+PQ＝t+﹣t++3﹣t＝﹣t+．
如图3中，当＜t＜3时，重叠部分是△PQM，周长＝3﹣t+（3﹣t）+（3﹣t）＝12﹣4t．

如图4中，当3＜t≤4时，重叠部分是△PQM，周长＝t﹣3+（t﹣3）+（t﹣3）＝4t﹣12．

综上所述， ．
（4）如图5中，当直线AM经过BC的中点R时，

由PM∥CR，可得，即，
解得t＝．
如图6中，当直线BM经过AC的中点W时，过点W作WT⊥AB于T．

由WT∥MJ，可得，
∴，
解得，t＝．
如图7中，当AM经过BC的中点时，

由PM∥CR，可得，即，
解得t＝，
综上所述，满足条件的t的值为或或．