初中北师大版（2024）2 从立体图形到平面图形第3课时教学设计

这是一份初中北师大版（2024）2 从立体图形到平面图形第3课时教学设计，共4页。教案主要包含了情境引入，教学建议，对应训练，课堂总结，知识结构，作业布置等内容，欢迎下载使用。


解题大招 常见几何体与其截面形状
用一个平面去截一个几何体，截面的形状既与被截几何体有关，又与截面的角度和方向有关，熟悉常见几何体的截面形状是解决此类问题的关键。常见截面形状与所对应几何体如下表（此处不讨论棱锥）：
由上表我们还可以总结出一些一般性规律，比如：
①圆柱截出的多边形必定是长（正）方形，圆锥截出的多边形必定是等腰三角形，棱柱截出的多边形的形状不固定；
②球和圆锥可以截出大小不一的圆，圆柱截出的圆大小相同；
③若截面中含有曲线，则对应几何体必定含有曲的面。
例1 用一个平面去截如图所示的圆柱，截面不可能是（B）
例2 有一个外观为圆柱形的物体，它的内部构造从外部看不到。当分别用一组平面沿水平方向（自上而下）和竖直方向（从左到右）截这个物体时，得到了如图所示的①②两组形状不同的截面，则这个物体的内部构造是（C）
A.空心圆柱 B.空心圆锥 C.空心球 D.空心半球
【解析】通过观察截面的形状可以发现：在圆柱内部的圆由上至下由点逐渐变成小圆、大圆，又逐渐变成点，从左往右由点逐渐变成小圆、大圆，又逐渐变成点，结合上述结论可得这个圆柱的内部构造为空心球。
培优点 判断被截后剩余几何体的顶点数、棱数、面数
例 如果用一个平面截去正方体的一个角（即切去一个三棱锥），那么剩下的几何体有几个顶点？几条棱？几个面？
思路分析:
解：正方体截去一个角后，剩下的几何体可能是如下4种情况：
如图①，剩下的几何体有10个顶点，15条棱，7个面；
如图②，剩下的几何体有9个顶点，14条棱，7个面；
如图③，剩下的几何体有8个顶点，13条棱，7个面；
如图④，剩下的几何体有7个顶点，12条棱，7个面。教学目标
课题
第3课时 截一个几何体
授课人
素养目标
1.经历切截几何体的活动过程，体会几何体在切截过程中的变化，在面与体的转换中丰富几何直觉和数学活动经验，发展空间观念。
2.通过截一个几何体的活动，认识圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱等几何体截面的一些特性。
教学重点
通过截一个几何体的活动，让学生在实际操作、自主探究、合作交流的过程中，体会截面与几何体的关系。
教学难点
从切截活动中发现方法，并能用自己的语言表述归纳；想象从不同角度切截同一个几何体所得截面的不同形状。
教学活动
教学步骤
师生活动
活动一：创设情境，新课导入
设计意图
联系生活情境，让学生初步体会截面的意义，激发学生的求知欲。
【情境引入】
在生活中我们常常需要将一个物体截开，如切西瓜、锯木头、切杨桃等。
将西瓜切开，有时候会得到扇形，有时候会得到圆形……
将木头锯开，有时候会得到圆形，有时候会得到长方形……
切开杨桃，可以得到五角星。
截开的方式不同，得到的图形也可能会不同。如果我们把之前所学的几何体截开，又会得到什么样的图形呢？下面我们将进入本节课的学习。
【教学建议】
教学中可借助实物模型或多媒体技术进行演示，但不必对截面概念下严格的定义。
活动二：问题引入，自主探究
设计意图
通过动手操作，培养学生的动手操作能力，并提升他们的空间想象能力。
探究点1 正方体的截面
概念引入：
用一个平面去截一个几何体，截出的面叫作截面。
如图，用一个平面去截一个正方体，截面是什么形状？
问题1 截面的形状可能是三角形吗？先想一想，再试一试。
可能是三角形，如图①。
问题2 截面的形状还可能是几边形？
还可能是五边形和六边形，如图②和图③。
【教学建议】
在教学中可先向学生说明如何截，再让学生充分想象，然后让学生实际截或演示给学生看。由想象的结果与实际的结果之间的差异，进一步激发学生的思维。
教学步骤
师生活动
问题3 用一个平面去截一个正方体，截面的形状可能是七边形吗？你能否说明其中的道理？
不能。因为正方体只有6个面，用平面去截一个正方体，在每个面上最多只能截出一条边，故最多只能截出6条边，所以不可能构成七边形。
【对应训练】
教材P12随堂练习第1题第（1）小题。
【教学建议】
对于问题3，可先引导学生对比之前得到的截面图，结合“面与面相交得到线”发现平面所经过正方体的面数与截面边数的关系，然后再进一步联想推理。
设计意图
先通过教材图示直接判断，结合已有的活动经验，再发散思维，猜想其他可能得到的截面形状。
探究点2 其他几何体的截面
下图中的截面分别是什么形状？
问题 改变平面的角度和方向，继续截上面的几何体，能否得到其他形状的截面？先想一想，再试一试。
圆柱：还可以截得圆、椭圆和其他不规则图形（残缺的椭圆）。
棱柱：还可以截得三角形、四边形等多边形（多边形的边数最高为棱柱的面数）。
圆锥：还可以截得圆、椭圆和其他不规则图形。
球：无法截得圆以外的图形。
【对应训练】
教材P12随堂练习第1题第（2）小题。
【教学建议】
学生前面已经经历过确定正方体截面形状活动的过程，此时应结合活动经验和总结出的规律，以猜想为主，实践验证为辅，实现空间观念的进一步拓展。
活动三：重点突破，提升探究
设计意图
发展学生逆向思维，通过已掌握的常见几何体的特征结合截面来判断可能的几何体的形状。
例 用一个平面去截一个几何体，可能得到的截面（部分）的形状如图所示，则原来的几何体可能是 圆柱 。
分析：由截面①③④可以推断该几何体有曲的面，可能是圆柱或圆锥；由截面②可以推断该几何体不可能是圆锥。故原来的几何体可能是圆柱。
【对应训练】
1.教材P13随堂练习第2题。
2.用一个平面去截一个几何体，能够截得长方形、三角形、梯形三种形状的截面，则原来的几何体可能是下面的（D）
【教学建议】
教学中可通过前面探究截面时的板书，让学生对应联想确认原来的几何体的形状。此类问题是逆向思维的运用，掌握常见几何体的基本特征，了解其截面的特性，有助于快速得出答案。
教学步骤
师生活动
活动四：随堂训练，课堂总结
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
1.什么是截面？
2.用一个平面去截一个正方体，截面的形状会是什么图形？
3.用一个平面去截常见的几何体，截面的形状会是什么图形？
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P15～16习题1.2第2，6，7题。
板书设计
教学反思
经历之前课时的学习，学生已经具备了一定的空间观念，在此基础上，让学生经历用平面去截一个几何体的活动过程，体会截面形状的变化，化抽象为形象，在体与面的转化过程中进一步丰富学生的数学活动经历，进一步发展空间观念。同时通过课后阅读材料让学生了解CT技术、3D打印技术等前沿科技中截面的应用，将复杂技术用简单的道理讲清楚，进一步激发学生的学习热情。
截面形状
圆
长（正）方形
等腰三角形
不规则多边形
可能截出该形状的几何体
圆柱、圆锥、球等
棱柱、圆柱等
棱柱、圆锥等
棱柱等