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高考物理一轮复习讲义第11章第1课时 磁场的描述 安培力（2份打包，原卷版+教师版）
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第1课时 磁场的描述 安培力
目标要求 1.理解磁场的性质及磁感应强度的概念，会求解磁感应强度叠加的问题。2.掌握左手定则，会判断安培力的方向，并会计算安培力的大小。
考点一 安培定则和磁场的叠加
1．磁场与磁感应强度
(1)磁场的基本性质
磁场对处于其中的磁体、电流和运动电荷有力的作用。
(2)磁感应强度
①物理意义：描述磁场的强弱和方向。
②定义式：B＝eq \f(F,Il)(通电导线垂直于磁场的情况下)。
③方向：小磁针静止时N极所指的方向。
④单位：特斯拉，简称特，符号为T。
(3)匀强磁场
磁场中各点的磁感应强度的大小相等、方向相同，磁感线是疏密程度相同、方向相同的平行直线。
(4)地磁场
①地磁的N极在地理南极附近，S极在地理北极附近，磁感线分布如图所示。
②在赤道平面上，距离地球表面高度相等的各点，磁感应强度的大小相等，且方向水平向北。
③地磁场在南半球有竖直向上的分量，在北半球有竖直向下的分量。
2．磁感线的特点
(1)磁感线上某点的切线方向就是该点的磁场方向。
(2)磁感线的疏密程度定性地表示磁场的强弱。
(3)磁感线是闭合曲线，没有起点和终点，在磁体外部，从N极指向S极；在磁体内部，由S极指向N极。
(4)同一磁场的磁感线不中断、不相交、不相切。
(5)磁感线是假想的曲线，客观上并不存在。
3．几种常见的磁场
(1)条形磁体和蹄形磁体的磁场(如图所示)
(2)电流的磁场
1．磁场是客观存在的一种物质，磁感线也是真实存在的。( × )
2．磁场中的一小段通电导线在该处受力为零，此处磁感应强度B不一定为零。( √ )
3．由定义式B＝eq \f(F,Il)可知，电流I越大，导线l越长，某点的磁感应强度B就越小。( × )
4．磁场中某点的磁感应强度B不一定等于eq \f(F,Il)( √ )
5．北京地面附近的地磁场方向是水平向北的。( × )
例1 如图所示，直导线AB、通电螺线管E、电磁体D三者相距较远，其磁场互不影响，当开关S闭合后，小磁针N极(黑色一端)指示磁场方向正确的是( )
A．a B．b C．c D．d
答案 C
解析 根据安培定则可判断出电流的磁场方向，再根据小磁针静止时N极的指向为磁场的方向可知C正确。
例2 (2023·山东济南市期末)如图所示，直角三角形abc，∠a＝90°，∠b＝30°，ac边长为l，两根通电长直导线垂直纸面分别放置在a、b两顶点处。a点处导线中的电流大小为I，方向垂直纸面向外，b点处导线中的电流大小为4I，方向垂直纸面向里。已知长直通电导线在其周围空间某点产生的磁感应强度大小B＝keq \f(I,r)，其中I表示电流大小，r表示该点到导线的垂直距离，k为常量。则顶点c处的磁感应强度大小为( )
A．keq \f(I,l) B.eq \r(2)keq \f(I,l) C.eq \r(3)keq \f(I,l) D．2keq \f(I,l)
答案 C
解析 a点处导线在c处产生的磁感应强度大小为Ba＝keq \f(I,l)，b点处导线在c处产生的磁感应强度大小为Bb＝keq \f(4I,2l)＝eq \f(2kI,l)，即Bb＝2Ba，Ba、Bb方向如图所示，夹角为120°，由几何关系知，合磁感应强度方向垂直Ba向上，则Bc＝eq \r(3)Ba＝eq \r(3)keq \f(I,l)，故选C。
磁场叠加问题的解题思路
1．确定磁场场源，如通电导线。
2．定位空间中需求解磁感应强度的点，利用安培定则判定各个场源在这一点产生的磁感应强度的大小和方向，如图所示为M、N在c点产生的磁感应强度BM、BN。
3．应用平行四边形定则求合磁场感应强度，如图中的B为合磁感应强度。
考点二 安培力的分析与计算
1．安培力：通电导线在磁场中受的力称为安培力。
2．安培力的大小
(1)当B、I垂直时，F＝IlB。
(2)若B与I夹角为θ，将B沿垂直于I和平行于I的方向正交分解，取垂直分量，可得F＝IlBsin_θ。
注意：θ是磁感应强度的方向与导线的夹角。当θ＝0或180°，即磁感应强度的方向与导线平行时，F＝0。
(3)公式的适用条件：一般只适用于匀强磁场。
(4)l是指有效长度。
弯曲通电导线的有效长度l等于连接导线两端点的直线的长度，相应的电流方向沿两端点连线由始端指向末端，如图所示。
3.安培力的方向
左手定则：伸开左手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内；让磁感线从掌心垂直进入，并使四指指向电流的方向，这时拇指所指的方向就是通电导线在磁场中所受安培力的方向。
4．同向电流相互吸引，反向电流相互排斥。
思考 通电导线、磁场方向、安培力的方向三者是一定两两垂直吗？通电导线和磁场方向可以不垂直吗？
答案 安培力的方向一定与通电导线垂直，一定与磁场方向垂直，即一定垂直于通电导线和磁场方向所确定的平面，但通电导线与磁场方向不一定垂直。
1．在磁场中同一位置，电流元的电流越大，所受安培力也一定越大。( × )
2．安培力的方向既跟磁感应强度方向垂直，又跟电流方向垂直。( √ )
3．通电导线与磁场不垂直，有一定夹角时，左手定则就不适用了。( × )
例3 如图所示，正六边形线框abcdef由六根导体棒连接而成，固定于匀强磁场中的线框平面与磁场方向垂直，线框顶点a、b与电源两端相连，其中ab棒的电阻为5R，其余各棒的电阻均为R，电源内阻及导线电阻忽略不计。S闭合后，线框受到的安培力大小为F。若仅将ab棒移走，则余下线框受到的安培力大小为( )
A.eq \f(F,2) B.eq \f(2F,3) C.eq \f(3F,4) D.eq \f(5F,6)
答案 A
解析 S闭合后，ab棒与余下线框并联，设电源电动势为E，则两并联支路的电流大小均为I＝eq \f(E,5R)，ab棒受到安培力的大小为Fab＝BIL，余下线框在磁场中的等效长度也为L，受到的安培力大小为F其他＝BIL，线框受到的安培力大小F＝Fab＋F其他＝2BIL，若仅将ab棒移走，则余下线框受到的安培力大小F′＝F其他＝BIL＝eq \f(F,2)，故选A。
例4 (2022·江苏卷·3)如图所示，两根固定的通电长直导线a、b相互垂直，a平行于纸面，电流方向向右，b垂直于纸面，电流方向向里，则导线a所受安培力方向( )
A．平行于纸面向上
B．平行于纸面向下
C．左半部分垂直纸面向外，右半部分垂直纸面向里
D．左半部分垂直纸面向里，右半部分垂直纸面向外
答案 C
解析 根据安培定则，可判断出导线a左侧部分所在处磁场方向斜向右上方，右侧部分的磁场方向斜向右下方，根据左手定则可判断出左半部分所受安培力垂直纸面向外，右半部分所受安培力垂直纸面向里，故C正确，A、B、D错误。
拓展 若用细线将一条形磁体悬挂于天花板上，条形磁体处于水平且静止的状态。当导线ab中通有如图所示的电流时，则条形磁体的N极将向________(填“内”或“外”)偏转；条形磁体受到的拉力________(填“大于”或“小于”)其受到的重力。
答案 外 大于
解析 直导线通入由a指向b的电流时，由左手定则知直导线的左端受到方向垂直纸面向里的安培力，根据牛顿第三定律可知，条形磁体的N极受到方向垂直纸面向外的作用力，应向纸面外偏转；条形磁体转动后，对直导线有向上的作用力，所以条形磁体受到向下的作用力，故条形磁体受到的拉力大于其受到的重力。
判断安培力作用下导体的运动情况的五种方法
考点三 安培力作用下的平衡和加速问题
与安培力有关的平衡、加速等问题，常涉及倾斜导轨、导体棒、电源、电阻等。求解时应变立体图为平面图，如侧视图、剖面图或俯视图等，并画出平面受力分析图，安培力的方向F安⊥B、F安⊥I。如图所示：
例5 如图所示，宽为L＝0.5 m的光滑导轨与水平面成θ＝37°角，质量为m＝0.1 kg、长也为L＝0.5 m的金属杆ab水平放置在导轨上，电源电动势E＝3 V，内阻r＝0.5 Ω，金属杆电阻为R1＝1 Ω，导轨电阻不计。金属杆与导轨垂直且接触良好。空间存在着竖直向上的匀强磁场(图中未画出)，当电阻箱的电阻调为R2＝0.9 Ω时，金属杆恰好能静止。取重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8。
(1)求磁感应强度B的大小；
(2)保持其他条件不变，当电阻箱的电阻调为R2′＝0.5 Ω时，闭合开关S，同时由静止释放金属杆，求此时金属杆的加速度。
答案 (1)1.2 T (2)1.2 m/s2，方向沿导轨向上
解析 (1)对金属杆受力分析如图，
由安培力公式和平衡条件可得mgsin θ＝BILcs θ
由闭合电路欧姆定律得
I＝eq \f(E,R1＋R2＋r)
解得B＝1.2 T
(2)由牛顿第二定律和闭合电路欧姆定律有
BI′Lcs θ－mgsin θ＝ma，I′＝eq \f(E,R1＋R2′＋r)
解得a＝1.2 m/s2，方向沿导轨向上。
例6 (2023·北京卷·19)2022年，我国阶段性建成并成功运行了“电磁撬”，创造了大质量电磁推进技术的世界最高速度纪录。一种两级导轨式电磁推进的原理如图所示。两平行长直金属导轨固定在水平面，导轨间垂直安放金属棒。金属棒可沿导轨无摩擦滑行，且始终与导轨接触良好，电流从一导轨流入，经过金属棒，再从另一导轨流回，图中电源未画出。导轨电流在两导轨间产生的磁场可视为匀强磁场，磁感应强度B与电流i的关系式为B＝ki(k为常量)。金属棒被该磁场力推动。当金属棒由第一级区域进入第二级区域时，回路中的电流由I变为2I。已知两导轨内侧间距为L，每一级区域中金属棒被推进的距离均为s，金属棒的质量为m。求：
(1)金属棒经过第一级区域时受到安培力的大小F；
(2)金属棒经过第一、二级区域的加速度大小之比a1∶a2；
(3)金属棒从静止开始经过两级区域推进后的速度大小v。
答案 (1)kI2L (2)1∶4 (3)eq \r(\f(10kI2Ls,m))
解析 (1)由题意可知，第一级区域中磁感应强度大小为B1＝kI
金属棒经过第一级区域时受到安培力的大小为
F＝B1IL＝kI2L
(2)根据牛顿第二定律可知，金属棒经过第一级区域的加速度大小为a1＝eq \f(F,m)＝eq \f(kI2L,m)
第二级区域中磁感应强度大小为B2＝2kI
金属棒经过第二级区域时受到安培力的大小为
F′＝B2·2IL＝4kI2L
金属棒经过第二级区域的加速度大小为
a2＝eq \f(F′,m)＝eq \f(4kI2L,m)
则金属棒经过第一、二级区域的加速度大小之比为a1∶a2＝1∶4
(3)金属棒从静止开始经过两级区域推进后，根据动能定理可得Fs＋F′s＝eq \f(1,2)mv2－0
解得金属棒从静止开始经过两级区域推进后的速度大小为v＝eq \r(\f(10kI2Ls,m))。
课时精练
1．把螺线管与电源连接，发现小磁针N极向螺线管偏转，静止时所指方向如图所示。下列说法正确的是( )
A．螺线管左端接电源正极
B．若将小磁针移到螺线管内部，小磁针N极所指方向不变
C．若将小磁针移到螺线管左端，小磁针N极将转过180°
D．若将小磁针移到螺线管正上方，小磁针N极所指方向不变
答案 B
解析 小磁针静止时N极指向为其所在处的磁场方向，由题图知螺线管电流在螺线管中轴线上的磁场方向是向左的，由右手螺旋定则可知螺线管中电流方向是逆时针方向(从左侧看)，则螺线管右端接电源正极，故A错误；螺线管内部磁场方向向左，所以将小磁针移到螺线管内部，小磁针N极所指方向不变，故B正确；若将小磁针移到螺线管左端，仍处于向左的磁场中，小磁针N极所指方向不变，故C错误；螺线管正上方磁场向右，若将小磁针移到螺线管正上方，小磁针N极所指方向向右，故D错误。
2.(2023·江苏卷·2)如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B。L形导线通以恒定电流I，放置在磁场中。已知ab边长为2l，与磁场方向垂直，bc边长为l，与磁场方向平行。该导线受到的安培力为( )
A．0 B．BIl C．2BIl D.eq \r(5)BIl
答案 C
解析 因bc段与磁场方向平行，则不受安培力作用；ab段与磁场方向垂直，则所受安培力大小为Fab＝BI·2l＝2BIl，则该导线受到的安培力为2BIl，故选C。
3．(2021·广东卷·5)截面为正方形的绝缘弹性长管中心有一固定长直导线，长管外表面固定着对称分布的四根平行长直导线，若中心直导线通入电流I1，四根平行直导线均通入电流I2，I1≫I2，电流方向如图所示，下列截面图中可能正确表示通电后长管发生形变的是( )
答案 C
解析 因I1≫I2，则可不考虑四个边上的直导线之间的相互作用力；根据两通电直导线间的安培力作用满足“同向电流相互吸引，反向电流相互排斥”，则正方形左右两侧的直导线要受到中心长直导线吸引的安培力，形成凹形，正方形上下两边的直导线要受到中心长直导线排斥的安培力，形成凸形，故变形后的形状如C所示，故选C。
4.(2021·全国甲卷·16)两足够长直导线均折成直角，按图示方式放置在同一平面内，EO与O′Q在一条直线上，PO′与OF在一条直线上，两导线相互绝缘，通有相等的电流I，电流方向如图所示。若一根无限长直导线通过电流I时，所产生的磁场在距离导线d处的磁感应强度大小为B，则图中与导线距离均为d的M、N两点处的磁感应强度大小分别为( )
A．B、0 B．0、2B C．2B、2B D．B、B
答案 B
解析 两直角导线可以等效为如图所示的两直导线，
由安培定则可知，两直导线在M点处的磁感应强度方向分别为垂直纸面向里、垂直纸面向外，故M点处的磁感应强度大小为零；两直导线在N点处的磁感应强度方向均垂直纸面向里，故N点处的磁感应强度大小为2B，综上分析B正确。
5.(2023·广东广州市模拟)一光滑绝缘的正方体固定在水平面内。AB导体棒可绕过其中点的转轴在正方体的上表面内自由转动，CD导体棒固定在正方体的下底面。开始时两棒相互垂直并静止，两棒中点O1、O2连线在正方体的中轴线上。现对两棒同时通入图示(A到B、D到C)方向的电流。下列说法中正确的是( )
A．通电后AB棒仍将保持静止
B．通电后AB棒将要顺时针转动(俯视)
C．通电后AB棒将要逆时针转动(俯视)
D．通电瞬间线段O1O2间存在磁感应强度为零的位置
答案 B
解析 CD导体棒电流产生的磁场分布，如图所示，
可知CD导体棒电流在B端产生的磁场有垂直AB棒向上的分量，根据左手定则可知B端受到垂直于纸面向外的安培力，B端向外转动，CD导体棒电流在A端产生的磁场有垂直AB棒向下的分量，根据左手定则可知A端受到垂直于纸面向里的安培力，A端向里转动，故俯视看导体棒AB将要顺时针转动，B正确，A、C错误；根据安培定则可知通电瞬间CD导体棒电流和AB导体棒电流在线段O1O2间产生的磁场方向相互垂直，故通电瞬间线段O1O2间不存在磁感应强度为零的位置，D错误。
6.(2024·贵州遵义市开学考)如图所示为一边长为d的正方体，在FE、ND两边放置足够长直导线，通有大小相等的电流I，电流方向如图所示。若一根无限长直导线通过电流I时，所产生的磁场在距离导线d处的磁感应强度大小为B，则图中C、O两点处的磁感应强度大小分别为( )
A．2B,0 B．2B,2B
C．0，eq \r(2)B D.eq \r(2)B，eq \r(2)B
答案 D
解析 根据右手螺旋定则，放置在FE边的通电导线在C点产生的磁感应强度大小为B、方向沿CM，放置在ND边的通电导线在C点产生的磁感应强度大小为B、方向沿FC，故C点处的磁感应强度大小为eq \r(2)B；放置在FE边的通电导线在O点产生的磁感应强度大小为B、方向沿NO，放置在ND边的通电导线在C点产生的磁感应强度大小为B、方向沿OP，故O点处的磁感应强度大小为eq \r(2)B。故选D。
7.(2024·山东济南市月考)如图所示，将一根同种材料、粗细均匀的导体围成半径为R的闭合导体线圈，固定在垂直于线圈平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。C、D两点将线圈分为上、下两部分，且C、D两点间上方部分的线圈所对应的圆心角为120°。现将大小为I的恒定电流自C、D两点间通入，则线圈C、D两点间上、下两部分导线受到的总安培力的大小为( )
A.eq \r(3)BIR B.eq \r(2)BIR C．BIR D．0
答案 A
解析 由几何关系可知，C、D两点间的距离L＝2Rsin 60°＝eq \r(3)R，电流I从C点流入，两支路电流满足：I1＋I2＝I，导体线圈受到的总安培力的大小F安＝BI1L＋BI2L＝BIL＝eq \r(3)BIR，故选A。
8．(2022·湖南卷·3)如图(a)，直导线MN被两等长且平行的绝缘轻绳悬挂于水平轴OO′上，其所在区域存在方向垂直指向OO′的磁场，与OO′距离相等位置的磁感应强度大小相等且不随时间变化，其截面图如图(b)所示。导线通以电流I，静止后，悬线偏离竖直方向的夹角为θ。下列说法正确的是( )
A．当导线静止在图(a)右侧位置时，导线中电流方向由N指向M
B．电流I增大，静止后，导线对悬线的拉力不变
C．tan θ与电流I成正比
D．sin θ与电流I成正比
答案 D
解析 当导线静止在题图(a)右侧位置时，对导线受力分析如图所示，
可知要让安培力为图示方向，则导线中电流方向应由M指向N，A错误；由于与OO′距离相等位置的磁感应强度大小相等且不随时间变化，有sin θ＝eq \f(BIL,mg)，FT＝mgcs θ，则可知sin θ与电流I成正比，当I增大时θ增大，则cs θ减小，静止后，悬线对导线的拉力FT减小，由牛顿第三定律知，导线对悬线的拉力减小，B、C错误，D正确。
9.(多选)(2022·全国乙卷·18)安装适当的软件后，利用智能手机中的磁传感器可以测量磁感应强度B。如图，在手机上建立直角坐标系，手机显示屏所在平面为xOy面。某同学在某地对地磁场进行了四次测量，每次测量时y轴指向不同方向而z轴正向保持竖直向上。根据表中测量结果可推知( )
A.测量地点位于南半球
B．当地的地磁场大小约为50 μT
C．第2次测量时y轴正向指向南方
D．第3次测量时y轴正向指向东方
答案 BC
解析 如图所示，
地磁南极位于地理北极附近，地磁北极位于地理南极附近。由表中z轴数据可看出z轴的磁场竖直向下，则测量地点应位于北半球，A错误；磁感应强度为矢量，故由表格可看出此处的磁感应强度大致为B＝eq \r(Bx2＋Bz2)＝eq \r(By2＋Bz2)，计算得B≈50 μT，B正确；由选项A可知测量地在北半球，而北半球地磁场指向北方斜向下，第2次测量By<0，故y轴指向南方，第3次测量Bx>0，故x轴指向北方而y轴则指向西方，C正确，D错误。
10.(2024·河南省开学考)在匀强磁场中有粗细均匀的同种导线制成的直角三角形线框abc，∠a＝90°，∠c＝30°。磁场方向垂直于线框平面，a、c两点接一直流电源，电流方向如图所示。则下列说法正确的是( )
A．导线bc受到的安培力大于导线ac受到的安培力
B．导线abc受到的安培力的合力大于导线ac受到的安培力
C．导线ab、ac所受安培力的大小之比为1∶3
D．导线abc受到的安培力的合力方向垂直于ac向上
答案 C
解析 设ab边电阻为R，则ac边电阻为eq \r(3)R，bc边电阻为2R，由并联分流原理，abc中电流为I，则ac中电流为eq \r(3)I，则Fbc＝BILbc，Fac＝eq \r(3)BILac＝eq \f(3,2)BILbc，故A错误；abc等效长度等于ac，但电流小于ac电流，则Fabc11.如图所示，在磁感应强度大小为B0的匀强磁场中，两长直导线P和Q垂直于纸面固定放置，两者之间的距离为l。在两导线中均通有方向垂直于纸面向里且大小相等的电流时，纸面内与两导线距离均为l的a点处的磁感应强度为零。若仅让P中的电流反向，则a点处磁感应强度的大小为( )
A．2B0 B.eq \f(2\r(3),3)B0 C.eq \f(\r(3),3)B0 D．B0
答案 B
解析 在两导线中均通有方向垂直于纸面向里的电流I时，纸面内与两导线距离为l的a点处的磁感应强度为0，由图甲知，B1＝B0，外加的磁场方向与PQ平行，且由Q指向P；
依据几何关系及三角函数知识有：BPcs 30°＝eq \f(1,2)B0，解得通电导线P和Q在a处的磁场的磁感应强度大小均为BP＝eq \f(\r(3),3)B0；当P中的电流反向，其他条件不变，依据几何关系及三角函数知识，如图乙所示，
有：B2＝BP＝eq \f(\r(3),3)B0，方向垂直于PQ向上，由矢量的合成法则，得a点处磁感应强度的大小为B＝ eq \r(B02＋\f(\r(3),3)B02)＝eq \f(2\r(3),3)B0，故B正确，A、C、D错误。
12．(2023·海南卷·17)如图所示，U形金属杆上边长为L＝15 cm，质量为m＝1×10－3 kg，下端插入导电液体中，导电液体连接电源，金属杆所在空间有垂直纸面向里B＝8×10－2 T的匀强磁场。
(1)若插入导电液体部分深h＝2.5 cm，闭合电键后，金属杆飞起后，其下端离液面高度H＝10 cm，设杆中电流不变，求金属杆离开液面时的速度大小和金属杆中的电流有多大；(g＝10 m/s2)
(2)若金属杆下端刚与导电液体接触，改变电动势的大小，通电后金属杆跳起高度H′＝5 cm，通电时间t′＝0.002 s，求通过金属杆截面的电荷量。
答案 (1)eq \r(2) m/s 4.17 A (2)0.085 C
解析 (1)设金属杆离开液面时的速度大小为v，金属杆中的电流为I。
金属杆离开液面后做竖直上抛运动，飞起的高度为H，
由运动学公式得v2＝2gH，解得v＝eq \r(2) m/s，
由动能定理有：BILh－mg(H＋h)＝0，得I≈4.17 A
(2)对金属杆，由动量定理有：(BI′L－mg)t′＝mv′，v′＝eq \r(2gH′)，又q＝I′t′，
解得q＝0.085 C。考情分析
试题情境
生活实践类
生活和科技、地磁场、电磁炮、回旋加速器、质谱仪、速度选择器、磁流体发电机、霍尔元件等
学习探究类
通电导线在安培力作用下的平衡与加速问题，带电粒子在磁场、组合场、叠加场及立体空间中的运动
直线电流的磁场
通电螺线管的磁场
环形电流的磁场
安培定则
立体图
横截面图
从上往下看
从左往右看
从左往右看
纵截面图
电流元法
分割为电流元eq \(―――――→,\s\up7(左手定则))安培力方向→整段导体所受合力方向→运动方向
特殊位置法
在特殊位置→安培力方向→运动方向
等效法
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(环形电流⇌小磁针,条形磁体⇌通电螺线管⇌多个环形电流))
根据同极相斥、异极相吸判断作用力的方向进而判断运动方向
结论法
两平行直线电流在相互作用中，无转动趋势，同向电流互相吸引，异向电流互相排斥；两不平行的直线电流相互作用时，有转到平行且电流方向相同的趋势
转换研究对象法
先分析电流在磁体磁场中所受的安培力，然后由牛顿第三定律，确定磁体所受电流磁场的作用力
测量序号
Bx/μT
By/μT
Bz/μT
1
0
21
－45
2
0
－20
－46
3
21
0
－45
4
－21
0
－45
第1课时 磁场的描述 安培力
目标要求 1.理解磁场的性质及磁感应强度的概念，会求解磁感应强度叠加的问题。2.掌握左手定则，会判断安培力的方向，并会计算安培力的大小。
考点一 安培定则和磁场的叠加
1．磁场与磁感应强度
(1)磁场的基本性质
磁场对处于其中的磁体、电流和运动电荷有力的作用。
(2)磁感应强度
①物理意义：描述磁场的强弱和方向。
②定义式：B＝eq \f(F,Il)(通电导线垂直于磁场的情况下)。
③方向：小磁针静止时N极所指的方向。
④单位：特斯拉，简称特，符号为T。
(3)匀强磁场
磁场中各点的磁感应强度的大小相等、方向相同，磁感线是疏密程度相同、方向相同的平行直线。
(4)地磁场
①地磁的N极在地理南极附近，S极在地理北极附近，磁感线分布如图所示。
②在赤道平面上，距离地球表面高度相等的各点，磁感应强度的大小相等，且方向水平向北。
③地磁场在南半球有竖直向上的分量，在北半球有竖直向下的分量。
2．磁感线的特点
(1)磁感线上某点的切线方向就是该点的磁场方向。
(2)磁感线的疏密程度定性地表示磁场的强弱。
(3)磁感线是闭合曲线，没有起点和终点，在磁体外部，从N极指向S极；在磁体内部，由S极指向N极。
(4)同一磁场的磁感线不中断、不相交、不相切。
(5)磁感线是假想的曲线，客观上并不存在。
3．几种常见的磁场
(1)条形磁体和蹄形磁体的磁场(如图所示)
(2)电流的磁场
1．磁场是客观存在的一种物质，磁感线也是真实存在的。( × )
2．磁场中的一小段通电导线在该处受力为零，此处磁感应强度B不一定为零。( √ )
3．由定义式B＝eq \f(F,Il)可知，电流I越大，导线l越长，某点的磁感应强度B就越小。( × )
4．磁场中某点的磁感应强度B不一定等于eq \f(F,Il)( √ )
5．北京地面附近的地磁场方向是水平向北的。( × )
例1 如图所示，直导线AB、通电螺线管E、电磁体D三者相距较远，其磁场互不影响，当开关S闭合后，小磁针N极(黑色一端)指示磁场方向正确的是( )
A．a B．b C．c D．d
答案 C
解析 根据安培定则可判断出电流的磁场方向，再根据小磁针静止时N极的指向为磁场的方向可知C正确。
例2 (2023·山东济南市期末)如图所示，直角三角形abc，∠a＝90°，∠b＝30°，ac边长为l，两根通电长直导线垂直纸面分别放置在a、b两顶点处。a点处导线中的电流大小为I，方向垂直纸面向外，b点处导线中的电流大小为4I，方向垂直纸面向里。已知长直通电导线在其周围空间某点产生的磁感应强度大小B＝keq \f(I,r)，其中I表示电流大小，r表示该点到导线的垂直距离，k为常量。则顶点c处的磁感应强度大小为( )
A．keq \f(I,l) B.eq \r(2)keq \f(I,l) C.eq \r(3)keq \f(I,l) D．2keq \f(I,l)
答案 C
解析 a点处导线在c处产生的磁感应强度大小为Ba＝keq \f(I,l)，b点处导线在c处产生的磁感应强度大小为Bb＝keq \f(4I,2l)＝eq \f(2kI,l)，即Bb＝2Ba，Ba、Bb方向如图所示，夹角为120°，由几何关系知，合磁感应强度方向垂直Ba向上，则Bc＝eq \r(3)Ba＝eq \r(3)keq \f(I,l)，故选C。
磁场叠加问题的解题思路
1．确定磁场场源，如通电导线。
2．定位空间中需求解磁感应强度的点，利用安培定则判定各个场源在这一点产生的磁感应强度的大小和方向，如图所示为M、N在c点产生的磁感应强度BM、BN。
3．应用平行四边形定则求合磁场感应强度，如图中的B为合磁感应强度。
考点二 安培力的分析与计算
1．安培力：通电导线在磁场中受的力称为安培力。
2．安培力的大小
(1)当B、I垂直时，F＝IlB。
(2)若B与I夹角为θ，将B沿垂直于I和平行于I的方向正交分解，取垂直分量，可得F＝IlBsin_θ。
注意：θ是磁感应强度的方向与导线的夹角。当θ＝0或180°，即磁感应强度的方向与导线平行时，F＝0。
(3)公式的适用条件：一般只适用于匀强磁场。
(4)l是指有效长度。
弯曲通电导线的有效长度l等于连接导线两端点的直线的长度，相应的电流方向沿两端点连线由始端指向末端，如图所示。
3.安培力的方向
左手定则：伸开左手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内；让磁感线从掌心垂直进入，并使四指指向电流的方向，这时拇指所指的方向就是通电导线在磁场中所受安培力的方向。
4．同向电流相互吸引，反向电流相互排斥。
思考 通电导线、磁场方向、安培力的方向三者是一定两两垂直吗？通电导线和磁场方向可以不垂直吗？
答案 安培力的方向一定与通电导线垂直，一定与磁场方向垂直，即一定垂直于通电导线和磁场方向所确定的平面，但通电导线与磁场方向不一定垂直。
1．在磁场中同一位置，电流元的电流越大，所受安培力也一定越大。( × )
2．安培力的方向既跟磁感应强度方向垂直，又跟电流方向垂直。( √ )
3．通电导线与磁场不垂直，有一定夹角时，左手定则就不适用了。( × )
例3 如图所示，正六边形线框abcdef由六根导体棒连接而成，固定于匀强磁场中的线框平面与磁场方向垂直，线框顶点a、b与电源两端相连，其中ab棒的电阻为5R，其余各棒的电阻均为R，电源内阻及导线电阻忽略不计。S闭合后，线框受到的安培力大小为F。若仅将ab棒移走，则余下线框受到的安培力大小为( )
A.eq \f(F,2) B.eq \f(2F,3) C.eq \f(3F,4) D.eq \f(5F,6)
答案 A
解析 S闭合后，ab棒与余下线框并联，设电源电动势为E，则两并联支路的电流大小均为I＝eq \f(E,5R)，ab棒受到安培力的大小为Fab＝BIL，余下线框在磁场中的等效长度也为L，受到的安培力大小为F其他＝BIL，线框受到的安培力大小F＝Fab＋F其他＝2BIL，若仅将ab棒移走，则余下线框受到的安培力大小F′＝F其他＝BIL＝eq \f(F,2)，故选A。
例4 (2022·江苏卷·3)如图所示，两根固定的通电长直导线a、b相互垂直，a平行于纸面，电流方向向右，b垂直于纸面，电流方向向里，则导线a所受安培力方向( )
A．平行于纸面向上
B．平行于纸面向下
C．左半部分垂直纸面向外，右半部分垂直纸面向里
D．左半部分垂直纸面向里，右半部分垂直纸面向外
答案 C
解析 根据安培定则，可判断出导线a左侧部分所在处磁场方向斜向右上方，右侧部分的磁场方向斜向右下方，根据左手定则可判断出左半部分所受安培力垂直纸面向外，右半部分所受安培力垂直纸面向里，故C正确，A、B、D错误。
拓展 若用细线将一条形磁体悬挂于天花板上，条形磁体处于水平且静止的状态。当导线ab中通有如图所示的电流时，则条形磁体的N极将向________(填“内”或“外”)偏转；条形磁体受到的拉力________(填“大于”或“小于”)其受到的重力。
答案 外 大于
解析 直导线通入由a指向b的电流时，由左手定则知直导线的左端受到方向垂直纸面向里的安培力，根据牛顿第三定律可知，条形磁体的N极受到方向垂直纸面向外的作用力，应向纸面外偏转；条形磁体转动后，对直导线有向上的作用力，所以条形磁体受到向下的作用力，故条形磁体受到的拉力大于其受到的重力。
判断安培力作用下导体的运动情况的五种方法
考点三 安培力作用下的平衡和加速问题
与安培力有关的平衡、加速等问题，常涉及倾斜导轨、导体棒、电源、电阻等。求解时应变立体图为平面图，如侧视图、剖面图或俯视图等，并画出平面受力分析图，安培力的方向F安⊥B、F安⊥I。如图所示：
例5 如图所示，宽为L＝0.5 m的光滑导轨与水平面成θ＝37°角，质量为m＝0.1 kg、长也为L＝0.5 m的金属杆ab水平放置在导轨上，电源电动势E＝3 V，内阻r＝0.5 Ω，金属杆电阻为R1＝1 Ω，导轨电阻不计。金属杆与导轨垂直且接触良好。空间存在着竖直向上的匀强磁场(图中未画出)，当电阻箱的电阻调为R2＝0.9 Ω时，金属杆恰好能静止。取重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8。
(1)求磁感应强度B的大小；
(2)保持其他条件不变，当电阻箱的电阻调为R2′＝0.5 Ω时，闭合开关S，同时由静止释放金属杆，求此时金属杆的加速度。
答案 (1)1.2 T (2)1.2 m/s2，方向沿导轨向上
解析 (1)对金属杆受力分析如图，
由安培力公式和平衡条件可得mgsin θ＝BILcs θ
由闭合电路欧姆定律得
I＝eq \f(E,R1＋R2＋r)
解得B＝1.2 T
(2)由牛顿第二定律和闭合电路欧姆定律有
BI′Lcs θ－mgsin θ＝ma，I′＝eq \f(E,R1＋R2′＋r)
解得a＝1.2 m/s2，方向沿导轨向上。
例6 (2023·北京卷·19)2022年，我国阶段性建成并成功运行了“电磁撬”，创造了大质量电磁推进技术的世界最高速度纪录。一种两级导轨式电磁推进的原理如图所示。两平行长直金属导轨固定在水平面，导轨间垂直安放金属棒。金属棒可沿导轨无摩擦滑行，且始终与导轨接触良好，电流从一导轨流入，经过金属棒，再从另一导轨流回，图中电源未画出。导轨电流在两导轨间产生的磁场可视为匀强磁场，磁感应强度B与电流i的关系式为B＝ki(k为常量)。金属棒被该磁场力推动。当金属棒由第一级区域进入第二级区域时，回路中的电流由I变为2I。已知两导轨内侧间距为L，每一级区域中金属棒被推进的距离均为s，金属棒的质量为m。求：
(1)金属棒经过第一级区域时受到安培力的大小F；
(2)金属棒经过第一、二级区域的加速度大小之比a1∶a2；
(3)金属棒从静止开始经过两级区域推进后的速度大小v。
答案 (1)kI2L (2)1∶4 (3)eq \r(\f(10kI2Ls,m))
解析 (1)由题意可知，第一级区域中磁感应强度大小为B1＝kI
金属棒经过第一级区域时受到安培力的大小为
F＝B1IL＝kI2L
(2)根据牛顿第二定律可知，金属棒经过第一级区域的加速度大小为a1＝eq \f(F,m)＝eq \f(kI2L,m)
第二级区域中磁感应强度大小为B2＝2kI
金属棒经过第二级区域时受到安培力的大小为
F′＝B2·2IL＝4kI2L
金属棒经过第二级区域的加速度大小为
a2＝eq \f(F′,m)＝eq \f(4kI2L,m)
则金属棒经过第一、二级区域的加速度大小之比为a1∶a2＝1∶4
(3)金属棒从静止开始经过两级区域推进后，根据动能定理可得Fs＋F′s＝eq \f(1,2)mv2－0
解得金属棒从静止开始经过两级区域推进后的速度大小为v＝eq \r(\f(10kI2Ls,m))。
课时精练
1．把螺线管与电源连接，发现小磁针N极向螺线管偏转，静止时所指方向如图所示。下列说法正确的是( )
A．螺线管左端接电源正极
B．若将小磁针移到螺线管内部，小磁针N极所指方向不变
C．若将小磁针移到螺线管左端，小磁针N极将转过180°
D．若将小磁针移到螺线管正上方，小磁针N极所指方向不变
答案 B
解析 小磁针静止时N极指向为其所在处的磁场方向，由题图知螺线管电流在螺线管中轴线上的磁场方向是向左的，由右手螺旋定则可知螺线管中电流方向是逆时针方向(从左侧看)，则螺线管右端接电源正极，故A错误；螺线管内部磁场方向向左，所以将小磁针移到螺线管内部，小磁针N极所指方向不变，故B正确；若将小磁针移到螺线管左端，仍处于向左的磁场中，小磁针N极所指方向不变，故C错误；螺线管正上方磁场向右，若将小磁针移到螺线管正上方，小磁针N极所指方向向右，故D错误。
2.(2023·江苏卷·2)如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B。L形导线通以恒定电流I，放置在磁场中。已知ab边长为2l，与磁场方向垂直，bc边长为l，与磁场方向平行。该导线受到的安培力为( )
A．0 B．BIl C．2BIl D.eq \r(5)BIl
答案 C
解析 因bc段与磁场方向平行，则不受安培力作用；ab段与磁场方向垂直，则所受安培力大小为Fab＝BI·2l＝2BIl，则该导线受到的安培力为2BIl，故选C。
3．(2021·广东卷·5)截面为正方形的绝缘弹性长管中心有一固定长直导线，长管外表面固定着对称分布的四根平行长直导线，若中心直导线通入电流I1，四根平行直导线均通入电流I2，I1≫I2，电流方向如图所示，下列截面图中可能正确表示通电后长管发生形变的是( )
答案 C
解析 因I1≫I2，则可不考虑四个边上的直导线之间的相互作用力；根据两通电直导线间的安培力作用满足“同向电流相互吸引，反向电流相互排斥”，则正方形左右两侧的直导线要受到中心长直导线吸引的安培力，形成凹形，正方形上下两边的直导线要受到中心长直导线排斥的安培力，形成凸形，故变形后的形状如C所示，故选C。
4.(2021·全国甲卷·16)两足够长直导线均折成直角，按图示方式放置在同一平面内，EO与O′Q在一条直线上，PO′与OF在一条直线上，两导线相互绝缘，通有相等的电流I，电流方向如图所示。若一根无限长直导线通过电流I时，所产生的磁场在距离导线d处的磁感应强度大小为B，则图中与导线距离均为d的M、N两点处的磁感应强度大小分别为( )
A．B、0 B．0、2B C．2B、2B D．B、B
答案 B
解析 两直角导线可以等效为如图所示的两直导线，
由安培定则可知，两直导线在M点处的磁感应强度方向分别为垂直纸面向里、垂直纸面向外，故M点处的磁感应强度大小为零；两直导线在N点处的磁感应强度方向均垂直纸面向里，故N点处的磁感应强度大小为2B，综上分析B正确。
5.(2023·广东广州市模拟)一光滑绝缘的正方体固定在水平面内。AB导体棒可绕过其中点的转轴在正方体的上表面内自由转动，CD导体棒固定在正方体的下底面。开始时两棒相互垂直并静止，两棒中点O1、O2连线在正方体的中轴线上。现对两棒同时通入图示(A到B、D到C)方向的电流。下列说法中正确的是( )
A．通电后AB棒仍将保持静止
B．通电后AB棒将要顺时针转动(俯视)
C．通电后AB棒将要逆时针转动(俯视)
D．通电瞬间线段O1O2间存在磁感应强度为零的位置
答案 B
解析 CD导体棒电流产生的磁场分布，如图所示，
可知CD导体棒电流在B端产生的磁场有垂直AB棒向上的分量，根据左手定则可知B端受到垂直于纸面向外的安培力，B端向外转动，CD导体棒电流在A端产生的磁场有垂直AB棒向下的分量，根据左手定则可知A端受到垂直于纸面向里的安培力，A端向里转动，故俯视看导体棒AB将要顺时针转动，B正确，A、C错误；根据安培定则可知通电瞬间CD导体棒电流和AB导体棒电流在线段O1O2间产生的磁场方向相互垂直，故通电瞬间线段O1O2间不存在磁感应强度为零的位置，D错误。
6.(2024·贵州遵义市开学考)如图所示为一边长为d的正方体，在FE、ND两边放置足够长直导线，通有大小相等的电流I，电流方向如图所示。若一根无限长直导线通过电流I时，所产生的磁场在距离导线d处的磁感应强度大小为B，则图中C、O两点处的磁感应强度大小分别为( )
A．2B,0 B．2B,2B
C．0，eq \r(2)B D.eq \r(2)B，eq \r(2)B
答案 D
解析 根据右手螺旋定则，放置在FE边的通电导线在C点产生的磁感应强度大小为B、方向沿CM，放置在ND边的通电导线在C点产生的磁感应强度大小为B、方向沿FC，故C点处的磁感应强度大小为eq \r(2)B；放置在FE边的通电导线在O点产生的磁感应强度大小为B、方向沿NO，放置在ND边的通电导线在C点产生的磁感应强度大小为B、方向沿OP，故O点处的磁感应强度大小为eq \r(2)B。故选D。
7.(2024·山东济南市月考)如图所示，将一根同种材料、粗细均匀的导体围成半径为R的闭合导体线圈，固定在垂直于线圈平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。C、D两点将线圈分为上、下两部分，且C、D两点间上方部分的线圈所对应的圆心角为120°。现将大小为I的恒定电流自C、D两点间通入，则线圈C、D两点间上、下两部分导线受到的总安培力的大小为( )
A.eq \r(3)BIR B.eq \r(2)BIR C．BIR D．0
答案 A
解析 由几何关系可知，C、D两点间的距离L＝2Rsin 60°＝eq \r(3)R，电流I从C点流入，两支路电流满足：I1＋I2＝I，导体线圈受到的总安培力的大小F安＝BI1L＋BI2L＝BIL＝eq \r(3)BIR，故选A。
8．(2022·湖南卷·3)如图(a)，直导线MN被两等长且平行的绝缘轻绳悬挂于水平轴OO′上，其所在区域存在方向垂直指向OO′的磁场，与OO′距离相等位置的磁感应强度大小相等且不随时间变化，其截面图如图(b)所示。导线通以电流I，静止后，悬线偏离竖直方向的夹角为θ。下列说法正确的是( )
A．当导线静止在图(a)右侧位置时，导线中电流方向由N指向M
B．电流I增大，静止后，导线对悬线的拉力不变
C．tan θ与电流I成正比
D．sin θ与电流I成正比
答案 D
解析 当导线静止在题图(a)右侧位置时，对导线受力分析如图所示，
可知要让安培力为图示方向，则导线中电流方向应由M指向N，A错误；由于与OO′距离相等位置的磁感应强度大小相等且不随时间变化，有sin θ＝eq \f(BIL,mg)，FT＝mgcs θ，则可知sin θ与电流I成正比，当I增大时θ增大，则cs θ减小，静止后，悬线对导线的拉力FT减小，由牛顿第三定律知，导线对悬线的拉力减小，B、C错误，D正确。
9.(多选)(2022·全国乙卷·18)安装适当的软件后，利用智能手机中的磁传感器可以测量磁感应强度B。如图，在手机上建立直角坐标系，手机显示屏所在平面为xOy面。某同学在某地对地磁场进行了四次测量，每次测量时y轴指向不同方向而z轴正向保持竖直向上。根据表中测量结果可推知( )
A.测量地点位于南半球
B．当地的地磁场大小约为50 μT
C．第2次测量时y轴正向指向南方
D．第3次测量时y轴正向指向东方
答案 BC
解析 如图所示，
地磁南极位于地理北极附近，地磁北极位于地理南极附近。由表中z轴数据可看出z轴的磁场竖直向下，则测量地点应位于北半球，A错误；磁感应强度为矢量，故由表格可看出此处的磁感应强度大致为B＝eq \r(Bx2＋Bz2)＝eq \r(By2＋Bz2)，计算得B≈50 μT，B正确；由选项A可知测量地在北半球，而北半球地磁场指向北方斜向下，第2次测量By<0，故y轴指向南方，第3次测量Bx>0，故x轴指向北方而y轴则指向西方，C正确，D错误。
10.(2024·河南省开学考)在匀强磁场中有粗细均匀的同种导线制成的直角三角形线框abc，∠a＝90°，∠c＝30°。磁场方向垂直于线框平面，a、c两点接一直流电源，电流方向如图所示。则下列说法正确的是( )
A．导线bc受到的安培力大于导线ac受到的安培力
B．导线abc受到的安培力的合力大于导线ac受到的安培力
C．导线ab、ac所受安培力的大小之比为1∶3
D．导线abc受到的安培力的合力方向垂直于ac向上
答案 C
解析 设ab边电阻为R，则ac边电阻为eq \r(3)R，bc边电阻为2R，由并联分流原理，abc中电流为I，则ac中电流为eq \r(3)I，则Fbc＝BILbc，Fac＝eq \r(3)BILac＝eq \f(3,2)BILbc，故A错误；abc等效长度等于ac，但电流小于ac电流，则Fabc
A．2B0 B.eq \f(2\r(3),3)B0 C.eq \f(\r(3),3)B0 D．B0
答案 B
解析 在两导线中均通有方向垂直于纸面向里的电流I时，纸面内与两导线距离为l的a点处的磁感应强度为0，由图甲知，B1＝B0，外加的磁场方向与PQ平行，且由Q指向P；
依据几何关系及三角函数知识有：BPcs 30°＝eq \f(1,2)B0，解得通电导线P和Q在a处的磁场的磁感应强度大小均为BP＝eq \f(\r(3),3)B0；当P中的电流反向，其他条件不变，依据几何关系及三角函数知识，如图乙所示，
有：B2＝BP＝eq \f(\r(3),3)B0，方向垂直于PQ向上，由矢量的合成法则，得a点处磁感应强度的大小为B＝ eq \r(B02＋\f(\r(3),3)B02)＝eq \f(2\r(3),3)B0，故B正确，A、C、D错误。
12．(2023·海南卷·17)如图所示，U形金属杆上边长为L＝15 cm，质量为m＝1×10－3 kg，下端插入导电液体中，导电液体连接电源，金属杆所在空间有垂直纸面向里B＝8×10－2 T的匀强磁场。
(1)若插入导电液体部分深h＝2.5 cm，闭合电键后，金属杆飞起后，其下端离液面高度H＝10 cm，设杆中电流不变，求金属杆离开液面时的速度大小和金属杆中的电流有多大；(g＝10 m/s2)
(2)若金属杆下端刚与导电液体接触，改变电动势的大小，通电后金属杆跳起高度H′＝5 cm，通电时间t′＝0.002 s，求通过金属杆截面的电荷量。
答案 (1)eq \r(2) m/s 4.17 A (2)0.085 C
解析 (1)设金属杆离开液面时的速度大小为v，金属杆中的电流为I。
金属杆离开液面后做竖直上抛运动，飞起的高度为H，
由运动学公式得v2＝2gH，解得v＝eq \r(2) m/s，
由动能定理有：BILh－mg(H＋h)＝0，得I≈4.17 A
(2)对金属杆，由动量定理有：(BI′L－mg)t′＝mv′，v′＝eq \r(2gH′)，又q＝I′t′，
解得q＝0.085 C。考情分析
试题情境
生活实践类
生活和科技、地磁场、电磁炮、回旋加速器、质谱仪、速度选择器、磁流体发电机、霍尔元件等
学习探究类
通电导线在安培力作用下的平衡与加速问题，带电粒子在磁场、组合场、叠加场及立体空间中的运动
直线电流的磁场
通电螺线管的磁场
环形电流的磁场
安培定则
立体图
横截面图
从上往下看
从左往右看
从左往右看
纵截面图
电流元法
分割为电流元eq \(―――――→,\s\up7(左手定则))安培力方向→整段导体所受合力方向→运动方向
特殊位置法
在特殊位置→安培力方向→运动方向
等效法
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(环形电流⇌小磁针,条形磁体⇌通电螺线管⇌多个环形电流))
根据同极相斥、异极相吸判断作用力的方向进而判断运动方向
结论法
两平行直线电流在相互作用中，无转动趋势，同向电流互相吸引，异向电流互相排斥；两不平行的直线电流相互作用时，有转到平行且电流方向相同的趋势
转换研究对象法
先分析电流在磁体磁场中所受的安培力，然后由牛顿第三定律，确定磁体所受电流磁场的作用力
测量序号
Bx/μT
By/μT
Bz/μT
1
0
21
－45
2
0
－20
－46
3
21
0
－45
4
－21
0
－45
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