高考物理一轮复习讲义第4章第6课时　实验六 探究向心力大小与半径 角速度 质量的关系（2份打包，原卷版+教师版）

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考点一 实验技能储备
1．实验思路
本实验需要探究向心力与多个物理量之间的关系，因而实验采用控制变量法，如图所示，匀速转动手柄，可以使塔轮、长槽和短槽匀速转动，槽内的小球也就随之做匀速圆周运动，此时小球向外挤压挡板，挡板对小球有一个向内的(指向圆周运动圆心)的弹力作为小球做匀速圆周运动的向心力，可以通过标尺上露出的红白相间等分标记，粗略计算出两球所需向心力的比值。
在实验过程中可以通过两个小球同时做圆周运动对照，分别分析下列情形：
(1)在质量、半径一定的情况下，探究向心力大小与角速度的关系。
(2)在质量、角速度一定的情况下，探究向心力大小与半径的关系。
(3)在半径、角速度一定的情况下，探究向心力大小与质量的关系。
2．实验器材
向心力演示器、小球。
3．实验过程
(1)分别将两个质量相等的小球放在实验仪器的两个小槽中，且小球到转轴(即圆心)距离相同即圆周运动半径相同。将皮带放置在适当位置使两转盘转动，记录不同角速度下的向心力大小(格数)。
(2)分别将两个质量相等的小球放在实验仪器的长槽和短槽两个小槽中，将皮带放置在适当位置使两转盘转动角速度相等、小球到转轴(即圆心)距离不同即圆周运动半径不等，记录不同半径下的向心力大小(格数)。
(3)分别将两个质量不相等的小球放在实验仪器的两个小槽中，且小球到转轴(即圆心)距离相同即圆周运动半径相等，将皮带放置在适当位置使两转盘转动角速度相等，记录不同质量下的向心力大小(格数)。
4．数据处理
分别作出Fn－ω2、Fn－r、Fn－m的图像，分析向心力大小与角速度、半径、质量之间的关系，并得出结论。
5．注意事项
摇动手柄时应力求缓慢加速，注意观察其中一个标尺的格数。达到预定格数时，即保持转速恒定，观察并记录其余读数。
例1 (2023·浙江1月选考·16Ⅰ(2))“探究向心力大小的表达式”实验装置如图所示。
(1)采用的实验方法是________。
A．控制变量法 B．等效法 C．模拟法
(2)在小球质量和转动半径相同的情况下，逐渐加速转动手柄到一定速度后保持匀速转动。此时左右标尺露出的红白相间等分标记的比值等于两小球的________________之比(选填“线速度大小”“角速度平方”或“周期平方”)；在加速转动手柄过程中，左右标尺露出红白相间等分标记的比值________(选填“不变”“变大”或“变小”)。
答案 (1)A (2)角速度平方 不变
解析 (1)本实验先控制住其他几个因素不变，集中研究其中一个因素变化所产生的影响，采用的实验方法是控制变量法，故选A。
(2)标尺上露出的红白相间的等分格数之比为两个小球所需向心力的比值，根据F＝mrω2可知比值等于两小球的角速度平方之比，逐渐加大手柄的转速的过程中，该比值不变，故左右标尺露出的格数之比不变。
考点二 探索创新实验
例2 如图所示是“DIS向心力实验器”，当质量为m的砝码随旋转臂一起在水平面内做半径为r的圆周运动时，所需的向心力可通过牵引杆由力传感器测得，旋转臂另一端的挡光杆(挡光杆的挡光宽度为Δs，旋转半径为R)每经过光电门一次，通过力传感器和光电门就同时获得一组向心力大小F和角速度ω的数据。
(1)某次旋转过程中挡光杆经过光电门时的遮光时间为Δt，则角速度ω＝________。
(2)以F为纵坐标，以________(选填“Δt”“eq \f(1,Δt)”“(Δt)2”或“eq \f(1,Δt2)”)为横坐标，可在坐标纸中描出数据点作一条直线，该直线的斜率为k＝________。(用上述已知量的字母表示)
答案 (1)eq \f(Δs,RΔt) (2)eq \f(1,Δt2) meq \f(Δs2,R2)r
解析 (1)挡光杆通过光电门时的线速度大小为
v＝eq \f(Δs,Δt)，由ω＝eq \f(v,R)，解得ω＝eq \f(Δs,RΔt)
(2)根据向心力公式有F＝mω2r，
将ω＝eq \f(Δs,RΔt)代入上式解得F＝meq \f(Δs2,R2Δt2)r，可以看出，以F为纵坐标，以eq \f(1,Δt2)为横坐标，可在坐标纸中描出数据点作一条直线，该直线的斜率为k＝meq \f(Δs2,R2)r。
例3 (2024·吉林通化市检测)一同学用如图甲所示的装置探究向心力与角速度的关系。将力传感器固定在铁架台上，将细线一端固定在力传感器上，另一端固定一个直径为d的金属小球，该同学测出小球重心到悬点的距离为L，然后拉起小球，使细线伸直与竖直方向成一角度，静止释放小球，让小球在竖直平面内做圆周运动，当小球摆到最低点时，小球中心恰好经过光电门，该同学在一次实验中测得小球通过光电门的时间为Δt。
(1)小球通过光电门时的角速度为________。
(2)多次拉起小球，每次拉起小球时细线与竖直方向的夹角不同，每次都记录小球通过光电门的时间Δt，作出细线拉力F与eq \f(1,Δt2)的关系图像如图乙所示，已知图像的斜率为k，截距为b，则小球的质量为________，当地的重力加速度为________。(用题中给出的字母表示)
答案 (1)eq \f(d,LΔt) (2)eq \f(kL,d2) eq \f(d2b,kL)
解析 (1)小球通过最低点时的线速度v＝eq \f(d,Δt)，
由v＝ωL，可得角速度ω＝eq \f(d,LΔt)。
(2)在最低点对小球受力分析可得F－mg＝mω2L，把ω＝eq \f(d,LΔt)代入，可得F＝mg＋eq \f(md2,L)·eq \f(1,Δt2)，可得eq \f(md2,L)＝k，mg＝b，解得m＝eq \f(kL,d2)，g＝eq \f(d2b,kL)。
例4 如图甲所示，某同学为了比较不同物体与转盘间动摩擦因数的大小设计了该装置。已知固定于转轴上的角速度传感器和力传感器与电脑连接，通过一不可伸长的细绳连接物块，细绳刚好拉直，物块随转盘缓慢加速。在电脑上记录如图乙所示图像。换用形状和大小相同但材料不同的物块重复实验，得到物块a、b、c分别对应的三条直线，发现a与c的纵截距相同，b与c的横截距相同，且符合一定的数量关系。回答下列问题：
(1)物块没有看作质点对实验是否有影响？________(选填“是”或“否”)
(2)物块a、b、c的密度之比为________。
(3)物块a、b、c与转盘之间的动摩擦因数之比为________。
答案 (1)否 (2)2∶2∶1 (3)1∶2∶2
解析 (1)物块的形状和大小相同，做圆周运动的半径相同，所以物块没有看作质点对实验没有影响。
(2)当物块随转盘缓慢加速过程中，物块所需的向心力先由静摩擦力提供，当达到最大静摩擦力后由绳子的拉力和最大静摩擦力提供，即F向＝F＋μmg＝mrω2，所以有F＝mrω2－μmg，题图乙中图线的斜率为mr，与纵轴的截距为－μmg，根据题图乙知a的斜率ka＝mar＝1 kg·m，b的斜率kb＝mbr＝1 kg·m，c的斜率kc＝mcr＝eq \f(1,2) kg·m，所以a、b、c的质量之比为2∶2∶1，因为体积相同，所以物块a、b、c的密度之比为2∶2∶1。
(3)由题图乙知a的纵截距－μamag＝－1 N，b的纵截距－μbmbg＝－2 N，c的纵截距－μcmcg＝－1 N，结合质量之比得到物块a、b、c与转盘之间的动摩擦因数之比为1∶2∶2。
课时精练
1．(2023·福建厦门市二模)如图甲所示为向心力演示仪，可探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。长槽的A、B处和短槽的C处分别到各自转轴中心距离之比为1∶2∶1。变速塔轮自上而下有三种组合方式，左右每层半径之比由上至下分别为1∶1、2∶1和3∶1，如图乙所示。
(1)本实验的目的是探究向心力的大小与小球质量m、角速度ω和半径r之间的关系，下列实验中采用的实验方法与本实验相同的是________。
A．探究平抛运动的特点
B．用单摆测量重力加速度的大小
C．探究加速度与物体受力、物体质量的关系
(2)在某次实验中，把两个质量相等的钢球放在B、C位置，探究向心力的大小与半径的关系，则需要将传动皮带调至第________层塔轮(选填“一”“二”或“三”)；
(3)在另一次实验中，把两个质量相等的钢球放在A、C位置，传动皮带位于第二层，转动手柄，则当塔轮匀速转动时，左右两标尺露出的格子数之比约为________。
A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶1
答案 (1)C (2)一 (3)B
解析 (2)在某次实验中，把两个质量相等的钢球放在B、C位置，则探究向心力的大小与半径的关系，应使两球的角速度相同，则需要将传动皮带调至第一层塔轮。
(3)在另一次实验中，把两个质量相等的钢球放在A、C位置，则两球做圆周运动的半径相等；传动皮带位于第二层，则两球做圆周运动的角速度之比为ω左∶ω右＝R2∶2R2＝1∶2，根据F＝mω2r，可知当塔轮匀速转动时，左右两标尺露出的格子数之比约为F左∶F右＝ω左2∶ω右2＝1∶4，故选B。
2．(2024·山西省联考)为探究向心力大小与角速度的关系，某实验小组通过如图所示的装置进行实验。滑块套在水平杆上，随水平杆一起绕竖直杆做匀速圆周运动，力传感器通过一水平细绳连接滑块，用来测绳上拉力大小。滑块上固定一遮光片，宽度为d，光电门可以记录遮光片通过的时间，测出滑块中心到竖直杆的距离为l。实验过程中细绳始终被拉直。
(1)滑块随杆转动做匀速圆周运动时，每经过光电门一次。力传感器和光电门就同时获得一组拉力F和遮光时间t的数据，则滑块的角速度ω＝______(用t、l、d表示)。
(2)为验证向心力大小与角速度的关系，得到多组实验数据后，应作出F与________(选填“t”“eq \f(1,t)”或“eq \f(1,t2)”)的关系图像。如果图像是一条过原点的倾斜直线，且直线的斜率等于________，表明此实验过程中向心力与________成正比(选填“角速度”“角速度的平方”或“角速度的二次方根”)。
答案 (1)eq \f(d,lt) (2)eq \f(1,t2) eq \f(md2,l) 角速度的平方
解析 (1)根据滑块角速度与线速度的关系可知该滑块的角速度为ω＝eq \f(v,r)＝eq \f(d,lt)。
(2)根据F＝mω2r，可得F＝eq \f(md2,l)·eq \f(1,t2)，所以应作出F与eq \f(1,t2)的关系图像。 F－eq \f(1,t2)图像的斜率为eq \f(md2,l)。根据F＝eq \f(md2,l)·eq \f(1,t2)，得F＝mleq \f(d2,l2t2)，所以实验过程中向心力与角速度的平方成正比。
3.(2023·广东广州市三模)某同学设计如图所示的实验装置验证向心力公式和平抛运动水平分运动为匀速运动。将四分之一圆弧固定在桌面上，圆弧底下安装一个压力传感器，光电门固定在圆弧底端正上方。实验步骤如下：
①让小球静止在圆弧底端，静止时，压力传感器示数为F0；
②让小球从圆弧某一位置静止释放，记录通过光电门的时间t、压力传感器示数F和落点与圆弧底端的水平位移x；
③改变释放位置，重复②的步骤。
请回答以下问题：
(1)为完成实验，关于实验装置及相关测量，下列说法正确的是________；
A．圆弧要保持光滑
B．小球要选择体积小，密度大的
C．要测量小球到地面的竖直高度
D．要测量小球的质量
(2)用游标卡尺测量小球直径，如图所示，则小球直径为d＝________ mm；
(3)以________(填“F”或“F－F0”)为纵轴，eq \f(1,t2)为横轴作图像，若图像________，则说明向心力大小与小球速度的平方成正比；
(4)作x－y图像，若图像成正比，则说明平抛运动水平方向为匀速直线运动，其中y应该为________(填“t”“eq \f(1,t)”或“eq \f(1,t2)”)；
(5)甲、乙两位同学以不同的桌面高度进行实验，得到如图所示甲、乙两条图线，y与(4)中相同，其中甲同学实验时的桌面高度比乙同学的________(填“高”或“低”)。
答案 (1)BD (2)6.70 (3)F－F0 是一条过原点的倾斜直线 (4)eq \f(1,t) (5)高
解析 (1)圆弧没必要保持光滑，从不同高度下滑，小球经过光电门的速度不同，速度根据小球直径和光电门测量的挡光时间测出，A错误；小球要选择体积小，密度大的，减小阻力的影响，B正确；没有必要测量小球到地面的竖直高度，只要保证竖直高度相同，平抛运动的时间相同，只需证明小球水平位移和水平速度成正比即可证明平抛运动的水平分运动为匀速运动，C错误；小球在圆弧最低点有F－F0＝meq \f(v2,R)，要验证向心力公式，需要测量小球的质量，D正确。
(2)小球的直径d＝6 mm＋0.05×14 mm＝6.70 mm。
(3)小球经过光电门的速度v＝eq \f(d,t)，小球在圆弧最低点有F－F0＝eq \f(md2,t2R)，以F－F0为纵轴，eq \f(1,t2)为横轴作图像，若图像是一条过原点的倾斜直线，则说明向心力大小与小球速度的平方成正比。
(4)设圆弧最低点到地面的竖直高度为h，则h＝eq \f(1,2)gt12，得平抛运动时间t1＝eq \r(\f(2h,g))，水平位移x＝vt1＝eq \f(d,t)eq \r(\f(2h,g))，作x－y图像，若图像成正比，则说明平抛运动水平方向为匀速直线运动，其中y应该为eq \f(1,t)。
(5)由x＝eq \f(d,t)eq \r(\f(2h,g))可知，甲、乙两位同学以不同的桌面高度进行实验，得到甲、乙两条图线，则x－eq \f(1,t)的斜率表示deq \r(\f(2h,g))，甲的斜率大，故甲同学实验时的桌面高度比乙同学的高。
4．(2023·湖北武汉市检测)利用如图甲所示的圆锥摆装置验证向心力表达式，步骤如下：
(1)用天平测出密度较大的小球的质量为m，如图乙所示用20分度游标卡尺测出小球的直径D＝________ cm。小球静止时，用刻度尺测量此时悬挂点与小球上端之间的竖直距离为L。
(2)在白纸上画几个不同半径的同心圆，用刻度尺测量各个圆的半径r。将白纸平铺在水平桌面上，使同心圆的圆心刚好位于________。让小球做圆锥摆运动，俯视观察小球，其在水平面上沿着白纸上某个圆做圆周运动，当运动稳定时，用秒表测量小球运动5圈所用的时间t。
(3)用向心力表达式推导出Fn＝________(用m、t、r和圆周率π表示)；通过受力分析，推导出小球做圆周运动时所受合力F合＝________(用m、r、D、L和重力加速度g表示)。将记录的数据代入到上述两个表达式中进行计算。
(4)改变绳长，重复(2)、(3)实验步骤，记录多组数据。
(5)通过比较每一组实验数据计算出的Fn和F合的大小，在误差允许的范围内近似相等。由此，向心力的表达式得以验证。
答案 (1)1.500 (2)静止的小球球心正下方
(3)eq \f(100π2mr,t2) eq \f(mgr,\r(L＋\f(D,2)2－r2))
解析 (1)游标卡尺读数为D＝15 mm＋0×0.05 mm＝15.00 mm＝1.500 cm；
(2)将白纸平铺在水平桌面上，使同心圆的圆心刚好位于静止的小球球心正下方；
(3)根据向心力周期公式，得Fn＝meq \f(4π2,T2)r＝eq \f(4π2mr,\f(t,5)2)＝eq \f(100π2mr,t2)，设小球做圆周运动时，悬线与竖直方向的夹角为θ，根据受力分析可知F合＝mgtan θ，又由几何关系可知tan θ＝eq \f(r,\r(L＋\f(D,2)2－r2))，
联立解得F合＝eq \f(mgr,\r(L＋\f(D,2)2－r2))。
5．某同学想测量某地重力加速度g的大小和圆弧轨道的半径R。所用装置如图甲所示，一个倾角为37°的固定斜面与竖直放置的光滑圆弧轨道相切，一个可以看作质点、质量为m的滑块从斜面上某处由静止滑下，滑块上有一个宽度为d的遮光条，在圆弧轨道的最低点有一光电门和一压力传感器(没有画出)，可以记录挡光时间t和压力传感器受到的压力F。
(1)若某次挡光时间为t0，则此时遮光条速度v＝________；
(2)实验过程中从斜面的不同位置释放滑块，然后记录对应的挡光时间t和压力传感器的示数F，得到多组数据，该同学通过图像法来处理数据，得到如图乙所示的图像，但忘记标横轴表示的物理量，请通过推理补充，横轴表示的物理量为________(填“t”“eq \f(1,t)”“t2”或“eq \f(1,t2)”)；
(3)已知图乙中图线的斜率为k，纵截距为b，则可知某地重力加速度g＝________；圆弧轨道的半径R＝________。(用题给物理量符号表示)
答案 (1)eq \f(d,t0) (2)eq \f(1,t2) (3)eq \f(b,m) eq \f(md2,k)
解析 (1)利用极短时间内的平均速度表示瞬时速度，则遮光条通过光电门的速度v＝eq \f(d,t0)
(2)由牛顿第二定律有，在最低点FN－mg＝eq \f(mv2,R)
由牛顿第三定律有FN＝F
解得F＝mg＋eq \f(mv2,R)＝mg＋eq \f(md2,Rt2)＝mg＋eq \f(md2,R)·eq \f(1,t2)，所以横轴表示eq \f(1,t2)
(3)由表达式可知k＝eq \f(md2,R)，b＝mg
解得g＝eq \f(b,m)；R＝eq \f(md2,k)。
创新角度
创新示例
实验方案及器材的创新
以拉力传感器、速度传感器、转速测量仪的使用使实验方案得以改进，有利于物理量的测量
实验目的的创新
以圆周运动的形式测量其他物理量