山东省北镇中学2024-2025学年高二上学期第一次（开学）考试数学试题（解析版）

这是一份山东省北镇中学2024-2025学年高二上学期第一次（开学）考试数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

出题人：张伟旭 审核人：毕小岩
一、单选题
1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间中点关于平面对称的知识确定正确答案.
【详解】依题意，点关于平面对称的点坐标是.
故选：A
2. 已知向量分别是直线的一个方向向量，若，则（ ）
A. -3B. -4C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间向量共线的充要条件计算即得.
【详解】由，可得，
所以，解得，
所以.
故选：C.
3. 已知圆关于直线对称，则实数（ ）
A. B. 1C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】求出圆心并将其代入直线即可得解.
【详解】由得，
则圆心坐标为，又因为圆关于直线对称，
故由圆的对称性可知：圆心在直线上，
则.
故选：D.
4. 在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依据题目中的垂直关系，可建立空间直角坐标系，求出向量与的坐标，即可求得异面直线与所成角的余弦值．
【详解】由题意可知， 三线两两垂直，所以可建立空间直角坐标系，如图所示：
则A0,0,0，．
∴．
∴．
异面直线与所成角的余弦值为．
故选：C．
5. 已知棱长为2的正方体内有一内切球，点在球的表面上运动，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，设出点，可知，所以表示点与点之间距离的平方，分析求解即可.
【详解】以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，设点，
所以，，
所以，
因为表示点与点之间距离的平方，
所以当点的坐标为时，取得最大值为，
当与点重合时，取得最小值，
所以的取值范围为：.
故选：A.
6. 若圆上恰有三点到直线的距离为2，则的值为（ ）
A B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】圆的圆心，半径，由圆上恰有三点到直线的距离为2，得到圆心到直线的距离为1，由此能出的值．
【详解】由得，所以圆心，半径，
因为圆上恰有三点到直线的距离为2，
所以圆心到直线的距离为1，
即，解得，
故选：C．
7. 已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先得到曲线轨迹为以0,1为圆心，2为半径的上半圆，求出恒过定点，把半圆和直线画出，数形结合得到有两个相异的交点时实数k的取值范围.
【详解】，变形得到，
故曲线轨迹为以0,1为圆心，2为半径的上半圆，
恒过定点，把半圆和直线画出，如下：
当过点时，满足两个相异的交点，
且此时取得最小值，最小值为，
当与相切时，由0,1到直线距离等于半径可得
，解得，
故要想曲线与直线有两个相异的交点，
则.
故选：B
8. 已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，点在圆上，则点到直线距离的最大值为（ ）
A 4B. 6C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，设为直线上的一点，由切线的性质得点、在以为直径的圆上，求出该圆的方程，与圆的方程联立可得直线的方程，将其变形分析可得直线恒过的定点，由点到直线的距离分析可得答案．
【详解】根据题意，设为直线上的一点，则，
过点作圆的切线，切点分别为、，则有，，
则点、在以为直径的圆上，
以为直径的圆的圆心为C，，半径，
则其方程为，变形可得，
联立，可得圆C和圆O公共弦AB为：，
又由，则有，变形可得，
则有，解可得，故直线恒过定点，
点在圆上，
则点到直线距离的最大值为．
故选：B．
二、多选题
9. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线
B. 若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面
C. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
D. 已知向量，，则在上的投影向量为
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用线面位置关系与向量的关系可判断A选项；利用空间向量共面的基本定理可判断B选项；利用空间向量基底的概念可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项.
【详解】对于A选项，直线的方向向量为，平面的法向量为，
则，则，所以，或，A错；
对于B选项，对空间中任意一点，有，
则，整理可得，
故、、、四点共面，B对；
对于C选项，三个不共面的向量可以成为空间的一个基底，
两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线，C对；
对于D选项，已知向量，，
则在方向上的投影向量为，D对.
故选：BCD.
10. 下列四个选项中，说法错误的是（ ）
A. 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B. 直线与直线互相平行，则
C. 过两点的所有直线的方程为
D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据直线的倾斜角与斜率判断A；根据两直线平行求出参数的值，即可判断B；根据两点式方程判断C；分截距都为与都不为两种情况讨论，即可判断D.
【详解】对于A：坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角，
但是与轴平行（重合）的直线的倾斜角为，斜率不存在，故A错误；
对于B：因为直线与直线互相平行，
则，解得或，
当时直线与直线重合，故舍去，
当时直线与直线平行，符合题意，
综上可得，故B正确；
对于C：过两点的所有直线的方程为，故C正确；
对于D：当截距都为时直线方程为，
当截距都不为时，设直线方程为，则，解得，
所以直线方程为，
综上可得满足条件的直线方程为或，故D错误.
故选：AD
11. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262~前190）发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，直线，则（ ）
A 直线过定点
B. 动点的轨迹方程为
C. 动点到直线的距离的最大值为
D. 若点的坐标为，则的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据定点的求解可判定A,根据等量关系列方程可求解B，根据点到直线的距离即可求解C，根据三点共线即可求解D.
【详解】对A,直线，，所以直线过定点，A正确；
对B，设，因为动点满足 ，所以 ，整理可得，
即，所以动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
动点的轨迹方程为圆，B正确；
对于 C，当直线与垂直时, 动点到直线的距离最大，且最大值为，C错误；
对于D，由，得，所以，
又因点在圆内，点在圆外，
所以，当且仅当为线段与圆的交点时取等号．
故选：ABD

三、填空题
12. 如图，平行六面体各条棱长均为1，，，则线段的长度为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】取，，为一个基底，表示，再应用数量积及模长公式计算即可求解．
【详解】取，，为一个基底，，，，
∴ ，
故答案为：.
13. 当直线l：ax－y＋2－a＝0被圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝9截得的弦长最短时，实数a的值为________.
【答案】2
【解析】
【分析】求出直线过的定点，数形结合得到当MC与l垂直时，弦长最短，利用垂直时斜率关系列出方程，求出实数a的值.
【详解】由ax－y＋2－a＝0得直线l恒过点M(1，2).又因为点M(1，2)在圆C的内部，
当MC与l垂直时，弦长最短，所以，所以×a＝－1，解得:a＝2 .
故答案为：2
14. 已知点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为__________
【答案】
【解析】
【分析】先利用圆切线的性质推得、、、四点共圆，，从而将转化为，进而确定时取得最小值，再求得以为直径的圆的方程，由此利用两圆相交弦方程的求法即可得解.
【详解】圆：可化为，
，，
，是圆的两条切线，则，，
、、、四点共圆，且，，
，
，
当最小，即时，取得最小值，
此时方程为，
联立，解得，，即，
以为直径的圆的方程为，
即，
圆：，两圆相交，
两圆方程相减即为的方程.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将转化为，从而确定最小时的坐标，从而利用两圆相减可得相交弦方程的技巧得解.
四、解答题
15. 已知空间中三点，，，设，.
（1）已知，求的值；
（2）若，且∥，求的坐标.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）问题转化为，求.
（2）根据向量的模的计算和向量共线，求的坐标.
【小问1详解】
由题知，，
所以，
因为，
所以.
【小问2详解】
因为∥， ，
所以，，
因为，所以，解得 ，
所以或.
16. 已知两直线.
（1）求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程；
（2）已知两点，动点在直线运动，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）联立方程，求出交点，再由垂直关系得出斜率，进而写出直线方程；
（2）由对称性得出点关于直线对称的点为，进而结合图像得出最值.
【小问1详解】
解：联立，解得，
因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为；
故所求直线方程为，即
【小问2详解】
设点关于直线对称的点为，
，解得
则，
故的最小值为.
17. 如图，在四棱锥中，，底面为正方形，分别为的中点．
（1）求证：∥平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求点到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用中位线定理证明，然后由线面平行的判定定理证明即可；
（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可；
（3）求出的坐标，然后利用点到平面距离的向量公式求解即可．
【小问1详解】
证明：因为，分别为，的中点，
所以，
又平面，平面，
故平面；
【小问2详解】
由于平面，
所以平面，
以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则,1,，,1,，,0,，,0,，,0,，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
故，
设直线与平面所成角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为；
【小问3详解】
因为，
又平面的法向量为，
所以点到平面距离为．
18. 在平面直角坐标系中，圆的半径为，其圆心在射线上，且
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线过点， 且与圆相切，求直线的方程；
（3）自点发出的光线射到轴上，被轴反射，其反射光线所在的直线与圆相切，求光线所在直线的方程.
【答案】（1）
（2）或
（3）或
【解析】
【分析】（1）设圆心，，由距离公式求出，即可得到圆的方程；
（2）分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，解得即可；
（3）取圆关于轴的对称的圆，可知直线与圆相切，根据切线结合点到直线的距离公式运算求解.
【小问1详解】
设圆心，，
由于，所以，所以，
即圆心的坐标为，则圆的方程为；
【小问2详解】
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，
圆心到直线的距离，此时满足直线和圆相切；
若直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程为，
即，
因为直线和圆相切，
所以圆心到直线的距离，
即，平方得，
即，此时直线的方程为，即，
所以直线的方程为或；
【小问3详解】
取圆关于轴的对称的圆，即圆心，半径，
可知直线与圆相切，
若直线的斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离，不合题意；
所以直线的斜率存在，设为，则，即，
则，整理得，解得或，
所以直线的方程为或.
19. 已知两个定点A（-4，0），B（-1，0），动点P满足|PA|=2|PB|.设动点P的轨迹为曲线E，直线l：y=kx-4.
（1）求曲线E的方程；
（2）若直线l与曲线E交于不同的C，D两点，且∠COD=90°（O为坐标原点），求直线l的斜率；
（3）若k=，Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM，QN，切点为M，N，探究：直线MN是否过定点.
【答案】（1）x2+y2=4；（2）±；（3）过定点.
【解析】
【分析】（1）设点P坐标为（x，y），运用两点的距离公式，化简整理，即可得到所求轨迹的方程；
（2）由，则点到边的距离为，由点到线的距离公式得直线的斜率；
（3）由题意可知：O，Q，M，N四点共圆且在以OQ为直径的圆上，设Q，则圆的圆心为运用直径式圆的方程，得直线的方程为tx+y-4=0，结合直线系方程，即可得到所求定点．
【详解】解析（1）设点P的坐标为（x，y），则由|PA|=2|PB|，得=2，平方可得x2+y2+8x+16=4（x2+y2+2x+1），
整理得，曲线E的方程为x2+y2=4.
（2）直线l的方程为y=kx-4，
依题意可得为等腰直角三角形，
则圆心到直线l的距离d==·|CD|=，∴k=±.
（3）由题意可知，O，Q，M，N四点共圆且在以OQ为直径的圆上，
设Q，以OQ为直径的圆的方程为，
即
又M，N在曲线E：x2+y2=4上，
∴MN的方程为tx+y-4=0，
即t-4（y+1）=0，
由得
∴直线MN过定点.