2023届北京市房山区高三上学期诊断性评价数学试题（解析版）

这是一份2023届北京市房山区高三上学期诊断性评价数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届北京市房山区高三上学期诊断性评价数学试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】解不等式求得集合，进而求得.【详解】，解得，所以，所以.故选：B2．若复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根据给的等式求出用表示，然后运用复数的除法运算解决.【详解】，所以复数在复平面上的点为，所以点在第一象限故选：A3．已知数列满足，且，则数列的前四项和的值为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题意是首项为2、公比为的等比数列，利用等比数列前n项和公式求的值.【详解】由题设是首项为2、公比为的等比数列，即，所以.故选：C4．已知函数，则（    ）A．图象关于原点对称，且在上是增函数B．图象关于原点对称，且在上是减函数C．图象关于轴对称，且在上是增函数D．图象关于轴对称，且在上是减函数【答案】B【分析】根据定义判断奇偶性，由解析式判断单调性，即可得答案.【详解】由且定义域为R，所以为奇函数，即关于原点对称，又在R上递减，故在上是减函数.故选：B5．若角、是锐角三角形的两个内角，则下列各式中一定成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题设可得，结合诱导公式判断内角、对应三角函数值的大小关系.【详解】由锐角三角形知：且，所以，则，即，且，即.又已知角的大小不确定，故A、B不一定成立，而C错，D对.故选：D6．设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且.则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据线面、面面垂直的判定及性质判断题设条件间的推出关系，结合充分、必要性定义确定答案.【详解】已知且，当时，则，而，故，充分性成立；当时，若相交，又，且l、n在β内，则，且，故；若平行，不一定成立，即不能确定；所以必要性不成立，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A7．若抛物线（）上一点到抛物线的准线和对称轴的距离分别为5和3，则的值为（    ）A．1 B．2 C．1或9 D．2或9【答案】C【分析】由题设抛物线准线为且对称轴为x轴，令且，结合已知列方程组求参数p即可.【详解】由抛物线（）知：准线为且对称轴为x轴，不妨令且，则，可得，所以，解得或，均满足题设.故选：C8．已知半径为1的动圆经过坐标原点，则圆心到直线的距离的最大值为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用圆上的点到直线的距离的最值可求解.【详解】由题设，半径为1的动圆经过坐标原点，可知圆心的轨迹为以原点为圆心，半径为1的圆，即则该圆上的点到直线的距离的最大值为又，，，即故距离的最大值为3故选：C9．某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有1000名教师用户.如果教师用户人数与天数之间满足关系式：，其中为常数，是刚发布时的教师用户人数，则教师用户超过20000名至少经过的天数为（    ）（参考数据：）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】D【分析】根据已知条件求得，结合及指对数关系、对数运算性质求解集，即可得结果.【详解】由题设，可得，所以，则，故，所以教师用户超过20000名至少经过12天.故选：D10．在中，，，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，利用余弦定理可求得，根据向量数量积定义可得，利用三角形三边关系可求得的范围，结合二次函数性质可求得结果.【详解】设，则，由余弦定理得：，；，，，即的取值范围为.故选：D. 二、填空题11．函数的定义域是______.【答案】【分析】根据分式、对数的性质列不等式组求定义域即可.【详解】由题设，故，所以定义域为.故答案为：12．的展开式中常数项是______.（用数字作答）【答案】【分析】根据的展开式的通项公式可求出结果.【详解】的展开式的通项为，令，得，所以的展开式中常数项是.故答案为：.13．若双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为______.【答案】【分析】根据离心率求得，然后求得双曲线的渐近线方程.【详解】依题意，，，则双曲线的渐近线方程为.故答案为：14．函数的图象可以近似表示某音叉的声音图象.给出下列四个结论：①是函数的一个周期；    ②的图象关于直线对称；③的图象关于点对称；    ④在上单调递增.其中所有正确结论的序号是______.【答案】①③④【分析】①应用诱导公式判断判断是否成立即可；②③、的等量关系判断正误；④判断，，上，，对应单调性，即可判断.【详解】①，所以是函数的一个周期，正确；，所以不关于直线对称，而关于点对称，②错误，③正确；④，则，，，而在、、均递增，故在上单调递增，正确.故答案为：①③④ 三、双空题15．若函数存在最小值，则的一个取值为______；的最大值为______.【答案】     0（答案不唯一）     4【分析】根据分段函数的性质，结合绝对值、二次函数的性质，讨论m范围及存在最小值确定m的范围，进而确定答案.【详解】对于，在上递减，上递增，在R上的最小值为0；对于，开口向上且对称轴为，所以，在上递减，上递增，在R上的最小值为；综上，对于f(x)：当时，在上递减，上递增，此时恒成立，所以不存在最小值；当时，在上递减，上递增，此时最小值为0；当时，在上递减，,上递增，且，又，若时，，此时最小值为0；若时，，此时最小值为0；若时，，此时最小值为0；若时，，此时最小值为0；若时，，此时不存在最小值；综上，，故m的最大值为4.故答案为：0（答案不唯一），4 四、解答题16．在中，是边上一点，，，，.(1)求的长；(2)求的面积.【答案】(1)2(2) 【分析】（1）中，根据余弦定理求的长；（2）中，根据余弦定理求，即可求，再根据三角形的面积公式求解.【详解】（1）因为，则，，，中，,即，解得：或（舍），所以；（2），因为所以，，所以.17．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，平面，为棱的中点.(1)求证：平面；(2)再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，求：直线与平面所成角的正弦值，以及点到平面的距离.条件①：；条件②：平面；条件③：.【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析 【分析】（1）连接，交于，连接，由中位线性质有，再由线面平行的判定证结论；（2）根据所选的条件求得，以为原点，为x、y、z轴建立空间直角坐标系，应用空间向量夹角的坐标表示求线面角正弦值，点面距离的向量求法求到平面的距离.【详解】（1）连接，交于，连接，底面是正方形，故是的中点，又为棱的中点，所以，在△中，而面，面，所以平面.（2）选①：若分别是中点，连接，由为棱的中点且底面是正方形，易知：，又共线且，故，所以为平行四边形，故，而，则，在△中，垂直平分，故，即，由，故，又平面，平面，则，又，以为原点，为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则，故，令为面的一个法向量，则，令，，所以，即直线与平面所成角的正弦值为，所以点到平面的距离.选②：平面，平面，则，为棱的中点，在△中，垂直平分，故，又平面，平面，则，又，以为原点，为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则，故，令为面的一个法向量，则，令，，所以，即直线与平面所成角的正弦值为，所以点到平面的距离.选③：由平面，平面，则，又，由，面，故面，面，所以，在中，，则，故，又平面，则，在中，，即，又平面，平面，则，又，以为原点，为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则，故，令为面的一个法向量，则，令，，所以，即直线与平面所成角的正弦值为，所以点到平面的距离.18．为弘扬中华优秀传统文化，营造良好的文化氛围，增强文化自觉和文化自信，某区组织开展了中华优秀传统文化知识竞答活动，该活动有单人赛和PK赛，每人只能参加其中的一项.据统计，中小学生参与该项知识竞答活动的人数共计4.8万，其中获奖学生情况统计如下：奖项组别单人赛PK赛获奖一等奖二等奖三等奖中学组4040120100小学组3258210100 (1)从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自中学组的概率；(2)从中学组和小学组获奖者中各随机抽取1人，以表示这2人中PK赛获奖的人数，求的分布列和数学期望；(3)从获奖学生中随机抽取3人，设这3人中来自中学组的人数为，来自小学组的人数为，试判断与的大小关系.（结论不要求证明）【答案】(1)(2)分布列见解析，期望为(3)，理由见解析 【分析】（1）应用条件概率公式求概率即可；（2）由题设可能值为，结合表格数据及超几何分布概率公式求分布列，进而求期望；（3）由，应用方差的性质判断的数量关系即可.【详解】（1）若事件表示抽到的学生获得一等奖，事件表示抽到的学生来自中学组，所以抽到的1个学生获得一等奖，学生来自中学组的概率为，由表格知：，则.（2）由题意，可能值为，，，，的分布列如下：012 所以.（3）由题设知，所以.19．已知函数（）.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的单调区间；(3)若函数恰有一个零点，则的取值范围为______.（只需写出结论）【答案】(1)(2)答案见解析(3). 【分析】（1）利用导数的几何意义求在点处的切线方程；（2）由题设，讨论参数a，结合不同区间上符号确定的单调区间；（3）根据（2）所得的单调性，讨论参数a，结合零点存在性定理判断零点的个数，即可得参数范围.【详解】（1）由题设，则，所以，，故曲线在点处的切线方程为.（2）由，当时，，则时，时，所以在上递减，上递增；当时，令，可得或，若，即时，、上，上，所以在、上递增，上递减；若，即时，在R上恒成立，即在R上递增；若，即时，、上，上，所以在、上递增，上递减；综上，，在上递减，上递增；，在、上递增，上递减；，在R上递增；，在、上递增，上递减；（3）由（2），当时，，而趋向、时趋向于，所以，在、各有一个零点，共两个零点，不合题设；当时，，在上，趋向时趋向于，所以，此时在有一个零点，满足题设；当时，极大值，极小值，趋向时趋向于，所以，在有一个零点，满足题设；当时，，趋向时趋向于，所以，在R上有一个零点，满足题设；当时，极大值，极小值，趋向时趋向于，所以，在上有一个零点，满足题设；综上，函数恰有一个零点，.20．已知椭圆：经过点，且点到两个焦点的距离之和为8.(1)求椭圆的方程；(2)直线：与椭圆分别相交于两点，直线，分别与轴交于点，.试问是否存在直线，使得线段的垂直平分线经过点，如果存在，写出一条满足条件的直线的方程，并证明；如果不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)（答案不唯一） 【分析】（1）根据椭圆的定义，得到，代入，可得，计算得到椭圆的方程.（2）联立直线与椭圆，利用韦达定理，得到和，再分别利用，得到直线和直线，进而得到与，利用线段的垂直平分线经过点，必有，整理可得，此时，利用韦达定理进行换元，得到，然后，对进行赋值，即可得到满足题意的直线方程.【详解】（1）点到两个焦点的距离之和为8，故，,椭圆的方程为，代入，可得，解得，故椭圆的方程为：（2）由题意，设，联立直线与椭圆的方程，可得，，整理得，，化简得，，故；，，又，可设直线：，设直线：，故，，若线段的垂直平分线经过点，必有，故有，整理得，，化简得，，得到，，，，，，，利用韦达定理，得，，，，，，，当时，，此时，直线为：，故令，则必有，满足，此时，满足题意的直线为：（答案不唯一）21．若对，，当时，都有，则称数列受集合制约.(1)若，判断是否受制约，是否受区间制约；(2)若，受集合制约，求数列的通项公式；(3)若记：“受区间制约”，：“受集合制约”，判断是否是的充分条件，是否是的必要条件，并证明你的结论.【答案】(1)受制约，不受制约，理由见解析(2)且.(3)是的充分不必要条件，证明见解析 【分析】（1）根据数列新定义，判断、且是否有成立即可判断；（2）由题设可得，利用等差数列的定义写出的通项公式；（3）由新定义判断、的推出关系，结合充分、必要性的定义得到结论.【详解】（1）由、且，则，而，显然，则，故受制约，由、且，当，即，故；当，即，故.故不受制约.综上，受制约，不受制约.（2）由、且，有，所以，又，，故的奇数项、偶数项分别为首项为1、3，且公差均为2的等差数列，当且，则，当且，则，综上，且.（3）结论：是的充分不必要条件，证明如下：为真：受集合制约，由、且，当，有成立，则，进而可得：①；当，有成立，结合①有；此时，受集合制约；为真：受集合制约，由、且，有；而，不一定有成立（反例：且，显然，有），故不一定受区间制约；所以，受区间制约，必受集合制约，但受集合制约，不一定受区间制约；综上，是的充分不必要条件.