湖南省长沙市同升湖高级中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试题

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2．当时，，
当时，即，即，则有或，
故“”是“”的充分不必要条件.故选：B.
3．因为，所以，解得.故选：A
4． 答案C
5．因为函数的定义域是，所以，所以，
所以函数的定义域为，所以要使函数有意义，则有，解得，
所以函数的定义域为.故选：A.
6． A．，正确，不符合题意；B．，错误，符合题意；
C．，正确，不符合题意；
D．，正确，不符合题意．故选：B．
7．由题意可知,两边同时取对数可得，
所以，故，则，由表中数据可知,故选：C
8．因为是和的公切线，
设切点分别为和，则，
由，可得，则
又由，可得，且，则，
所以，可得，
即，显然同号，不妨设，设，（其中），
可得，令，可得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
要使得有解，则需要，即
即，解得，所以，即的最大值为.故选：B.
9．对于A，由，得，
令，得；令，得或，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
且，
所以当时，，当时，存在唯一零点，
故函数在上只有一个零点，故A正确；
对于B，由选项A可知，函数的极小值为，故B正确；
对于C，令，定义域为，则，
所以函数为奇函数，对称中心为，将函数图象向下平移1个长度单位，得函数的图象，
所以的对称中心为，故C错误；
对于D，由选项A知，，令，又，
所以切线方程为，即，
所以直线是曲线在点处的切线，故D正确，故选：ABD.
10．为偶函数，，即有，A正确；，令，可得，又，，B正确；
，，①，②
将①②式与联立化简得，，，，即与的周期均为4，
，，
，，，C错误；
又，，，
，，，，D正确. 答案：ABD
11． 的定义域为，在定义域上恒成立，
所以的单调递增区间为，，故错误；当趋近于0时，趋于，
当趋近于1，且在1的左侧时，趋于，所以的值域为，故正确；
，所以，
又，所以，故错误；
，
因为，所以，又，所以，即，故正确.故选：.
12．函数的定义域为，且，
所以为奇函数，又，所以函数单调递增，
又，所以，所以，即，
所以，
当且仅当，即，，等号成立，所以的最小值为. 故答案为：.
13．301
14．令，则，所以，
令，则，令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
故当时，取得最小值，故当，即时，函数的最小值恰好为0，
令，则，令，得；令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，则，所以的最小值为.
故答案为：.
15.（1）平面平面，且两平面交于，又，平面.
在中，，，.
且，是等腰直角三角形，，.
，，
又，为等腰直角三角形，.
，，
又，所以，平面，平面，平面. 6分
（2）由（1）得平面，且，所以建立如图所示空间直角坐标系.
可得，，，即，.
设平面的法向量为，则，解得.
平面的法向量为.
设二面角为，所以，则. 13分
16.（1）因为，所以，
由正弦定理得，整理得，
由余弦定理得，又，所以. 7分
（2）设内切圆的半径为，则，所以，
又，所以，则，
由，得，当且仅当时取等号，
所以，即内切圆半径的最大值为. 15分
17. (1)当时，，
时，单调递增，时，在上单调递增，在上单调递减，
所以的单调递增区间为和 . 5分
(2)，使,所以，即，
①当时，，对称轴，
当即时，，，
所以，所以或，因为，所以 ，
当即时，，，
所以，，因为，所以，
②当时，，对称轴， 所以，
， 所以，，所以 ，
③当时，，因为，
因为，所以不可能是函数的最大值，
所以，所以，所以，
综上所述：a的取值范围是 . 15分
18.(1)由题意， 知，，，，
解得从而，椭圆C的方程. 7分
(2)设直线l的方程为，，.直线l不过点A，因此.
由得.时，，，
.
由，可得，即，故l的方程为，恒过定点. 17分
19.（1），当时，；当时，，
的增区间为，减区间为. 3分
（2）令，，
当时，；当时，，当时，即，
原不等式等价于，为上的减函数，，
只需证明即，令，
当时，，当时，，原不等式成立. 10分
（3）当时，由（2）知又，
，原不等式在上恒成立.
当时，令.，
在内必有零点，设为，则，，
，
，而，
综上所述实数的取值范围是. 17分