湖南省长沙市长郡中学2021-2022学年高三上学期第一次月考数学试题

这是一份湖南省长沙市长郡中学2021-2022学年高三上学期第一次月考数学试题，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试卷共8页．时量120分钟．满分150分．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
★2．设复数z满足则（ ）
A．1 B． C． D．
★3．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下：
根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为，据此模型预测当时，y的估计值为（ ）
A．210.5 B．211 C．211.5 D．212
4．过抛物线，的焦点F作斜率大于0的直线l交抛物线于A，B两点（A在B的上方），且l与准线交于点C，若，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
5．公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V）与它的直径（D）的立方成正比”，此即，欧几里得未给出k的值．17世纪日本数学家们对球的体积的方法还不了解，他们将体积公式中的常数k称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱），正方体也可利用公式求体积（在等边圆柱中，D表示底面圆的直径；在正方体中，D表示棱长）．假设运用此体积公式求得球奖（直径为a），等边圆柱（底面圆的直径为a），正方体（棱长为a）的“玉积率”分别为，那么（ ）
A． B． C． D．
6．已知且，若，则（ ）
A．或 B．或1 C．1 D．
7．某电视台的夏日水上闯关节目一共有三天，第一关与第二关的过关率分别为只有通过前一关才能进入下一关，每一关都有两次闯关机会，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进人第三关的概率为（ ）
A． B． C． D．
★8．已知双曲线的左，右焦点分别为、，过点作倾斜角为的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，若，且双曲线C的离心率为2．则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．已知函数，则下列关于的说法正确的是（ ）
A．最大值为4 B．在上单调递减
C．是它的一个对称中心 D．是它的一条对称轴
10．已知不等式的解集是，则下列四个结论中正确的是（ ）
A． B．
C．若不等式的解集为，则
D．若不等式的解集为，且，则
11．如图已知P是半径为2，圆心角为的一段圆弧上的一点，若，则的值可以是
（参考数据）（ ）
A． B． C．0 D．1
12．如图所示，在矩形中，，E为上一动点，现将沿折起至，在平面内作，G为垂足．设，则下列说法正确的是（ ）

A．若平面，则 B．若平面，则
C．若平面平面，且，则 D．若平面平面，且，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若是偶函数，则_________．
14，已知直线与圆交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若，则_________．
15．设函数，若曲线在处的切线经过点．则实数a的值为＿＿＿＿；在（e为自然对数的底数，）上的最小值为_________．
16．在数列中，对任意，当且仅当，若满足，则m的最小值为_________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
在中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，面积，求的值．
★18．（本小题满分12分）
比知数列满足：
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前n项和为．若对恒成立．求正整数m的最大值．
19．（本小题满分12分） 设甲、乙两位同学在高中年级上学期间，甲同学每天6：30之前到校的概率均为，乙同学每天6：30之前到校的概率均为，假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
（1）设A为事件“上学期间的五天中，甲同学在6：30之前到校的天数为3天”，B为事件“上学期间的五天中，甲同学有且只有一次连续两天在6：30之前到校”，求在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，
（2）甲、乙同学组成了学习互助小组后，若某天至少有一位同学在6：30之后到校，则之后的一天甲，乙同学必然同时在6：30之前到校，在上学期间的五天，随机变量Y表示甲、乙同学同时在6：30之前到校的天数，求Y的分布列与数学期望．
20．（本小题满分12分）
如图，在中，．O为的外心，平面，且．
（1）求证： 平面；
（2）设平面平面；若点M在线段上运动，且，当直线l与平面所成角取最大值时，求的值
21．（本小题满分12分）
设椭圆长轴的左，右顶点分别为A，B．
（1）若P、Q是椭圆上关于x轴对称的两点，直线的斜率分别为，求的最小值；
（2）已知过点的直线l交椭圆C于M、N两个不同的点，直线分别交y轴于点S、T，记（O为坐标原点），当直线1的倾斜角为锐角时，求的取值范围．
22．（本小题满分12分）
已知函数（是自然对数的底数）．
（1）设，求的最小值；
（2）讨论关于x的方程的根的个数，
长郡中学2022届高三月考试卷（一）
数学参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．C 【解析】由函数单调递增，不等式解得，即集合，则．故选C．
2．B 【解析】因为，所．故选B
3．C 【解析】，将代入
得，则，当时，，应选答案C
4．C 【解析】分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为，设，
则，，故选C．
5．D 【解析】由题意得球的体积为；
等边圆柱的体积为；
正方体的体积，所以，故选D．
6．D【解析】由，得，
所以，求得（舍），．
又，
将的值代入上式可得：．故选D．
7．B【解析】该选手闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为，所以该选手能进入第三关的概率为．故选B
8．A 【解析】由双曲线的定义知，，∵，
∴，即，
∴，
在中，由余弦定理知，，
∵，故选A．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．AD 【解析】由，∴的最大值为4，所以A正确；
因为当时，，不是单调函数，所以B错误；
因为不在图象上，所以不是其对称中心，所以C错误；
因为为函数的最大值，所以对称轴，所以D正确，故选AD．
10．ABD 【解析】由题意．，∴，所以A正确；
对于B：等号当且仅当，即时成立，
所以B正确；
对于C：由韦达定理，知，所以C错误；
对于D：由韦达定理，知，
则，解得，所以D正确；
故选ABD．
11．ABC 【解析】以圆心为原点，平行的直线为x轴，的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
则设，
则
，且，
，
∵在递增，在递减，
∴当时，最小值为，
当时，的最大值为，
则所以ABC正确，D错误，故选ABC
12．AC 【解析】对于A，若平面，则，
在中，，则，
是三角形的高，则所以A正确；
对于B，若平面，则有，
则，在中，，
即，解得，所以B错误；
对于C，若平面平面，作，垂足为H，
因为平面平面，所以平面，从而，
又，所以平面，从而，
因为，所以在等腰直角三角形中，，
所以在等腰直角三角形中，，所以C正确；
对于D，若平面平面，平面平面，
又，故平面，
所以，作，垂足为H，
从而有平面，从而，从而有C，H，G三点共线，
则，又，
故，又，
所以，故，
因为，所以，所以D错误；故选AC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 【解析】∵是偶函数，∴，
经检验符合题意，故答案为．
14． 【解析】圆，圆心，半径，
∵，∴直线过圆心，
∴，∴，∴直线，倾斜角为，
∵过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，∴．
15．1 【解析】函数，则定义域为，．
由题设，解得．
从而；当时，时，．
可知在单调递增．在上单调递减．又，
所以在上的最小值为．
16．512 【解析】不妨设，由题意可得，，
因为，所以，
同理可得，，…
所以，
因为，所以，解得，又，
所以k的最小值整数解为9，故m的最小值为．故答案为：512．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．【解析】由三角形面积公式，则，
∵，∴ 4分
（法一）由正弦定理得，．
又由得，所以， 8分
所以
10分
（法二）由余弦定理得，
即，解得（舍）或， 8分
由余弦定理得． 10分
18．【解析】（1）因为数列满足：，
所以，设的公比为q，可得， 4分
又，即，解得， 4分
所以； 5分
（2）， 6分
，
， 7分
上面两式相减可得， 8分
化简可， 9分
因为， 10分
所以递增，最小，且为所以， 11分
解得，则m的最大值为2021． 12分
19．【解析】（1）事件包含6种情况；甲同学第1、2、4天6：30之前到校；
甲同学第1、2、5天6：30之前到校；甲同学第2、3，、5天6：30之前到校；
甲同学第1、3、4天6：30之前到校；甲同学第1、4、5天6：30之前到校；
甲同学第2、4、5天6：30之前到校，故，又，
所以． 5分
（2）随机变量Y的所有可能取值为2、3、4、5．
则，
. 10分
则随机变量Y的分布列为：
11分
则 12分
20．【解析】（1）如图，连接，交于点D，O为的外心，
，所以，
所以
故和都为等边三角形， 3分
即四边形为菱形，所以
又平面，平面，所以平面． 5分
（2）由（1）同理可知因为平面，平面，
平面平面，所以． 6分
如图所示：以点D为原点，，垂直平面的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则．
设所以
设平面的法向量为．
，得
令得． 9分
所以直线l与平面所成角的正弦值为：
， 11分
即当即点M是线段的中点时，直线l与平面所成角取最大值． 12分
21．【解析】（1）设点，由椭圆的对称性知，不妨令，
由已知，则，显然有， 2分
则，
，则， 4分
因，所以，
当且仅当时等号成立，即的最小值为． 5分
（2）当直线l的倾斜角为锐角时，设，设直线，
由得，
从而，又，得，
所以， 6分
又直线的方程是：，令，解得，所以点S为；
直线的方程是：，同理点T为·
所以，
因为，所以， 8分
所以
11分
∵，∴，
综上，所以，的范围是． 12分
22．【解析】（1）由题意可求得， 1分
因为，当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增， 3分
所以时，的最小值为． 4分
（2）设，
令，则，
所以在上递增，在递减． 5分
（i）当时，，则，
所以．因为，所以，
因此在上单调递增． 7分
（ⅱ）当时，，则，则．
因为，即，又，
所以，因此在上单调递减．
综合（i）（ⅱ）可知，当时，， 5分
当，即时，）没有零点，故关于x的方程根的个数为0，
当，即时，只有一个零点，
故关于x的方程根个数为1， 7分
当，即时，①当时，
，
要使，可令，即； 9分
②当时，，
要使，可令，即，所以当时，
有两个零点，故关于x的方程根的个数为2， 11分
综上所述：当时，关于x的方程根的个数为0，当时，关于x的方程根的个数为1，
当时，关于x的方程根的个数为2． 12分
x
2
4
5
6
8
y
20
40
60
70
80
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
C
C
D
D
B
A
题号
9
10
11
12
答案
AD
ABD
ABC
AC
Y
2
3
4
5
P