2023-2024学年北京市朝阳外国语学校九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2023-2024学年北京市朝阳外国语学校九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）如图，在平面内将三角形标志绕其中心旋转180°后得到的图案（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）若点M（1，2）、N（5，2）在抛物线y＝（x﹣h）2+k上，则h的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
3．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．2B．﹣2C．2或﹣2D．0
4．（3分）如图，△OAB绕点O逆时针旋转90°到△OCD的位置，已知∠AOB＝45°，则∠AOD等于（ ）
A．55°B．45°C．40°D．35°
5．（3分）南宋著名数学家杨辉所著的《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长阔各几何？”意思是“一块矩形田地的面积是864平方步，只知道它的长与宽的和是60步，问它的长和宽各是多少步？”设矩形田地的长为x步，根据题意可以列方程为（ ）
A．x（x+30）＝864B．x（x+60）＝864
C．x2﹣60x+864＝0D．x2﹣60x﹣864＝0
6．（3分）如图，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，点B在函数y＝（x＞0）的图象上，且AB∥x轴，BC⊥x轴于点C，则四边形ABCO的面积为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（3分）已知二次函数y＝mx2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是（ ）
A．﹣2或B．﹣2或C．2或﹣D．2或﹣
8．（3分）将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y＝x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（ ）
A．或﹣3B．或﹣3C．或﹣3D．或﹣3
二、填空题（共8题，共计24分，每小题3分）
9．（3分）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例（即），已知200度近视眼镜的镜片焦距为0.5m，则y与x之间的函数关系式是 ．
10．（3分）二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝mx+n的图象如图所示，则满足ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范围是 ．
11．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+（2a﹣1）x+a2＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
12．（3分）若点A（m，﹣2）在反比例函数的图象上，则当函数值y≥﹣2时，自变量x的取值范围是 ．
13．（3分）一副三角板如图放置，将三角板ADE绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α的度数为 ．
14．（3分）已知a，b是方程x2﹣x﹣3＝0的两个不等的实数根，则a2+b+ab的值为 ．
15．（3分）2023年5月28日，C919商业首航完成——中国民航商业运营国产大飞机正式起步．12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇．此时相遇点H距地面20米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A′、B′到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H'距地面 米．
16．（3分）如图，点C为线段AB的中点，E为直线AB上方的一点，且满足CE＝CB，连接AE，以AE为腰，A为直角顶点作等腰Rt△ADE，连接CD，当CD最大，且最大值为+1时，则AB ．
三、解答题（共8大题，共计52分，其中17题8分、18题7分、19-23每小题8分、24题7分）
17．（8分）解方程
（1）x2﹣2x＝5
（2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）
18．（7分）解方程：．
19．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求a的值．
20．（6分）如图，等腰Rt△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，点D在AC上，将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE．
（1）求∠DCE的度数；
（2）若AB＝4，CD＝3AD，求DE的长．
21．（6分）中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的207C（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系xOy．如果她从点A（3，10）起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足函数关系式y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
（1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
根据上述数据，直接写出k的值为 ，直接写出满足的函数关系式： ；
（2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣5x2+40x﹣68，记她训练的入水点的水平距离为d1；比赛当天入水点的水平距离为d2，则d1 d2（填“＞”“＝”或“＜”）；
（3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点B开始计时，若点B到水平面的距离为c，则她到水面的距离y与时间t之间近似满足y＝﹣5t2+c，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？
22．（6分）在平面直角坐标系xOy中，记函数的图象为G，直线l：经过A（2，3），与图象G交于B，C两点．
（1）求b的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在B，C之间的部分与线段BC围成的区域（不含边界）为W．
①当m＝2时，区域W内的整点个数为 个；
②各区域W内恰有4个整点，结合函数图象，m的取值范围为 ．
23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（x0，m），B（x0+4，n）在抛物线y＝x2﹣2bx+1上．
（1）当b＝5，x0＝3时，比较m与n的大小，并说明理由；
（2）若对于3≤x0≤4，都有m＜n＜1，求b的取值范围．
24．（7分）在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（6，0），点B（0，8）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为α（0°＜α＜90°）．
（Ⅰ）如图①，当α＝30°时，求点D的坐标；
（Ⅱ）如图②，当点E落在AC的延长线上时，求点D的坐标；
（Ⅲ）当点D落在线段OC上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）．
2023-2024学年北京市朝阳外国语学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8题，共24分，每小题3分）
1．（3分）如图，在平面内将三角形标志绕其中心旋转180°后得到的图案（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据旋转的性质可进行求解．
【解答】解：由旋转的性质可知只有D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
2．（3分）若点M（1，2）、N（5，2）在抛物线y＝（x﹣h）2+k上，则h的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】根据点M（1，2）、N（5，2）在抛物线y＝（x﹣h）2+k上，可以得到该抛物线的对称轴为直线x＝h＝＝3，本题得以解决．
【解答】解：∵点M（1，2）、N（5，2）在抛物线y＝（x﹣h）2+k上，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝h＝＝3，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
3．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．2B．﹣2C．2或﹣2D．0
【分析】由一元二次方程的定义，可知a﹣2≠0；一根是0，代入（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0可得a2﹣4＝0．a的值可求．
【解答】解：∵（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0是关于x的一元二次方程，∴a﹣2≠0，即a≠2①
由一个根是0，代入（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0，可得a2﹣4＝0，解之得a＝±2；②
由①②得a＝﹣2．故选B．
【点评】本题考查一元二次方程的定义应用，二次项系数不为0．解题时须注意，此为易错点．否则选C就错了．
4．（3分）如图，△OAB绕点O逆时针旋转90°到△OCD的位置，已知∠AOB＝45°，则∠AOD等于（ ）
A．55°B．45°C．40°D．35°
【分析】根据旋转的性质，可得∠BOD＝90°，即可求解．
【解答】解：∵△OAB绕点O逆时针旋转90°到△OCD的位置，
∴∠BOD＝90°，
∵∠AOB＝45°，
∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝45°．
故选：B．
【点评】本题考查旋转两相等的性质：即对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．
5．（3分）南宋著名数学家杨辉所著的《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长阔各几何？”意思是“一块矩形田地的面积是864平方步，只知道它的长与宽的和是60步，问它的长和宽各是多少步？”设矩形田地的长为x步，根据题意可以列方程为（ ）
A．x（x+30）＝864B．x（x+60）＝864
C．x2﹣60x+864＝0D．x2﹣60x﹣864＝0
【分析】由矩形田地的长与宽的和是60步，可得出矩形田地的宽为（60﹣x）步，根据矩形田地的面积是864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵矩形田地的长为x步，矩形田地的长与宽的和是60步，
∴矩形田地的宽为（60﹣x）步．
依题意得：x（60﹣x）＝864，
整理得：x2﹣60x+864＝0．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．（3分）如图，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，点B在函数y＝（x＞0）的图象上，且AB∥x轴，BC⊥x轴于点C，则四边形ABCO的面积为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】延长BA交y轴于点D，根据反比例函数k值的几何意义得到，S矩形OCBD＝3，根据四边形ABCO的面积等于S矩形OCBD﹣S△ADO，即可得解．
【解答】解：延长BA交y轴于点D，
∵AB∥x轴，
∴DA⊥y轴，
∵点A在函数的图象上，
∴，
∵BC⊥x轴于点C，DB⊥y轴，点B在函数的图象上，
∴S矩形OCBD＝3，
∴四边形ABCO的面积等于S矩形OCBD﹣S△ADO＝3﹣1＝2；
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中k的几何意义，是解题的关键．
7．（3分）已知二次函数y＝mx2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是（ ）
A．﹣2或B．﹣2或C．2或﹣D．2或﹣
【分析】先求得抛物线对称轴，然后非两种情况讨论得到关于m的方程，解方程即可求得m值．
【解答】解：由二次函数y＝mx2﹣2mx（m为常数），得到对称轴为直线x＝1，
∵当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，
∴当m＞0时，x＝1时，y＝﹣2，
则m﹣2m＝﹣2，
解得m＝2．
当m＜0时，x＝﹣1时，y＝﹣2，
则m+2m＝﹣2，
解得m＝﹣．
故m的值为2或﹣，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数的最值问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8．（3分）将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y＝x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（ ）
A．或﹣3B．或﹣3C．或﹣3D．或﹣3
【分析】分两种情形：如图，当直线y＝x+b过点B时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，当直线y＝x+b与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3）相切时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，分别求解即可．
【解答】解：二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点坐标为（1，4），
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
则抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的交点为A（﹣1，0），B（3，0），
把抛物线y＝﹣x2+2x+3图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3），顶点坐标M（1，﹣4），
如图，当直线y＝x+b过点B时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，
∴3+b＝0，解得b＝﹣3；
当直线y＝x+b与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3）相切时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，
即（x﹣1）2﹣4＝x+b有相等的实数解，整理得x2﹣3x﹣b﹣3＝0，Δ＝32﹣4（﹣b﹣3）＝0，解得b＝﹣，
所以b的值为﹣3或﹣，
故选：A．
【点评】此题主要考查了翻折的性质，一元二次方程根的判别式，抛物线的性质，确定翻折后抛物线的关系式；利用数形结合的方法是解本题的关键，画出函数图象是解本题的难点．
二、填空题（共8题，共计24分，每小题3分）
9．（3分）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例（即），已知200度近视眼镜的镜片焦距为0.5m，则y与x之间的函数关系式是 y＝ ．
【分析】由于近视镜度数y（度）与镜片焦距x（米）之间成反比例关系可设y＝，由200度近视镜的镜片焦距是0.5米先求得k的值．
【解答】解：由题意设y＝，
由于点（0.5，200）适合这个函数解析式，则k＝0.5×200＝100，
∴y＝．
故眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式为：y＝．
故答案为：y＝．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
10．（3分）二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝mx+n的图象如图所示，则满足ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范围是 ﹣3＜x＜0 ．
【分析】根据函数图象写出二次函数图象在一次函数图象上方部分的x的取值范围即可．
【解答】解：由图可知，﹣3＜x＜0时二次函数图象在一次函数图象上方，
所以，满足ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范围是﹣3＜x＜0．
故答案为：﹣3＜x＜0
【点评】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，数形结合准确识图是解题的关键．
11．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+（2a﹣1）x+a2＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 a＜ ．
【分析】根据根的判别式的意义得到（2a﹣1）2﹣4a2＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（2a﹣1）2﹣4a2＞0，
解得a＜，
所以a的取值范围是a＜．
故答案为：a＜．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
12．（3分）若点A（m，﹣2）在反比例函数的图象上，则当函数值y≥﹣2时，自变量x的取值范围是 x≤﹣2或x＞0 ．
【分析】根据题意可求点A的坐标；画出草图，运用观察法求解．
【解答】解：∵点A（m，﹣2）在反比例函数的图象上，
∴﹣2m＝4，m＝﹣2．
∴A（﹣2，﹣2）．
∴当函数值y≥﹣2时，自变量x的取值范围是 x≤﹣2或x＞0．
故答案为：x≤﹣2或x＞0．
【点评】此题考查了反比例函数的图象及其性质以及运用观察法解不等式，难度中等．注意反比例函数的图象是双曲线．
13．（3分）一副三角板如图放置，将三角板ADE绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α的度数为 15°或60° ．
【分析】分情况讨论：①DE⊥BC；②AD⊥BC．
【解答】解：分情况讨论：
①当DE⊥BC时，∠BAD＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∴α＝90°﹣∠BAD＝15°；
②当AD⊥BC时，α＝90°﹣∠C＝90°﹣30°＝60°．
故答案为：15°或60°
【点评】本题主要考查了旋转的定义、旋转角的求法以及一副三角板的各个角的度数，理清定义是解答本题的关键．
14．（3分）已知a，b是方程x2﹣x﹣3＝0的两个不等的实数根，则a2+b+ab的值为 1 ．
【分析】根据一元二次方程的解定义及根与系数的关系可得a+b＝1，ab＝﹣3，a2﹣a﹣3＝0，得到a2＝a+3，将a2+b+ab化为（a+b）+ab+3，代入进行计算即可得到答案．
【解答】解：由题意可知：a+b＝1，ab＝﹣3，a2﹣a﹣3＝0，
∴a2＝a+3，
∴原式＝a+3+b+ab
＝（a+b）+ab+3
＝1+（﹣3）+3
＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程的解的定义，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根x1，x2和系数a，b，c，有如下关系：，．
15．（3分）2023年5月28日，C919商业首航完成——中国民航商业运营国产大飞机正式起步．12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇．此时相遇点H距地面20米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A′、B′到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H'距地面 19 米．
【分析】根据题意求出原来抛物线的解析式，从而求得平移后的抛物线解析式，再令x＝0求平移后的抛物线与y轴的交点即可．
【解答】解：由题意可知：A （﹣40，4）、B （40，4）．H （0，20），
设抛物线解析式为：y＝ax2+20，
将 A （﹣40，4）代入解析式 y＝ax2+20，
解得：a＝﹣，
∴y＝﹣+20，
消防车同时后退10米，即抛物线 y＝﹣+20向左平移后的抛物线解析式为：y＝﹣+20，
令x＝0，
解得：y＝19，
故答案为：19．
【点评】本题考查了待定系数法求抛物线解析式、函数图象的平移及坐标轴的交点，解题的关键是求得移动前后抛物线的解析式．
16．（3分）如图，点C为线段AB的中点，E为直线AB上方的一点，且满足CE＝CB，连接AE，以AE为腰，A为直角顶点作等腰Rt△ADE，连接CD，当CD最大，且最大值为+1时，则AB ＝2 ．
【分析】将CA绕点A逆时针旋转90°得AH，连接CH，DH，利用SAS证明△CAE≌△HAD，得DH＝CE，当C、H、D三点共线时，CD最大，从而求出AC的长，即可解决问题．
【解答】解：将CA绕点A逆时针旋转90°得AH，连接CH，DH，
∴CA＝AH，∠CAH＝90°，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AE＝AD，∠DAE＝90°，
∴∠CAH＝∠DAE，
∴∠CAE＝∠DAH，
∴△CAE≌△HAD（SAS），
∴DH＝CE，
∴当C、H、D三点共线时，CD最大，
设AC＝x，
∵点C为AB的中点，
∴CA＝CB，
∵CE＝CB，
∴CE＝AC＝DH＝x，CH＝x，
∴x+x＝+1，
∴x＝1，
∴AB＝2AC＝2，
故答案为：＝2．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题（共8大题，共计52分，其中17题8分、18题7分、19-23每小题8分、24题7分）
17．（8分）解方程
（1）x2﹣2x＝5
（2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）
【分析】（1）根据配方法可以解答此方程；
（2）先移项，然后根据提公因式法可以解答此方程．
【解答】解：（1）∵x2﹣2x＝5，
∴x2﹣2x+1＝5+1，
∴（x+1）2＝6，
∴，
解得，，；
（2）∵2（x﹣3）＝3x（x﹣3），
∴2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0，
∴（x﹣3）（2﹣3x）＝0，
∴x﹣3＝0或2﹣3x＝0，
解得，x1＝3，．
【点评】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是根据方程的特点选择合适的解答方法．
18．（7分）解方程：．
【分析】可根据方程特点设y＝x2﹣2x，则原方程可化为y2﹣y﹣6＝0．解一元二次方程求y，再求x．
【解答】解：设y＝x2﹣2x，则原方程化为y2﹣y﹣6＝0．
即（y﹣3）（y+2）＝0，
解得y1＝﹣2，y2＝3．
当y1＝﹣2时，x2﹣2x＝﹣2，无解，
当y2＝3时，x2﹣2x＝3．
解得x1＝3，x2＝﹣1，
检验：当x1＝3时，9﹣6﹣＝3﹣2＝1，
当x2＝﹣1时，1+2﹣＝3﹣2＝1，
x1＝3，x2＝﹣1都是原方程的根，
∴原方程的根是x1＝3，x2＝﹣1．
【点评】本题考查用换元法解分式方程的能力，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．
19．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求a的值．
【分析】（1）计算根的判别式的值得到Δ＝（a﹣2）2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）利用因式分解法解方程得到x1＝1，x2＝a﹣1，根据题意得a为整数，a﹣1＝2×1或1＝2（a﹣1），然后解一次方程得到a的值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣a）2﹣4（a﹣1）
＝a2﹣4a+4
＝（a﹣2）2≥0，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：x2﹣ax+a﹣1＝0．
（x﹣1）[x﹣（a﹣1）]＝0，
x﹣1＝0或x﹣（a﹣1）＝0，
∴x1＝1，x2＝a﹣1，
∵方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，
∴a为整数，a﹣1＝2×1或1＝2（a﹣1），
解得a＝3或a＝（舍去），
∴a的值为3．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
20．（6分）如图，等腰Rt△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，点D在AC上，将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE．
（1）求∠DCE的度数；
（2）若AB＝4，CD＝3AD，求DE的长．
【分析】（1）首先由等腰直角三角形的性质求得∠BAD、∠BCD的度数，然后由旋转的性质可求得∠BCE的度数，故此可求得∠DCE的度数；
（2）由（1）可知△DCE是直角三角形，先由勾股定理求得AC的长，然后依据比例关系可得到CE和DC的长，最后依据勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAD＝∠BCD＝45°．
由旋转的性质可知∠BAD＝∠BCE＝45°．
∴∠DCE＝∠BCE+∠BCA＝45°+45°＝90°．
（2）∵BA＝BC，∠ABC＝90°，
∴AC＝＝4．
∵CD＝3AD，
∴AD＝，DC＝3．
由旋转的性质可知：AD＝EC＝．
∴DE＝＝2．
【点评】本题主要考查的是旋转的性质、勾股定理的应用、等腰直角三角形的性质，求得∠DCE＝90°是解题的关键．
21．（6分）中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的207C（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系xOy．如果她从点A（3，10）起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足函数关系式y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
（1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
根据上述数据，直接写出k的值为 11.25 ，直接写出满足的函数关系式： y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25 ；
（2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣5x2+40x﹣68，记她训练的入水点的水平距离为d1；比赛当天入水点的水平距离为d2，则d1 ＜ d2（填“＞”“＝”或“＜”）；
（3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点B开始计时，若点B到水平面的距离为c，则她到水面的距离y与时间t之间近似满足y＝﹣5t2+c，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？
【分析】（1）待定系数法求出解析式，即可；
（2）分别求出两个解析式当y＝0时，x的值，进行比较即可；
（3）先求出c的值，再求出t＝1.6时的y值，进行判断即可．
【解答】解：（1）由表格可知，图象过点（3，10），（4，10），（4.5，6.25），
∴h＝＝3.5，
∴y＝a（x﹣3.5）2+k，
∴，
解得：，
∴y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25；
故答案为：11.25，y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25，
（2∵y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25，
当y＝0时：0＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25，
解得：x＝5或x＝2（不合题意，舍去）；
∴d1＝5米；
∵y＝﹣5x2+40x﹣68，
当y＝0时：﹣5x2+40x﹣68＝0，
解得：x＝+4或x＝﹣+4（不合题意，舍去）；
∴d2＝+4＞5，
∴d1＜d2，
故答案为：＜；
（3）y＝﹣5x2+40x﹣68＝﹣5（x﹣4）2+12，
∴B（4，12），
∴c＝12，
∴y＝﹣5t2+12，
当t＝1.6时，y＝﹣5×1.62+12＝﹣0.8，
∵﹣0.8＜0，
即她在水面上无法完成此动作，
∴她当天的比赛不能成功完成此动作．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式．
22．（6分）在平面直角坐标系xOy中，记函数的图象为G，直线l：经过A（2，3），与图象G交于B，C两点．
（1）求b的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在B，C之间的部分与线段BC围成的区域（不含边界）为W．
①当m＝2时，区域W内的整点个数为 6 个；
②各区域W内恰有4个整点，结合函数图象，m的取值范围为 3≤m＜4 ．
【分析】（1）将点A的坐标代入一次函数关系式可得答案；
（2）①结合图象分析可得答案；
②考虑临界位置，结合图象得出答案．
【解答】解：（1）∵直线经过点A（2，3），
∴，
解得b＝4，
所以b＝4；
（2）①如图所示，区域W内的整点有（1，3），（2，2），（3，2），（3，1），（4，1），（5，1），共6个．
故答案为：6；
②当m＝3时，区域W内有4个整点，如图所示．
当m＜4时，区域W内有4个整点，如图所示．
所以区域W内有4个整点，m的取值范围是3≤m＜4．
故答案为：3≤m＜4．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的综合问题，待定系数法求一次函数（反比例函数）关系式，理解新定义等，确定临界点是解题的关键．
23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（x0，m），B（x0+4，n）在抛物线y＝x2﹣2bx+1上．
（1）当b＝5，x0＝3时，比较m与n的大小，并说明理由；
（2）若对于3≤x0≤4，都有m＜n＜1，求b的取值范围．
【分析】（1）抛物线的解析式化成顶点式，即可求得对称轴，根据二次函数的性质即可判断；
（2）求得抛物线与直线y＝1的交点，即可求得对称轴，由对于3≤x0≤4，都有m＜n＜1得到，解得b﹣2＜x0＜2b﹣4，从而得到，解得4＜b＜5．
【解答】解：（1）由题意可知A（3，m），B（7，n）在抛物线y＝x2﹣10x+1上，
∵y＝x2﹣10x+1＝（x﹣5）2﹣24，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝5，
∵A（3，m），B（7，n）到对称轴的距离相同，
∴m＝n；
（2）当y＝1时，则y＝x2﹣2bx+1＝1，
解得x1＝0，x2＝2b，
∴抛物线经过点（0，1），（2b，1），
∴对称轴为直线x＝b，
∵对于3≤x0≤4，都有m＜n＜1，
∴，
解得b﹣2＜x0＜2b﹣4，
∴，
解得4＜b＜5．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
24．（7分）在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（6，0），点B（0，8）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为α（0°＜α＜90°）．
（Ⅰ）如图①，当α＝30°时，求点D的坐标；
（Ⅱ）如图②，当点E落在AC的延长线上时，求点D的坐标；
（Ⅲ）当点D落在线段OC上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）．
【分析】（I）过点D作DG⊥x轴于G，由旋转的性质得出AD＝AO＝6，α＝∠OAD＝30°，DE＝OB＝8，由直角三角形的性质得出DG＝AD＝3，AG＝DG＝3，得出OG＝OA﹣AG＝6﹣3，即可得出点D的坐标为（6﹣3，3）；
（Ⅱ）过点D作DG⊥x轴于G，DH⊥AE于H，则GA＝DH，HA＝DG，由勾股定理得出AE＝＝＝10，由面积法求出DH＝，得出OG＝OA﹣GA＝OA﹣DH＝，由勾股定理得出DG＝，即可得出点D的坐标为（，）；
（Ⅲ）连接AE，作EG⊥x轴于G，由旋转的性质得出∠DAE＝∠AOC，AD＝AO，由等腰三角形的性质得出∠AOC＝∠ADO，得出∠DAE＝∠ADO，证出AE∥OC，由平行线的性质的∠GAE＝∠AOD，证出∠DAE＝∠GAE，证明△AEG≌△AED（AAS），得出AG＝AD＝6，EG＝ED＝8，得出OG＝OA+AG＝12，即可得出答案．
【解答】解：（I）过点D作DG⊥x轴于G，如图①所示：
∵点A（6，0），点B（0，8）．
∴OA＝6，OB＝8，
∵以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，
∴AD＝AO＝6，α＝∠OAD＝30°，DE＝OB＝8，
在Rt△ADG中，DG＝AD＝3，AG＝DG＝3，
∴OG＝OA﹣AG＝6﹣3，
∴点D的坐标为（6﹣3，3）；
（Ⅱ）过点D作DG⊥x轴于G，DH⊥AE于H，如图②所示：
则GA＝DH，HA＝DG，
∵DE＝OB＝8，∠ADE＝∠AOB＝90°，
∴AE＝＝＝10，
∵AE×DH＝AD×DE，
∴DH＝＝＝，
∴OG＝OA﹣GA＝OA﹣DH＝6﹣＝，DG＝＝＝，
∴点D的坐标为（，）；
（Ⅲ）连接AE，作EG⊥x轴于G，如图③所示：
由旋转的性质得：∠DAE＝∠AOC，AD＝AO，
∴∠AOC＝∠ADO，
∴∠DAE＝∠ADO，
∴AE∥OC，
∴∠GAE＝∠AOD，
∴∠DAE＝∠GAE，
在△AEG和△AED中，，
∴△AEG≌△AED（AAS），
∴AG＝AD＝6，EG＝ED＝8，
∴OG＝OA+AG＝12，
∴点E的坐标为（12，8）．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线，属于中考压轴题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/13 20:43:55；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：36906111水平距离x/m
0
3
3.5
4
4.5
竖直高度y/m
10
10
k
10
6.25
水平距离x/m
0
3
3.5
4
4.5
竖直高度y/m
10
10
k
10
6.25