浙江省金华荣光数学2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题（原卷版+解析版）

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1. 2023亚运会在中国杭州举行，下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念逐一判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
2. 化简的结果是（ ）
A. 4B. 2C. 3D. 2
【答案】B
【解析】
【详解】试题解析：.
故选B.
考点：二次根式的化简.
3. 已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为（ ）
A. 9B. 17或22C. 17D. 22
【答案】D
【解析】
【分析】分类讨论腰为4和腰为9，再应用三角形的三边关系进行取舍即可．
【详解】解：分两种情况：
当腰为4时，，所以不能构成三角形；
当腰为9时，，所以能构成三角形，周长是：．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
4. 关于x的方程有实数解，则a满足（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．容易忽视二次项系数不为0这一隐含条件．分和求解即可．
【详解】解：当时，方程为，方程有实数解；
当时，当时，方程有实数解，
此时且，
综上，满足条件的a取值范围为，
故选：A．
5. 一元二次方程的一根为3，则另一根为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设方程的另一根为t，根据根与系数的关系得到，然后解一次方程即可．
【详解】解：设方程的另一根为t，
根据题意得，
解得，
即方程的另一根为．
故选：A．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：设为一元二次方程的两根，则有如下关系：，．
6. 如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点和，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连结交于点．若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作于点E，由作法知平分，从而可得，然后根据等角对等边证明，再证明是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求出的长．
【详解】如图，作于点E，
由作法知平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查了尺规作图—作角的平分线，等角对等边，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键．
7. 如图，在中，，的中垂线分别交，于D，E两点．若，则与的周长之差是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】先由中垂线性质得出，，再利用三角形周长公式即可求解．
【详解】解：∵是中垂线，
∴，，
∴周长周长
，
故选：D．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是银题的关键．
8. 若关于的不等式组有且仅有两个整数解，则可以取的值为（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了不等式组的整数解的应用．根据已知即可得出关于的不等式组，求出不等式组的解集即可．
【详解】解：关于的不等式组有且仅有两个整数解，
整数解为3，4，
，
观察四个选项，2符合题意，
故选：D．
9. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】D
【解析】
【详解】①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形；
②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形；
③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形；
④作AC的垂直平分线交AB于点H，△ACH就是等腰三角形；
⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形；
⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI和△ACI都是等腰三角形．
⑦作AC的垂直平分线交AB于I，则△BCI和△ACI都是等腰三角形．
故选D．
10. 如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个动点，点C是y轴正半轴上的点，于点C．已知，．点B到原点的最大距离为（ ）
A. 22B. 18C. 14D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】首先取AC的中点E，连接BE，OE，OB，可求得OE与BE的长，然后由三角形三边关系，求得点B到原点的最大距离．
【详解】解：取AC的中点E，连接BE，OE，OB，
∵∠AOC＝90°，AC＝16，
∴OE＝CEAC＝8，
∵BC⊥AC，BC＝6，
∴BE10，
若点O，E，B不在一条直线上，则OB＜OE+BE＝18．
若点O，E，B在一条直线上，则OB＝OE+BE＝18，
∴当O，E，B三点在一条直线上时，OB取得最大值，最大值为18．
故选：B
【点睛】此题考查了直角三角形斜边上的中线的性质以及三角形三边关系．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
二、填空题
11. 一元二次方程的根是______________．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法，选择适合的方法可以简便运算；
运用因式分解解一元二次方程即可；
【详解】解：
移项：
提公因式：
或
或
故答案为：，
12. 已知点，关于轴对称，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标，熟知关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数是解题的关键．
【详解】解：点，关于轴对称，
，，
解得，，
．
故答案为：．
13. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式，得到答案．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，6)，将△OAB沿x轴向左平移得到△O′A′B′，点A的对应点A′落在直线上，则点B与其对应点B′间的距离为___________．
【答案】8
【解析】
【分析】根据题意确定点A′的纵坐标，根据点A′落在直线上，求出点A′的横坐标，确定△OAB沿x轴向左平移的单位长度即可得到答案．
【详解】由题意可知，点A移动到点A′位置时，纵坐标不变，
∴点A′的纵坐标为6，代入，得：
解得x=-8，
∴△OAB沿x轴向左平移得到△O′A′B′位置，移动了8个单位，
∴点B与其对应点B′间的距离为8．
故答案为8．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征和图形的平移，确定三角形OAB移动的距离是解题的关键．
15. 如图，在中，，，于P，则_________．
【答案】9.6
【解析】
【分析】本题考查三线合一和勾股定理，过点作，三线合一结合勾股定理求出的长，等积法求出的长即可．
【详解】解：过点作，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，
故答案为：9.6．
16. 如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于点，．若，，则的面积是 __．
【答案】
【解析】
【分析】连接，根据垂直定义可得，从而利用直角三角形斜边上的中线性质可得，进而可得，再在中，利用勾股定理可得，从而求出的面积，进而可求出的面积，然后再根据已知易得，从而可求出的面积，最后根据等量代换可得，从而利用等腰三角形的三线合一性质可得，进而可得的面积的面积，即可解答．
【详解】解：连接，
，
，
点是的中点，
，
，
，
的面积，
是边上的中线，
的面积的面积，
，，
，
的面积的面积，
，
，
，
，
的面积的面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线，三角形的面积，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
三、解答题
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的性质化简，结合二次根式乘除法运算法则计算后，利用二次根式加减运算即可得到结论．
【详解】解：

．
【点睛】本题考查二次根式性质及加减乘除混合运算，涉及到二次根式性质、加减乘除运算法则，熟练掌握相关性质及运算法则是解决问题的关键．
18. 已知关于的方程组的解都是正数，求的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】根据解二元一次方程组的方法可以用的代数式分别表示出，然后根据方程组的解都是正数，从而可以得到的取值范围．
详解】解：，
解得，
关于的方程组的解都是正数，
，
解得，
即的取值范围是．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
19. 如图，在 中， 于D， E为线段上一点， 连接交于点 F， 已知
（1）求证：
（2）若 ，求 度数．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用证明，即可求证；
（2）根据全等三角形的性质可得，再由三角形内角和定理可得，然后根据，可得垂直平分，从而得到是等腰三角形，进而得到，再由等腰直角三角形的性质可得，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
在和中，
∵，，，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质是解题的关键．
20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一格点（即三角形的顶点都在格点上）．

（1）在图中作出关于直线l对称的；
（2）若有一格点P到点A，B的距离相等，则网格中满足条件的点P有__________个；
（3）在直线l上找到一点Q，使的值最小．
【答案】（1）见解析 （2）4
（3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查轴对称作图、轴对称-最短路线问题、线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握轴对称的性质以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．
（1）根据轴对称的性质作出对应点，然后顺次连接即可；
（2）利用网格，作线段AB的垂直平分线，所经过的格点即为满足条件的点P的位置；
（3）连接，交直线l于点Q，连接，此时的值最小．
【小问1详解】
解：如图：即为所求．
【小问2详解】
解：如图：满足到点A，B的距离相等，
∴网格中满足条件的点P有4个．
故答案为：4．
【小问3详解】
解：如图，点Q即为所求．
21. 由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包10元涨到了每包16.9元．
（1）求出这两次价格上调的平均增长率；
（2）在有关部门大力调控下，口罩价格还是降到了每包10元，而且调查发现，定价为每包10元时，一天可以卖出30包，每降价1元，可以多卖出5包．当销售额为315元时，且让顾客获得更大的优惠，应该降价多少元？
【答案】（1）这两次价格上调的平均增长率为；
（2）每包应该降价3元．
【解析】
【分析】（1）设这两次价格上调的平均增长率为x,利用经过两次上调价格后的价格=原价，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设每包应该降价m元，则每包的售价为元，每天可售出包，根据每天该口罩的销售额为315元，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合要让顾客获得更大的优惠，即可得出每包应该降价3元．
【小问1详解】
设这两次价格上调的平均增长率为x,
依题意得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：这两次价格上调的平均增长率为．
【小问2详解】
设每包应该降价m元，则每包的售价为元，每天可售出包，
依题意得：，
整理得：，
解得：．
又∵要让顾客获得更大的优惠，
∴m的值为3．
答：每包应该降价3元．
【点睛】本题考查了一元二次方程应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22. 某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月(30天)的试销售，售价为8元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象(如图)，图中的折线ODE表示日销售量y(件)与销售时间x(天)之间的函数关系，已知线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件．
(1)第24天的日销售量是 件，日销售利润是 元；
(2)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)日销售利润不低于640元的天数共有多少天？试销售期间，日销售最大利润是多少元？
【答案】（1）330；660 ；（2）答案见解析；（3）日销售利润不低于640元的天数共有11天，试销售期间，日销售最大利润是720元．
【解析】
【详解】（1）340﹣（24﹣22）×5=330（件），
330×（8﹣6）=660（元）．
（2）设线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y=kx，
将（17，340）代入y=kx中，
340=17k，解得：k=20，
∴线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y=20x．
根据题意得：线段DE所表示的y与x之间的函数关系式为y=340﹣5（x﹣22）=﹣5x+450．
联立两线段所表示的函数关系式成方程组，
得，解得，
∴交点D的坐标为（18，360），
∴y与x之间的函数关系式为y=．
（3）当0≤x≤18时，根据题意得：（8﹣6）×20x≥640，
解得：x≥16；
当18＜x≤30时，根据题意得：（8﹣6）×（﹣5x+450）≥640，
解得：x≤26．
∴16≤x≤26．
26﹣16+1=11（天），
∴日销售利润不低于640元的天数共有11天．
∵点D的坐标为（18，360），
∴日最大销售量为360件，
360×2=720（元），
∴试销售期间，日销售最大利润是720元．
23. 我们知道：过三角形的顶点引一条直线，可以将它分成两个小三角形．如果每个小三角形都有两个相等的内角，则我们称这条直线为原三角形的“美丽线”．如下图，直线为的“美丽线．
（1）如下图，在中，，，请利用直尺和量角器在图2 中画出的“美丽线”(标出所得三角形的内角度数，不要求写画法)．

（2）在中，，．若存在过点C的“美丽线”，试探究与的关系，
下面是对这个问题的部分探究过程：
设为的“美丽线”，点D在边上，则 中各两个相等的内角．
[探究 1]
如下图，当时，因为，所以________，且为锐角，则为钝角，所以中，，由此可以得到，与关系为__________其中的取值范围____________．

[探究 2]
借助下面的图形，请你继续完成本问题的探究，直接写出与的关系．

【答案】（1）见解析；（2）探究1：，，；探究2：或或
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，理解新定义“美丽线”是解题的关键．
（1）根据“美丽线”的定义结合三角形内角和定理，即可求解；
（2）探究1：根据“美丽线”的定义，结合三角形内角和定理分别求出的度数，再根据平角的定义可得结论，再由，可得的取值范围；
探究2：根据“美丽线”的定义，图形结合（图示见详解），分类讨论，根据三角形内角和定理和三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：（1）在中，，，
∴，
∵
∴根据“美丽线”的定义可得，如图所示，
∴直线即为所求；
（2）探究1：∵在中，，，
∴，
如图所示，设为的“美网线”，
当时，
∵，
∴，且为锐角，则为钝角，
在中，，
∴，
∵，
∴，整理得，，
∴与关系为：，
∴，
∵，
∴，
故答案为：，，；
探究2：
①如图所示，是的“美丽线”，
∴，，
∵，，，
∴，整理得，；
②如图所示，是三角形的“美丽线”，

∴，，
∵是的外角，
∴；
③如图所示，当，是三角形的“美丽线”，

∴，，
∴；
综上所述，与的关系有或或．
24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点B．
（1）求直线的解析式；
（2）若直线 ：与x轴、y轴、直线分别交于点C、D、E，求面积；
（3）如图2，在（2）的条件下，点F为线段上一动点，将沿直线翻折得到，交x轴于点M．当为直角三角形时，求点N的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）点N的坐标为或
【解析】
【分析】（1）把代入可得答案；
（2）先求解点B的坐标为，、，联立与可得，则，再利用三角形的面积公式计算即可；
（3）如图2，当时，过点E作轴于H，证明，可得，由翻折得，从而可得答案，如图3，当时，由翻折得，求解，，，从而可得答案．
【小问1详解】
解：把代入得，
∴，
∴直线：；
【小问2详解】
∵直线：，
∴点B的坐标为，
∵直线 ：与x轴、y轴、直线分别交于点C、D、E，
当时，，当时，，解得，
∴、，
联立与得，解得，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为；
【小问3详解】
如图2，当时，过点E作轴于H，
由翻折得，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
由翻折得，
∴点N的坐标为；
如图3，当时，
由翻折得，
∵，，
∴，，
∴，
∴点N的坐标为；
综上，点N的坐标为或．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与性质，坐标与图形面积，一次函数的交点坐标问题，勾股定理的应用，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，清晰的分类讨论是解本题的关键．