河北省保定市高碑店市崇德实验中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

这是一份河北省保定市高碑店市崇德实验中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

命题人 考试中心 审题人 考试中心
说明：本试题满分150分考试时间120分钟，请在答题卡上作答
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。
1．已知集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知命题p：，，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．若向量、满足，，，则与的夹角为（ ）．
A．B．C．D．
4．已知命题“，成立”是假命题，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于点对称
B．的图象向右平移个单位后得到的图象
C．在区间的最小值为
D．为偶函数
7．已知，，若，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则c的值为（ ）
A．1B．C．2D．4
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9．（ ）
A．B．C．D．
10．下列说法正确的有（ ）
A．所有幂函数的图象都不经过第四象限
B．函数在其定义域上为增函数
C．对任意的角，
D．函数与的图象关于直线对称
11．已知定义在上的函数满足，且．若时，，则（ ）
A．的最小正周期
B．的图象关于对称
C．
D．函数在区间上所有零点之和为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）。
12．设函数是以2为最小正周期的周期函数，且当时，，则________．
13．已知函数．则在处的切线方程为________．
14．函数在区间上的最大值与最小值之和为________．
四、解答题（本题共有5道小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
15．（本题满分13分）
已知．
（1）化简；
（2）若是第三象限的角，且，求的值．
16．（本题满分15分）
求下列各式的值：
（1）；
（2）
17．（本题满分15分）
已知函数，其中．
（1）若，求函数的定义域；
（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围．
18．（本题满分17分）
已知函数．
（1）若，求函数在处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性．
19．（本题满分17分）
在①，②，③
这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且________．
（1）求角C的大小；
（2）已知，D是边AB的中点，且，求CD的长．
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
2023-2024学年第二学期期末考试高二数学试题参考答案
1．B（考查集合的运算）
【详解】∵
∴故选：B．
2．D（考查全称量词命题的否定）
【详解】由题意可知：为，．故选：D．
3．C（考查向量夹角的求法）
【详解】因为，所以，又，，
所以，又，所以．
故选：C．
4．A（考查命题的否定及恒成立问题）
【详解】由命题“，成立”是假命题，
则命题“，成立”是真命题，
即，恒成立．
令，，则，
因为
所以函数在上为增函数，当时，，所以．
故选：A
5．A（考查分段函数的单调性）
【详解】当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，当时，，则函数在上单调递增，
所以函数的单调递减区间是．
故选：A
6．D（考查三角函数的图像和性质）
【详解】因为的图象过点，
所以，因为，所以，
因为的图象过点，
所以由五点作图法可知，得，
所以，
对于A，因为，
所以为的图象的一条对称轴，所以A错误，
对于B，的图象向右平移个单位后，得，所以B错误，
对于C，当时，，所以，
所以在区间的最小值为，所以C错误，
对于D，，
令，因为，
所以为偶函数，所以D正确，
故选：D
7．A（考查三角恒等变换）
【详解】由题意可得，，
所以，，
所以．
故选：A．
8．B（考查向量数量积的定义、正余弦定理的应用）
【详解】由题意得：，因为，所以，
由正弦定理得：，
即，
因为，，
所以，
故，即，
则，由余弦定理及得：，
即，解得：．
故选：B
9．BD（考查诱导公式）
【详解】，A错误；
，B正确；
C错误；
，D正确．
故选：BD
10．AD（考查幂函数的性质、正切函数的图象的性质、互为反函数的两函数图象的性质）
【详解】对于A：因为所有的幂函数在区间上都有定义，所以，
所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故A正确；
对于B：函数在上为增函数，而不是在其定义域上为增函数，故B错误；
对于C，当时，，分式没有意义，故C错误；
对于D：因为函数与互为反函数，故他们的图象关于直线对称，故D正确．
故选：AD
11．ABD（考查函数的对称性、周期性、函数的零点）
【详解】因为，
所以是奇函数；因为，
所以的图象关于对称，
所以，则，
因而，
所以的最小正周期，故A正确；
由，则的一个对称中心为，
故B正确；
，故C错误；
当时，单调递增且值域为，
因为的图象关于对称，
所以在单调递减且值域为，
又因为是奇函数，
所以在的图象关于对称且值域为，
所以函数在区间上有两个零点，且所有零点之和为，故D正确．
故选：ABD．
12．0（考查周期函数的求值）
【详解】因函数的周期为2，故．
故答案为：0．
13．（考查求导公式和导数的几何意义）
【详解】因为，
所以，，
则，即切点为，切线的斜率，
所以切线方程为，即；
故答案为：
14．（考查导数的应用）
【详解】由已知得，
当时，，
当时，，
所以函数在区上单调递增，
在上单调递减，又当时，，
当时，
当时，，
所以，所以，
所以函数在区间上的最大值与最小值之和为．
15．（1）
（2）
（考查三角函数的诱导公式及同角三角函数的关系）
【详解】（1），6分
（2）因为，所以，又是第三象限的角，
所以，
故13分
16．（1）2（2）
（考查对数的运算性质、分数指数幂的运算）
【详解】（1）
6分
（2）
15分
17．（1）
（2）
（考查对数函数的定义域、不等式的解法、有关恒成立问题的解法）
【详解】（1）当时，，
由得，
故或，
得或，
故函数的定义域为5分
（2）由得，
得，即，
设，
因，故，
所以当时，恒成立，
即为在上最小值大于0，
函数的对称轴为，10分
当即时，函数在上单调递增，
此时，得，
即满足题意；
当，即时，函数在对称轴取得最小值，
此时，得，
即满足题意；
故a的取值范围为．15分
18．（1）；
（2）答案见解析．
（考查导数的几何意义、利用导数求函数的单调性）
【详解】（1）当时，，求导得，
则，而，
所以所求切线方程为，即5分
（2）函数的定义域为，求导得，
当时，由，得，由，得或，
函数在上单调递减，在，上单调递增；
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得，
由，得或，
函数在上单调递减，在，上单调递增，15分
所以当时，函数的递减区间为，递增区间为，；
当时，函数的递增区间为；
当时，函数的递减区间为，递增区间为，．17分
19．（1）
（2）（考查正余弦定理的综合应用）
【详解】（1）方案一：选条件①．
由及正弦定理，
得，即，
由余弦定理，得．又，
所以．
方案二：选条件②．
由及正弦定理，得，
所以，
因为，所以，又，
所以，又，
所以．
方案三：选条件③．
由及正弦定理，得，
因为，所以，所以．
在△ABC中，，
可得，故，
因为，所以，
故，因此，
得．8分
（2）因为D是边AB的中点，所以，
由（1）知，
因为，所以，
故，故．
由余弦定理得，
故，因为，所以，．
易知，
所以
所以，
故CD的长为．17分