2023-2024学年河北省高碑店市崇德实验中学高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河北省高碑店市崇德实验中学高二上学期期中数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．直线的倾斜角为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据直线方程得斜率，再求倾斜角.
【详解】因为直线，所以直线斜率为，所以倾斜角为，选C.
【点睛】本题考查直线斜率以及倾斜角，考查基本分析求解能力，属基本题.
2．关于双曲线和焦距和渐近线，下列说法正确的是
A．焦距相等，渐近线相同B．焦距相等，渐近线不同
C．焦距不相等，渐近线相同D．焦距不相等，渐近线不相同
【答案】B
【分析】求出两双曲线的焦距和渐近线方程，从而可得出正确选项.
【详解】双曲线的焦距为，渐近线方程为.
双曲线的焦距为，渐近线方程为.
因此，两双曲线的焦距相等，渐近线不同.
故选B.
【点睛】本题考查两双曲线的焦距和渐近线的异同，考查计算能力，属于基础题.
3．若双曲线的离心率，则（ ）
A．3B．12C．18D．27
【答案】D
【分析】根据双曲线的方程和离心率公式建立方程，解之可得选项.
【详解】解： 由已知双曲线得，所以，解得，
故选：D．
4．已知直线与圆相交于点A，B，点P为圆上一动点，则面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先利用点线距离公式算得圆心到直线的距离，从而利用弦长公式求得，再利用圆上动点到直线的距离的最值求法求得点P到直线的最大距离，由此可求得面积的最大值.
【详解】因为圆，所以圆心为，半径为，如图，
所以圆心到直线的距离，
则，
又点P到直线的距离的最大值为，
所以面积的最大值．
故选：A.
.
5．点与圆的位置关系是（ ）
A．在圆外B．在圆上
C．在圆内D．与a的值有关
【答案】A
【分析】求出点到圆心的距离与半径比较大小即可得结论
【详解】圆的圆心，半径，
因为，
所以点在圆外，
故选：A
6．已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】求导可得，令，得，化简即可得解.
【详解】由，得.
令，得，解得.
故选：C
7．运用微积分的方法，可以推导得椭圆（）的面积为．现学校附近停车场有一辆车，车上有一个长为的储油罐，它的横截面外轮廓是一个椭圆，椭圆的长轴长为，短轴长为，则该储油罐的容积约为（）（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出椭圆的面积，进而求出储油罐的体积.
【详解】由题意，椭圆的长轴长为，短轴长为，
所以
所以椭圆面积为.
因为储油罐为一个柱体，所以体积为.
故选：B
8．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前n项和为，则的最小值为（ ）
A．B．C．71D．
【答案】C
【分析】根据题意知是首项为，公差为的等差数列，从而得出，进而得出，然后根据函数的单调性即可求出最小值.
【详解】被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为，公差为的等差数列，则，
所以，
由对勾函数的性质可得：函数在上单调递减，在上单调递增，又，，
所以当时，取最小值，
故选：C.
二、多选题
9．圆（ ）
A．关于点对称
B．关于直线对称
C．关于直线对称
D．关于直线对称
【答案】ABC
【分析】将圆的方程转化为标准方程，可得圆心，进而判断各选项.
【详解】由圆的方程为，即，
即圆心的坐标为，
A选项，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点是圆心，A选项正确；
B选项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线过圆心，B选项正确；
C项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线过圆心，C选项正确；
D项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线不过圆心，D选项不正确；
故选：ABC.
10．平面内到定点和到定直线的距离相等的动点的轨迹为曲线.则（ ）
A．曲线的方程为
B．曲线关于轴对称
C．当点在曲线上时，
D．当点在曲线上时，点到直线的距离
【答案】AC
【分析】根据抛物线的定义可判断曲线C为抛物线，求出其方程，结合抛物线的性质一一判断各选项，可得答案.
【详解】由抛物线定义，知曲线C是以为焦点，直线为准线的抛物线，
则焦准距，故其方程为，故A正确；
抛物线关于y轴对称，不关于x轴对称，故B错误；
由知 ，故C正确；
当点在曲线上时，由于抛物线开口向上，
当点位于原点时，到直线l的距离最小为1，
故点P到直线l的距离 ，所以D错误，
故选：.
11．已知数列是首项为，公比为的等比数列，则（ ）
A．是等差数列B．是等差数列
C．是等比数列D．是等比数列
【答案】AD
【分析】由题意得数列的通项公式，然后写出每个选项中对应的数列的通项公式，再判断是等差数列还是等比数列.
【详解】由题意得，所以数列是常数列，故A正确；数列的通项公式为，则，所以数列是公比为的等比数列，B错误；，所以数列是公差为的等差数列，C错误；，所以数列是公比为的等比数列，D正确.
故选：AD
12．已知，，直线AP，BP相交于P，直线AP，BP的斜率分别为，则（ ）
A．当时，点的轨迹为除去A，B两点的椭圆
B．当时，点的轨迹为除去A，B两点的双曲线
C．当时，点的轨迹为抛物线
D．当时，点的轨迹为一条直线
【答案】AB
【分析】设出，直接法求出轨迹方程，注意去掉不合题意的点，从而判断轨迹为哪种曲线，判断ABC选项，D选项，结合，得到轨迹为去掉一个点的直线，故D错误.
【详解】设，
A选项，，故，变形为，且，
故点的轨迹为除去A，B两点的椭圆，A正确；
B选项，，故，变形为，且，
故点的轨迹为除去A，B两点的双曲线，B正确；
C选项，，故，变形为，且，
故点的轨迹为除去A，B两点的抛物线，C错误；
D选项，，即，变形为，且，
故点的轨迹为除去点的直线，D错误；
故选：AB
三、填空题
13．双曲线的渐近线方程是 .
【答案】
【解析】由双曲线方程得出，同时判断出焦点所在的轴．可得出渐近线方程．
【详解】由已知，双曲线的焦点在轴，
∴渐近线方程为．
故答案为：．
14．设是公比不为1的等比数列，若为的等差中项，则的公比为 ．
【答案】
【分析】设出公比，得到方程，求出公比.
【详解】由题意得，设公比为，则，
因为等比数列中，，故，
解得或1（舍去）.
故答案为：-2
15．已知圆与圆外切，则实数a的值为 .
【答案】
【分析】根据两圆外切，利用圆心距等于半径之和求解即可.
【详解】化圆为：，
则圆心坐标为，半径为2.
由题意圆:与圆:外切，
则，
解得，
故答案为：0
16．抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作该抛物线准线的垂线，垂足为，则的最小值为
【答案】1
【分析】设|AF|＝a，|BF|＝b，作垂直于准线于，垂直于准线于，由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|，在中，由余弦定理|AB|2＝(a+b)2-3ab，再由均值不等式可得AB|(a+b)＝|CD|，即得解
【详解】
设|AF|＝a，|BF|＝b，作垂直于准线于，垂直于准线于
由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|
在梯形ABPQ中，有2|CD|＝|AQ|+|BP|＝a+b．
由余弦定理得，
|AB|2＝a2+b2-2abcs60°＝a2+b2-ab
配方得，|AB|2＝(a+b)2-3ab，
又∵ab≤ ()2，
∴(a+b)2﹣3ab≥(a+b)2(a+b)2(a+b)2
得到|AB|(a+b)＝|CD|，当且仅当时等号成立
∴1，即的最小值为1．
故答案为：1
四、解答题
17．在中，，，.
(1)求的中线所在直线的方程；
(2)求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由中点坐标公示求得的中点，写出的斜率，用点斜式得到方程.
(2)求出所在直线的方程，由点到直线的距离求出三角形的高，求出的距离，代入面积公示得到答案.
【详解】（1）由，，得的中点为，
又，所以，所以中线所在直线的方程为，即.
（2）由，，得，直线的方程为，即，
点到直线的距离为，
又，所以的面积为.
18．已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且，，．
求和的通项公式；
求数列的前n项和．
【答案】12
【分析】先设出等差数列的公差和等比数列的公比，结合题中条件，列式计算即可；
由的结果，求出，再由分组求和法，求数列的前项和即可.
【详解】因为为公差为d的等差数列，前n项和为，
是首项为2，公比设为q的等比数列，且，，，
可得，，，
解得，，则，；
，
可得，
即有数列的前n项和为．
【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列，以及数列的前项和，熟记通项公式和前项和公式即可，属于基础题型.
19．已知圆：和点．
(1)过点向圆引切线，求切线方程；
(2)求以点为圆心且被直线截得弦长为8的圆的方程；
(3)过点的直线与圆交于，两点，求弦中点轨迹的方程．
【答案】(1)或
(2)
(3)
【分析】（1）根据直线与圆的位置关系运算求解，注意讨论直线斜率是否存在；
（2）先求圆心到直线的距离，再根据垂径定理求半径，即可得结果；
（3）根据几何性质求点A的轨迹方程，注意x的取值范围.
【详解】（1）由题意可知：圆：的圆心，半径，
对于过点的直线，则有：
当斜率不存在时，则，此时圆心到直线的距离，即符合题意；
当斜率存在时，设斜率为，则，即，
可得，解得，
故直线；
综上所述：所求直线方程为或.
（2）由题意可得：点到直线的距离，
则圆的半径，
故圆的方程为.
（3）设弦中点为，则，故点在以为直径的圆上，
即点在以为圆心，半径的圆上，故点满足，
联立方程，整理可得，
由题意可知：点在圆：内，
即弦中点的轨迹方程为.
20．已知抛物线，点在抛物线上且到焦点的距离为2.
(1)求抛物线的方程，并求其准线方程；
(2)已知，直线与抛物线交于两点，记直线，的斜率分别为，，求的值.
【答案】(1)抛物线的方程为，准线方程为
(2)
【分析】（1）由点在抛物线上且到焦点的距离为2，联立方程组解出即可；（2）设，，联立方程消元，韦达定理，用斜率公式写出，代入化简即可.
【详解】（1）由题意得，解得.
从而得到抛物线的方程为，
准线方程为；
（2）设，，
由
得，
∴，，
，
∴
所以的值为.
21．已知等差数列中的前n项和为，且成等比数列，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列为递增数列，记，求数列的前40项的和.
【答案】(1)或
(2)
【分析】根据条件先求出的通项公式，再求出的通项公式即可.
【详解】（1）设公差为，则，即
解得或 ，所以或；
（2）因为数列为递增数列，，，，
所以
；
所以.
22．已知为椭圆上任一点，，为椭圆的焦点，，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线：与椭圆的两交点为A，，线段的中点在直线上，为坐标原点，当的面积等于时，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】由椭圆定义可得的值，进而由离心率可得，再求得，即可得到椭圆的方程；
设出点A，的坐标，联立直线与椭圆的方程，利用设而不求的方法，并依据题给条件列方程，即可求出，进而求得的值，从而求得直线的方程．
【详解】（1）由椭圆定义得，，所以，故，
所以椭圆的方程为．
（2）设代入方程，
得
所以，，
所以，解得，
则式变为则，
底边上的高，所以的面积．
令，解得，
把，代入式，经检验，均满足，
此时直线的方程为或．