高考数学科学创新复习方案提升版素能培优（六）数列中的创新应用问题学案（Word版附解析）

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考向一 新定义问题
例1 (多选)(2021·新高考Ⅱ卷)设正整数n＝a0·20＋a1·2＋…＋ak－1·2k－1＋ak·2k，其中ai∈{0，1}，记ω(n)＝a0＋a1＋…＋ak.则( )
A．ω(2n)＝ω(n)
B．ω(2n＋3)＝ω(n)＋1
C．ω(8n＋5)＝ω(4n＋3)
D．ω(2n－1)＝n
答案 ACD
解析 对于A，ω(n)＝a0＋a1＋…＋ak，2n＝a0·21＋a1·22＋…＋ak－1·2k＋ak·2k＋1，所以ω(2n)＝a0＋a1＋…＋ak＝ω(n)，A正确；对于B，取n＝2，2n＋3＝7＝1·20＋1·21＋1·22，所以ω(7)＝3，而2＝0·20＋1·21，则ω(2)＝1，所以ω(7)≠ω(2)＋1，B错误；对于C，8n＋5＝a0·23＋a1·24＋…＋ak·2k＋3＋5＝1·20＋1·22＋a0·23＋a1·24＋…＋ak·2k＋3，所以ω(8n＋5)＝2＋a0＋a1＋…＋ak，4n＋3＝a0·22＋a1·23＋…＋ak·2k＋2＋3＝1·20＋1·21＋a0·22＋a1·23＋…＋ak·2k＋2，所以ω(4n＋3)＝2＋a0＋a1＋…＋ak，所以ω(8n＋5)＝ω(4n＋3)，C正确；对于D，2n－1＝20＋21＋…＋2n－1，所以ω(2n－1)＝n，D正确．故选ACD.
解决数列中的新定义问题的一般流程
(1)读懂定义，理解新定义数列的含义．
(2)特殊分析，比如先对n＝1，2，3，…的情况进行讨论．
(3)通过特殊情况寻找新定义的数列的规律及性质，以及新定义数列与已知数列(如等差与等比数列)的关系，仔细观察，探求规律，注重转化，合理设计解题方案．
(4)联系等差数列与等比数列知识将新定义数列问题转化为熟悉的知识进行求解．
1.(2023·武汉三模)将1，2，…，n按照某种顺序排成一列得到数列{an}，对任意1≤iaj，那么称数对(ai，aj)构成数列{an}的一个逆序对．若n＝4，则恰有2个逆序对的数列{an}的个数为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
答案 B
解析 若n＝4，则1≤i