2022-2023学年北京市昌平区回天高未融合学区八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2022-2023学年北京市昌平区回天高未融合学区八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共20页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）的算术平方根是（ ）
A．±3B．﹣3C．D．3
2．（2分）如果分式的值为零，那么x的值是（ ）
A．x＝2B．x＝﹣3C．x＝﹣2D．x＝3
3．（2分）下列二次根式中，最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2分）实数﹣3.5，0.89，，，﹣π，0.010010001…中，无理数的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．（2分）下列变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2分）若，估计m的值所在的范围是（ ）
A．0＜m＜1B．1＜m＜2C．2＜m＜3D．3＜m＜4
7．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2分）如图，大正方形的边长均为a，图（1）中白色小正方形的边长为b，图（2）中白色长方形的宽为b，设（a＞b＞0），则m的取值范围为（ ）
A．m＞2B．1＜m＜2C．D．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）如果二次根式有意义，那么x的取值范围是 ．
10．（2分）约分：＝ ，＝ ．
11．（2分）在实数范围内因式分解：a2﹣7＝ ．
12．（2分）比较大小： ．（填“＞”、“＝”、“＜”）．
13．（2分）若关于x的方程的解是x＝2，则m＝ ．
14．（2分）已知，则xy的值为 ．
15．（2分）有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是 ．
16．（2分）观察下面的规律：，，，，，．
（1） ；
（2）若，，则 ．
三、解答题（本题共68分，17-22题每小题5分，23-26题每小题5分，27、28题每小题5分）
17．（5分）计算：（1）•；
（2）；
（3）．
18．（5分）计算：（1）；
（2）．
19．（5分）计算：．
20．（5分）计算：．
21．（5分）解分式方程：．
22．（5分）已知，求x+y的平方根．
23．（6分）已知a2+2a﹣1＝0，求代数式（）÷的值．
24．（6分）已知一个正数m的两个平方根为3a﹣7和a+3，求a和m的值．
25．（6分）A，B两地相距60km．甲骑自行车从A地出发2小时后，乙骑摩托车从A地出发追赶甲．已知乙的速度是甲的速度的3倍，且甲乙同时到达B地，求甲、乙的速度．
26．（6分）在学习分式方程的解法时，王老师提出了这样一个问题：解方程．
同学们在解答完成后，王老师介绍了另一种解法：
由，
从而可得，解得x＝20．
经检验，x＝20是原方程的解．
小雨同学对老师的解法很感兴趣，于是再进行探究，发现由得成立，同时也成立，她又试了一些式子，由此发现了规律．
（1）请你将她发现的规律补充完整：
已知a，b，c，d均不为0，若，则，①： ②： ③： ④： ；
（2）请用上述规律，解分式方程．
27．（7分）数学王老师组织了“探究”的活动，下面是同学们的探究过程：
（1）到底有多大？
下面是小明探究的近似值的过程，请补充完整：
我们知道面积是2的正方形边长是，且＞1.4．设＝1.4+x，画出如下示意图：
由面积公式，可得x2+ +1.96＝2
因为x的值很小，所以x2更小，略去x2，得方程 ，
解得x≈ （保留到0.001），
即≈ ．
（2）怎样画出？
下面是小亮探索画的过程，请补充完整：
现在有2个边长为1的正方形，如图（1），请把它们分割后拼成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格中画出拼接成的新正方形．
小亮的做法是：设新正方形的边长为x（x＞0），割补前后图形的面积相等，则x2＝2，结合实际解得x＝．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中画出拼接成的新正方形．
请参考小亮的做法，现有5个边长为1的正方形，如图（3），请把它们分割后拼成一个边长为的新的正方形，在图（4）中画出即可．
28．（7分）我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如，都是根分式．
（1）下列式子中①，②，③， 是根分式（填写序号即可）；
（2）写出根分式中x的取值范围 ；
（3）已知两个根分式，．
①若M2﹣N2＝1，求x的值；
②若M2+N2是一个整数，且x为整数，请直接写出x的值： ．
2022-2023学年北京市昌平区回天高未融合学区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共16分，每题2分）下列各题均有4个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．（2分）的算术平方根是（ ）
A．±3B．﹣3C．D．3
【分析】利用算术平方根的定义即可求解．
【解答】解：＝3，3的算术平方根是．
故选：C．
【点评】本题考查了算术平方根的定义．解题的关键是掌握算术平方根的定义．一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
2．（2分）如果分式的值为零，那么x的值是（ ）
A．x＝2B．x＝﹣3C．x＝﹣2D．x＝3
【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，从而可列出关于x的不等式组，故此可求得x的值．
【解答】解：∵分式的值为零，
∴．
解得：x＝2．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是分式值为零的条件，掌握分式值为零的条件是解题的关键．
3．（2分）下列二次根式中，最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】最简二次根式满足：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
【解答】解：A、中被开方数是分数，故不是最简二次根式；
B、中被开方数是分数，故不是最简二次根式；
C、中被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数或因式，故是最简二次根式；
D、中含能开得尽方的因数，故不是最简二次根式；
故选：C．
【点评】本题主要考查了最简二次根式的定义，判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
4．（2分）实数﹣3.5，0.89，，，﹣π，0.010010001…中，无理数的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【解答】解：在实数﹣3.5，0.89，，，﹣π，0.010010001…中，无理数有，﹣π，0.010010001…，共3个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
5．（2分）下列变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据分式的基本性质逐项进行判断即可．
【解答】解：根据分式的基本性质，即分式的分子和分母都乘以或除以一个不为0的数或整式，分式的大小不变，可得，
A.不一定与相等，因此选项A不符合题意；
B.不一定与相等，因此选项B不符合题意；
C.＝＝，因此选项C符合题意；
D.，即≠，因此选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查分式的基本性质，掌握“分式的分子和分母都乘以或除以一个不为0的数或整式，分式的大小不变”是正确判断的关键．
6．（2分）若，估计m的值所在的范围是（ ）
A．0＜m＜1B．1＜m＜2C．2＜m＜3D．3＜m＜4
【分析】根据9＜13＜16，得出3＜＜4，从而估算出m所在的范围．
【解答】解：∵9＜13＜16，
∴＜＜，
∴3＜＜4，
∴m的值所在的范围是：3＜m＜4；
故选：D．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是估算出的范围．
7．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据分式的基本性质进行化简即可．
【解答】解：A.＝＝﹣，因此选项A不符合题意；
B.＝＝，因此选项B不符合题意；
C.＝＝＝﹣，因此选项C符合题意；
D.是最简分式，不能约分，因此选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质以及分解因式是正确解答的前提．
8．（2分）如图，大正方形的边长均为a，图（1）中白色小正方形的边长为b，图（2）中白色长方形的宽为b，设（a＞b＞0），则m的取值范围为（ ）
A．m＞2B．1＜m＜2C．D．
【分析】分别表示出图（1）和图（2）中的阴影部分的面积，再进行分析即可．
【解答】解：图（1）的阴影部分的面积为：a2﹣b2，
图（2）的阴影部分的面积为：a2﹣ab，
∴m＝
＝
＝
＝1+，
∵a＞b＞0，
∴1＜1+＜2，
故选：B．
【点评】本题主要考查平方差公式的几何背景，解答的关键是表示出相应的阴影部分的面积．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）如果二次根式有意义，那么x的取值范围是 x≥1 ．
【分析】先根据二次根式有意义的条件得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．
10．（2分）约分：＝ ，＝ ．
【分析】将分子与分母的公因式约去即可．
【解答】解：＝，
＝＝．
故答案为：，．
【点评】本题考查了约分，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
11．（2分）在实数范围内因式分解：a2﹣7＝ （a+）（a﹣） ．
【分析】在实数范围内利用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：a2﹣7＝a2﹣（）2＝（a+）（a﹣），
故答案为：（a+）（a﹣）．
【点评】本题主要考查了实数范围内因式分解，实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示）．
12．（2分）比较大小： ＞ ．（填“＞”、“＝”、“＜”）．
【分析】先把2平方后移到根号内，再根据比较实数大小的方法进行比较即可．
【解答】解：∵2＝，
∴＞．
故答案为：＞
【点评】此题主要考查了算术平方根的性质，首先运用二次根式的性质把根号外的移到根号内，再根据比较实数大小的方法进行比较即可．
13．（2分）若关于x的方程的解是x＝2，则m＝ 7 ．
【分析】将x＝2代入原方程进行求解即可．
【解答】解：当x＝2时，
原方程为＝8，
解得m＝7，
故答案为：7．
【点评】此题考查了分式方程解的概念的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
14．（2分）已知，则xy的值为 9 ．
【分析】直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而计算得出答案．
【解答】解：∵，
∴x+3＝0，y﹣2＝0，
∴x＝﹣3，y＝2，
∴xy＝（﹣3）2＝9．
故答案为：9．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出x，y的值是解题关键．
15．（2分）有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是 ．
【分析】先求＝4，＝2判断是有理数，再进一步求2的算数平方根，结果是无理数．
【解答】解：∵＝4，＝2是有理数，
∴是无理数，
故答案为：．
【点评】本题主要考查有理数的加减混合运算、代数式的求值，掌握混合运算的顺序，理解题意把输入的值代入那个式子是解题关键．
16．（2分）观察下面的规律：，，，，，．
（1） 173.2 ；
（2）若，，则 0.2236 ．
【分析】（1）根据二次根式的乘法法则解决此题．
（2）根据二次根式的除法法则解决此题．
【解答】解：（1）∵，
∴≈173.2．
故答案为：173.2．
（2）∵，
∴≈0.2236．
故答案为：0.2236．
【点评】本题主要考查二次根式，熟练掌握二次根式的乘除运算法则是解决本题的关键．
三、解答题（本题共68分，17-22题每小题5分，23-26题每小题5分，27、28题每小题5分）
17．（5分）计算：（1）•；
（2）；
（3）．
【分析】（1）根据分式的乘法法则计算即可；
（2）根据分式的除法法则计算即可；
（3）根据乘方运算法则计算即可．
【解答】解：（1）•＝；
（2）＝＝；
（3）＝．
【点评】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握分式的乘除运算法则是解题的关键．
18．（5分）计算：（1）；
（2）．
【分析】（1）先通分成相同的分母，再进行同分母的加法运算即可；
（2）先通分成相同的分母，再进行同分母的减法运算即可．
【解答】解：（1）
＝
＝；
（2）
＝
＝
＝
＝．
【点评】本题考查了分式的加减法，熟练掌握分式的加减法则是解题的关键．
19．（5分）计算：．
【分析】先算开方，再合并同类项即可．
【解答】解：原式＝2﹣+3
＝+3．
【点评】本题考查的是实数的运算，熟知实数混合运算的法则是解题关键．
20．（5分）计算：．
【分析】先利用完全平方公式与乘法分配律将括号展开，再进行加减运算即可．
【解答】解：
＝5﹣2+1+5+2
＝11．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
21．（5分）解分式方程：．
【分析】首先两边同时乘以2（x﹣2），去分母，再解整式方程，最后检验即可．
【解答】解：两边同时乘以2（x﹣2），去分母得：
2x﹣3＝x﹣2，
解得x＝1，
检验：把x＝1代入2（x﹣2），得﹣2≠0，
分式方程的解为x＝1．
【点评】本题考查解分式方程，掌握分式方程的解法是解答本题的关键．
22．（5分）已知，求x+y的平方根．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得，从而可得x，y的值，再求得x+y的平方根．
【解答】解：由二次根式有意义可得：，
解得x＝3．
∴y＝5．
∴x+y＝3+5＝8．
故x+y的平方根为±2．
【点评】本题考查了二次根式的化简，二次根式有意义的条件，平方根，熟悉以上知识是正确解答的关键．
23．（6分）已知a2+2a﹣1＝0，求代数式（）÷的值．
【分析】原式小括号内的式子先进行通分计算，然后算括号外面的除法，最后利用整体思想代入求值．
【解答】解：原式＝[]•a（a﹣1）
＝（+）•a（a﹣1）
＝•a（a﹣1）
＝a2+2a，
∵a2+2a﹣1＝0，
∴a2+2a＝1，
∴原式＝1．
【点评】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则，利用整体代入求值是关键．
24．（6分）已知一个正数m的两个平方根为3a﹣7和a+3，求a和m的值．
【分析】根据平方根的性质（一个正数的平方根互为相反数）解决此题．
【解答】解：由题意得，3a﹣7+a+3＝0．
∴a＝1．
∴a+3＝4．
∴m＝16．
【点评】本题主要考查平方根，熟练掌握平方根的性质是解决本题的关键．
25．（6分）A，B两地相距60km．甲骑自行车从A地出发2小时后，乙骑摩托车从A地出发追赶甲．已知乙的速度是甲的速度的3倍，且甲乙同时到达B地，求甲、乙的速度．
【分析】设甲的速度是xkm/h，则乙的速度是3xkm/h，利用时间＝路程÷时间，结合甲比乙多用2小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后可得出甲的速度，再将其代入3x中可求出乙的速度．
【解答】解：设甲的速度是xkm/h，则乙的速度是3xkm/h，
依题意得：﹣＝2，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意，
∴3x＝3×20＝60．
答：甲的速度是20km/h，乙的速度是60km/h．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
26．（6分）在学习分式方程的解法时，王老师提出了这样一个问题：解方程．
同学们在解答完成后，王老师介绍了另一种解法：
由，
从而可得，解得x＝20．
经检验，x＝20是原方程的解．
小雨同学对老师的解法很感兴趣，于是再进行探究，发现由得成立，同时也成立，她又试了一些式子，由此发现了规律．
（1）请你将她发现的规律补充完整：
已知a，b，c，d均不为0，若，则，①： a+c ②： b+d ③： a﹣c ④： b﹣d ；
（2）请用上述规律，解分式方程．
【分析】（1）通过观察所给的分式，直接写出即可；
（2）仿照所给的例子，所求方程可变形为＝1，再解方程并对所求的根进行检验即可求解．
【解答】解：（1）＝＝＝，
故答案为：a+c，b+d，a﹣c，b﹣d；
（2）＝＝1，
∴x2﹣4x+4＝1，
解得x＝1或x＝3，
经检验，x＝1或x＝3是方程的解，
∴原方程的解为x＝1或x＝3．
【点评】本题考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法，理解所给的分式的性质，并能灵活应用性质解方程是解题的关键．
27．（7分）数学王老师组织了“探究”的活动，下面是同学们的探究过程：
（1）到底有多大？
下面是小明探究的近似值的过程，请补充完整：
我们知道面积是2的正方形边长是，且＞1.4．设＝1.4+x，画出如下示意图：
由面积公式，可得x2+ 2.8x +1.96＝2
因为x的值很小，所以x2更小，略去x2，得方程 2.8x+1.96＝2 ，
解得x≈ 0.014 （保留到0.001），
即≈ 1.414 ．
（2）怎样画出？
下面是小亮探索画的过程，请补充完整：
现在有2个边长为1的正方形，如图（1），请把它们分割后拼成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格中画出拼接成的新正方形．
小亮的做法是：设新正方形的边长为x（x＞0），割补前后图形的面积相等，则x2＝2，结合实际解得x＝．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中画出拼接成的新正方形．
请参考小亮的做法，现有5个边长为1的正方形，如图（3），请把它们分割后拼成一个边长为的新的正方形，在图（4）中画出即可．
【分析】（1）通过面积建立方程求解即可；
（2）按要求，分割后拼成的图形面积能够用方程表示即可．
【解答】解：（1）图中大正方形的边长是，面积为：（）2＝2，
大正方形的面积还可以表示为：（x+1.4）2＝x2+2.8x+1.96．
∴x2+2.8x+1.96＝2，
略去x2得：2.8x＝2﹣1.96＝0.04，
∴x≈0.04÷2.8＝0.014．
∴≈1.414．
故答案为：2.8x，2.8x+1.96＝2，0.014，1.414．
（2）小亮同学的做法图示为：
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，估算无理数的大小，勾股定理，乘法公式的几何背景，找到面积的不同表示方法是求解本题的关键．
28．（7分）我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如，都是根分式．
（1）下列式子中①，②，③， ③ 是根分式（填写序号即可）；
（2）写出根分式中x的取值范围 x≥1且x≠2 ；
（3）已知两个根分式，．
①若M2﹣N2＝1，求x的值；
②若M2+N2是一个整数，且x为整数，请直接写出x的值： 1 ．
【分析】（1）根据根分式的定义进行判断即可；
（2）根据二次根式的定义，分式有意义的条件进行分析即可；
（3）①对式子进行化简，再进行求解即可；
②对式子进行化简，结合分式有意义的条件及二次根式的定义进行求解即可．
【解答】解：（1）①不是根分式，
②不是根分式，
③是根分式，
故答案为：③；
（2）由题意得：x﹣1≥0，x﹣2≠0，
解得：x≥1，x≠2，
故x的取值范围是：x≥1且x≠2；
故答案为：x≥1且x≠2；
（3）当，时，
①M2﹣N2＝1，
（）2﹣（）2＝1，
，
，
解得：x＝1，
经检验，x＝1是原方程的解；
②M2+N2
＝（）2+（）2
＝+
＝
＝
＝1+，
∵M2+N2是一个整数，且x为整数，
∴是一个整数，
∴x﹣2＝±1，
解得：x＝3或1，
经检验，x＝1符合题意，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，分式有意义的条件，二次根式的定义，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．
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