2021-2022学年北京市东北师大附中朝阳学校八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2021-2022学年北京市东北师大附中朝阳学校八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列体育运动图案中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）如图，在△ABC中，AC边上的高线是（ ）
A．线段DAB．线段BAC．线段BCD．线段BD
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a6C．（2a）3＝2a3D．a10÷a2＝a5
4．（3分）下列各式由左到右是分解因式的是（ ）
A．x2+6x﹣9＝（x+3）（x﹣3）+6x
B．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
C．x2﹣2xy﹣y2＝（x﹣y） 2
D．x2﹣8x+16＝（x﹣4） 2
5．（3分）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B之间的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使点E与A，C在同一条直线上，这时，可得△ABC≌△EDC，这时测得DE的长就是AB的长．判定△ABC≌△EDC最直接的依据是（ ）
A．HLB．SASC．ASAD．SSS
6．（3分）如图，已知∠1＝58°，∠B＝60°，则∠2＝（ ）
A．108°B．62°C．118°D．128°
7．（3分）如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（ ）
A．20B．30C．50D．100
8．（3分）如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的角平分线和高线，用等式表示∠DAE、∠B、∠C的关系正确的是（ ）
A．2∠DAE＝∠B﹣∠CB．2∠DAE＝∠B+∠C
C．∠DAE＝∠B﹣∠CD．3∠DAE＝∠B+∠C
二、填空题（每题3分，共24分）
9．（3分）计算：（3a2+2a）÷a＝ ．
10．（3分）分解因式：3x2﹣6xy+3y2＝ ．
11．（3分）a2•b3（ab）3＝ ．
12．（3分）如图，在五边形ABCDE中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝ ．
13．（3分）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B，D．只需添加一个条件即可证明△ABC≌△ADC，这个条件可以是 ．（写出一个即可）
14．（3分）如图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，得到四块形状和大小完全相同的小长方形，然后按图（2）所示拼成一个大正方形，则中间空白部分的面积是 ．（用含a，b的式子表示）
15．（3分）如图，△ABC中，DE垂直平分边AC，若BC＝8，AB＝10，则△EBC的周长为 ．
16．（3分）如图，三角形ABC的顶点坐标如下：点A（2，2），B（1，1），C（5，1），若三角形DBC与三角形ABC全等，写出符合条件的点D的坐标： ．
三、解答题（17-24每题5分，25，26题6分）
17．（5分）分解因式：2x3﹣8x．
18．（5分）计算：（x+1）（3x3﹣2x）．
19．（5分）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE，AD＝AE．连接BD，CE，∠ABD＝∠ACE．
求证：△ABD≌△ACE．
20．（5分）如图，点B、C、D、F在一条直线上，FD＝BC，DE＝CA，EF＝AB，求证：EF∥AB．
21．（5分）下面是小明同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线l和直线l外一点P．
求作：直线PQ，使直线PQ∥直线l．
作法：如图2，
①在直线l上取一点A，连接PA；
②作PA的垂直平分线MN，分别交直线l，线段PA于点B，O；
③以O为圆心，OB长为半径作弧，交直线MN于另一点Q；
④作直线PQ，所以直线PQ为所求作的直线．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：∵直线MN是PA的垂直平分线，
∴PO＝ ，∠POQ＝ ＝90°，
∵OQ＝ ，
∴△POQ≌△AOB．
∴ ＝ ．
∴PQ∥l（ ）（填推理的依据）．
22．（5分）如图所示的坐标系中，△ABC的顶点都在网格线的交点上，点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（﹣1，2）．
（1）写出点A的坐标 ，点A关于y轴的对称点的坐标是 ；
（2）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（3）△A1B1C1的面积是 ．
23．（5分）已知x2+x＝1，求代数式（2x﹣1）2+4x（x+3）的值．
24．（5分）已知a＝m2+n2，b＝m2，c＝mn，且m＞n＞0．
（1）比较a，b，c的大小；
（2）请说明以a，b，c为边长的三角形一定存在．
25．（6分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．
（1）当直线l不与底边AB相交时，
①求证：∠ACE＝∠CBF．
②猜想EF、AE、BF的数量关系并证明．
（2）将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D（D不与A、B点重合），请你探究直线l，EF、AE、BF之间的关系．（直接写出）
26．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（3，0），且平行于y轴．给出如下定义：点P（x，y）先关于y轴对称得点P1，再将点P1关于直线l对称得点P′，则称点P′是点P关于y轴和直线l的二次反射点．
（1）已知A（﹣4，0），B（﹣2，0），C（﹣3，1），则它们关于y轴和直线l的二次反射点A′，B′，C′的坐标分别是 ；
（2）若点D的坐标是（a，0），其中a＜0，点D关于y轴和直线l的二次反射点是点D′，求线段DD′的长；
（3）已知点E（4，0），点F（6，0），以线段EF为边在x轴上方作正方形EFGH，若点P（a，1），Q（a+1，1）关于y轴和直线l的二次反射点分别为P′，Q′，且线段P′Q′与正方形EFGH的边有公共点，求a的取值范围．
2021-2022学年北京市东北师大附中朝阳学校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（3分）下列体育运动图案中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）如图，在△ABC中，AC边上的高线是（ ）
A．线段DAB．线段BAC．线段BCD．线段BD
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
【解答】解：在△ABC中，AC边上的高线是线段BD，
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向它所对的边所在的直线作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a6C．（2a）3＝2a3D．a10÷a2＝a5
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
B、（a2）3＝a6，故本选项符合题意；
C、（2a）3＝8a3，故本选项不合题意；
D、a10÷a2＝a8，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
4．（3分）下列各式由左到右是分解因式的是（ ）
A．x2+6x﹣9＝（x+3）（x﹣3）+6x
B．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
C．x2﹣2xy﹣y2＝（x﹣y） 2
D．x2﹣8x+16＝（x﹣4） 2
【分析】根据分解因式的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
B．等式由左到右的变形属于整式乘法，不属于分解因式，故本选项不符合题意；
C．等式两边不相等，即等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
D．等式由左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的定义，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，也叫分解因式．
5．（3分）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B之间的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使点E与A，C在同一条直线上，这时，可得△ABC≌△EDC，这时测得DE的长就是AB的长．判定△ABC≌△EDC最直接的依据是（ ）
A．HLB．SASC．ASAD．SSS
【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．
【解答】解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：BC＝CD，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD（对顶角相等），
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．
故选：C．
【点评】此题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时注意选择．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6．（3分）如图，已知∠1＝58°，∠B＝60°，则∠2＝（ ）
A．108°B．62°C．118°D．128°
【分析】根据三角形外角的性质可得∠2＝∠1+∠B，计算可求解．
【解答】解：∵∠1＝58°，∠B＝60°，
∴∠2＝∠1+∠B＝58°+60°＝118°，
故选：C．
【点评】本题主要考查三角形外角的性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键．
7．（3分）如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（ ）
A．20B．30C．50D．100
【分析】根据角平分线的性质求出OE，最后用三角形的面积公式即可解答．
【解答】解：过O作OE⊥AB于点E，
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，
∴OE＝OD＝5，
∴△AOB的面积＝，
故选：C．
【点评】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出OE＝OD解答．
8．（3分）如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的角平分线和高线，用等式表示∠DAE、∠B、∠C的关系正确的是（ ）
A．2∠DAE＝∠B﹣∠CB．2∠DAE＝∠B+∠C
C．∠DAE＝∠B﹣∠CD．3∠DAE＝∠B+∠C
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAE，即可得到∠DAE、∠B、∠C之间的数量关系．
【解答】解：∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠BAC＝（180°﹣∠B﹣∠C），
∵AE是高，
∴∠CAE＝90°﹣∠C，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD
＝（90°﹣∠C）﹣（180°﹣∠B﹣∠C）
＝（∠B﹣∠C），
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，熟记定理并准确识图是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共24分）
9．（3分）计算：（3a2+2a）÷a＝ 3a+2 ．
【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：（3a2+2a）÷a
＝3a2÷a+2a÷a
＝3a+2．
故答案为：3a+2．
【点评】此题主要考查了整式的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
10．（3分）分解因式：3x2﹣6xy+3y2＝ 3（x﹣y）2 ．
【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：3x2﹣6xy+3y2，
＝3（x2﹣2xy+y2），
＝3（x﹣y）2．
故答案为：3（x﹣y）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
11．（3分）a2•b3（ab）3＝ a5b6 ．
【分析】根据积的乘方法则、单项式乘单项式的运算法则计算．
【解答】解：a2•b3（ab）3
＝a2•b3•a3b3
＝a5b6，
故答案为：a5b6．
【点评】本题考查的是单项式乘单项式、积的乘方，掌握它们的运算法则是解题的关键．
12．（3分）如图，在五边形ABCDE中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝ 360° ．
【分析】根据多边形的外角和定理即可求解．
【解答】解：根据多边形外角和定理得到：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°．
故答案为：360°．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，熟记多边形的外角和定理是解题的关键．
13．（3分）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B，D．只需添加一个条件即可证明△ABC≌△ADC，这个条件可以是 AB＝AD或BC＝CD或∠BAC＝∠DAC或∠ACB＝∠ACD（答案不唯一） ．（写出一个即可）
【分析】由全等三角形的判定定理可求解．
【解答】解：若添加AB＝AD，且AC＝AC，由“HL”可证Rt△ABC≌Rt△ADC；
若添加BC＝CD，且AC＝AC，由“HL”可证Rt△ABC≌Rt△ADC；
若添加∠BAC＝∠DAC，且AC＝AC，由“AAS”可证Rt△ABC≌Rt△ADC；
若添加∠BCA＝∠DCA，且AC＝AC，由“AAS”可证Rt△ABC≌Rt△ADC；
故答案为：AB＝AD或BC＝CD或∠BAC＝∠DAC或∠ACB＝∠ACD（答案不唯一）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．
14．（3分）如图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，得到四块形状和大小完全相同的小长方形，然后按图（2）所示拼成一个大正方形，则中间空白部分的面积是 （a﹣b）2 ．（用含a，b的式子表示）
【分析】由图（1）得出小长方形的长与宽分别为a，b，然后根据图（2）中大正方形的面积减去四个小长方形的面积表示出中空部分面积即可．
【解答】解：中间空白部分的面积是：
（a+b）2﹣4ab
＝a2+2ab+b2﹣4ab
＝a2﹣2ab+b2
＝（a﹣b）2，
故答案为：（a﹣b）2．
【点评】本题考查了列代数式、完全平方公式的运算，能正确列出代数式是解决问题的前提，熟练掌握完全平方公式是解决问题的关键．
15．（3分）如图，△ABC中，DE垂直平分边AC，若BC＝8，AB＝10，则△EBC的周长为 18 ．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EC，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴△EBC的周长＝BC+BE+EC＝BC+BE+EA＝BC+BA＝18，
故答案为：18．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
16．（3分）如图，三角形ABC的顶点坐标如下：点A（2，2），B（1，1），C（5，1），若三角形DBC与三角形ABC全等，写出符合条件的点D的坐标： （2，0）或（4，2）或（4，0） ．
【分析】根据全等三角形的判定方法画出图形，根据图形可直接写出所有符合条件的点D坐标．
【解答】解：如图所示，点D的坐标为（2，0）或（4，2）或（4，0）．
故答案为：（2，0）或（4，2）或（4，0）．
【点评】此题考查了坐标与图形性质以及全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
三、解答题（17-24每题5分，25，26题6分）
17．（5分）分解因式：2x3﹣8x．
【分析】首先提取公因式2x，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：原式＝2x（x2﹣4）
＝2x（x+2）（x﹣2）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．
18．（5分）计算：（x+1）（3x3﹣2x）．
【分析】利用多项式乘多项式法则计算即可．
【解答】解：原式＝x•3x3﹣x•2x+3x3﹣2x
＝3x4﹣2x2+3x3﹣2x，
【点评】本题考查了整式的乘法，掌握多项式乘多项式法则、单项式乘单项式法则是解决本题的关键．
19．（5分）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE，AD＝AE．连接BD，CE，∠ABD＝∠ACE．
求证：△ABD≌△ACE．
【分析】根据角的和差得到∠BAD＝∠CAE，根据全等三角形的判定定理推出△BAD≌△CAE．
【解答】证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（AAS）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
20．（5分）如图，点B、C、D、F在一条直线上，FD＝BC，DE＝CA，EF＝AB，求证：EF∥AB．
【分析】利用SSS证明△FDE≌△BCA，得∠F＝∠B，即可证明．
【解答】证明：在△FDE与△BCA中，
，
∴△FDE≌△BCA（SSS），
∴∠F＝∠B，
∴EF∥AB．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定等知识，证明△FDE≌△BCA是解题的关键．
21．（5分）下面是小明同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线l和直线l外一点P．
求作：直线PQ，使直线PQ∥直线l．
作法：如图2，
①在直线l上取一点A，连接PA；
②作PA的垂直平分线MN，分别交直线l，线段PA于点B，O；
③以O为圆心，OB长为半径作弧，交直线MN于另一点Q；
④作直线PQ，所以直线PQ为所求作的直线．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：∵直线MN是PA的垂直平分线，
∴PO＝ AO ，∠POQ＝ ∠AOB ＝90°，
∵OQ＝ OB ，
∴△POQ≌△AOB．
∴ ∠QPO ＝ ∠BAO ．
∴PQ∥l（ 内错角相等，两直线平行 ）（填推理的依据）．
【分析】（1）直接用作法，作出图形，即可得出结论；
（2）利用SAS判断出△POQ≌△AOB，得出∠QPO＝∠BAO，即可得出结论．
【解答】解：（1）用直尺和圆规，补全图形如图2所示：
（2）证明：∵直线MN是PA的垂直平分线，
∴PO＝AO，∠POQ＝∠AOB＝90°，
∵OQ＝OB，
∴△POQ≌△AOB（SAS），
∴∠QPO＝∠BAO（或∠PQO＝∠ABO），
∴PQ∥l（内错角相等，两直线平行），
故答案为：AO，∠AOB，OB，∠QPO，∠BAO，内错角相等，两直线平行．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了基本作图，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握基本作图是解本题的关键．
22．（5分）如图所示的坐标系中，△ABC的顶点都在网格线的交点上，点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（﹣1，2）．
（1）写出点A的坐标 （﹣4，4） ，点A关于y轴的对称点的坐标是 （4，4） ；
（2）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（3）△A1B1C1的面积是 4 ．
【分析】（1）根据点A的位置写出坐标，再根据轴对称的性质写出点A关于y轴的对称点的坐标；
（2）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（3）把三角形的面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可．
【解答】解：（1）由题意，A（﹣4，4），点A关于y轴的对称点的坐标是（4，4）；
故动物：（﹣4，4），（4，4）；
（2）如图，△A1B1C1即为所求；
（3）＝3×4﹣×1×2﹣×2×3﹣×2×4＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，轴对称最短问题，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
23．（5分）已知x2+x＝1，求代数式（2x﹣1）2+4x（x+3）的值．
【分析】先根据完全平方公式和单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（2x﹣1）2+4x（x+3）
＝4x2﹣4x+1+4x2+12x
＝8x2+8x+1，
当x2+x＝1时，原式＝8（x2+x）+1＝8×1+1＝9．
【点评】本题考查了整式的化简与求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
24．（5分）已知a＝m2+n2，b＝m2，c＝mn，且m＞n＞0．
（1）比较a，b，c的大小；
（2）请说明以a，b，c为边长的三角形一定存在．
【分析】（1）根据代数式大小比较的方法进行比较即可求解；
（2）根据三角形两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可求解．
【解答】解：（1）∵a＝m2+n2，b＝m2，c＝mn，且m＞n＞0，
∴m2+n2＞m2＞mn，
∴a＞b＞c；
（2）∵m＞n＞0，
∴mn＞n2，
∴m2+mn＞m2+n2，
∴a，b，c为边长的三角形一定存在．
【点评】考查了三角形三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
25．（6分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．
（1）当直线l不与底边AB相交时，
①求证：∠ACE＝∠CBF．
②猜想EF、AE、BF的数量关系并证明．
（2）将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D（D不与A、B点重合），请你探究直线l，EF、AE、BF之间的关系．（直接写出）
【分析】（1）①根据同角的余角相等证明即可；
②利用AAS定理证明△AEC≌△CFB，根据全等三角形的性质得到CF＝AE，BF＝CE，结合图形证明结论；
（2）分AD＞BD、AD＜BD两种情况，根据全等三角形的判定定理和性质定理证明即可．
【解答】（1）①证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠BCF＝90°，
∵BF⊥直线l，
∴∠CBF+∠BCF＝90°，
∴∠ACE＝∠CBF；
②解：EF＝AE+BF．
理由如下：在△AEC和△CFB中，
，
∴△AEC≌△CFB（AAS），
∴CF＝AE，BF＝CE，
∴EF＝CF+CE＝AE+BF；
（2）当AD＞BD时，如图2②，
∵∠ACB＝90°，AE⊥直线l，
∴∠BCF＝∠CAE，
∵AC＝BC，BF⊥l直线，
∴∠BFC＝∠AEC＝90°，
∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴CF＝AE，CE＝BF，
∵CF＝CE+EF＝BF+EF，
∴AE＝BF+EF；
②当AD＜BD时，如图2②，
∵∠ACB＝90°，BF⊥l直线，
∴∠CBF＝∠ACE，
∵AC＝BC，BE⊥l直线，
∴∠AEC＝∠BFC＝90°．
∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴CF＝AE，BF＝CE，
∵CE＝CF+EF＝AE+EF，
∴BF＝AE+EF．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
26．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（3，0），且平行于y轴．给出如下定义：点P（x，y）先关于y轴对称得点P1，再将点P1关于直线l对称得点P′，则称点P′是点P关于y轴和直线l的二次反射点．
（1）已知A（﹣4，0），B（﹣2，0），C（﹣3，1），则它们关于y轴和直线l的二次反射点A′，B′，C′的坐标分别是 A′（2，0），B′（4，0），C′（3，1） ；
（2）若点D的坐标是（a，0），其中a＜0，点D关于y轴和直线l的二次反射点是点D′，求线段DD′的长；
（3）已知点E（4，0），点F（6，0），以线段EF为边在x轴上方作正方形EFGH，若点P（a，1），Q（a+1，1）关于y轴和直线l的二次反射点分别为P′，Q′，且线段P′Q′与正方形EFGH的边有公共点，求a的取值范围．
【分析】（1）根据二次反射点的定义直接得出答案；
（2）根据二次反射点的定义得出D′（6+a，0），则可得出答案
（3）根据二次反射点的定义得出P′（6+a，1），Q′（7+a，1），由题意分两种情况列出不等式组，解不等式组可得出答案．
【解答】解：（1）∵A（﹣4，0），
∴点A关于y轴点的对称的坐标为（4，0），
∵（4，0）关于直线l对称得点A′（2，0），
∴点A（﹣4，0）关于y轴和直线l的二次反射点A′（2，0）；
∵B（﹣2，0），
∴点B关于y轴点的对称的坐标为（2，0），
∵（2，0）关于直线l对称得点B′（4，0），
∴点B（﹣2，0）关于y轴和直线l的二次反射点B′（4，0）；
∵C（﹣3，1），
∴点C关于y轴点的对称的坐标为（3，1），
∵（3，1）关于直线l对称得点C′（3，1），
∴点C（﹣3，1）关于y轴和直线l的二次反射点C′（3，1）；
故答案为：A′（2，0），B′（4，0），C′（3，1）；
（2）∵点D的坐标是（a，0），a＜0，
∴点D关于y轴对称的点的坐标为（﹣a，0），
∴（﹣a，0）关于直线l对称得点D′（6+a，0），
∴DD'＝6+a﹣a＝6．
（3）∵点P（a，1），
∴点P（a，1）关于y轴和直线l的二次反射点为P′（6+a，1），
∵Q（a+1，1），
∴Q（a+1，1）关于y轴和直线l的二次反射点为Q′（7+a，1），
当P'Q'与EH有公共点时，
，
∴﹣3≤a≤﹣2，
当P'Q'与FG有公共点时，
，
∴﹣1≤a≤0，
∴﹣3≤a≤﹣2或﹣1≤a≤0，
【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称性质，动点问题，新定义二次反射点的理解和运用；解题关键是对新定义二次反射点的正确理解．
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