广东省部分学校2025届高三上学期第一次月考联合测评数学试卷（原卷版）

这是一份广东省部分学校2025届高三上学期第一次月考联合测评数学试卷（原卷版），共5页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，则集合的真子集个数为（ ）
A. 7B. 8C. 15D. 16
2. 若，则复数z的虚部（ ）
A. 4B. C. D.
3. 已知，，，则的最大值是（ ）
A. B. C. D. 1
4. 在平面内，设是直线的法向量，、为两个定点，，为一动点，若点满足：，则动点的轨迹是（ ）
A. 圆B. 抛物线C. 椭圆D. 双曲线
5. 已知等差数列前项和为，若，则（ ）
A B. C. D.
6. 已知直线与圆交于两点，则线段的长度的取值范围是（ ）
A B. C. D.
7. 若，，，则事件与的关系是（ ）
A. 事件与互斥B. 事件与对立
C. 事件与相互独立D. 事件与既互斥又相互独立
8. 已知定义在R上的函数满足：，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 的周期为4C. 关于对称D. 在单调递减
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知的最小正周期是，下列说法正确的是（ ）
A. 在是单调递增
B. 是偶函数
C. 的最大值是
D. 是的对称中心
10. 已知正方体外接球的体积为是空间中的一点，则下列命题正确的是（ ）
A. 若点在正方体表面上运动，且，则点轨迹的长度为
B. 若是棱上点（不包括点），则直线与是异面直线
C. 若点在线段上运动，则始终有
D. 若点在线段上运动，则三棱锥体积为定值
11. 如图，P是椭圆与双曲线在第一象限的交点，,且共焦点的离心率分别为，则下列结论正确的是（ ）

A.
B. 若，则
C. 若，则的最小值为2
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知M是抛物线上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点．若，则线段MF的长为______.
13. 已知甲同学在上学途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲同学在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率是______.
14. 已知点A是函数图象上的动点，点B是函数图象上的动点，过B点作x轴的垂线，垂足为M，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知等差数列的前n项和为．
（1）求的通项公式；
（2）数列满足为数列前n项和，求的值.
16. 古希腊数学家托勒密对凸四边形(凸四边形是指没有角度大于四边形)进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立．且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大．根据上述材料，解决以下问题：
如图，在凸四边形中，
（1）若，，(图1)，求线段长度的最大值；
（2）若，，，（图2），求四边形面积取得最大值时角A的余弦值，并求出四边形面积的最大值．
17. 在中，把，，…，称为三项式系数.
（1）当时，写出三项式系数，，，，的值；
（2）的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图，当，时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的次系数的数阵表；
（3）求的值（用组合数作答）.
18. 如图1，平面图形由直角梯形和拼接而成，其中，，，，，与相交于点，现沿着将其折成四棱锥（如图2）．
（1）当侧面底面时，求点到平面的距离；
（2）在（1）的条件下，线段上是否存在一点．使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19. 已知椭圆，左､右焦点分别为，短轴的其中一个端点为，长轴端点为，且是面积为的等边三角形.

（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若双曲线以为焦点，以为顶点，点为椭圆与双曲线的一个交点，求的面积；
（3）如图，直线与椭圆有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于两点.当点运动时，求点Px,y的轨迹方程.