广东省部分名校2025届高三上学期8月入学摸底联合测评考试数学试卷(含答案)

这是一份广东省部分名校2025届高三上学期8月入学摸底联合测评考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．能正确表示图中阴影部分的是( )
A.B.C.D.
2．已知复数z满足，则( )
A.B.C.D.2
3．已知向量，，且，则m的值为( )
A.1B.2C.D.-2
4．石墨烯是一种由单层碳原子构成的具有平面网状结构的物质，其结构如图所示，其中每个六边形的顶点是一个碳原子的所处位置.现令六边形为中心六边形，其外围紧邻的每个六边形构成“第一圆环”，“第一圆环”外围紧邻的六边形构成“第二圆环”，以此类推.则“第七圆环”上的碳原子数为( )
A.42B.120C.168D.210
5．在平面直角坐标系中，点F的坐标为，以线段FP为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为( )
A.B.C.D.
6．现某酒店要从3名男厨师和2名女厨师中选出两人，分别做调料师和营养师，则至少有1名女厨师被选中的不同选法有( )
A.14种B.18种C.12种D.7种
7．设，分别为椭圆的左，右焦点，P为椭圆上一点，直线与以为圆心、为半径的圆切于点Q(O为坐标原点)，且，则椭圆E的离心率为( )
A.B.C.D.
8．在正四棱锥中，E是线段上的动点.设直线与直线所成的角为，二面角为，直线与平面所成的角为，这三个角的关系正确的是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知的展开式共有13项，则下列说法正确的有( )
A.所有奇数项的二项式系数和为
B.二项式系数最大的项为第7项
C.所有项的系数和为
D.有理项共有5项
10．中，D为AB上一点且满足.若P为线段CD上一点，且（，为正实数），则下列结论正确的是( )
A.B.
C.的最大值为D.的最小值为3
11．若的定义域为R，满足对任意，都有，且，则下列说法正确的是( )
A.
B.为偶函数
C.为奇函数
D.
三、填空题
12．甲､乙两队进行答题比赛，每队3名选手，规定两队的每名选手都完成一次答题为一轮比赛，每名选手答对一题得1分，答错一题得0分.已知甲队中每名选手答对题的概率都为，乙队中3名选手答对题的概率分别为.在第一轮比赛中，甲队得分，乙队得分，则在这一轮中，满足且的概率为________.
13．若曲线的切线为，则一组满足条件的的取值为________.
14．省级保护文物石城永宁桥位于江西省赣州市石城县高田镇永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥当石拱桥拱顶离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为________.米.
四、解答题
15．函数在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且为正三角形.
（1）求的值；
（2）若，且，求的值；
（3）求关于x的方程在上的最大根与最小根之和.
16．某工厂去年12月试产了1000个电子产品，产品合格率为0.85.从今年1月开始，工厂在接下来的一年中将生产这款产品，1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高，产品合格率比前一个月增加0.01.
（1）求今年2月生产的不合格产品的数量，并判断哪个月生产的不合格产品的数量最多；
（2）求该工厂今年全年生产的合格产品的数量.
参考数据：，.
17．如图，在四棱锥中，，M为的中点，平面.
（1）求证：；
（2）若，，.
（i）求证：平面；
（ii）设平面平面，求二面角的正弦值.
18．在一个密闭不透明的箱子中有五个浅色球，其中一个球的标号为1，另一个密闭不透明的箱子中有五个深色球，其中两个球的标号为2，3.
（1）若在两个箱子中各抽取两个球，求抽取的四个球中，标号为1，2，3的三个球中至少有两个的概率;
（2）若在两个箱子中共随机抽取四个球，记其中浅色球的个数为X，求X的分布列.
19．在平面直角坐标系中，顶点在原点O的抛物线E经过点.
（1）求抛物线E的方程；
（2）若抛物线E不经过第二象限，且经过点的直线l交抛物线E于M，N，两点（），过M作x轴的垂线交线段于点P.
①当经过抛物线E的焦点F时，求直线的方程；
②求点A到直线的距离的最大值.
参考答案
1．答案：A
解析：图中阴影部分表示的是中的元素除去中的元素所剩下的元素，对比选项可知，只有A符合题意.
故选：A.
2．答案：B
解析：由题意，，，故.
故选：B.
3．答案：D
解析：由，，
由，得，
所以，得.
故选：D
4．答案：C
解析：记“第n圆环”最外层的碳原子个数为，
依题意，，
，
由此可以归纳出
“第二圆环”上的碳原子个数为，“第三圆环”上的碳原子个数为，
由此可得“第n圆环”上的碳原子个数为，所以“第七圆环”的碳原子个数为
故选：C
5．答案：B
解析：由题意可知：圆的圆心为，半径，
设，以线段FP为直径的圆的圆心为M，半径为R，
若圆M与圆O外切，则，，
可得；
若圆M与圆O内切，则，，
可得；
综上所述：，
可知动点P的轨迹是以，F为焦点的双曲线，且，，则，
所以动点P的轨迹方程为.
故选：B.
6．答案：A
解析：从3名男剅师和2名女厨师中选出两人，分别做调料师和营养师，共有20（种），没有女厨师被选中的选法共有（种），
故至少有1名女厨师被选中的不同选法有（种）.
故选：A.
7．答案：B
解析：由题意，，，
因为直线与以为圆心、为半径的圆切，
所以，
因此由勾股定理可知，
又，所以，因此，
由勾股定理可得，
根据椭圆定义，，.
故选：B
8．答案：D
解析：如图，取中心O，中点F连接，使得，，
由题可知，，，且，，均为锐角，
由于平面，平面，所以，
又，，平面，
所以平面，平面，故，
因此，，
因为，所以，，
因为，，所以，，
所以
故选：D
9．答案：ABD
解析：对于A，因为，所以，则所有奇数项的二项式系数和为，故A正确；
对于B，由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项，故B正确；
对于C，令，得所有项的系数和为，故C错误；
对于D，展开式的通项为，
当为整数时，，共有5项，即有理项共有5项，故D正确.
故选：ABD.
10．答案：AD
解析：，故A正确；
由，
所以，又D，P，C三点共线，
，即，故B错误；
由，为正实数，，得，当且仅当，时等号成立，故C错误；
，当且仅当时等号成立，故D正确.
故选：AD.
11．答案：BCD
解析：A中：令，得，又，所以，故A不选；
B中：令得，，所以，而的定义域是全体实数，所以为偶函数，故B选；
C中：令，，得，所以，
又，而的定义域是全体实数，所以为奇函数，故C选；
D中：，所以，所以，
故4是的周期，又，，，所以，故D选.
故选：BCD.
12．答案：
解析：依题意甲队在一轮比赛中得2分的概率为，
甲队在一轮比赛中得3分的概率为，
乙队在一轮比赛中得1分的概率为：
，
乙队在一轮比赛中得2分的概率为：
，
设在这一轮中，满足且为事件A，
则A包含①甲队得2分，乙队得1分，②甲队得3分，乙队得1分，③甲队得3分，乙队得2分，
所以，
即在这一轮中，满足且的概率为.
故答案为：
13．答案：
解析：设切点为，由，得，
则由题意得，
所以，，
所以，所以.
故答案为：
14．答案：8
解析：建利坐标系如图，设抛物线方程为且，
则根据题意可知图中A坐标为，
所以，可得，
所以抛物线方程为，
令，代入方程，解得，
可得到水面两点坐标分别为，
所以水面的宽度为8米.
故答案为：8
15．答案：（1）；
（2）；
（3）
解析：（1）正三角形的高为，，
函数的周期，.
（2），由（1）有，
即，
而由，知，
所以，
.
.
（3），
当，，
设与（）的图象交点的横坐标最小为，最大为，
令，则或，
解得或，
则当且仅当时，最小，
当且仅当时，最大，
即此方程在内所有最小根为：1，最大根为.
两个之和为.
16．答案：（1）154，5月或6月；
（2）19604个
解析：（1）记从今年1月起，第n月的产量为，第n月的产品合格率为.
由题可知，数列为等比数列，首项，公比，
数列为等差数列，首项，公差，
所以，，
所以今年2月份生产的不合格产品数为；
设第n月生产的不合格产品数为，则，
所以，
当时，；当时，；当时，，
所以，
即5月或6月生产的不合格产品数最多；
（2）设今年前n个月生产的合格产品总数为，则，
由于，，
所以①，
②，
①－②得
所以，
即该工厂今年全年生产的合格产品总数约为19604个.
17．答案：（1）证明见解析；
（2）（i）证明见解析；（ii）
解析：（1）取的中点N，连接，，
因为M为的中点，所以，，
因为，所以，所以M，N，D，A四点共面，
因为平面，平面平面，平面，
所以，所以四边形为平行四边形，所以，所以；
（2）（i）取的中点E，连接，，
由（1）知，所以，
因为，所以四边形是平行四边形，
所以，，
因为，所以，
所以，即，
因为，所以，
因为，，所以与全等，
所以，即，
因为，
又因为，平面，
所以平面；
（ii）由（i）知平面，而平面，
所以，
因为，，
建立如图所示空间直角坐标系，
则，，
所以，，
设平面的法向量为，则
令，则，，于是，
因为为平面的法向量，
设二面角为，由图可得
所以，
所以二面角的余弦值为，
则二面角的正弦值为
18．答案：（1）；
（2）分布列见解析
解析：（1）由题意可得共有（种）不同的抽法，
抽取的四个球中，标号为1，2，或1，3的种数有，
标号为2，3的种数有，抽到1，2，3的种数有，
合计（种）不同的抽法，
所以抽取的四个球中，标号为1，2，3的三个球中至少有两个的概率为.
（2）由题意知，X的可能取值为0，1，2，3，4.
，
，
，
，
，
所以X的分布列为
19．答案：（1）或；
（2）①；②
解析：（1）若抛物线E的焦点在y轴上时，可设抛物线E的方程为，
且抛物线过点，所以，解得；
若抛物线E的焦点在x轴上时，可设抛物线E的方程为，
且抛物线过点，所以，解得；
综上所述：抛物线E的方程为或.
（2）因为抛物线E不经过第二象限，由（1）可知，抛物线E的方程为，
且，，
①当经过抛物线E的焦点F时，令，得，
在中，令，得，
又因为，则，可得直线，
由，解得或，即，
所以直线，即；
②设，，，
由，消去x整理得，
所以，，，
且，即，
则，
令，得
，
所以直线经过定点，
所以当，即点A以直线的距离取得最大值，为.
X
0
1
2
3
4
P