重庆市第七中学2023-2024学年九年级下学期入学考试数学试题（原卷版+解析版）

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参考公式：抛物线（）的顶点坐标为，对称轴为
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列4个汉字中可以看成是轴对称图形的是（ ）
A. 中B. 国C. 繁D. 华
3. 如图，直线，直角三角形的直角顶点在直线上，已知，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，与位似，点为位似中心．已知，则与面积比为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知反比例函数的图象经过点，则k的值是（ ）
A. B. 6C. D.
6. 估计的值应在（ ）
A. 3和4之间B. 4和5之间C. 5和6之间D. 6和7之间
7. 下列图形都是由相同的小正方形按照一定规律摆放而成的，照此规律排列下去，第1个图形中小正方形的个数是3个，第2个图形中小正方形的个数是8个，第3个图形中小正方形的个数是15个，则第6个图形中小正方形的个数是（ ）
A. 24B. 30C. 35D. 48
8. 如图，过上一点P的切线与直径AB的延长线交于点C，点D是圆上一点，且，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在正方形中，点E，F分别在，上，满足，连接，，点P，Q分别是，中点，连接．若．则可以用α表示为（ ）
A. αB. C. D.
10. 对多项式（x，y，z，m，n均不为零），任意加括号（括号里至少有两个字母，且括号中不再含有括号）并同时改变括号前的符号，然后按给出的运算顺序重新运算，称此一系列操作为“变括操作”．例如：，，下列说法：
①不存在“变括操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②只有一种“变括操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③若同时添加两个括号，所有可能的“变括操作”共有4种不同运算结果．
其中正确的个数是（ ）个
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）
11. 计算：______．
12. 一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是 _______．
13. 有三张完全一样正面分别写有字母A，B，C的卡片．将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的字母后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的字母相同的概率是_________．
14. 已知某小区的房价在两年内从每平方米万元上涨到每平方米万元，设该小区房价平均每年增长的百分率为，根据题意可列方程为______．
15. 已知如图，在中，，，以C为圆心为半径作弧，交的延长线于点E，以B为圆心为半径交的延长线于点D，若，则阴影部分的面积是________．
16. 如图，矩形纸片的对角线，BD相交于点，，将矩形纸片翻折，使点恰好落在点处，折痕为，点在边CD上，则的长为_____．
17. 若数m使关于x的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，且使关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数m的值之和为 _____．
18. 若一个四位数的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数之和为150，则称这个四位数为“圆梦数”．若一个四位数（其中，且均为整数）为“圆梦数”，则___________；定义，若能被19整除，且存在整数使得，则满足条件的的值为________________．
三、解答题（本大题8个小题，19题8分，20～26题每小题10分，共78分）
19. 计算：
（1）；
（2）．
20. 如图，在平行四边形中，．
（1）用尺规完成以下基本作图：作的平分线交于点，在上截取，使（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，连接，求证：四边形是菱形．请补全下面的证明过程．
证明：∵四边形为平行四边形，∴且，
∵，∴，
∴________．
∴四边形是平行四边形，
∵，∴________．
∵平分，∴_______，
∴．
∴_______，∴四边形是菱形．
21. 猜灯谜是我国独有的富有民族风格的一种文娱活动形式．某校开展了猜灯谜知识竞答活动，从七年级和八年级各随机抽取20名学生的竞答成绩（单位：分），进行整理、描述和分析（比赛成绩用表示，共分成4组：．，．，．，．）．下面给出了部分信息：
七年级学生组的竞答成绩为：86，81，83，84，82，83，86，84．
八年级被抽取学生的竞答成绩为：83，60，66，62，68，83，71，92，90，76，91，94，83，75，84，83，77，90，91，81．
七八年级抽取的竞答成绩统计表
七年级抽取竞答成绩扇形统计图
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______，______；
（2）根据以上数据，你认为哪个年级学生的竞答成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七、八年级学生共有1200人，请你估计该校七、八年级学生中竞答成绩不低于90分的有多少人？
22. 腊味食品深受川渝人的喜爱．春节将至，甲、乙两单位打算为员工购买腊肉和香肠作为新年福利．
（1）2023年12月份，甲单位花费3900元购买了40袋腊肉、50袋香肠，已知10袋腊肉和7袋香肠的售价相同，求2023年12月份每袋腊肉和香肠的售价分别是多少元？
（2）由于市场供不应求，2024年1月份腊肉和香肠的价格均有上涨，其中每袋香肠的售价是每袋腊肉售价的倍，乙单位分别花费了1600元、3600元购买腊肉、香肠，一共购买了100袋，求2024年1月份每袋香肠的售价．
23. 如图，中，，，，动点M、N分别以每秒3个单位长度、4个单位长度的速度同时从A出发，点M沿折线方向运动，点N沿折线方向运动，点M到达点B后，点M、点N的运动速度均变为每秒1个单位长度运动，当两点相遇时停止运动，设运动时间为t秒，点M、N的距离为y．
（1）请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
（2）在给定平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，写出M，N两点相距5个单位长度时t的值．
24. 小明从家步行前往公园，已知点在点的正东方向，但是由于道路施工，小明先沿正北方向走了400米到达处，再从处沿北偏东方向行走400米到达处，从处沿正东方向走了300米到达处，在处休息了6分钟，最终沿方向到达处，已知点在点的南偏东方向．小明从家出发的同时，爷爷从家选择另一路线步行前往处，已知点在点的南偏东方向，且点在点的正南方向．（参考数据：）

（1）求的长度（结果精确到1米）；
（2）已知小明步行速度为80米/分钟，爷爷步行速度为70米/分钟，小明和爷爷始终保持匀速行驶，请计算说明小明和爷爷谁先到达公园？
25. 如图1，抛物线与直线相交于点B和C，点B在x轴上，点C在y轴上，抛物线与x轴另一个交点为A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P为直线上方抛物线上一动点，于点D，轴于点F，交于点E，求周长最大值以及点P的坐标；
（3）在（2）的结论下，将抛物线沿射线CB方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线的顶点为M，平面内有一点N，以点P、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点N的坐标．
26. 在中，，，点为边上一动点，连接，将绕着点逆时针方向旋转得到，连接．
（1）如图，，点为中点，与交于点，若，求的长度；
（2）如图，与交于点，连接，在延长线上有一点，，求证：；
（3）如图，与交于点，且平分，点为线段上一点，点为线段上一点，连接，点为延长线上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，在运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值．
年级
七年级
八年级
平均数
80
80
中位数
a
83
众数
82